Khóa học LTĐH môn Toán Chuyên đề 2&3 -Phương trình vô tỷ- Thầy Trần Phương ppsx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.11 MB, 98 trang )
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP BẬC NHẤT VỚI SINX, COSX
1. Phương pháp chung:
2 2
sin cos ; 0 (1)
a x b x c a b+ = + >
Cách 1.
2 2 2 2 2 2
(1) sin cos cos( )
c a b
x x x
a b a b a b
α
⇔ = + = −
+ + +
Với
2 2 2 2 2 2
sin ; cos ; cos 2
a b c
x k
a b a b a b
α α β α β π
= = = ⇒ = ± +
+ + +
Chú ý: (1) có nghiệm
2 2 2
c a b
⇔ ≤ +
Cách 2.
Xét
cos 0
2
x
=
là nghiệm của (1)
0
b c
⇔ + =
Xét b + c = 0. ðặt
tan
2
x
t =
thì
2
2 2
2 1
sin ;cos .
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +
Khi ñó
2
(1) ( ) ( ) 2 ( ) 0
f t c b t at c b
⇔ = + − + − =
Cách 3.
Phân tích thành phương trình tích.
2. Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1.
Giải phương trình:
2
3sin 3 3 cos9 1 sin 3
x x x
− = +
Giải
3 3
3sin 3 3 cos9 1 4sin 3 (3sin 3 4sin 3 ) 3 cos9 1
1 3 1 1
sin 9 3 cos9 1 sin 9 cos9 sin 9
2 2 2 3 2
2
9 2
3 6 18 9
( )
5 7 2
9 2
3 6 54 9
x x x x x x
x x x x x
k
x k x
k Z
k
x k x
π
π π π π
π
π π π π
π
− = + ⇔ − − =
⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =
− = + = +
⇔ ⇔ ∈
− = + = +
Bài 2.
Giải phương trình:
cos7 .cos5 3sin 2 1 sin 7 .sin 5 (1)
x x x x x− = −
Giải:
(1) (cos 7 .cos5 sin 7 .sin 5 ) 3 sin 2 1
cos(7 5 ) 3 sin 2 1 cos 2 3sin 2 1
x x x x x
x x x x x
⇔ + − =
⇔ − − = ⇔ − =
BÀI GIẢNG 01.
PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP ðỐI VỚI SIN, COS
(TÀI LIỆU BÀI GIẢNG)
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
1 3 1 1
cos 2 sin 2 cos cos2 sin sin 2
2 2 2 3 3 2
x x x x
π π
⇔ − = ⇔ − =
1
cos 2 2 2 ( )
3 2 3 3 3
x x k x k x k k Z
π π π π
π π π
−
⇔ + = ⇔ + = ± + ⇔ = ∨ = + ∈
Bài 3.
Giải phương trình:
2 2(sin cos )cos 3 cos2 (1)
x x x x+ = +
Giải:
(1) 2 sin 2 2(1 cos 2 ) 3 cos2 2 sin 2 ( 2 1)cos 2 3 2
x x x x x⇔ + + = + ⇔ + − = −
.
Ta có:
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
2
2
2 2 1 5 2 2
3 2 11 6 2
a b
c
+ = + − = −
= − = −
. Ta sẽ chứng minh: a
2
+ b
2
< c
2
2 2
5 2 2 11 6 2 (4 2) 6 32 36
⇔ − < − ⇔ < ⇔ <
(ñúng). Vậy (1) vô nghiệm.
Bài 4.
Giải phương trình:
3sin 4sin 5sin 5 0
3 6 6
x x x
π π π
− + + + + =
Giải:
3sin 4cos 5sin 5
3 2 6 6
3sin 4cos 5sin 5 .
3 3 6
x x x
x x x
π π π π
π π π
π
⇔ − + − + = − +
⇔ − + − = + +
ðặt:
4 3
sin ; cos
5 5
α α
= =
7
cos sin sin cos sin 5
3 3 6
7 9
sin sin 5
3 6 24 4 2 36 6 3
x x x
k k
x x x x
π π π
α α
π π π α π π α π
α
⇔ − + − = +
⇔ − + = + ⇔ = + + ∨ = − +
Bài 5.
Giải phương trình:
3 3
4sin cos3 4cos sin 3 3 3 cos4 3 (1)
x x x x x+ + =
Giải:
[
]
[
]
[ ]
(1) 3sin sin 3 cos3 3cos cos3 sin 3 3 3 cos4 3
3 sin cos3 sin 3 cos 3 3 cos 4 3 sin 4 3 cos 4 1
x x x x x x x
x x x x x x x
⇔ − + + + =
⇔ + + = ⇔ + =
1 3 1 1
sin 4 cos4 cos sin 4 sin cos4 sin 4
2 2 2 3 3 3 2
x x x x x
π π π
⇔ + = ⇔ + = + =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
)
24 2 8 2
k k
x x
π π π π
−
⇔ = + ∨ = + (k
∈
Z)
Bài 6.
Giải phương trình: 3sinx + cosx = 1
Giải:
Ta có
3sin cos 1 3sin 1 cos
x x x x
+ = ⇔ = −
2
6sin cos 2sin 2sin 3cos sin 0
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
⇔ = ⇔ − =
. Xét 2 khả năng
a.
sin 0 2
2 2
x x
k x k
π π
= ⇔ = ⇔ =
b.
3cos sin 0 tan 3 2 2 ( )
2 2 2 2
x x x x
k x k k Z
α π α π
− = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈
Bài 7.
Giải phương trình: sinx + 5cosx = 1 (1)
Giải:
2
(1) 5cos 1 sin 5 cos sin cos sin cos sin
2 2 2 2 2 2
2
cos sin 4cos 6sin 0 tan 1 tan tan
2 2 2 2 2 2 3
2 2 2 ( )
2 4 2 2
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x
k k x k x k k Z
α
π π
π α π π α π
⇔ = − ⇔ − + = −
⇔ − + = ⇔ = ∨ = − =
⇔ = + ∨ = + ⇔ = + ∨ = + ∈
Bài 8.
Giải phương trình:
sin 3 cos sin 3cos 2 (1)
x x x x+ + + =
Giải:
Ta có:
1 3
sin 3 cos 2 sin cos 2sin
2 2 3
x x x x x
π
+ = + = +
ðặt
sin 3 cos 2sin 0 2
3
t x x x t
π
= + = + ⇒ ≤ ≤
, khi ñó
[
]
2 2
(1) 2 2 (2 ) 5 4 0 1 0;2
1
2sin 1 sin 2 2 ( )
3 3 2 6 2
t t t t t t t t t
x x x k x k k Z
π π π π
π π
⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ − + = ⇔ = ∈
−
⇔ + = ⇔ + = ⇔ = + ∨ = + ∈
Bài 9.
Giải phương trình:
(1 3)sin (1 3)sin 2 (1)
x x+ + − =
Giải:
Do
(1 3) 2 2 3 0 cos 0
2
x
b c nên
+ = + + = − ≠ =
không là nghiệm của (1)
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
ðặt
2
2 2
2 1
tan sin cos ,
2 1 1
x t t
t x và x
t t
−
= ⇒ = =
+ +
khi ñó
2
2 2
2 2
2
2 1
(1) (1 3) (1 3) 2 2(1 3) (1 3)(1 ) 2(1 )
1 1
(3 3) 2(1 3) (1 3) 0
1 1 3 5 5
tan tan tan tan 2 2
2 6 2 12 3 6
3 1 3
t t
t t t
t t
t t
x x
t t x k x k
π π π π
π π
−
⇔ + + − = ⇔ + + − − = +
+ +
⇔ − − + + + =
+
⇔ = ∨ = − ⇔ = ∨ = ⇔ = + ∨ = +
−
Bài 10.
Giải phương trình:
sin 3 ( 3 2)cos3 1 (1)
x x+ − =
Giải:
Do
3
( 3 2) 1 3 1 0 cos 0
2
x
b c nên
+ = − + = − ≠ =
không là nghiệm của (1)
ðặt
2
2 2
3 2 1
tan sin 3 cos3
2 1 1
x t t
t x và x
t t
−
= ⇒ = =
+ +
, khi ñó
2 2 2
(1) 2 ( 3 2)(1 ) 1 (1 3) 2 ( 3 3) 0
1
3 3 2 2 2
tan 1 tan 3 ( )
2 2 6 3 9 3
3
t t t t t
t
x x k k
x x k Z
t
π π π π
⇔ + − − = + ⇔ − + + − =
=
⇔ ⇔ = ∨ = ⇔ = + ∨ = + ∈
=
Bài 11.
Tìm m ñể
2sin cos 1 (1)
x m x m
+ = −
có nghiệm
;
2 2
x
π π
−
∈
Giải
Do
(1 ) 0 cos 0
2
x
b c m m nên
+ = + − ≠ =
không là nghiệm của (1)
ðặt
tan
2
x
t =
thì (1)
2
2 2
2 1
2. . 1
1 1
t t
m m
t t
−
⇔ + = −
+ +
2 2 2
4 (1 ) (1 )(1 ) ( ) 4 1 2 0
t m t m t f t t t m
⇔ + − = − + ⇔ = − + − =
Cách 1:
Yêu cầu bài toán
2
( ) 4 1 2 0
f t t t m
⇔ = − + − =
có nghiệm
[
]
1;1
t ∈ −
Xét
( 1) 0 6 2 0 3
f m m
− = ⇔ − = ⇔ =
thỏa mãn
Xét
(1) 0 2 2 0 1
f m m
= ⇔ − − = ⇔ = −
thỏa mãn
Xét
( ) 0
f t
=
có 1 nghiệm
[
]
1;1
t ∈ −
và 1 nghiệm
[
]
1;1
t ∉ −
( 1). (1) (6 2 )( 2 2 ) 0 (2 6)(2 2) 0 1 3
f f m m m m m
⇔ − = − − − < ⇔ − + < ⇔ − < <
Xét
( ) 0
f t
=
có 2 nghiệm t
1
, t
2
thỏa mãn
1 2
1 1
t t
− < ≤ <
' 0;1. ( 1) 0; 1. (1) 0; 1 1
2
S
f f
⇔ ∆ ≥ − > > − < <
, hệ này vô nghiệm
Kết luận: (1) có nghiệm
;
2 2
x
π π
−
∈
1 3
m
⇔ − ≤ ≤
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-
Cách 2:
2
( ) 4 1 2 0
f t t t m
= − + − =
có nghiệm
[
]
1;1
t ∈ −
2
1 1
( ) 2
2 2
g t t t m
= − + =
có nghiệm
[
]
1;1
t ∈ −
Ta có: g’(t) = t – 2 < 0
∀
[
]
1;1
t
∈ −
( )
g t
⇒
nghịch biến trên
[
]
1;1
−
Suy ra tập giá trị g(t) là ñoạn
[
]
[
]
(1); ( 1) 1;3
g g
− ≡ −
. Từ ñó (1) có nghiệm
;
2 2
x
π π
−
∈
( )
g t m
⇔ =
có nghiệm
[
]
1;1
t
∈ −
1 3
m
⇔ − ≤ ≤
II. PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP BẬC 2 VỚI SINX , COSX
1. Phương pháp chung
2 2
sin sin cos cos 0
a x b x x c x d
+ + + =
với
2 2
0 (1)
a b+ >
Bước 1:
Xét cosx = 0 có là nghiệm của (1) hay không
0
a d
⇔ + =
Bước 2:
Xét a + d
0 cos 0
x
≠ ⇒ =
không là nghiệm của (1)
Chia cả 2 vế của (1) cho cos
2
x ≠ 0 ta nhận ñược phương trình
2 2
(1) tan tan (1 tan ) 0
a x b x c d x
⇔ + + + + =
. ðặt t = tanx
2
(1) ( ) ( ) ( ) 0
f t a d t bt c d
⇔ = + + + + =
Bước 3:
Giải và biện luận
( ) 0
f t
= ⇒
nghiệm
0
tan
t x
= ⇒
nghiệm x.
2. Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1.
a. Giải phương trình: sin
2
x + 2sinxcosx + 3cos
2
x – 3 = 0
b. Giải phương trình: sin
2
x – 3sinxcosx +1 = 0
Giải:
a.
sin
2
x + 2sinxcosx + 3cos
2
x – 3 = 0 (1)
Nếu cosx = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1)
2
2
2
cos 0
sin 1
sin 3 0
sin 3
x
x
x
x
=
=
⇒ ⇔
− =
=
⇒
Vô lý. Chia 2 vế của (1) cho cos
2
x ≠ 0 ta nhận ñược
2 2 2
(1) tan 2tan 3 3(1 tan ) 0 2 tan 2tan 0
x x x x x
⇔ + + − + = ⇔ − =
tan 0
2 tan (1 tan ) 0 ( )
tan 1
4
x k
x
x x k Z
x
x k
π
π
π
=
=
⇔ − = ⇔ ⇔ ∈
=
= +
b. sin
2
x – 3sinxcosx +1 = 0 (2)
Nếu cosx = 0 là nghiệm của (2) thì từ (2)
2
cos 0
sin 1 0
x
x
=
⇒ ⇒
+ =
Vô lý
Chia 2 vế của (2) cho cos
2
x ≠ 0 ta nhận ñược phương trình
2 2 2
(2) tan 3tan (1 tan ) 0 2 tan 3tan 1 0
x x x x x
⇔ − + + = ⇔ − + =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6
-
tan 1 tan
4
(tan 1)(2 tan 1) 0 ( )
4
1
tan tan
2
x
x k
x x k Z
x k
x
π
π
π
α π
α
= =
= +
− − = ⇔ ⇔ ∈
= +
= =
Bài 2. a. Giải phương trình:
2 2
5
4 3 sin cos 4cos 2sin
2
x x x x
+ = +
b. GPT:
2 2
5 3
3sin (3 ) 2sin cos 5sin 0
2 2 2
x x x x x
π π π
π
− + + + − + =
Giải:
a.
Phương trình
2 2
5
2sin 4 3 sin cos 4cos 0 (1)
2
x x x x⇔ − − + =
Nếu cosx = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1)
2
5
2sin 0
2
x
⇒ + = ⇒
Vô lý
Chia 2 vế của (1) cho cos
2
x ≠ 0 ta nhận ñược phương trình
2 2 2
5
(1) 2tan 4 3 tan 4 (1 tan ) 0 9tan 8 3 tan 3 0
2
3
tan 3 tan tan tan ( )
3 9 3
x x x x
x x x k x k k Z
π π
α π α π
⇔ − − + + = ⇔ − − =
−
⇔ = = ∨ = = ⇔ = + ∨ = + ∈
b.
2 2
2 2
5 3
3sin (3 ) 2sin cos 5sin 0
2 2 2
3sin 2sin cos 5cos 0 (2)
x x x x x
x x x x
π π π
π
− + + + − + =
⇔ − − =
Nếu cosx = 0 là nghiệm của (2) thì từ (2)
cos 0
sin 0
x
x
=
⇒ ⇒
=
Vô lý
Chia 2 vế của (2) cho cos
2
x ≠ 0 ta nhận ñược phương trình
2
tan 1 tan
4
(2) 3tan 2tan 5 0 ( )
4
5
tan tan
3
x
x k
x x k Z
x k
x
π
π
π
α π
α
−
−
= − =
= +
⇔ − − = ⇔ ⇔ ∈
= +
= =
Bài 3. Giải phương trình: a.
1 1
3 sin cos .4sin 6cos
cos cos
x x b x x
x x
+ = + =
Giải:
a.
2
2
1 3sin cos 1
3 sin cos 3 tan 1 1 tan
cos cos cos
x x
x x x x
x x x
+
+ = ⇔ = ⇔ + = +
2
tan 0
tan 3 tan 0 tan (tan 3) 0 ;
3
tan 3
x
x x x x x k k
x
π
π π
=
⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ +
=
b.
2
2
1 4sin 6cos 1
4sin 6cos 4 tan 6 1 tan
cos cos cos
x x
x x x x
x x x
+
+ = ⇔ = ⇔ + = + ⇔
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7
-
2
tan 1 tan
tan 4tan 5 0 (tan 1)(tan 5) 0 ( )
4 4
tan 5 tan
x x k
x x x x k Z
x x k
π π
π
α α π
− −
= − = = +
− − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈
= = = +
Bài 4. Giải phương trình:
2 2
3
7sin 2sin 2 3cos 3 15 0 (1)
x x x
+ − − =
Giải
Nếu cosx = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1)
2
3
cos 0
7sin 3 15
x
x
=
⇒ ⇒
=
Vô lý
Chia 2 vế của (1) cho cos
2
x ≠ 0 ta nhận ñược phương trình:
2 2
3
7 tan 4tan 3 3 15(1 tan ) 0
x x x
+ − − + =
3
2 2
3 3 3
(7 3 15) tan 4tan (3 3 15) 0 (2). ' 25 12 15 9 15
x x Ta có⇔ − + − + = ∆ = + −
ðặt
3 3
3
5
15 15 25
3
t t t
= ⇒ = ⇒ =
, ta sẽ chứng minh
' 0
∆ <
. Thật vậy, ta có:
3 2
5 5 12
' 9 12 ( 3)
3 3 5
t t t t t t
∆ = − + = − −
. Do
3 3
3
12
(2,4) 15 3 2,4 15 3
5
t
< < ⇔ = < = <
nên suy ra:
' 0
∆ < ⇒
(2) vô nghiệm
⇒
(1) vô nghiệm.
Bài 5. Tìm m ñể:
2
cos 4sin cos 2 0
m x x x m
− + − =
có nghiệm
0;
4
x
π
∈
Giải:
Với
0;
4
x
π
∈
thì cosx ≠ 0 nên chia 2 vế phương trình cho cos
2
x ≠ 0 ta có phương trình
m – 4tanx + (m – 2)(1 + tan
2
x) = 0. ðặt t = tanx
(0;1)
x
∈
Khi ñó: (m – 2)t
2
– 4t + 2m – 2 = 0
2 2
( 2) 2 4 2
m t t t
⇔ + = + + ⇔
2
2
2( 2 1)
( ) .
2
t t
g t m
t
+ +
= =
+
Ta có
2
2 2 2 2
4( 2) 4(2 )( 1)
'( ) 0, (0;1)
( 2) ( 2)
t t t t
g t t
t t
− − − − +
= = > ∀ ∈
+ +
⇒
g(t) tăng / (0; 1)
⇒
g(t) = m có nghiệm t
(
)
(0;1) (0); (1) (1;2)
m g g
∈ ⇔ ∈ ≡
.
Bài 6.
Cho phương trình: sin
2
x + (2m – 2)sinxcosx – (m + 1)cos
2
x = m (1)
a. Giải phương trình khi m = -2. b. Tìm m ñể phương trình có nghiệm.
Giải
Nếu cosx = 0 là nghiệm của phương trình (1) thì từ (1) suy ra
2
2 2
2
1
cos 0 1
sin 1 1
cos 0
sin sin 1
sin
2
m
x m
x m
x
x k
m x
x m
π
π
=
= =
= =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
= +
= =
=
Nếu m ≠ 1 thì cosx = 0 không là nghiệm của (1), khi ñó chia 2 vế của (1) cho cos
2
x ≠ 0 ta có phương trình:
tan
2
x + (2m – 2)tanx – (m + 1) = m(1 + tan
2
x)
2
(tan ) ( 1) tan 2( 1) tan 2 1 0
f x m x m x m
⇔ = − − − + + =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 8
-
a.
Nếu m = - 2 thì (1)
2
3(tan 1) 0
4
x x k
π
π
⇔ − − = ⇔ = +
b.
(1) có nghiệm
2
1
1
1
2 1
1
'0
2 0
m
m
m
m
m
m m
=
=
≠
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
≠
∆
− − + ≥
Bài 7.
Cho phương trình: cos
2
x – sinxcosx – 2sin
2
x – m = 0 (1)
a. Giải phương trình (1) khi m = 1. b. Giải biện luận theo m.
Giải:
a
. Với m = 1 ta có (1)
2 2
cos sin cos 2sin 1 0
x x x x
⇔ − − − =
{
}
(cos 3sin )sin 0 sin 0 cot 3 cot ;
x x x x x x k k
α π α π
⇔ + = ⇔ = ∨ = − = ⇔ ∈ +
b.
1 cos 2 1
(1) sin 2 (1 cos 2 ) 0 3cos 2 sin 2 2 1
2 2
x
x x m x x m
+
⇔ − − − − = ⇔ − = +
3 1 2 1 2 1
cos 2 sin 2 cos(2 )
10 10 10 10
m m
x x x
α
+ +
⇔ − = ⇔ + =
+ Nếu
2 1 1 10 1 10
1
2 2
10
m
m m
+ − − − +
> ⇔ < ∪ >
thì (2) vô nghiệm
+ Nếu
2 1 1 10 1 10
1 ;
2 2
10
m
m
+ − − − +
≤ ⇔ ∈
thì ñặt
2 1
cos
10
m
β
+
=
Khi ñó (1)
(2) cos(2 ) cos
2
x x k
β α
α β π
± −
⇔ ⇔ + = ⇔ = +
Bài 8.
Giải và biện luận: msin
2
x + 4sinxcosx + 2cos
2
x = 0 (1)
Giải:
• m = 0, (1)
cos 0
2cos(2sin cos ) 0 ;
cot 2 cot
2
x
x x x k k
x
π
π α π
α
=
⇔ + = ⇔ ⇔ ∈ + +
= − =
• m ≠ 0 thì (1)
2
tan 4tan 2 0
m x x
⇔ + + =
với
' 4 2
m
∆ = −
+ Nếu m > 2 thì (1) vô nghiệm
+ Nếu m = 2 thì tanx = -1
4
x k
π
π
−
⇔ = +
+ Nếu 0 ≠ m < 2 thì
2 4 2
tan tan
m
x x k
m
β β π
− ± −
= = ⇔ = +
III. PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP BẬC 3 VỚI SINX, COSX
1. Phương pháp chung
3 2 2 3
sin sin cos sin cos cos 0
a x b x x c x x d x
+ + + =
với
2 2 2 2
0 (1)
a b c d+ + + >
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 9
-
3 2 2 3
sin sin cos sin cos cos ( sin cos ) 0
a x b x x c x x d x m x n x
+ + + + + =
Bước 1:
Xét cosx = 0 có là nghiệm của phương trình hay không.
Bước 2:
Xét cosx ≠ 0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của (1) cho cos
3
x ≠ 0 và sử dụng công
thức
2 2
2 3
1 sin
1 tan ; tan (1 tan )
cos cos
x
x x x
x x
= + = +
ta nhận ñược phương trình bậc 3 ẩn tanx.
Bước 3:
Giải và biện luận phương trình bậc 3 ẩn tanx.
2. Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1.
Giải phương trình:
3 3 2
4sin 3cos 3sin sin cos 0 (1)
x x x x x+ − − =
Giải
Nếu cosx = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra
3 3
cos 0 sin 1 sin 1
4sin 3sin 0 4sin 3sin 0
x x x
x x x x
= = ∨ = −
⇔ ⇒
− = − =
Vô lý
Chia 2 vế của (1) cho cos
3
x ≠ 0 ta có (1)
3 2 2
4 tan 3 3tan (1 tan ) tan 0
x x x x
⇔ + − + − =
3 2 2 2 2
tan tan 3tan (1 tan ) tan 0 (tan 1)(tan 3) 0
tan 1 tan 3 ( )
4 3
x x x x x x x
x x x k x k k Z
π π
π π
⇔ − − + − = ⇔ − − =
⇔ = ∨ = ± ⇔ = + ∨ = ± + ∈
Bài 2.
Giải phương trình: sinx.sin2x + sin3x = 6cos
3
x (1)
Giải
3 3
3 2 3
(1) (2sin cos ) 3sin 4sin 6cos
4sin 3sin 2sin cos 6cos 0 (2)
sin x x x x x
x x x x x
⇔ + − =
⇔ − − + =
Nếu cosx = 0 là nghiệm của (2) thì từ 2 suy ra
3 3
cos 0 sin 1 sin 1
4sin 3sin 0 4sin 3sin 0
x x x
x x x x
= = ∨ = −
⇔ ⇒
− = − =
Vô lý
Chia 2 vế của (2) cho cos
3
x ≠ 0 ta có (2)
3 2
tan 2 tan ) 3tan 6 0
x x x
⇔ − − + =
2
(tan 2)(tan 3) 0 tan 2 tan tan 3 ; ( )
3
x x x x x k k k Z
π
α α π π
⇔ − − = ⇔ = = ∨ = ± ⇔ ∈ + ± + ∈
Bài 3.
Giải phương trình: 1 + 3sin2x = 2tanx
Giải:
ðiều kiện:
cos 0 (1)
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 10
-
2 2
2 2 3 2
1 1
1 3sin 2 2 tan 1 6sin cos 2tan 6 tan 2tan .
cos cos
(1 tan ) 6 tan 2tan (1 tan ) 2 tan tan 4tan 1 0
x x x x x x x
x x
x x x x x x x
+ = ⇔ + = ⇔ + =
⇔ + + = + ⇔ − − − =
2
1,2
1,2
tan 1
4
(tan 1)(2 tan 3tan 1) 0 ( )
3 17
tan tan
4
x
x k
x x x k Z
x
x k
π
π
α
α π
= −
= − +
⇔ + − − = ⇔ ⇔ ∈
±
= =
= +
Bài 4.
Giải phương trình:
3
2 sin 2sin (1)
4
x x
π
+ =
Giải
3
3 3
(1) 2 2 sin 4sin 2 sin 4sin (sin cos ) 4sin
4 4
x x x x x x x
π π
⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =
Nếu cosx = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra
3 3
cos 0 sin 1 sin 1
sin 4sin sin 4sin 0
x x x
x x x x
= = ∨ = −
⇔ ⇒
= − =
Vô lý
Chia 2 vế của (1) cho cos
3
x ≠ 0 ta có (1)
3 2
(tan 1) 4tan (1 tan )
x x x
⇔ + = +
3 2 3
tan 3tan 3tan 1 4 tan 4tan
x x x x x
⇔ + + + = +
3 2 2
3tan 3tan tan 1 0 (tan 1)(3tan 1) 0 tan 1
4
x x x x x x x k
π
π
⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = +
Bài 5.
Giải phương trình:
3
8cos cos3
3
x x
π
+ =
Giải:
3
8cos cos3
3
x x
π
+ =
3
8 cos .cos sin .sin cos3
3 3
x x x
π π
⇔ − =
(
)
(
)
3 3
3 3
cos 3 sin 4cos 3cos 3 sin cos 3cos 4cos 0 (1)
x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ − − + =
Nếu cosx = 0 là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra
2 2
cos 0
0 cos sin 1 0 1
sin 0
x
x x
x
=
⇒ = + = ⇒ = ⇒
=
Vô lý
Chia 2 vế của (1) cho cos
3
x ≠ 0 ta có (1)
(
)
( )
3
2
3.tan 1 3 1 tan 4 0
x x
− − + + =
3 2 2
3 2 2
3 3 tan 3( 3 tan ) 3 3 tan 1 3(1 tan ) 4 0
3 3 tan 12 tan 3 3 tan 0 tan ( 3 tan 4tan 3) 0
1
tan 0 tan tan 3 ; ; ( )
6 3
3
x x x x
x x x x x x
x x x x k k k k Z
π π
π π π
⇔ − + − − + + =
⇔ − + = ⇔ − + =
⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ ∈ + + ∈
Bài 6.
Giải phương trình:
3
sin 2 sin (1)
4
x x
π
− =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 11
-
Giải:
3
3
(1) 2 2 sin 4sin 2 sin 4sin
4 4
x x x x
π π
⇔ − = ⇔ − =
3 3 2
3 2 3 3 2
2
(sin cos ) 4sin (tan 1) 4 tan (1 tan )
tan 3tan 3tan 1 4 tan 4tan 3tan 3tan tan 1 0
(tan 1)(3tan 1) 0 tan 1 ( )
4
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x k k Z
π
π
⇔ − = ⇔ − = +
⇔ − + − = + ⇔ + + + =
⇔ + + = ⇔ = − ⇔ = − + ∈
Bài 7.
Giải phương trình:
3
5sin 4 cos
6sin 2cos (1)
2cos 2
x x
x x
x
− =
Giải:
ðiều kiện: cos2x
0 2 (2)
2 4 2
k
x k x
π π π
π
≠ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ +
Với ñiều kiện (2) ta có (1)
3
6sin 2cos 5sin 2 cos
x x x x
⇔ − =
3 3 2
6sin 2cos 5(2sin cos ) cos 3sin cos 5sin cos 0 (3)
x x x x x x x x x⇔ − = ⇔ − − =
Nếu cosx = 0 là nghiệm của (3) thì từ (3) suy ra
2 2
cos 0
0 sin cos 1 0 1
sin 0
x
x x
x
=
⇒ = + = ⇒ = ⇒
=
Vô lý
Chia 2 vế của (3) cho cos
3
x ≠ 0 ta có phương trình:
2 2
2
3tan (1 tan ) 1 5tan 0 (tan 1)(3tan 3tan 1) 0
1 1
(tan 1) 3 tan 0 tan 1 ( )
2 4 4
x x x x x x
x x x x n n Z
π
π
+ − − = ⇔ − + + =
⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = + ∈
Do
4
x n
π
π
= + mẫu thuẫn với (2):
4 2
k
x
π π
≠ + nên phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 8.
3 2
(4 6 )sin 3(2 1)sin 2( 2)sin cos (4 3)cos 0
m x m x m x x m x
− + − + − − − =
a.
Giải phương trình khi m = 2.
b.
Tìm m ñể phương trình có nghiệm duy nhất
0;
4
x
π
∈
Giải:
Nếu cosx = 0 là nghiệm của phương trình thì từ phương trình suy ra:
3 3
cos 0 sin 1 sin 1
(4 6 )sin (6 3)sin 0 (4 6 )sin (6 3)sin 0
x x x
m x m x m x m x
= = ∨ = −
⇔ ⇒
− + − = − + − =
Vô lý
Chia 2 vế của phương trình cho cos
3
x ≠ 0 ta có phương trình:
3 2 2 2
3 2
2
(4 6 ) tan 3(2 1)tan (1 tan ) 2( 2) tan (4 3)(1 tan ) 0
tan (2 1) tan 3(2 1)tan (4 3) 0
(tan 1) (tan 2 tan (4 3) 0 (1)
m x m x x m x m x
x m x m x m
x x m x m
⇔ − + − + + − − − + =
⇔ − + + − − − =
⇔ − − + − =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 12
-
a. Nếu m = 2 thì (1)
2
(tan 1)(tan 4 tan 5) 0
x x x
⇔ − − + =
2
(tan 1) (tan 2) 1 tan 1 ( )
4
x x x x k k Z
π
π
⇔ − − + ⇔ = ⇔ = + ∈
b. ðặt
[ ]
tan 0;1 0;
4
t x x
π
= ∈ ∀ ∈
, khi ñó phương trình
[
]
2
2
1 0 1 0;1
(1) ( 1)( 2 4 3) 0
2 4 3 0
t t
t t mt m
t mt m
− = ⇔ = ∈
⇔ − − + − = ⇔
− + − =
Xét phương trình: t
2
– 2mt + 4m – 3 = 0 với
[
]
0;1
t
∈
2
2
3
3 2 ( 2) ( ) 2 .
2
t
t m t g t m
t
−
⇔ − = − ⇔ = =
−
Ta có
[ ]
2
( 1)( 3)
'( ) 0 0; 1
( 2)
t t
g t t
t
− −
= ≥ ∀ ∈
−
⇒
g(t) ñồng biến trên
[
]
0;1
⇒
Tập giá trị g(t) là
[ ]
3
(0); (1) ; 2
2
g g
=
ðể phương trình (1) có nghiệm duy nhất
0;
4
x
π
∈
thì phương trình g(t) = 2m hoặc vô nghiệm
[
]
0; 1
t
∈
hoặc có ñúng 1 nghiệm t = 1
( ) 2
g t m
⇔ =
vô nghiệm
[
)
2 2 1
0; 1
3 3
2
2 4
m m
t
m m
≥ ≥
∈ ⇔ ⇔
< <
Giáo viên : Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 – Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Giải các phương trình lượng giác sau
Bài 1:
xxx
22
sin12sin3cos +=−
Bài 2:
0sinsincos3sin4cos
233
=+−− xxxxx
Bài 3:
sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
Bài 4:
cotx – 1
xx
x
x
2sin
2
1
sin
tan
1
2cos
2
−+
+
=
Bài 5:
sin3x + cos3x + 2cosx = 0
Bài 6:
sinx – 4sin
3
x + cosx = 0
Bài 7:
)cossin2(cos3sin2sintan
22
xxxxxx +=−
Giáo viên : Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn
BÀI GIẢNG 01.
PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP ðỐI VỚI SIN, COS
(
B
ÀI T
ẬP TỰ LUYỆN)
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 – Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Giải các phương trình lượng giác sau
Bài 1:
2 2
cos 3 sin 2 1 sin
x x x
− = +
Giải:
Do cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia cả 2 vế của PT cho
2
cos 0
x
≠
ta có:
2 2
1 2 3 tan (1 tan ) tan
PT x x x
⇔ − = + +
ðặt t = tanx ta có phương trình:
2
0
2 2 3 0 ( )
3
3
x k
t
t t k Z
x k
t
π
π
π
=
=
+ = ⇔ ⇔ ∈
= − +
= −
Bài 2:
3 3 2
cos 4sin 3cos sin sin 0
x x x x x
− − + =
Giải:
• Khi
2
x k
π
π
= + thì cosx = 0 và sinx =
1
±
thì phương trình vô nghiệm.
• Do cosx = 0 vô nghiệm nên ta chia cả 2 vế của PT cho
3
cos 0
x
≠
ta có:
3 2 2
3 2
2
1 4tan 3tan tan (1 tan ) 0
3tan 3tan tan 1 0
tan 1
4
(tan 1)(3tan 1) 0 ( )
3
tan
3
6
PT x x x x
x x x
x
x k
x x k Z
x
x k
π
π
π
π
⇔ − − + + =
⇔ + − − =
= −
= − +
⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈
= ±
= ± +
Bài 3:
sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
Giải:
2 3 3
2sin cos 3sin 4sin 6cos
PT x x x x x
⇔ + − =
• Khi cosx = 0 và sinx =
1
±
thì phương trình vô nghiệm.
• Do cosx = 0 vô nghiệm nên ta chia cả 2 vế của PT cho
3
cos 0
x
≠
ta có:
2 3
2 2 3
2 2 3
2sin 3sin 1 sin
. 4 6 2tan 3tan (1 tan ) 4tan 6
cos cos cos cos
x x x
x x x x
x x x x
+ − = ⇔ + + − =
3 2 2
tan 2 tan 3tan 6 0 (tan 2)(tan 3) 0
x x x x x
⇔ − − + = ⇔ − − =
BÀI GIẢNG 01.
PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP ðỐI VỚI SIN, COS
(
HƯ
ỚNG DẪN GIẢI
B
ÀI T
ẬP TỰ LUYỆN)
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 – Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
tan 2 tan
( )
tan 3
3
x x k
k Z
x x k
α α π
π
π
= = ⇔ = +
⇔ ∈
= ± ⇔ = ± +
Bài 4:
cotx – 1
2
cos2 1
sin sin 2
1 tan 2
x
x x
x
= + −
+
Giải:
ðiều kiện:
sin 2 0; tan 1.
x x
≠ ≠ −
Ta có:
(
)
2 2
2 2
cos cos sin
cos2 cos sin
cos (cos sin )
sin
1 tan cos sin
1
cos
x x x
x x x
x x x
x
x x x
x
−
−
= = = −
+ +
+
Do ñó:
( )
2 2
1
cot 1 cos sin cos sin sin 2
2
PT x x x x x x
⇔ − = − + −
2
2
2
2
0
cos sin
1 sin 2 cos sin sin (cos sin )
sin
tan 1
cos sin 0
1 sin
1 sin (cos sin )
tan ( cos 0)
cos cos
4
2 tan tan 1 0 ( )
x x
x x x x x x
x
x
x x
x
x x x
x Do x
x x
x k
x x Vô ng
π
π
−
⇔ = − ⇔ − = −
=
− =
⇔ ⇔
= −
= − ≠
= +
⇔
− + =
Bài 5:
sin3x + cos3x + 2cosx = 0
Giải:
(
)
(
)
3 3
3 3
3sin 4sin 4cos 3cos 2cos 0
3sin 4sin 4cos cos 0
PT x x x x x
x x x x
⇔ − + − + =
⇔ − + − =
Vì cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia 2 vế của phương trình cho
3
cos 0
x
≠
ta có:
(
)
(
)
2 3 2
3tan 1 tan 4 tan 4 1 tan 0
PT x x x x
⇔ + − + − + =
3 2
3 2
2
tan
tan tan 3tan 3 0
3 3 0
tan 1
tan
4
( )
( 1)( 3) 0
tan 3
3
t x
x x x
t t t
x k
x
t x
k Z
t t
x
x k
π
π
π
π
=
⇔ − − + + = ⇔
+ − − =
= − +
= −
=
⇔ ⇔ ⇔ ∈
+ − =
= ±
= ± +
Bài 6:
sinx – 4sin
3
x + cosx = 0
Giải:
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 – Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
Vì cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia 2 vế của phương trình cho
3
cos 0
x
≠
ta có:
(
)
(
)
2 3 2
tan 1 tan 4 tan 1 tan 0
PT x x x x
⇔ + − + + =
3 2 2
tan tan
tan 1 ( )
4
3 1 0 ( 1)(3 2 1) 0
t x t x
x x k k Z
t t t t t t
π
π
= =
⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = + ∈
− + + + = − + + =
Bài 7:
2 2
tan sin 2sin 3(cos 2 sin cos )
x x x x x x
− = +
Giải:
(
)
2 2
3 2
2
3 2 2 3 2
3 2 2
3 cos sin sin cos
tan 2tan
cos
tan 2 tan 3(1 tan tan ) tan tan 3tan 3 0
tan 1
tan tan
2
( )
3 3 0 ( 1)( 3) 0
tan 3
3
x x x x
PT x x
x
x x x x x x x
x k
x
t x t x
k Z
t t t t t
x
x k
π
π
π
π
− +
⇔ − =
⇔ − = − + ⇔ + − − =
= − +
= −
= =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈
+ − − = + − =
= ±
= ± +
Giáo viên : Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
I. PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG VÀ NỬA ðỐI XỨNG VỚI SINX, COSX
1. Phương pháp chung
(sinx cos ) sin cos 0
(sinx cos ) sin cos 0
a x b x x c
a x b x x c
+ + + =
− + + =
Bước 1.
ðặt
2
2
1
sinx cos 2 sin 2; 2 sin x cos ( 1)
4 2
1
sinx cos 2 sin 2; 2 sin x cos (1 )
4 2
t x x x t
t x x x t
π
π
= + = + ∈ − ⇒ = −
= − = − ∈ − ⇒ = −
Biến ñổi ñưa về phương trình bậc 2 ẩn t.
Bước 2.
Giải phương trình bậc 2 ẩn t. Từ ñó suy ra nghiệm x.
2. Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1.
Giải phương trình:
2(sinx cos ) sin x cos 1 (1)
x x+ − =
Giải:
ðặt
2
1
sinx cos 2 os 2; 2 sin x cos ( 1)
4 2
t x c x x t
π
= + = − ∈ − ⇒ = −
(1)
2
2 2
2 2 1 0 2 1 2; 2 os os
4 2
t t t c x c
π
α
−
⇔ − + = ⇔ = − ∈ − ⇔ − = =
2 2 ( )
4 4
x k x k k Z
π π
α π α π
⇔ − = ± + ⇔ = ± + ∈
Bài 2.
Giải phương trình:
1 1 10
cos sinx (1)
cos sinx 3
x
x
+ + + =
Giải:
ðiều kiện:
sin x cos 0 (2)
2
k
x x
π
≠ ⇔ ≠
Với ñiều kiện (2) thì (1)
10
sin x cos (sinx cos ) (sinx cos ) sin x cos
3
x x x x
⇔ + + + =
3(sinx cos )(sin x cos 1) 10sin cos
x x x x
⇔ + + =
ðặt
2
1
sinx cos 2 os 2; 2 sin x cos ( 1)
4 2
t x c x x t
π
= + = − ∈ − ⇒ = −
Khi ñó: (1)
( ) ( )
2 2
2 2
1 1
3 1 10. 3 1 10 1
2 2
t t
t t t t
− −
⇔ + = ⇔ + = −
BÀI GIẢNG 02.
PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG
(TÀI LIỆU BÀI GIẢNG)
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
3 2 2
3 10 3 10 0 ( 2)(3 4 5) 0
2 19 2 19
2; 2 2 os
3 4 3
t t t t t t
t c x
π
⇔ − + + = ⇔ − − − =
− −
⇔ = ∈ − ⇔ − =
2 19
os os
4
3 2
c x c
π
α
−
⇔ − = =
2 2 ( )
4 4
x n x n n Z
π π
α π α π
⇔ − = ± + ⇔ = ± + ∈ (thỏa mãn (2))
Bài 3.
Giải phương trình:
3 3
3
1 sin os sin 2 (1)
2
x c x x+ + =
Giải:
( )
3
3
(1) 1 sinx cos 3sin cos (sinx cos ) sin 2
2
x x x x x
⇔ + + − + =
ðặt
2
1
sinx cos 2 os 2; 2 sin x cos ( 1)
4 2
t x c x x t
π
= + = − ∈ − ⇒ = −
Khi ñó (1)
( )
2
3 2 3 2 2
1 3
1 3 1 2 3 3 ( 1) 3( 1)
2 2
t
t t t t t t t
−
⇔ + − = − ⇔ + − − = −
( )
(
)
3 2 2
3 3 5 0 1 2 5 0 1 2; 2
t t t t t t t
⇔ + − − = ⇔ + + − = ⇔ = − ∈ −
1
2 os 1 os 2 ; 2 ( )
4 4 2
2
c x c x x k k k Z
π π π
π π π
−
⇔ − = − ⇔ − = ⇔ ∈ + − + ∈
Bài 4.
Giải phương trình:
2 3
sinx cos 1 sin x cos (1)
3
x x
+ = +
Giải:
ðặt
2
1
sinx cos 2 sin 2; 2 sin x cos ( 1)
4 2
t x x x t
π
= + = + ∈ − ⇒ = −
Khi ñó (1)
( )
2
2 2
2
0; 2
0; 2
6. 1 3
6 1 9
2
t
t
t t
t t
t
∈
∈
⇔ + = ⇔ ⇔
+ =
=
2 sin 1 2 ( )
4 4
t x x k k Z
π π
π
⇔ = ⇔ + = ⇔ = + ∈
Bài 5. Giải phương trình:
sinx-cos 7sin 2 1 (1)
x x
+ =
Giải:
ðặt
2
sinx-cos 2 os 2; 2 sin 2 1
4
t x c x x t
π
= = − + ∈ − ⇒ = −
Khi ñó (1)
2 2
7(1 ) 1 7 6 0
t t t t
⇔ + − = ⇔ − − =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
1 3
2
os os
1
4 4
2
2
6
2
3 2
os os
7
4 7
2
4
x k
c x c
t
x k
t
c x c
x k
π π
π π
π
π
π
α
π
α π
= − +
+ = − =
=
⇔ ⇔ ⇔ = +
−
=
+ = =
= − ± +
(k
)
Z
∈
Bài 6. Giải phương trình:
(1 2)(sinx-cos ) 2sin x cos 1 2 (1)
x x+ + = +
Giải:
ðặt
2
sinx-cos 2 os 2; 2 2sin cos 1
4
t x c x x x t
π
= = − + ∈ − ⇒ = −
.
Khi ñó (1)
(
)
(
)
2 2
1 2 (1 ) 1 2 1 2 2 0 1 2
t t t t t t⇔ + + − = + ⇔ − − + = ⇔ = ∨ =
1 3
os os 1 2 ; 2 ; 2
4 4 2 4
2
c x c x x k k k
π π π π
π π π π
−
⇔ + = ∨ + = − ⇔ ∈ − + + +
(
)
k Z
∈
)
k Z
∈
Bài 7.
Giải phương trình:
sin 2 2 sin =1
4
x x
π
+ −
Giải:
sin 2 2 sin 1 sin 2 (sinx cos ) 1 (1)
4
x x x x
π
+ − = ⇔ + − =
ðặt
2
sinx-cos 2 sin 2; 2 sin 2 1
4
t x x x t
π
= = − ∈ − ⇒ = −
Khi ñó (1)
2
1 1 (1 ) 0 0; 1
t t t t t t
⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = =
sinx cos 0 t anx 1
; 2 ; 2 ( )
1
2 sin 1 sin
4 2
4 4
2
x
x k k k k Z
x x
π π
π π π π
π π
− = =
⇔ ⇔ ⇔ ∈ + + + ∈
− = − =
Bài 8.
Giải phương trình:
sin 3 os3 2(sinx cos ) 1
x c x x
− + + =
(1)
Giải:
(1)
3 3
(3sin 4sin ) (4cos 3cos ) 2(sinx cos ) 1
x x x x x
⇔ − − − + + =
4(sinx cos )(1 sin x cos ) 5(sinx cos ) 1
x x x
⇔ − + − + + =
ðặt t = sinx + cosx
2 sin 2; 2
4
x
π
= + ∈ −
, khi ñó ta có phương trình:
2
2
1
4 1 5 1 ( 1)(2 2 1) 0 1 2
2 4
t
t t t t t t x k
π
π
−
− − + = ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = +
Bài 9.
Giải phương trình:
1 1
2 (2 sin 2 ) t anx + cotx 0
sinx cos
x
x
+ + + + =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
Giải:
ðặt t = sinx + cosx
2 sin 2; 2
4
x
π
= + ∈ −
,
1
t
±
. Biến ñổi ta nhận ñược:
2 2 2 3 2
2
2 2
2 ( 1) 0 2 2 ( 1)(2 2) 0 2 4 2 0
1
t
t t t t t t t
t
+
+ + = ⇔ − + + + = ⇔ + + =
−
2
2 ( 1) 0 0 ( 1) sinx cos 0 t anx 1 ( )
4
t t t t x x k k Z
π
π
⇔ + = ⇒ = ≠ ± ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + ∈
Bài 10.
Tìm m ñể phương trình:
(sinx cos ) sin 2 0
m x x
+ + =
có nghiệm.
Giải:
ðặt t = sinx + cosx
2
2 os 2; 2 sin 2 1
4
c x x t
π
= − ∈ − ⇒ = −
Khi ñó phương trình
2 2
1 0 ( ) 1 0
mt t f t t mt
⇔ + − = ⇔ = + − =
với
2; 2
t
∈ −
ðể ý rằng:
2
1
4 0 ê ( ) 0
m n n f t
∆ = + > =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
t t
Theo ñịnh lý Viet, ta có:
(
)
( )
1
1
1 2 1 2
2
2
2; 2
0 1 2
. 1 . 1
0 1 2
2; 2
t
t
t t t t
t
t
∈ −
< ≤ <
= − ⇒ = ⇒ ⇒
< ≤ <
∈ −
Vậy phương trình ñã cho luôn có nghiệm
m R
∀ ∈
Bài 11.
Tìm m ñể phương trình:
sin 2 4(cos sinx)
x x m
+ − =
có nghiệm.
Giải:
ðặt
cos sinx 2; 2
t x
= − ∈ −
và
2
sin 2 1
x t
= −
, khi ñó phương trình ñã cho
2
( ) 4 1
f t t t m
⇔ = − + + =
với
2; 2
t
∈ −
.
Ta có
'( ) 4 2 0 2; 2 ( )
f t t t f t
= − > ∀ ∈ − ⇒
ñồng biến trên
2; 2
−
⇒
Tập giá trị
( )
f t
là
(
)
(
)
2 , 2 4 2 1;4 2 1
f f
− = − − +
Do ñó phương trình ñã cho có nghiệm
( )
f t m
⇔ =
có nghiệm
2; 2
t
∈ −
4 2 1 4 2 1
m
⇔ − − ≤ ≤ +
Bài 12.
Tìm m ñể:
3 3
sin os
x c x m
− =
có 3 nghiệm phân biệt
[
]
0;
x
π
∈
Giải:
Biến ñổi:
3 3 3
sin os (sinx cos ) 3sin cos (sinx cos )
x c x m x x x x m
− = ⇔ − + − =
ðặt
[ ]
2
1
sinx-cos 2 sin 1; 2 0; sin cos
4 2
t
t x x x x x
π
π
−
= = − ∈ − ∀ ∈ ⇒ =
.
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-
Khi ñó phương trình:
2
3 3 2 3
1
3 2 3 (1 ) 2 ( ) 3 2
2
t
t t m t t t m f t t t m
−
⇔ − = ⇔ + − = ⇔ = − + =
Ta có:
2
'( ) 3 3 0 1
f t t t
= − + = ⇔ = ± ⇒
Bảng biến thiên
Với
(
)
2 1;1
t t= ∨ ∈ − cho ta 1 nghiệm
[
]
0;
x
π
∈
và với mỗi
)
1; 2
t
∈
cho ta 2 nghiệm
[
]
0;
x
π
∈
.
Nên ñể phương trình
3 3
sin os
x c x m
− =
có 3 nghiệm phân biệt
[
]
0;
x
π
∈
thì
( ) 2
f t m
=
phải có 2 nghiệm
t
1
; t
2
sao cho
1 2
2
1 1 2 2 2 2 1
2
t t m m
− < < < < ⇔ < < ⇔ < <
.
II. PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG VỚI TAN, COT
I. CÔNG THỨC SỬ DỤNG
aba
a
ba
b
a
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
2cot2tancot;
2
sin
2
cottan;
cos
sin
)cos(
tancot
sincos
)cos(
cottan;
coscos
)sin(
tantan;
coscos
)sin(
tantan
=−=+
+
=−
−
=+
−
=−
+
=+
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.
Giải phương trình:
)1(4)cot(tan3 =+ xx
Giải:
(1) )(
3
6
2
3
4
32
2sin4
2
sin
32
Znnxnxx
x
∈+=∨+=⇔==⇔=⇔
π
π
π
π
Bài 2. Giải phương trình: )1(cottan4)cos(sin2 xxxx +=+
Giải:
ðiều kiện:
)2(
2
02sin0cossin
π
k
xxxx ≠⇔≠⇔≠
ðặt:
[
]
12sin2;2
4
cos2cossin
2
−=⇒−∈
−=+= txxxxt
π
(1)
)1(022)1(
2
sin
2
)cos(sin2
32
±≠=−−⇔=−⇔=+⇔ ttttt
x
xx
)(2
4
1
4
cos20)12)(2(
2
Znnxxtttt ∈+=⇔=
−⇔=⇔=++−⇔
π
ππ
Bài 3. Giải phương trình:
)1()2sin2(24)cot(tan3 xxx
+
=
+
Giải:
ðiều kiện: )2(
2
02sin0cossin
π
k
xxxx ≠⇔≠⇔≠
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6
-
π
π
nxxxxx
x
+=⇔=⇔=−+⇔+=⇔
4
12sin032sin22sin2sin2
2
sin
3
)1(
2
Bài 4. Giải phương trình:
)1(cos8cot2tan
2
xxx =+
Giải:
ðiều kiện:
02cossin
≠
xx
, ta có
xxxxx
x
x
xx
sin.2cos.cos8coscos8
sin
2
cos
)2cos(
)1(
22
=⇔=
−
⇔
+++∈⇔=∨=⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
224
5
;
224
;
222
1
4sin0cos
0)4sin21(cos0)sin2coscos81(cos
ππππππ
kkk
xxx
xxxxxx
Bài 5. Giải phương trình: )1(2cot2cottan
3
xxx +=
Giải:
ðiều kiện:
)2(
2
02sin02sincossin
π
k
xxxxx ≠⇔≠⇔≠
( )
2
4
2
202cot0cot12cot
2cot2
cossin2
2cos2
2cot2cottan)1(
2
33
ππ
π
π
n
xnxxxx
x
xx
x
xxx
+=⇔+=⇔=⇔=+⇔
=
−
⇔=−⇔
Bài 6. Giải phương trình: )1()2cos2(sin2cottan xxxx
+
=
+
Giải:
ðiều kiện:
)2(
2
02sin0cossin
π
k
xxxx ≠⇔≠⇔≠
2824
12tan02cos
0)2cos2(sin2cos0)2sin1(2cos2sin
1)2cos2(sin2sin)2cos2(sin2
2sin
2
)1(
2
ππππ
n
x
n
xxx
xxxxxx
xxxxx
x
+=∨+=⇔=∨=⇔
=−⇔=−−⇔
=+⇔+=⇔
Bài 7. Giải phương trình: 6 )1(2tan3cot5tan xxx
=
+
Giải:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xxxx
4
cos
2
cos
2
cos
10
sin
.
3
sin
2
2
cos
10
sin
.
3
sin
2
cos
5
cos.2cos
)2sin(
3sincos
)3cos(5
tan2tan)3cot(tan5)1(
222
−
=
⇔
=
⇔
=
⇔
−
=
−
⇔−=+⇔
012cos2cos12)12cos2(2cos2cos10
222
=−−⇔−−=⇔ xxxxx
+±=
+±=
⇔
+±=
+±=
⇔
=−=
==
⇔
π
β
π
α
πβ
πα
β
α
kx
kx
kx
kx
x
x
2
2
22
22
cos
4
1
2cos
cos
3
1
2cos
(thỏa mãn (2)) (n
∈
Z)
Bài 8. Giải phương trình:
[
]
)1(3cot2tan3cot2cot2 xxxx
+
=
−
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7
-
Giải:
ðiều kiện:
)2(03sin4sin02cos3sin2sin
≠
⇔
≠
xxxxx
(
)
[
]
0cossincossin.2
2
cos
.
3
sin
)23cos(
3
sin
.
2
sin
)23sin(2
)1(
222
=−−⇔
−
=
−
⇔
xxxx
x
x
xx
x
x
xx
)3(03sin4sin04sin0cossin22sin0sin0sin
3
=⇒=⇒==⇒=⇔=⇔
xxxxxxxx
Do (2) và (3) mâu thuẫn nhau nên phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 9. Giải phương trình:
)1(
sin
2
3cottan2
x
xx +=+
Giải:
ðiều kiện: )2(
2
02sin0cossin
π
k
xxxx
≠⇔≠⇔≠
x
x
x
x
xxx
sin
2
3
sin
2
tan
sin
2
3)cot(tantan)1( +=+⇔+=++⇔
π
π
nxx
+=⇔=⇔
3
3tan (thỏa mãn (2)) (n
∈
Z)
Bài 10. Giải phương trình:
2
3tan 3 cot 2 2tan (1)
sin 4
x x x
x
+ = +
Giải:
ðiều kiện:
sin 2 sin 4 cos cos3 0 sin 4 cos3 0 (2)
x x x x x x
≠ ⇔ ≠
2
(1) 2(tan3 t anx) (tan3 cot 2 )
sin 4
x x x
x
⇔ − + + =
2sin 2 cos 2
4sin sin 4 2cos cos2 2cos3
os3 cos os3 sin 2 sin 4
x x
x x x x x
c x x c x x x
⇔ + = ⇔ + =
sin x sin 2 0 ( ai)
1
2sin sin 2 (4cos 2 1) 0 os2 os
4cos 2 1 0
4
x lo
x x x c x c
x
α
=
−
⇔ + = ⇔ ⇔ = =
+ =
2 2
2
x k x k
α
α π π
⇔ = ± + ⇔ = ± +
(thỏa mãn (2))
Bài 11. Giải phương trình:
1
2 tan cot 2 2sin 2 (1)
sin 2
x x x
x
+ = +
Giải:
ðiều kiện:
sin 2 0 (2)
2
k
x x
π
≠ ⇔ ≠
Sử dụng:
sin 2 sin os2 cos cos 1
t anx cot 2
cos .sin 2 cos sin sin 2
x x c x x x
x
x x x x x
+
+ = = =
(2)
2
sinx 0
1 2
os2 2 2 ( )
1
2 3 3
os
4
c x x n x n n Z
c x
π π
π π
=
⇔ → = − ⇔ = ± + ⇔ = ± + ∈
=
2 2
(1) t anx (t anx cot ) 2sin 2 (t anx cot )
t anx 4sin cos sinx 4sin cos sinx(1 4cos ) 0
x x x
x x x x x
⇔ + + = + +
⇔ = ⇔ = ⇔ − =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 8
-
(2)
2
sinx 0
1 2
os2 2 2 ( )
1
2 3 3
os
4
c x x n x n n Z
c x
π π
π π
=
⇔ → = − ⇔ = ± + ⇔ = ± + ∈
=
Bài 12. Giải phương trình:
2
3tan 6 2 tan 2 cot 4 (1)
sin8
x x x
x
− = −
Giải:
ðiều kiện:
os6 .sin 8 0
c x x
≠
2 2
tan 27 tan 27 ( )
26 28
k k
x x x x k x x k Z
π π
π
⇔ = ⇒ = ± + ⇔ = ∨ = ∈
1 os4
(1) tan 6 2(tan 6 tan 2 )
sin 4 cos 4 sin 4
c x
x x x
x x x
⇔ + − = −
tan 6 2(tan 6 tan 2 ) tan 4 (tan 6 tan 4 ) 2(tan 6 tan 2 )
0
x x x x x x x x
⇔ + − = ⇔ − + − =
sin 2 2sin 4 1
0 sin 2 4 0
os6 os4 os6 cos 2 os4
x x
x
c xc x c x x c x
⇔ + = ⇔ + =
.
Do
sin8 0
x
≠
nên phương trình chỉ có nghiệm
1
os4 os ( )
4 4 2
k
c x c x k Z
α π
α
= − = ⇔ = ± + ∈
Bài 13. Giải phương trình:
2
3tan 2 4 tan 3 tan 3 .tan 2 (1)
x x x x
− =
Giải:
ðiều kiện:
os2 . os3 0 ; /
4 2 6 3
k k
c x c x x k Z
π π π π
≠ ⇔ ∉ + + ∈
(2)
(1) 3tan 2 3tan 3 tan 3 (1 tan 3 tan 2 ) (3)
x x x x x
⇔ − = +
Nếu
1 tan 3 tan 2 0
x x
+ =
thì từ (3)
tan 2 tan 3 0
1 tan 3 tan 2 0
x x
x x
− =
⇒
+ =
2
tan 2 tan 3
1 tan 3 0
x x
x
=
⇔ ⇒
+ =
Vô lý
1 tan 3 .tan 2 0
x x
⇒ + ≠
Khi ñó
3(tan 2 tan3 )
(1) (3) tan 3 3tan( ) tan3
1 tan 2 tan 3
x x
x x x
x x
−
⇔ ⇔ = ⇔ − =
+
3
3 2
2
3tan tan
3tan 3tan tan 3tan (1 3tan )
1 3tan
x x
x x x x x
x
−
⇔ = − ⇔ − = − −
−
2
2 2
t anx 0
2 tan (5tan 3) 0
3
tan tan
5
x n
x x
x n
x
π
α π
α
=
=
⇔ − = ⇔ ⇔
= ± +
= =
(thỏa mãn (2))
Bài 14. Giải phương trình:
2 3 2 3
t anx tan tan cot cot cot 6 (1)
x x x x x
+ + + + + =
Giải:
ðiều kiện:
sin x cos 0 sin 2 0 (2)
2
k
x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
3 3 2 2
(1) (tan cot ) (tan cot ) (t anx cot ) 6
x x x x x
⇔ + + + + + =
3 2
(t anx cot ) 3tan cot (t anx cot ) (t anx cot ) (t anx c
ot ) 8
x x x x x x
⇔ + − + + + + + =
3 2
(t an cot ) (t an cot ) 2(t anx cot ) 8 0
x x x x x
⇔ + + + − + − =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy TRần Phương
Chuyên ñề 2 –Phương trình lượng giác
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 9
-
ðặt
t anx cot t anx cot 2 t anx cot 2
x t t x x
+ = ⇒ = + ≥ =
Khi ñó
3 2 2
2 8 0 ( 2)( 3 4) 0
t t t t t t
+ − − = ⇔ − + + =
2
3 7 2
( 2) 0 2 t anx cot 2
2 4 sin 2
t t t x
x
⇔ − + + = ⇔ = ⇔ + = =
sin 2 1
4
x x n
π
π
⇔ = ⇔ = +
(thỏa mãn (2)) (
)
n Z
∈
Bài 15.
Giải phương trình:
tan 2 tan 3 tan5 tan 2 .tan 3 .tan 5 (1)
x x x x x x
− − =
Giải:
ðiều kiện:
os2 . os3 . os5 0 (2)
c x c x c x
≠
(1) tan 2 5tan tan3 (1 tan 2 .tan5 ) (3).
x x x x x
⇔ − = +
Nếu
1 tan 2 .tan5 0
x x
+ =
thì
từ (3)
2
tan 2 tan 5 0 tan 2 tan 5
1 tan 2 0
1 tan 2 .tan 5 0
x x x x
x
x x
− = =
⇒ ⇔ + = ⇒
+ =
Vô lý
1 tan 2 .tan 5 0
x x
⇒ + ≠
Khi ñó
tan 2 tan 5
(1) (3) tan3 tan(2 5 ) tan( 3 ) tan3
1 tan 2 .tan5
x x
x x x x x
x x
−
⇔ ⇔ = = − = − = −
+
tan3 0
3
k
x x
π
⇔ = ⇔ =
(thỏa mãn (2))
Bài 16.
Giải phương trình:
2 2 2 2
tan 2 .tan 3 .tan5 tan 2 tan 3 tan 5 (1)
x x x x x x
= − +
Giải:
ðiều kiện:
os2 . os3 . os5 0 (2)
c x c x c x
≠
2 2 2 2
(1) tan 3 tan 2 tan 5 (1 tan 3 tan 2 ) (3)
x x x x x⇔ − = −
Nếu
2 2
1 tan 3 tan 2 0
x x
− =
thì từ (3)
2 2
2 2
tan 3 tan 2 0
1 tan 3 .tan 2 0
x x
x x
− =
⇒
− =
2
2 2 2
2 2 2
2
1
os 2
tan 3 tan 2 tan 2 1
2
3
tan 3 .tan 2 1 tan 3 1
os 2
4
c x
x x x
x x x
c x
=
= =
⇔ ⇔ ⇔ ⇒
= =
=
Vô lý
2 2
1 tan 3 tan 2 0
x x
⇒ − ≠
Khi ñó (1)
tan 3 tan 2 tan 3 tan 2
(3) tan 5 . t anx.tan5
1 tan 3 .tan 2 1 tan3 tan 2
x x x x
x x
x x x x
− +
⇔ ⇔ = =
+ −
(2)
tan 5 0 tan5 0
tan 5 0 ( )
t anx 1 os2 0
5
x x
k
x x k Z
c x
π
= =
⇔ ⇔ → = ⇒ = ∈
= =
Bài 17
. Giải phương trình:
2 2 2
1 1 1
t an x.tan2x + tan 2 .tan 4 tan 4 .tan8 tan8 2
2 4 4
x x x x x
+ = −
Giải:
ðiều kiện:
cos cos2 cos4 cos8 0
x x x x
≠
.
Ta có:
2
1 2
cot 2cot 2 t an tan tan 2 2 tan tan tan 2
t an tan 2
α α α α α α α α
α α
− = ⇒ − = ⇔ − =
