Khóa học LTĐH môn Toán Chuyên đề 04 - Tích phân BG+BT-Thầy Tràn Phương ppsx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.95 MB, 140 trang )
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ðỊNH
1. ðịnh nghĩa:
• Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b), khi ñó hàm số y = F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x)
khi và chỉ khi F′(x) = f(x), ∀x∈(a, b).
• Nếu y = F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y =
f(x) là tập hợp I =
{
}
( )
F x c c R
+ ∈ và tập hợp này còn ñược kí hiệu dưới dấu tích phân bất ñịnh
( ) ( )
I f x dx F x c
= = +
∫
2. Vi phân:
2.1
Giả sử y = f(x) xác ñịnh trên khoảng (a, b) và có ñạo hàm tại ñiểm x∈(a,b).
Cho x một số gia ∆x sao cho (x + ∆x) ∈ (a,b), khi ñó ta có:
• Công thức vi phân theo số gia:
(
)
( ) ( )
{
dy y x x
df x f x x
′
= ∆
′
= ∆
• Công thức biến ñổi vi phân:
Chọn hàm số
y = x ⇒ dy = dx = x’.∆x = ∆x ⇒ dx = ∆x.
Vậy ta có:
(
)
( ) ( )
dy y x x
df x f x x
′
= ∆
′
= ∆
⇔
(
)
( ) ( )
dx
dx
dy y x
df x f x
′
=
′
=
• Nếu hàm số
f(x) có vi phân tại ñiểm x thì ta nói f(x) khả vi tại ñiểm x.
Do
(
)
(
)
df x f x x
′
= ∆
nên f(x) khả vi tại ñiểm x ⇔ f(x) có ñạo hàm tại ñiểm x
2.2. Tính chất:
Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại ñiểm x. Khi ñó:
( ) ( )
(
)
2
; ;
udv vdu
u
d u v du dv d uv udv vdu d
v
v
−
± = ± = + =
2.3 Vi phân của hàm hợp
Nếu
( )
( )
y f u
u g x
=
=
và f, g khả vi thì
( ) ( ) ( )
dx
dy f u du f u u x
′
′
= =
3. Quan hệ giữa ñạo hàm
−
−−
−
nguyên hàm và vi phân:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dx dx
f x F x c F x f x dF x f x
′
= + ⇔ = ⇔ =
∫
4. Các tính chất của nguyên hàm và tích phân
4.1.
Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì
( )
( )
( )
dx
f x f x
′
=
∫
;
( )
(
)
( )
dx dx
d f x f x=
∫
4.2.
Nếu F(x) có ñạo hàm thì:
(
)
(
)
(
)
d F x F x c
= +
∫
4.3. Phép cộng:
Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
BÀI GIẢNG 01.
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC
( TÀI LIỆU BÀI GIẢNG)
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
(
)
(
)
(
)
(
)
dx dx dx
f x g x f x g x+ = +
∫ ∫ ∫
4.4. Phép trừ:
Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
(
)
(
)
(
)
(
)
dx dx dx
f x g x f x g x− = −
∫ ∫ ∫
4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0:
(
)
(
)
dx dx
kf x k f x=
∫ ∫
, ∀k ≠ 0
4.6. Công thức ñổi biến số:
Cho y = f(u) và u = g(x).
Nếu
(
)
(
)
dx
f x F x c
= +
∫
thì
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dx
f g x g x f u du F u c
′
= = +
∫ ∫
5. Nhận xét:
Nếu
( ) ( )
dx
f x F x c
= +
∫
với F(x) là hàm sơ cấp thì ta nói tích phân bất ñịnh
( )
dx
f x
∫
biểu diễn ñược dưới dạng hữu hạn.
Ta có nhận xét:
Nếu một tích phân bất ñịnh biểu diễn ñược dưới dạng hữu hạn thì hàm số dưới dấu tích phân là hàm sơ
cấp và ñiều ngược lại không ñúng, tức là có nhiều hàm số dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp nhưng tích
phân bất ñịnh không biểu diễn ñược dưới dạng hữu hạn mặc dù nó tồn tại. Chẳng hạn các tích phân bất
ñịnh sau tồn tại
2
dx sin cos
dx; ; sin dx; dx; dx
ln
x
x x
e x
x x x
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
nhưng chúng không thể biểu diễn ñược
dưới dạng hữu hạn.
II. TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH
1. ðịnh nghĩa:
Giả sử hàm số f(x) xác ñịnh và bị chặn trên ñoạn [a, b]. Xét một phân hoạch π bất kì của ñoạn [a, b], tức là
chia ñoạn [a, b] thành n phần tuỳ ý bởi các ñiểm chia:
0 1 1
n n
a x x x x b
−
= < < < < =
. Trên mỗi ñoạn
[
]
1
,
k k
x x
−
lấy bất kì ñiểm
[
]
1
,
k k k
x x
ξ
−
∈
và gọi
1
k k k
x x
−
∆ = −
là ñộ dài của
[
]
1
,
k k
x x
−
. Khi ñó:
( )
( ) ( )
( )
1 1 2 2
1
n
k k n n
k
f f f f
ξ ξ ξ ξ
=
∆ = ∆ + ∆ + + ∆
∑
gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên ñoạn [a, b].
Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch
π, số khoảng chia n và phụ thuộc vào cách chọn ñiểm ξ
k
.
Nếu tồn tại
( )
0
1
lim
k
n
k k
Max
k
f
ξ
∆ →
=
∆
∑
(là một số xác ñịnh) thì giới hạn này gọi là tích phân xác ñịnh của hàm số
f(x) trên ñoạn [a, b] và kí hiệu là:
( )
dx
b
a
f x
∫
Khi ñó hàm số
y = f(x) ñược gọi là khả tích trên ñoạn [a, b]
2. ðiều kiện khả tích:
Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn ñiểm gián ñoạn trên [a, b] và các hàm ñơn
ñiệu bị chặn trên [
a, b] ñều khả tích trên [a, b].
3. Ý nghĩa hình học:
Nếu f(x) > 0 trên ñoạn [a, b] thì
( )
dx
b
a
f x
∫
là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các ñường: y =
f(x), x
= a, x = b, y = 0
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
4. Các ñịnh lý, tính chất và công thức của tích phân xác ñịnh:
4.1. ðịnh lý 1:
Nếu f(x) liên tục trên ñoạn [a, b] thì nó khả tích trên ñoạn [a, b]
4.2. ðịnh lý 2:
Nếu f(x), g(x) liên tục trên ñoạn [a, b] và f(x) ≤ g(x),∀x∈[a, b]
thì
( ) ( )
dx dx
b b
a a
f x g x≤
∫ ∫
. Dấu bằng xảy ra ⇔ f(x) ≡ g(x), ∀x∈[a, b]
4.3. Công thức Newton - Leipnitz:
Nếu
(
)
(
)
dx
f x F x c
= +
∫
thì
( ) ( ) ( ) ( )
dx
b
b
a
a
f x F x F b F a
= = −
∫
4.4. Phép cộng:
( ) ( ) ( ) ( )
dx dx dx
b b b
a a a
f x g x f x g x+ = +
∫ ∫ ∫
4.5. Phép trừ:
( ) ( ) ( ) ( )
dx dx dx
b b b
a a a
f x g x f x g x− = −
∫ ∫ ∫
4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0:
( ) ( )
dx dx
b b
a a
kf x k f x=
∫ ∫
, ∀k ≠ 0
4.7. Công thức ñảo cận tích phân:
( ) ( )
dx dx
b a
a b
f x f x= −
∫ ∫
;
( )
dx 0
a
a
f x
=
∫
4.8. Công thức tách cận tích phân:
( ) ( ) ( )
dx dx dx
b c b
a a c
f x f x f x= +
∫ ∫ ∫
4.9. Công thức ñổi biến số:
Cho y = f(x) liên tục trên ñoạn [a, b] và hàm x = ϕ(t) khả vi, liên tục trên ñoạn [m, M] và
[ ]
(
)
[ ]
(
)
, ,
;
t m M t m M
Min t a Max t b
ϕ ϕ
∈ ∈
= =
;
(
)
(
)
;
m a M b
ϕ ϕ
= =
.
Khi ñó ta có:
( ) ( )
[ ]
( )
dx dt
b M
a m
f x f t t
ϕ ϕ
′
=
∫ ∫
4.10. Công thức tích phân từng phần:
Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a, b], khi ñó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dx dx
b b
b
a
a a
u x v x u x v x v x u x
′ ′
= −
∫ ∫
O
y
x
0
a =x
1
ξ
1
x
2
ξ
x
2
k-1
x x
k
x
n
x
n-1
=b
k-1
ξ ξ
k n-1
ξ ξ
n
C
1
2
C
3
C
k-1
N
k
N
n-1
C
n
C
n
N
N
1
C
k
B
1
2
B
B
k
B
n
B
k+1
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
III. Bảng công thức nguyên hàm mở rộng
( )
1
1
dx , 1
1
ax b
ax b c
a
α
α
α
α
+
+
+ = + ≠ −
+
∫
( ) ( )
1
cos dx sin
ax b ax b
a
+ = +
∫
+ c
dx 1
ln
ax b c
ax b a
= + +
+
∫
+ c
( ) ( )
1
sin dx cos
ax b ax b c
a
−
+ = + +
∫
1
dx
ax b ax b
e e c
a
+ +
= +
∫
( ) ( )
1
tg dx ln cos
ax b ax b c
a
+ = − + +
∫
1
dx
ln
ax b ax b
m m c
a m
+ +
= +
∫
( ) ( )
1
cotg dx ln sin
ax b ax b c
a
+ = + +
∫
2 2
dx 1
arctg
x
c
a x a a
= +
+
∫
( )
( )
2
dx 1
cotg
sin
ax b c
ax b a
−
= + +
+
∫
2 2
dx 1
ln
2
a x
c
a x a a x
+
= +
− −
∫
( )
( )
2
dx 1
tg
cos
ax b c
ax b a
= + +
+
∫
(
)
2 2
2 2
dx
ln
x x a c
x a
= + + +
+
∫
2 2
arcsin dx arcsin
x x
x a x c
a a
= + − +
∫
2 2
dx
arcsin
x
c
a
a x
= +
−
∫
2 2
arccos dx arccos
x x
x a x c
a a
= − − +
∫
2 2
dx 1
arccos
x
c
a a
x x a
= +
−
∫
( )
2 2
arctg dx arctg ln
2
x x a
x a x c
a a
= − + +
∫
2 2
2 2
dx 1
ln
a x a
c
a x
x x a
+ +
= − +
+
∫
(
2 2
arccotg dx arccotg ln
2
x x a
x a x c
a a
= + + +
∫
( ) ( )
ln dx ln
b
ax b x ax b x c
a
+ = + + − +
∫
( )
dx 1
ln tg
sin 2
ax b
c
ax b a
+
= +
+
∫
2 2 2
2 2
dx arcsin
2 2
x a x a x
a x c
−
− = + +
∫
( )
dx 1
ln tg
sin 2
ax b
c
ax b a
+
= +
+
∫
(
)
2 2
sin cos
sin dx
ax
ax
e a bx b bx
e bx c
a b
−
= +
+
∫
(
)
2 2
cos sin
cos dx
ax
ax
e a bx b bx
e bx c
a b
+
= +
+
∫
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-
IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại bằng cách
trình bày dưới dạng bổ ñề. Có nhiều cách chứng minh bổ ñề nhưng cách ñơn giản nhất là chứng minh
bằng cách lấy ñạo hàm
1. Ví dụ 1:
Chứng minh:
2 2
dx 1
ln
2
x a
c
x a a x a
−
= +
− +
∫
;
2 2
dx 1
ln
2
a x
c
a x a a x
+
= +
− −
∫
Chứng minh:
2 2
dx 1 1 1 1 dx dx 1
dx ln
2 2 2
x a
c
x a a x a x a a x a x a a x a
−
= − = − = +
− − + − + +
∫ ∫ ∫ ∫
(
)
2 2
dx 1 1 1 1 dx d 1
dx ln
2 2 2
a x a x
c
a x a a x a x a a x a x a a x
− +
= + = − = +
− + − + − −
∫ ∫ ∫ ∫
2. Ví dụ 2:
Chứng minh rằng:
(
)
2 2
2 2
dx
ln
x x a
x a
= + +
+
∫
+ c
Chứng minh:
Lấy ñạo hàm ta có:
( )
( )
2 2
2 2
2 2
1
ln
x a
x x a c
x x a
′
′
+ +
+ + + =
+ +
=
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
x x x a
x x a x a x x a x a x a
+ +
= + = ⋅ =
+ + + + + + +
3. Ví dụ 3:
Chứng minh rằng:
2 2
dx 1
u c
a x a
= +
+
∫
(với
tg
x
u
a
=
)
ðặt
tg
x
u
a
=
,
(
)
,
2 2
u
π π
∈ −
⇒
(
)
( )
2 2
2 2
tg
dx 1 1
1 tg
d a u
du u c
a x a a
a u
= = = +
+
+
∫ ∫ ∫
4. Ví dụ 4:
Chứng minh rằng:
2 2
dx
u c
a x
= +
−
∫
(với sin
x
u
a
=
, a > 0)
ðặt
sin
x
u
a
=
,u∈
,
2 2
π π
−
⇒
(
)
( )
2 2
2 2
dx sin
1 sin
d a u
du u c
a x
a u
= = = +
−
−
∫ ∫ ∫
Bình luận:
Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm
2 2
dx 1
arctg
x
c
a x a a
= +
+
∫
và
2 2
dx
arcsin
x
c
a
a x
= +
−
∫
(a > 0) nhưng sau ñó không giống bất cứ nước nào
trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên ñể
khắc phục lệnh cấm này.
V. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ðƠN GIẢN
V.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN:
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:
1
n
n
x x
=
;
;
m m
n
n km m
n nk
x x x x
= =
1
1 1
;
n
n
n
n
x x
x
x
−
−
= = ;
1
m
n
n m
x
x
−
= ;
1
m
nk
n
k m
x
x
−
=
2. Biến ñổi vi phân:
dx
=
d(x ± 1)
=
d(x ± 2)
=
…
=
d(x ± p)
adx
=
d(ax ± 1)
=
d(ax ± 2)
=
…
=
d(ax ± p)
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6
-
(
)
(
)
1
1 2
dx
x p
x x
d d d
a a a
a
±
± ±
= = = =
⋯
V.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ
1.
3
dx
1
x
x
−
∫
(
)
3
2
1 1 1
dx 1 dx
1 1
x
x x
x x
− +
= = + + +
− −
∫ ∫
=
( )
(
)
2 3 2
1
1 1
1 dx ln 1
1 3 2
d x
x x x x x x c
x
−
+ + + = + + + − +
−
∫ ∫
2.
( )
1
4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx
4
x x x x+ + − +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 5 3
1
2 2 2 2
1 1 2 2
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7
16 16 5 3
x x d x x x c
= + − + + = + − ⋅ + +
∫
3.
(
)
( )
( )
17
2
2
2
d 2
d 1
2 5
2
2 5
x
x
I
x
x
= =
+
+
∫ ∫
1 10
arctg
5
10
x c
= +
4.
(
)
( )
( )
x
dx 1 2 1 1 1 1 2
2 ln
2 +5 ln 2 5ln 2 2 2 5 5ln 2 2 5
2 2 5
x x
x
x x x
x x
d
d c
= = − = +
+ +
+
∫ ∫ ∫
5.
( )
( )
[ ]
5
3 2 3
cos
cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx
1 sin
x
dx x x dx x x x x
x
= + = − +
−
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
3 4
2 3
sin cos
1 sin sin cos cos sin
3 4
x x
x d x xd x x c
= − − = − − +
∫ ∫
V.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ðỌC TỰ GIẢI
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1 2 3 4
dx
x x x x
J
x x
+ + + +
=
∫
;
2
7 3
dx
2 5
x
J
x
−
=
+
∫
;
2
3
3 7 5
dx
2
x x
J
x
− +
=
−
∫
( )
3 2 2 2
4 5 6
10
2 5 7 10 4 9 10 2 3 9
dx ; dx ; dx
1 2 1
1
x x x x x x x
J J J
x x
x
− + − − + − +
= = =
− −
−
∫ ∫ ∫
( ) ( )
3 2 3 2
7 8
15 30
3 4 9 2 5 11 4
dx ; dx
2 1
x x x x x x
J J
x x
− + − + − +
= =
− +
∫ ∫
1
0
2 4 3 2 1 3
39 39 39 39 39
x
arctg arctg arctg
−
= = +
( )
( )
( )
( )
2
4
3
2 4 5
5
9
12 13 14
4
7
3 5
2 3 . 1 dx ; dx ; . 2 3 dx
2 1
x x
J x x J J x x
x
− +
= + − = = +
+
∫ ∫ ∫
( )
9 3
15 16 17
4 2 2
10
5
dx ; dx ; dx
1 1
2 3
x x x
J J J
x x x x
x
= = =
+ − − −
−
∫ ∫ ∫
( )( )
( )( ) ( )( )
18 19 20
2 2 2 2
dx dx dx
; ;
2 5
2 6 2 3
J J J
x x
x x x x
= = =
− +
+ + − +
∫ ∫ ∫
( )( ) ( )( ) ( )( )
21 22 23
2 2 2 2 2 2
dx dx dx
; ;
3 7 3 7 2 2 5 3
x
J J J
x x x x x x
= = =
− − + + + −
∫ ∫ ∫
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7
-
ln2 ln2 ln 2 ln2
2
24 25 26 27
1 0 0 0
dx dx 1
; ; 1dx ; dx
1
1 1
x x
x
x
x x
e e
J J J e J
e
e e
−
= = = + =
+
− +
∫ ∫ ∫ ∫
(
)
(
)
2 2
1 1 1 1
28 29 30 31
2 2 3
0 0 0 0
1 dx 1
dx dx
; ; ; dx
1 1
x x
x
x x x x x
e e
e
J J J J
e e e e e
−
−
+ +
= = = =
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
ln 2 ln4 1
3
32 33 34 35
3
0 0 0 1
dx dx dx 1 ln
; ; ; dx
4 1
e
x
x x x x
e x
J J J J
e e e e x
−
+ − −
+
= = = =
− +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
3 1 1
6
5 2 5 3 3 2
36 37 38
0 0 0
1 dx ; 1 dx ; 1 dx
J x x J x x J x x= + = − = −
∫ ∫ ∫
(
)
2
1 1 1 1
2
39 40 41 42
0 0 0 0
2 1 dx
dx dx
; ; ; 1 dx
4 3 4 2 4
x
x x
x x x x
J J J J e e
− −
+
= = = = +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
Giáo viên : Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Tính nguyên hàm và tích phân của các hàm số sau:
1
( 1)( 2)( 3)( 4)
x x x x
I dx
x x
+ + + +
=
∫
2
13
4
7
3 5
(2 1)
x x
I dx
x
− +
=
+
∫
2
I
=
7 3
2 5
x
dx
x
−
+
∫
4 5 4
9
14
. (2 3)
I x x dx
= +
∫
2
3
3 7 5
2
x x
I dx
x
− +
=
−
∫
9
15
10 4
5
(2 3 )
x
I dx
x
=
−
∫
4
I
=
3 2
2 5 7 10
1
x x x
dx
x
− + −
−
∫
16
2
1
x
I dx
x x
=
+ −
∫
2
5
4 9 10
2 1
x x
I dx
x
− +
=
−
∫
3
17
2
1
x
I dx
x x
=
− −
∫
2
6
10
2 3 9
( 1)
x x
I dx
x
− +
=
−
∫
18
( 2)( 5)
dx
I
x x
=
− +
∫
3 2
7
15
3 4 9
( 2)
x x x
I dx
x
− + −
=
−
∫
19
2 2
( 2)( 6)
dx
I
x x
=
+ +
∫
3 2
8
30
2 5 11 4
( 1)
x x x
I dx
x
+ − +
=
+
∫
20
2 2
( 2)( 3)
dx
I
x x
=
− +
∫
100 3
9
( 3) ( 1)
I x x dx
= + −
∫
21
2 2
( 3)( 7)
xdx
I
x x
=
− −
∫
2 15
10
( 1) (5 2)
I x x dx
= − +
∫
22
2 2
(3 7)( 2)
dx
I
x x
=
+ +
∫
2 33
11
( 3 5)(2 1)
I x x x dx
= + − −
∫
23
2 2
(2 5)( 3)
dx
I
x x
=
+ −
∫
(
)
2 3
5
12
2 3 . ( 1)
I x x dx
= + −
∫
BÀI GIẢNG 01.
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC
( BÀI TẬP TỰ LUYỆN)
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
ln 2
24
1
1
x
dx
I
e
=
−
∫
35
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
ln 2
2
25
0
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
3
5 2
36
0
1
I x x dx
= +
∫
ln 2
26
0
1
x
I e dx
= +
∫
1
5 3 6
37
0
(1 )
I x x dx
= −
∫
ln 2
27
0
1
1
x
x
e
I dx
e
−
=
+
∫
1
3 2
38
0
1
I x x dx
= −
∫
1
28
0
1
x
x
e dx
I
e
−
−
=
+
∫
1
39
0
4 3
x
dx
I =
+
∫
(
)
2
1
29
2
0
1
1
x
x
e dx
I
e
+
=
+
∫
1
40
0
4 2
x x
dx
I
−
=
+
∫
1
30
2
0
x x
dx
I
e e
=
+
∫
(
)
2
1
41
0
2 1
4
x
x
dx
I
−
+
=
∫
1
2
31
3
0
(1 )
x
x
e
I dx
e
+
=
∫
1
2
42
0
1
x x
I e e dx
= +
∫
ln 2
32
3
0
x
dx
I
e
+
=
∫
ln 4
33
0
4
x x
dx
I
e e
−
=
−
∫
1
3
34
0
1
x
x
e dx
I
e
−
−
=
+
∫
Giáo viên : Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Tính nguyên hàm và tích phân của các hàm số sau:
1
( 1)( 2)( 3)( 4)
x x x x
I dx
x x
+ + + +
=
∫
Giải:
4 3 2
1
3
2
5 3 1 1 3 7 5 3 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( 1)( 2)( 3)( 4) 10 35 50 24
2 70
10 35 50 24 4 100 48
7 3
x x x x x x x x
I dx dx
x x
x
x x x x x dx x x x x x C
− − −
+ + + + + + + +
= =
= + + + + = + + + − +
∫ ∫
∫
2
I
=
7 3
2 5
x
dx
x
−
+
∫
Giải:
2
7 3 7 41 7 41
ln 2 5
2 5 2 2(2 5) 2 4
x
I dx dx x x C
x x
−
= = − = − + +
+ +
∫ ∫
2
3
3 7 5
2
x x
I dx
x
− +
=
−
∫
Giải:
2
2
3
3 7 5 3 3
3 1 3ln 2
2 2 2
x x
I dx x dx x x x C
x x
− +
= = − + = − + − +
− −
∫ ∫
4
I
=
3 2
2 5 7 10
1
x x x
dx
x
− + −
−
∫
Giải:
3 2
2 3 2
4
2 5 7 10 6 2 3
2 3 4 4 6ln 1
1 1 3 2
x x x
I dx x x dx x x x x C
x x
− + −
= = − + − = − + − − +
− −
∫ ∫
2
5
4 9 10
2 1
x x
I dx
x
− +
=
−
∫
BÀI GIẢNG 01.
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC
( HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN)
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
Giải:
2
5
4 9 10
2 1
x x
I dx
x
− +
=
−
∫
2
7 13 7 13
2 ln 2 1
2 2(2 1) 2 4
x dx x x x C
x
= − + = − + − +
−
∫
2
6
10
2 3 9
( 1)
x x
I dx
x
− +
=
−
∫
Giải:
2
6
10
2 3 9
( 1)
x x
I dx
x
− +
=
−
∫
2
7 8 9
10
2( 1) ( 1) 8 2 1 8
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1) 7 8 9
x x
d x x x x C
x
− − −
− + + +
= − = − − − − − − +
−
∫
3 2
7
15
3 4 9
( 2)
x x x
I dx
x
− + −
=
−
∫
Giải:
3 2
7
15
3 4 9
( 2)
x x x
I dx
x
− + −
=
−
∫
3 2
15
( 2) 3( 2) 4( 2) 5
( 2)
( 2)
x x x
d x
x
− + − + − −
= −
−
∫
11 12 13 14
1 1 4 5
( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
11 4 13 14
x x x x C
− − − −
= − − − − − − + − +
3 2
8
30
2 5 11 4
( 1)
x x x
I dx
x
+ − +
=
+
∫
Giải:
3 2
8
30
2 5 11 4
( 1)
x x x
I dx
x
+ − +
=
+
∫
3 2
30
2( 1) ( 1) 18
( 1)
( 1)
x x
d x
x
+ − + +
= +
+
∫
26 27 28 29
1 1 15 18
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
13 27 28 29
x x x x C
− − − −
= − + + + + + − + +
100 3
9
( 3) ( 1)
I x x dx
= + −
∫
Giải:
100 3 100 3 2
9
( 3) ( 1) ( 3) ( 3) 12( 3) 42( 3) 60 ( 3)
I x x dx x x x x d x
= + − = + + − + + + + +
∫ ∫
104 103 102 101
( 3) ( 3) 7( 3) 60( 3)
12
104 103 17 101
x x x x
C
+ + + +
= − + + +
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
2 15
10
( 1) (5 2)
I x x dx
= − +
∫
Giải:
2 15
10
( 1) (5 2)
I x x dx
= − +
∫
2 15
1
(5 2) 14(5 2) 49 (5 2) (5 2)
125
x x x d x
= + − + + + +
∫
18 17 16
1 (5 2) 14(5 2) 49(5 2)
125 18 17 16
x x x
C
+ + +
= − + +
2 33
11
( 3 5)(2 1)
I x x x dx
= + − −
∫
Giải:
2 33
11
( 3 5)(2 1)
I x x x dx
= + − −
∫
2 33
1
(2 1) 8(2 1) 13 (2 1) (2 1)
8
x x x d x
= − + − − − −
∫
36 35 34
1 (2 1) 8(2 1) 13(2 1)
8 36 35 34
x x x
C
− − −
= + − +
(
)
2 3
5
12
2 3 . ( 1)
I x x dx
= + −
∫
Giải:
(
)
2 3
5
12
2 3 . ( 1)
I x x dx
= + −
∫
(
)
2 3
5
2( 1) 4( 1) 5 . ( 1) ( 1)
x x x d x
= − + − + − −
∫
18 13 8
13 8 3
5 5 5
5 5 5
5( 1) 20( 1) 25( 1)
2( 1) 4( 1) 5( 1) ( 1)
9 13 8
x x x
x x x d x C
− − −
= − + − + − − = + + +
∫
2
13
4
7
3 5
(2 1)
x x
I dx
x
− +
=
+
∫
Giải:
2
13
4
7
3 5
(2 1)
x x
I dx
x
− +
=
+
∫
( )
4
2
7
1
(2 1) 8(2 1) (2 1) (2 1)
8
x x x d x
−
= + − + + +
∫
10 3 4
7 7 7
1
(2 1) 8(2 1) 12(2 1)
8
x x x dx
−
= + − + + +
∫
17 10 3
7 7 7
7(2 1) 7(2 1) 7(2 1)
136 10 2
x x x
C
+ + +
= − + +
4 5 4
9
14
. (2 3)
I x x dx
= +
∫
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
Giải:
4 5 4
9
14
. (2 3)
I x x dx
= +
∫
( )
13
4
5
9
5 5
9
1 9(2 3)
2 3 (2 3)
10 130
x
x d x C
+
= + + = +
∫
9
15
10 4
5
(2 3 )
x
I dx
x
=
−
∫
Giải:
9
15
10 4
5
(2 3 )
x
I dx
x
=
−
∫
( ) ( )
4 9
10 10 10
5 5
3 1
2 3 (2 3 ) 2 3
10 6
x d x x C
= − − − = − − +
∫
16
2
1
x
I dx
x x
=
+ −
∫
Giải:
16
2
1
x
I dx
x x
=
+ −
∫
(
)
2 2 2
1 1
x x x dx x dx x x dx
= − − = − −
∫ ∫ ∫
( )
3
2 2 2 3 2
2
1 1
( 1) 1 1
3 3
x dx x d x x x C
= − − − = − − +
∫ ∫
3
17
2
1
x
I dx
x x
=
− −
∫
Giải:
(
)
3
3
2 4 3 2
17
2
1 1
1
x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
= = + − = − −
− −
∫ ∫ ∫ ∫
Với tích phân:
' 3 2
17
1
I x x dx
= −
∫
ta ñặt
2 2 2
1 1
t x t x tdt xdx
= − ⇒ = − ⇒ =
( ) ( )
( ) ( )
5 3
' 2 2 5 3 2 2
2 2
17
5 3
5 2 2
2 2
17
1 1 1 1
( 1) 1 1
5 3 5 3
1 1 1
1 1
5 5 3
I t t dt t t C x x C
I x x x C
⇒ = + = + + = − + − +
⇒ = + − + − +
∫
18
( 2)( 5)
dx
I
x x
=
− +
∫
Giải:
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-
18
1 1 1 1 2
ln
( 2)( 5) 7 2 5 7 5
dx x
I dx C
x x x x x
−
= = − = +
− + − + +
∫ ∫
19
2 2
( 2)( 6)
dx
I
x x
=
+ +
∫
Giải:
19
2 2
( 2)( 6)
dx
I
x x
=
+ +
∫
=
2 2
1 1 1 1 1 1
tan tan
4 2 6 4
2 2 6 6
x x
dx acr acr C
x x
= − = − +
+ +
∫
20
2 2
( 2)( 3)
dx
I
x x
=
− +
∫
Giải:
20
2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 1
ln tan
( 2)( 3) 5 2 3 5
2 2 2 3 3
dx x x
I dx acr C
x x x x
x
−
= = − = − +
− + − +
+
∫ ∫
21
2 2
( 3)( 7)
xdx
I
x x
=
− −
∫
Giải:
2
21
2 2 2 2 2
1 1 7
ln
( 3)( 7) 4 7 3 8 3
xdx x x x
I dx C
x x x x x
−
= = − = +
− − − − −
∫ ∫
22
2 2
(3 7)( 2)
dx
I
x x
=
+ +
∫
Giải:
22
2 2 2 2
1 1 1 1 3
tan tan
(3 7)( 2) 3( 2) (3 7)
3 2 2 21 21
dx x x
I dx acr acr C
x x x x
= = − = − +
+ + + +
∫ ∫
23
2 2
(2 5)( 3)
dx
I
x x
=
+ −
∫
Giải:
23
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 2
ln tan
(2 5)( 3) 9 2( 2) 2 5
36 2 2 9 10 10
dx x x
I dx acr C
x x x x
x
−
= = − = − +
+ − − +
+
∫ ∫
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6
-
ln 2
24
1
1
x
dx
I
e
=
−
∫
Giải:
ðặt
2 2
2
2
1 1 2 ( 1)
1
x x x
t
t e t e tdt e dx t dx dx dt
t
= − ⇒ = − ⇒ = = + ⇒ =
+
1 1
24
2 2
1 1
1
2 2
2 tan 2 tan 1
( 1) ( 1) 4
1
e e
t
I dt dt acr t acr e
t t t
e
π
− −
⇒ = = = = − −
+ +
−
∫ ∫
ln 2
2
25
0
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
Giải:
ðặt
2
1 1 2
x x x
t e t e tdt e dx
= + ⇒ = + ⇒ =
3 3
2
2
25
2 2
2 ( 1) 2
2( 1) 2
3
t t
I dt t dt
t
−
⇒ = = − =
∫ ∫
ln 2
26
0
1
x
I e dx
= +
∫
Giải:
ðặt:
2 2
2
2
1 1 2 ( 1)
( 1)
x x x
t
t e t e tdt e dx t dx dx dt
t
= + ⇒ = + ⇒ = = − ⇒ =
−
( )
(
)
( )
2
3 3
2
26
2
2 2
2 2
3 1
3
2 2 1
2 2 ln 2 3 2 ln
1 1 1
2
2 2 1
t t
I dt dt t
t t t
−
−
= = + = + = − +
− − +
−
∫ ∫
ln 2
27
0
1
1
x
x
e
I dx
e
−
=
+
∫
Giải:
(
)
( )
ln 2 ln 2 ln 2
27
0 0 0
1
ln 2
1 2
1 ln 2 2ln 1 ln18
0
1 1 1
x
x x
x
x x x
d e
e e
I dx dx e
e e e
+
−
= = − = = − + = −
+ + +
∫ ∫ ∫
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7
-
1
28
0
1
x
x
e dx
I
e
−
−
=
+
∫
Giải:
(
)
1 1
28
0 0
1
1
2
ln(1 ) ln
0
1 1 1
x
x
x
x x
d e
e dx e
I e
e e e
−
−
−
− −
+
= = − = − + =
+ + +
∫ ∫
(
)
2
1
29
2
0
1
1
x
x
e dx
I
e
+
=
+
∫
Giải:
(
)
2
1 1 1 1
29
2 2 2
0 0 0 0
1
1
2
1 2 1 2 tan 1 2 tan
0
1 1 1 2
x
x x
x
x x x
e dx
e de
I dx dx acr e acr e
e e e
π
+
= = + = + = + = + −
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
1
30
2
0
x x
dx
I
e e
=
+
∫
Giải:
1 1 1
30 28
2
0 0 0
1 1 1 2
1 ln
1 1
x
x x x x
dx e
I dx e dx I
e e e e e e
−
= = − = − = − −
+ + +
∫ ∫ ∫
1
2
31
3
0
(1 )
x
x
e
I dx
e
+
=
∫
Giải:
( )
1 1
2
3 2
31
3 3 2 2 3
0 0
1
(1 ) 1 1 1 7 1 1
2
0
3 3 3
x
x x x
x x x x
e
I dx e e e dx e
e e e e e e
− − −
+
= = + + = − − − = − + +
∫ ∫
ln 2
32
3
0
x
dx
I
e
+
=
∫
Giải:
ln 2 ln 2
32
3 3 3
0 0
1 1
2
x
x
dx
I e dx
e e e
−
+
= = =
∫ ∫
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 8
-
ln 4
33
0
4
x x
dx
I
e e
−
=
−
∫
Giải:
(
)
ln 4 ln 4
33
2
0 0
ln 4
1 2
ln 0
0
4 4 4 2
x
x
x x x x
d e
dx e
I
e e e e
−
−
= = = =
− − +
∫ ∫
1
3
34
0
1
x
x
e dx
I
e
−
−
=
+
∫
Giải:
( )
1 1
3 2
2
34
0 0
1
1
1 ln 1
0
1 1 2
x x
x x x x
x x
e dx e
I e e dx e x e
e e
− −
− − −
− −
−
= = − + − = + + − +
+ +
∫ ∫
2
1 1 1 1
ln
2 2 2
e
e e
+
= + − −
35
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
Giải:
( )
1 3
2 2
35
1 1
1 ln 2 2
(1 ln ) (1 ln ) (1 ln ) 2 2 1
1
3 3
e e
e
x
I dx x d x x
x
+
= = + + = + = −
∫ ∫
3
5 2
36
0
1
I x x dx
= +
∫
Giải:
ðặt:
2
36
848
1
105
t x I= + ⇒ =
1
5 3 6
37
0
(1 )
I x x dx
= −
∫
Giải:
ðặt:
3
37
1
1
168
t x I= − ⇒ =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 9
-
1
3 2
38
0
1
I x x dx
= −
∫
Giải:
ðặt:
2
38
2
1
15
t x I
= − ⇒ =
1
39
0
4 3
x
dx
I =
+
∫
Giải:
(
)
1 1 1
39
0 0 0
4 3
1 1 1 ln 7 ln 4 2 ln 7
4 3 3 ln 4 4 3 3 3ln 4 3 3ln 4
x
x x
d
dx
I dx
+
−
= = − = − = −
+ +
∫ ∫ ∫
1
40
0
4 2
x x
dx
I
−
=
+
∫
Giải:
1 1 2
2
40
3 3 2
0 0 1
2
2 1 1 1 2 1 1 2 1
ln tan
1
4 2 2 1 ln 2 1 ln 2 6 1
3 3
x
x x x
dx dx dt t t t
I acr
t t t
−
+ + −
= = = = + =
+ + + − +
∫ ∫ ∫
(
)
2
1
41
0
2 1
4
x
x
dx
I
−
+
=
∫
Giải:
(
)
( )
2
1 1
4 3 2
4 3 2
41
0 0
2 1
1
2 2.2 2 89
2 2.2 2
0
4 4ln 2 3ln 2 2ln 2 12 ln 2
x
x x x
x x x
x
dx
I dx
−
+
= = + + = + + =
∫ ∫
1
2
42
0
1
x x
I e e dx
= +
∫
Giải:
ðặt:
2
1 1 2
x x x
t e t e tdt e dx
= + ⇒ = + ⇒ =
1
5 3
2 2
42
2
1
2 2
2 ( 1)
5 3
2
e
e
t t
I t t dt
+
+
⇒ = − = − =
∫
Giáo viên : Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ðỔI
1.
2 2
1
arctg
du u
c
u a a a
= +
+
∫
4.
2
du
u c
u
= +
∫
2.
2 2
1
ln
2
du u a
c
u a a u a
−
= +
− +
∫
5.
( )
2 2
arcsin 0
du u
c a
a
a u
= + >
−
∫
3.
2 2
1
ln
2
du a u
c
a u a a u
+
= +
− −
∫
6.
2
2
ln
du
u u p c
u p
= + ± +
±
∫
Kỹ năng biến ñổi tam thức bậc 2:
1.
2
2
2
2
4
2 4
b b ac
ax bx c a x
a a
−
+ + = + −
2.
( )
2
2 2
ax bx c mx n p
+ + = ± + ±
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
I. Dạng 1:
2
dx
A =
ax + bx + c
∫
1. Phương pháp:
( )
2
2
2
dx dx 1
arctg
mx n
c
ax bx c mp p
mx n p
+
= = +
+ +
+ +
∫ ∫
( )
2
2
2
dx dx 1
ln
2
mx n p
c
ax bx c mp mx n p
mx n p
+ −
= = +
+ + + +
+ −
∫ ∫
2. Các bài tập mẫu minh họa
•
( )
( )
( )
( )
1
2 2
2
2
d d 1 d 2 2 1 2 2 3
ln
4 8 1 2
4 3 2 2 3
2 2 3
2 2 3
x x x x
A c
x x
x
x
x
+ + −
= = = = +
+ +
+ +
+ −
+ −
∫ ∫ ∫
3. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải:
1
2
dx
3 4 2
A
x x
=
− −
∫
;
2 3
2 2
dx dx
; ;
4 6 1 5 8 6
A A
x x x x
= =
− + + − +
∫ ∫
2 1 1
4 5 6
2 2 2
1 0 0
dx dx dx
; ;
7 4 3 6 3 2 4 6 3
A A A
x x x x x x
= = =
− + − + − +
∫ ∫ ∫
II. Dạng 2:
(
)
2
mx + n
B = dx
ax + bx + c
∫
1. Phương pháp:
( )
( )
(
)
2 2
2
2 2
dx dx
m mb
ax b n
mx n
a a
B
ax bx c ax bx c
+ + −
+
= =
+ + + +
∫ ∫
=
=
(
)
2
2
2 2
d ax bx c
m mb
n A
a ax bx c a
+ +
+ −
+ +
∫
=
2
ln
2 2
m mb
ax bx c n A
a a
+ + + −
Cách 2:
Phương pháp hệ số bất ñịnh (sử dụng khi mẫu có nghiệm)
• Nếu mẫu có nghiệm kép
0
x x
=
tức là
2 2
0
( )
ax bx c a x x
+ + = −
BÀI GIẢNG 02.
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC HAI
(
TÀI LI
ỆU B
ÀI GI
ẢNG
)
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
thì ta giả sử:
( )
2
2
0
0
mx n
x
ax bx c x x
x x
α β
+
= + ∀
+ + −
−
Quy ñồng vế phải và ñồng nhất hệ số ở hai vế ñể tìm
α
,
β
.
Với
α
,
β
vừa tìm ta có:
(
)
2
dx
mx n
B
ax bx c
+
=
+ +
∫
=
0
0
ln
x x c
x x
β
α
− − +
−
• Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
:
2
1 2
( )( )
ax bx c a x x x x
+ + = − −
thì ta giả sử
2
1 2
mx n
x
ax bx c x x x x
α β
+
= + ∀
+ + − −
Quy ñồng vế phải và ñồng nhất hệ số ở hai vế ñể tìm
α
,
β
.
Với
α
,
β
vừa tìm ta có:
(
)
2
dx
mx n
B
ax bx c
+
=
+ +
∫
=
1 2
ln ln
x x x x c
α β
− + − +
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
1
2
2x +3
B = dx
9x 6x +1
−
∫
( )
( )
2 2 2
1 11
18 6
1 18 6 d 11 d
9 3
d
9 6 1 9 9 6 1 3 9 6 1
x
x x x
x
x x x x x x
− +
−
= = +
− + − + − +
∫ ∫ ∫
(
)
( )
( )
( )
2
2
2
1 9 6 1 11 3 1 2 11
ln 3 1
9 9 6 1 9 9 9 3 1
3 1
d x x d x
x c
x x x
x
− + −
= + = − − +
− + −
−
∫ ∫
3. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải:
(
)
(
)
(
)
1 2 3
2 2 2
7 3 dx 3 4 dx 2 7 dx
; ;
4 6 1 2 7 9 5 8 4
x x x
B B B
x x x x x x
− − −
= = =
− − − + − −
∫ ∫ ∫
;
III. Dạng 3:
2
dx
C =
ax + bx + c
∫
1. Phương pháp:
Bổ ñề:
2
2
ln
du
u u k c
u k
= + + +
+
∫
Biến ñổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:
( )
( ) ( )
2
2 2
dx dx 1
ln
C mx n mx n k c
m
ax bx c
mx n k
= = = + + + + +
+ +
+ +
∫ ∫
( )
( )
2 2
2
dx dx 1
arcsin 0
mx n
C p
m p
ax bx c
p mx n
+
= = = >
+ +
− +
∫ ∫
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
(
)
(
)
2
3
2 2
d 1 d 5
5 45
ln
4 16
2 4
45
4 10 5
5
4
16
x x
C x x c
x x
x
= = = − + − − +
− −
− −
∫ ∫
3. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải:
1 2 3
2 2
2
dx dx dx
; ;
3 8 1 7 8 10
5 12 4 2
C C C
x x x x
x x
= = =
− + − −
− −
∫ ∫ ∫
IV. Dạng 4:
(
)
2
mx + n dx
D =
ax + bx + c
∫
1. Phương pháp:
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
(
)
2 2
2 dx
dx
2 2
ax b
m mb
D
a a
ax bx c ax bx c
+
= −
+ + + +
∫ ∫
=
(
)
2
2
2 2
d ax bx c
m mb
C
a a
ax bx c
+ +
− ⋅
+ +
∫
2. Các bài tập mẫu minh họa:
• D
1
=
(
)
(
)
1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 d 2 d d
2
4 5 4 5 4 5
x x x x x
x x x x x x
+ +
= +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
(
)
( )
( )
(
)
1 1
1
2
2 2
2 2
0
0 0
1 d 4 5 d
2 4 5 2ln 2 4 5
2
4 5
2 1
x x x
x x x x x
x x
x
+ +
= + = + + + + + + +
+ +
+ +
∫ ∫
( ) ( )
3 10
10 5 2ln 3 10 2 ln 2 5 10 5 2 ln
2 5
+
= − + + − + = − +
+
3. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải:
(
)
(
)
(
)
1 2 3
2 2 2
5 4 dx 3 7 dx 8 11 dx
; ;
3 2 1 2 5 1 9 6 4
x x x
D D D
x x x x x x
− + −
= = =
− + − − − −
∫ ∫ ∫
V. Dạng 5:
( )
2
dx
E =
px +q ax + bx + c
∫
1. Phương pháp:
ðặt
2
1 dt 1 1
dx ;
px q p x q
t t p t
−
+ = ⇒ = = −
. Khi ñó:
( )
2
2 2 2
2
dx dt dt
1 1 1
pt
E
px q ax bx c t t
a b
q q c
t p t p t
α β γ
−
= = = ±
+ + + + +
− + − +
∫ ∫ ∫
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
( )
3
1
2
2
dx
E =
x -1 x - 2x + 2
∫
. ðặt
2
2 1
1
1 1
3
1 ;
2
dx
x t
t
x t
x x
dt
t t
t
= ⇒ =
+
= ⇒ =
− = ⇒ =
−
=
Khi ñó:
( )
(
)
(
)
1 2
3
2
1
2 2
2 1
dx dt
E
1
x-1 2 2
1 1
2 2
t
x x
t t
t t
t
−
= =
− +
+ +
− +
∫ ∫
( )
1
1
2
2
1 2
1 2
dt 1 5 2 2 2
ln 1 ln 1 2 ln ln
2
1 5
1
t t
t
+ +
= = + + = + − =
+
+
∫
3. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải:
( ) ( ) ( )
2 3 3
1 2 3
2 2 2
1 2 2
dx dx dx
; ;
2 3 3 1 3 4 2 3 7 1 1
E E E
x x x x x x x x
= = =
+ + − − + + − +
∫ ∫ ∫
VI. Dạng 6:
(
)
( )
2
mx + n dx
F =
px + q ax + bx + c
∫
1. Phương pháp:
( )
( )
( )
( )
2 2
dx
dx
mq
m
px q n
mx n
p p
F
px q ax bx c px q ax bx c
+ + −
+
= =
+ + + + + +
∫ ∫
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
( )
2 2
dx dxm m
mq mq
F n C n E
p p
p p
ax bx c px q ax bx c
= + − = + −
+ + + + +
∫ ∫
2. Các bài tập mẫu minh họa:
(
)
( )
1
1
2
0
2 3 d
1 2 2
x x
F
x x x
+
= =
+ + +
∫
( )
1 1
2 2
0 0
dx dx
2 2
2 2 1 2 2
I J
x x x x x
+ = +
+ + + + +
∫ ∫
1
2
0
dx
2 2
I
x x
=
+ +
∫
( )
( ) ( )
1
1
2
0
2
0
dx 2 5
ln 1 1 1 ln
1 2
1 1
x x
x
+
= = + + + + =
+
+ +
∫
( )
1
2
0
dx
1 2 2
J
x x x
=
+ + +
∫
. ðặt
2
0 1
1
1
1
1
2
dx
x t
x t
x
dt
t
t
= ⇒ =
= ⇒ =
+ = ⇒
−
=
. Khi ñó:
(
)
(
)
1 2
1
2
1
2
2 2
1 2
1 1 2
dt dt 2 2 2
ln 1 ln
1 5
1
1
1 1
1 2 1 2
t
J t t
t
t t
t
− +
= = = + + =
+
+
− + − +
∫ ∫
⇒ F
1
= 2I + J =
(
)
( )
( )
2 5 2 2 2 2 9 4 5
2ln ln ln
1 2 1 5
1 2 1 5
+ + +
+ =
+ +
+ +
•
( )
( )
( )
( )
-3 2 3 2
2
2 2
-2 2
5
1
2 1
x +3 dx
2 2
F = dx
2x +1 -x - 4x -3 2 1 4 3
x
x x x
−
−
+ +
=
+ − − −
∫ ∫
( )
3 2 3 2
2 2
2 2
1 dx 5 dx 1 5
2 2 2 2
4 3 2 1 4 3
I J
x x x x x
− −
− −
= + = +
− − − + − − −
∫ ∫
3 2
2
2
dx
4 3
I
x x
−
−
=
− − −
∫
( )
( )
3 2
3 2
2
2
2
dx
arcsin 2
6
1 2
x
x
π
−
−
−
−
= = + =
− +
∫
( )
3 2
2
2
dx
2 1 4 3
J
x x x
−
−
=
+ − − −
∫
. ðặt
2
1
2
3
1 1
3
1
2 1 ;
2 2
2
dt
2dx
x t
t
x t
x x
t t
t
−
= − ⇒ =
−
−
−
= ⇒ =
+ = ⇒ =
−
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3
2
2 2
1 3 1 2
1 3
1 3
2 2
1 2
1 2
dt 2 dt
1
5 6 1
1 1 1
1 2 1 3
4
1 dt 1 5 3 1 2 1
arcsin arcsin arcsin
2 3 4
5 5 5
3
2
5 5
t
J
t t
t t
t
t
t
− −
− −
−
−
−
−
−
= =
− − −
−
− − − −
+
= = = −
− +
∫ ∫
∫
Vậy
(
)
2
5
5
1 2 1
arcsin arcsin
2 2 12 2 3 4
F I J
π
= + = + −
3. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải:
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
1 1 1
1 2 3
2 2 2
0 0 0
4 7 dx 6 7 dx 7 9 dx
; ;
8 5 3 4 2 2 5 4 4 3 2 1
x x x
F F F
x x x x x x x x x
+ − −
= = =
− − + + − + + + +
∫ ∫ ∫
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-
VII. Dạng 7
:
( )
2 2
xdx
G =
ax + b cx + d
∫
1. Phương pháp:
ðặt
2
2 2 2 2
dt
; dx
t d t
t cx d t cx d x x
c c
−
= + ⇒ = + ⇒ = =
Khi ñó:
( )
( )
2 2 2
2
1 dt 1 dt 1t
G A
c c at bc ad c
a t d
b t
c
= = = ⋅
+ −
−
+
∫ ∫
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
( )
1
1
2 2
0
xdx
G =
5- 2x 6x +1
∫
. ðặt
2
0 1
6 1 1 7
6 dx dt
x t
t x x t
x t
= ⇒ =
= + ⇒ = ⇒ =
=
. Khi ñó:
( )
(
)
( )
7
7 7
1
2 2
2
1 1
1
3 4 7
1 dt 1 dt 1 1 4 1
ln ln
6 2 4 2 8 4 16
16
5 4 7
3
t t
G
t t
t
t
+
+
= = = =
− −
−
−
∫ ∫
3. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải:
( ) ( ) ( )
2 2 1
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 1 0
dx dx dx
; ;
4 3 5 5 11 7 3 8 7 2 1
x x x
G G G
x x x x x x
= = =
− − − − − +
∫ ∫ ∫
VIII. Dạng 8:
( )
2 2
dx
H =
ax + b cx + d
∫
1. Phương pháp:
ðặt
( )
2 2 2 2 2
2
2
2
.
d td dt
xt cx d x t cx d x xdx
t c
t c
−
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
−
−
⇒
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
.
dx xdx td dt t c dt
x xt t c
td t c
cx d
− − −
= = =
−
−
+
. Khi ñó ta có:
( )
(
)
( )
( )
2
2 2
2
2
dx dt dt
H A
ad
bt ad bc
ax b cx d
b t c
t c
− −
= = = =
+ −
+ +
+ −
−
∫ ∫ ∫
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
( )
3
1
2 2
2
dx
H =
x - 2 x +3
∫
. ðặt
2
2
2
3
3
3
3
7
2
2
x t
x
xt x t
x
x t
= ⇒ =
+
= + ⇒ = ⇒
= ⇒ =
và
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2
2
2
3 3 dt
3 1 3 dx
1
1
t
x t x t x x x
t
t
−
= + ⇒ − = ⇒ = ⇒ =
−
−
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
dx dx 3 dt 1 dt
1
3 1
3
x t t
x xt t
t t
x
− − −
= = =
−
−
+
. Khi ñó ta có:
2 3
1
2
7 2
dt
2 5
H
t
= =
−
∫
( )( )
( )( )
2 3
7 2
1 2 5 1 2 2 15 14 2 5
ln ln
2 10 2 5 2 10
2 2 15 14 2 5
t
t
− − +
=
+
+ −
3. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải:
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6
-
( ) ( )
2 2 2
2
1 2 3
2
2 2 2 2
1 1 1
d d 5
; ; d
2
3 1 5 2 3 2 3 1
x x x
H H H x
x
x x x x x x
+
= = =
+
− − + + + −
∫ ∫ ∫
IX. Dạng 9:
(
)
( )
2 2
mx + n dx
I =
ax + b cx + d
∫
1. Phương pháp:
( ) ( )
2 2 2 2
ax ax
xdx dx
I m n mG nH
b cx d b cx d
= + = +
+ + + +
∫ ∫
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
(
)
( )
(
)
[
]
( ) ( )
3 3
1
2 2 2 2
2 2
4x +3 dx 4 1 7
I =
x - 2x - 4 3x - 6x + 5
1 5 3 1 2
x dx
x x
− +
=
− − − +
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
4 7
4 7 4 7
5 3 2 5 3 2 5 3 2
du udu du
u
J L
u u u u u u
+
= = + = −
− + − + − +
∫ ∫ ∫
Xét
( )
2
2 2
1
5 3 2
udu
J
u u
=
− +
∫
. ðặt
2
2 2
2
3 2
3 3
t tdt
t u u udu
−
= + ⇒ = ⇒ =
( )
( )
14
2 14 14
2
2
2 2
1
5 5
5
1 17
ln
17
17
2 17 17
5 3 2
udu tdt dt t
J
t
t t
t
u u
−
= = = =
−
−
+
− +
∫ ∫ ∫
(
)
(
)
( )( )
17 14 17 5
1 17 14 17 5 1
ln ln ln
2 17 17 14 17 5 2 17
17 14 17 5
− +
− −
= − =
+ +
+ −
Xét
( )
2
2 2
1
5 3 2
du
L
u u
=
− +
∫
. ðặt
2 2 2 2 2
2
2
3 2 3 2
3
ut u u t u u
t
= + ⇒ = + ⇒ =
−
⇒
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2 2 3
3
2 3
3 2
3
tdt du udu tdt t dt
udu
u ut t
t t
u
t
− − −
= ⇒ = = =
−
−
+
−
. Khi ñó:
( )
(
)
( )
14 2 14 2
2
2
2 2
2
1 2 2
2
2
17 5
5 3 2
5 3
3
du dt dt
L
t
u u
t
t
= = = =
−
− +
− −
−
∫ ∫ ∫
14 2
2
1 1 17 5
ln
5 2 17 17 5
t
t
+
= ⋅
−
(
)
(
)
( )( )
1 70 2 17 2 5 17
ln
2 85
70 2 17 2 5 17
+ −
=
− +
⇒
(
)
(
)
( )( )
( )( )
( )( )
1
17 14 17 5
4 7 70 2 17 2 5 17
4 7 ln ln
2 17 2 85
17 14 17 5 70 2 17 2 5 17
I J L
− +
+ −
= − = −
+ − − +
•
( )
( )
( )
[
]
( ) ( )
6-1 6 1
2
2 2 2 2
2-1 2 1
2x +1 dx 2 1 1
I =
x + 2x + 6 2x + 4x -1
1 5 2 1 3
x dx
x x
−
−
+ −
=
+ + + −
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
6 6 6
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 1
2 2
5 2 3 5 2 3 5 2 3
u du udu du
J L
u u u u u u
−
= = − = −
+ − + − + −
∫ ∫ ∫
Xét
( )
6
2 2
2
5 2 3
udu
J
u u
=
+ −
∫
. ðặt
2
2 2
3
2 3
2 2
t tdt
t u u udu
+
= − ⇒ = ⇒ =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7
-
( )
( )
6 3 3
2
2
2 2
1 1
2
2 3 1
arctg
13
13
13 13 13
5 2 3
udu tdt dt
J arctg
t
t t
u u
= = = = −
+
+
+ −
∫ ∫ ∫
Xét L =
( )
6
2 2
2
5 2 3
du
u u
+ −
∫
. ðặt
2 2 2 2 2
2
3
2 3 2 3
2
ut u u t u u
t
= − ⇒ = − ⇒ =
−
⇒
( )
2
2
3
2
tdt
udu
t
=
−
⇒
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
3 2
2
3 2
2 3
du udu tdt t dt
u ut t
t t
u
−
= = =
−
−
−
. Khi ñó:
( )
( )
3 6 3 6 3 6
6
2
2 2
2
2
2 1 2 1 2 1 2
2
1
13
3
13 5 5
5 2 3
5 2
5
2
du dt dt dt
L
t
u u
t
t
t
= = = =
−
+ −
−
+ −
−
∫ ∫ ∫ ∫
3 6
1 2
13 5
1 1 1 78 3 5 26 5
ln ln ln
5
2 13 5 13 5 2 65 78 3 5 26 5
t
t
+
+ −
= ⋅ = −
− − +
(
)
(
)
( )( )
2
4 3 1 1 78 3 5 26 5
2 arctg n
13 13 13 2 65
78 3 5 26 5
I J L arctg l
+ +
= − = − −
− −
Giáo viên : Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn
