chuyên đề vật lý '''' bề mặt fermi ''''

Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

1

9.5. Những dao động âm – Magneto
Như chúng ta thấy ở phần 8.8, sự tắt dần của sóng siêu âm không trực tiếp cho
hình dạng của bề mặt fermi. Nhưng nếu từ trường cùng được sử dụng với sóng siêu âm,
khi đó hiện tượng thu được phụ thuộc trực tiếp vào diện mạo hình học của bề mặt.
Những hiện tượng này rất phức tạp trong lý thuyết và trong thực nghiệm; có nhiều
cách khác nhau để sắp xếp chiều của từ trường, vector lan truyền của sóng siêu âm và sự
phân cực của vector sóng, để hoàn thành sự phân tích người ta phải xây dựng hàm dẫn
tổng quát
( , )
q
 
, tương tự như (8.115), nhưng thể hiện qua hệ tọa độ cyclotron như
trong (9.14) hoặc (9.21). Điều này có thể được thực hiện nhưng chắc chắn phức tạp hơn
bởi những hoàn cảnh hình học của nó.

Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

2

Hình 164: Bề mặt Fermi của Đồng.
Tuy nhiên, trường hợp đơn giản sau đây sẽ minh họa các hiệu ứng. Giả sử chúng
ta có từ trường theo trục z và sóng siêu âm ngang, với vector phân cực theo trục y, lan
truyền theo trục x. Xét quỹ đạo thực của electron trong không gian thực. Đối với những
electron tự do quỹ đạo này sẽ là hình xoắn ốc, tức là sẽ thu được hình tròn khi ta chiếu
lên mặt phẳng (x,y). Đối với ‘quỹ đạo’ trong không gian k thì việc chiếu được xác định
dễ dàng. Tổng quát,

e
k H r
c
 
 

(9.45)
Giống như (6.40). Theo sau, lấy tích phân theo thời gian ta được

e
k H r
c
 

(9.46)
Quỹ đạo của k trong không gian k tương tự như quỹ đạo r trong không gian thực
lên mặt phẳng x – y, chỉ khác là nhân thêm
e
H
c

và quay vuông góc với H

Hình 165: (a) Quỹ đạo của electron trong không gian thực.(b) Quỹ đạo trên bề mặt
Fermi.
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

3

Bây giờ ta xét điện trường thiết lập bởi sóng âm học. Cho những mục đích thực
nghiệm chúng ta có thể giải quyết điều này khi dao động điện trường dừng dừng lan
truyền ngang theo chiều lan truyền. Trong thực nghiệm, để làm cho
1
H
 

, chúng ta
cần từ trường đủ mạnh khoảng
H
 

; các electron chuyển động nhiều vòng theo quỹ
đạo của nó trước khi tán xạ hoặc trước khi điện trường thay đổi. Hệ số quan trọng tại thời
điểm đó là sự biến thiên điện trường do những electron chuyển động xung quanh quỹ đạo
của nó. Đó là điều hiển nhiên từ hình 165, nó có thể làm trường này được sắp xếp, nó gia
tốc những electron chuyển động giống như trong quỹ đạo với E và v song song. Điều này
là sự ‘cộng hưởng hình học’; điều kiện hiển nhiên là đường kính của quỹ đạo là số
nguyên lần nữa bước sóng của trường:

1
2 2 ( )
2
x y
c
r k n
eH

  


(9.47)
Đối với bước sóng cố định, sự hấp thụ sẽ biến đổi, khi H biến đổi với định nghĩa
chu kỳ 1/H. Chu kỳ này sẽ cho đường kính của bề mặt Fermi, khi đo tại những điểm nơi
mà vận tốc những electron song song với vector điện trường đươc sinh ra bởi nguồn
sóng.
Tuy nhiên, điều kiện cộng hưởng này (9.47) thì không thật sự chính xác. Có thể
thấy điều này khi ta xét trường hợp quỹ đạo tròn, ở đây

0
( ) sin
y H
v t v t

 (9.48)
( ) sin
x H
x t r t

 (9.49)
Vì thế rằng trong trường
exp( )
y
E iqx
năng lượng hấp thụ trên một chu kỳ sẽ là

2 /
0
0
. exp( sin )sin
B

y x H H
E vdt E v iqr t tdt
 
 

 


2
0
0
exp( sin )sin
y
x
H
E v
iqr d

  




Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

4


0
1

2 ( )
y
x
H
E v
J qr



(9.50)
‘Sự cộng hưởng’ vì vậy là điểm cực đại của hàm Bessel
1
( )
x
J qr
. Thay vì là
1
( )
2
n

trong
(9.47) chúng ta nhận được những số tương tự như 1.22, 2.23, 3.24
1
( )
4
n

. Vì vậy
chúng ta phải quan tâm giải thích hiệu ứng. Hơn nữa mối quan hệ giữa trường biến dạng

của sóng đàn hồi và những lực của các electron được đưa vào trong phép tính và những
ảnh hưởng vị trí của sự cộng hưởng.

Hình 166: Hiệu ứng kích thước R.f. (a) quỹ đạo cực trị; (b) quỹ đạo tán xạ; (c) Chuỗi quỹ
đạo gây ra bởi những lớp bên trong.

Đường kính quỹ đạo của những electron có thể được xác định trực tiếp bởi
Gantmakher hoặc hiệu ứng kích thước r.f. Trở khán bề mặt của một mẫu kim loại rất
tinh khiết, với từ trường song song với bề mặt thì được đo ở tần số radio tùy ý
H
 
 .
Electron được gia tốc ở bên trong sâu trong lớp bề mặt đi theo một quỹ đạo kín, đường
kính sẽ tăng khi H giảm. Khi quỹ đạo này đủ lớn, những electron va chạm ít với bề mặt
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

5

của mẫu kim loại và bị tán xạ. Điện trở bề mặt nhạy với những điện tử ‘linh động’ (8.7;
9.2), những sự thay đổi khi
2
x
r
trong (9.47) bằng với bề dầy của mẫu (hình 166).
Hiện tượng này dẫn tới không sử dụng được điều kiện cộng hưởng cyclotron, và rõ
ràng hơn so với hiệu ứng âm magneto bởi vì bề mặt thật sự là một không gian gián đoạn.
Nhưng những dao động với chu kỳ 1/H được quan sát lại, với sự giao thoa từ những đóng
góp của các nhóm những quỹ đạo cực trị khác nhau. Có điều này là vì ảnh hưởng của
những electron ở sâu bên trong lớp bề mặt của mẫu kết hợp để sinh ra dòng mỏng khoanh
tròn ở đường kính bên dưới bề mặt này. Lớp vỏ mới này đóng vai trò như là nguồn khác

và tạo nên một bộ quỹ đạo. Nếu một chuỗi quỹ đạo có thể thật sự tồn tại bên trong mẫu,
khi đó mẫu sẽ xuất hiện rõ ràng trong trường r.f. hơn chúng ta mong đợi. Nhưng ngay lúc
những electron ở dưới quỹ đạo thấp nhất va chạm với bề mặt này, trở khán thay đổi
mạnh. Với khả năng kết hợp thêm những quỹ đạo cực trị, những quan sát thu được khá
phức tạp. Với những điều này và hiện tượng không công hưởng magnetomorphic thì có
khả năng thu được thông tin chi tiết về bề mặt fermi.
9.6. Sự lượng tử hóa quỹ đạo
Tần số cyclotron
H

giống tần số của dao động điều hòa đơn giản. Chúng ta mong
đợi rằng tìm năng lượng lượng tử hóa trong đơn vị của
H


. Điều này thật tế đúng, mặt
dù một cách tổng quát tuyệt đối chưa được chứng minh.
Xét những electron trong từ trường. Chúng thỏa mãn phương trình schrodinger

2
1
( )
2
e
A
m i c
 
  

(9.51)

Ở đây a là thế vector. Chúng ta cần những trạng thái dừng của hệ này. Ta chọn

(0, ,0)
x
A H (9.52)
Trường H được cho xoắn theo trục z.
Thế (9.52) vào (9.51) ta phải giải

2 2
2
2 2 2
2
( ) 0
ieH m
x
x y c z
  
 
  
    
   
(9.53)
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

6

Phương trình này có một nghiệm dạng

( , , ) exp{ ( )} ( )
z

x y z i y k z u x
 
  (9.54)
Ở đây u(x) thỏa mãn phương trình

2 '
2
2 2
2
{ ( ) } 0
u m eH
x u
x c



   
  
(9.55)
Với
2
2
'
2
z
k
m
 
 


(9.56)
Ở đây sự chuyển động theo trục z song song với trường thật sự giống những electron tự
do, và sự đóng góp cho động năng là tương tự nhau. Nhưng đối với sự chuyển động trong
mặt phẳng (x,y) chúng ta phải giải phương trình mới, có thể viết

2 2
2
2
( ) 1
( ) ( ) ' ( )
2 2
u x eH
x u x u x
m x m mc m



   

 
(9.57)
Tần số

H
eH
mc

 (9.58)
Có một điểm ở tâm

0
1
H
x
m




(9.59)
Vì vậy

1
' ( )
2
H
n
 
 

(9.60)
Và

2
2
1
( )
2 2
H z
n k

m
 
  

 (9.61)
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

7

Đây là kết quả mà sau khi: năng lượng của những trạng thái được diễn tả như tổng
của năng lượng tịnh tiến cùng với từ trường, cùng với năng lượng lượng tử của chuyển
động cylotron trong mặt phẳng tới trường.
Câu hỏi thú vị là - làm thế nào chúng ta điếm được những trạng thái? Giả sử
chúng ta có một cái hợp, như trong phần 1.7, có những cạnh
, ,
x y z
L L L
. Hiển nhiên,
z
k
bị
lượng tử hóa, như thường dùng đơn vị
2
z
L

. Hơn nữa từ dạng (9.54),

bị lượng tử hóa
với đơn vị

2
y
L

. Nhưng chú ý rằng năng lượng thì không phụ thuộc

, vì thế người ta có
thể giả thiết đối với một giá trị được cho của n chúng ta có thể có bất kỳ giá trị nào của


trong một tập vô hạn.
Như biểu diễn trong (9.59), hàm u phụ thuộc vào

ở tâm

0
1
y
H H
v
x
m

 
 

(9.62)
Điều này có nghĩa là nếu những trạng thái của electron hướng theo chiều y với vận
tốc
y

v
thì nó sẽ chuyển động vào trong đường tròn trong từ trường, với tâm là
0
x
. Đường
này phải không quá lớn. Chúng ta phải có
0
x
bên trong cái hợp, vì thế chúng ta có

0
0
x
x L
 
(9.63)
Đây là giới hạn của vị trí tâm này.
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

8


Hình 167: Nghiệm của phương trình schrodinger cho electron trong trường điện từ.

Nhưng dạng (9.62) này mang hạn chế trong dãy giá trị được phép đối với

.
Không chỉ biến này bị lượng tử hóa đơn vị
2
y

L

mà nó phải thỏa mãn
0
H
x x
m
eH
L L
c


  
 
(9.64)
Vì vậy chỉ có

2
y
H
x
L
m
p L




(9.65)
Những giá trị khác của


. mỗi mức của (9.61) tương ứng với một chọn lựa đặt biệt của n
và
z
k
, là suy biến p lần.
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

9

Tất nhiên, từ trường bị chia nhỏ trong sự lượng tử hóa. Những biến số
, ,
x y z
k k k
là
trong hệ tọa độ không gian k thì không còn là những số lượng tử tốt nữa; hàm sống trong
(9.54) không còn phù hợp cho tồn tại những giá trị của những tham số này. Tuy nhiên,
chúng ta hãy sử dụng không gian tương đương này, và chúng ta hãy trình bày p mức mới
có một số giá trị của

được cho bởi (9.61) bởi các bề mặt tương ứng với năng lượng này
trong sơ đồ nguyên bản của chúng ta. Bỏ qua trục tọa độ z, những bề mặt này là những
đường tròn trong mặt phẳng (x,y). Những trạng thái mới không thật sự được đặt ở bất kỳ
điểm nào trong những đường tròn này; chúng sẽ được quay xung quanh với tần số
H

.
Nhưng chúng ta có thể phân loại những mức khác nhau trong từ trường bằng cách đặt tên
những đường tròn mà trên đó chúng được phép.

Hình 168: Sự sắp xếp lượng tử cho những electron tự do: (a) không có từ trường; (b)
trong từ trường.
Thật sự chúng ta có thể kiểm tra tổng số của các mức liên kết với một thể tích vĩ
mô đã cho của không gian k giống như trong sự sắp xếp mới như nó ở trước đó. Chúng ta
có thể sử dụng (9.7); Vùng giữa hai bề mặt năng lượng được phân biệt bởi năng lượng

là
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

10


*
2
2
H
m
A

 


(9.66)
Giả sử rằng

là một lượng tử của tần số cylotron
H


. Nhớ lại rằng mật độ của

những trạng thái được phép trong sơ đồ lượng tử hóa truyền thống là
2
( )/(2 )
x y
L L

trên
một đơn vị diện tích của không gian mặt phẳng
( , )
x y
k k
(phần 1.6). Vì vậy, số trạng thái
của hai quỹ đạo lượng tử là

*
2 2 2
2
(2 ) (2 )
x y x y
H
H
L L L L
m
A p

 
 
 



(9.67)
Do (9.65)
Kết quả này có được sau khi chúng ta chỉ ra sự ảnh hưởng của từ trường để tạo
nên những quỹ đạo lượng tử trong không gian k, và là nguyên nhân của những trạng thái
electron tự do xít lại gần những quỹ đạo nhất. Số trạng thái trên quỹ đạo là số giá trị thật
sự giữa các trạng thái được phép.
Chuyện gì sẽ xảy ra trong trường hợp tổng quát, khi chúng ta đề cập tới những
electron trong tinh thể? Đối với dãy vuông lý thuyết gần cổ điển phần 6.5 là hợp lý.
Phương trình Schrodinger (6.30) cho Hamiiltonian tương đương có nghiệm trong từ
trường mà sẽ thỏa mãn giới hạn của nguyên lý tương ứng ở những số lượng tử lớn, và sẽ
bị lượng tử hóa theo công thức pha số nguyên.

. ( )2
p dr n
 
 



(9.68)
Ở đây n là số nguyên,

là pha hiệu chỉnh (Đặt trưng 1/2), và p và r là những giá trị kết
hợp miêu tả động lượng và tọa độ của hạt khi nó đi trên quỹ đạo.
Chúng ta có thể sử dụng (9.45) để tính tọa độ r của electron trên quỹ đạo không
gian thực, và chúng ta có thể thừa nhận động lượng được tính

e
p k A
c

  (9.69)
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

11

Bằng hình học thường kết quả này thu được là diện tích của quỹ đạo trong không gian k
bị lượng tử hóa

2
( )
n
eH
A n
c


 

(9.70)
Hiển nhiên từ (9.61), (9.66) và (9.5) rằng kết quả đã thu được cho những electron
tự do.
Sự mô tả những mức electron trong từ trường bây giờ được quy định theo cấu trúc
trong không gian k. Chọn một giá trị của n. Trên mỗi mặt phẳng của mặt cắt của bề mặt
fermi tới từ trường , vẽ năng lượng đi vòng quanh diện tích
n
A
. Nối những đường viền
liên tiếp nhau thành hình ống, với trục song song tới H, và hằng số diện tích của mặt cắt
ngang. Vẽ tương tự những đường cho những giá trị của n. Thừa nhận rằng những điểm
cho phép trong quy ước dãy lượng tử hóa tất cả xít gần lại nhau trên ống gần nhất. Điều

này sẽ cho số trạng thái suy biến trong năng lượng phải được thỏa mãn tính tuần hoàn
vòng mỗi ống với tần số cylotron xấp xỉ cho tọa độ của chúng.

Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

12


Hình 169: Những ống đã lượng tử hóa trong những mức từ trường


9.7. Hiệu de Haas – van Alphen
Sự lượng tử hóa này có một vài hiệu ứng thú vị và nổi bậc. Năng lượng của khí
electron phụ thuộc vào độ mạnh của từ trường. Nhưng từ trường lại nhạy cảm (Chúng ta
không xét ảnh hưởng spin ở đây) và độc lập với nhiệt độ, những dao động như là những
sự thay đổi từ trường. Đây là hiệu ứng de Haas – van Alphen.
Để tính toán hiệu ứng này cho hình dạng tổng quát của bề mặt Fermi, Chúng ta có
thể đi tới những điều theo sau. Chúng ta hãy viết năng lượng tự do của hệ; Đối với nhóm
Fermi – Dirac điều này được cho bởi

( )/
ln(1 )
i
kT
t
F N kT e
 


  


(9.71)
Ở đây chúng ta lấy tổng trên tất cả trạng thái tọa độ, của năng lượng
i

, nhưng chúng ta
cố định

thế Fermi bởi số trạng thái lấp đầy (như trong (4.9). Nghĩa là
Đối với hệ của chúng ta các mức lượng tử hóa Landau, năng lượng được cho bởi

( , )
i z
n k
  
  (9.72)
Ở đây n là số lượng tử quỹ đạo như trong (9.61) – nhưng mỗi mức không suy biến, như
trong (9.65). Lấy một đường ống trong tinh thể, với đơn vị là những bề mặt; bởi (9 67)
hoặc (9.70), sẽ có

3
3 2
1
4 2
z
eH
d k dk
c
 



(9.73)
Những trạng thái phụ thuộc độ dài của
z
dk
(được đo theo phương của H) của mỗi ống
trong không gian k. Vì vậy
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

13


2
0
{ ln(1 exp[{ ( , )}/ ])}
2
z z
n
eH
F N kT n k kT dk
c
   





    




(9.74)
Để đánh giá trọn vẹn giá trị này, chúng ta sử dụng Thủ thuật thuần toán học công thức
tổng Poisson. Xét f(x) là một hàm tùy ý . trong dãy n<x<n+1 chúng ta có thể viết

2
( )
ixs
s
s
f x e g






(9.75)
Trong đó

1
2
( )
n
ixs
s
n
g f x e dx





(9.76)
Đây chính là chuỗi Fourier, như trong (1.7). bây giờ chúng ta có thể viết

1
2 ( )
2
1
( )
2
is n
s
s
f n e g


 

 



i s
s
s
e g









1
2
( 1) ( )
n
s ixs
s
n
f x e dx




 


(9.77)
Bây giờ lấy tổng trên tất cả biến x, ta có

0 1
0 0
1
( ) ( ) 2 ( 1) ( )cos2
2
s
n s

f n f x dx f x xsdx

 
 
 
   
 
 
(9.78)
Ta ứng dụng công thức này cho tất cả tổng theo các n trong (9.74)

2
0
{ ln(1 exp[{ ( , )}/ ]) }
2
z z
eH
F N kT n k kT dx dk
c
   

 

    
 



2
1

0
2 { ( 1) ln(1 exp[{ ( , )}/ ])cos2 }
2
s
z z
s
eH
kT n k kT xsdx dk
c
   






    

 

(9.79)
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

14

Hãy tập trung sự chú ý, tích phân trên có dạng

0
ln(1 [{ ( , )}/ ])cos2
z

exe x k kT xsdx
   

  



2 0
0 0
0
2 2 2 2 2
0
1 cos2
[ ( ) ] [ ( ) ]
4 4
x
xs f
f f dx
s kT x s kT x x x
   
 
 


   
  
   

(9.80)
Ở đây chúng ta sử dụng cơ sở

( )/
0
ln(1 )
( )
kT
e
kT f
 



 


(9.81)
Hàm Fermi đã định nghĩa trong (4.8), và chúng ta đã tích hợp hai phần. Ta bỏ qua
phần đầu tiên trong (9.80), bởi vì ta chỉ quan tâm trong phần dao động của năng lượng tự
do. Sử dụng (9.61), chúng ta có định nghĩa

( , ) ( ) ( )
z H z
x k x f k
   
    (9.82)
Vì thế
H
x







và
2
2
0
x




. Ngược lại giới hạn dưới của tích phân có thể là

, khi đó
chỉ có những đóng góp quan trọng cho tích phân từ gần mức Fermi ở đây
 

. Vì vậy,
sự đóng góp cho năng lượng tự do từ mẫu này của phân bố Fermi tỉ lệ

0
8
2 2
( , )
( ) cos2
4
H z
z

k f
I k xs dx
s kT x
 









(9.83)
Trong tích phân này, mặt dù trên danh nghĩa dạng (4.13), không thể được đánh giá bởi
công thức (4.13) bởi vì sự dao động quá nhanh bên trong bề dầy của dãy Fermi. Nhưng
chúng ta có thể sử dụng
0
f
x



có điểm cực đại tại X nơi
( , )
z
X k
 

(9.84)

Ta có thể nói rằng

( , )
2
z
c
X A k
eH




(9.85)
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

15

Ở đây
( , )
z
A k

là diện tích mặt cắt của bề mặt Fermi, ở mức Fermi hiện tại, trong lớp
z
k
.
Chúng ta phân tích tích phân trên điểm này, chú ý tới
0
f
x



là một hàm chẵn của x

0
8
2 2
( ) cos2 ( )
4
H
z
H
kT f
I k xs X d
s kT

  
  



 






0
2 2

2
cos2 cos( )
4
H
H
skT f
sX d
s kT
 
  
  










2
2 2 2
( , ) 2 /
cos( ){ }
4 sinh(2 / )
H z H
H
sc A k skT
s kT eH skT

   
  
 
  



( , )
( , )cos(
z
z
sc A k
g s k
eH

 

(9.86)
Lúc này có lẽ chúng ta nên tập trung, và cố gắng xem chuyện gì đang xảy ra.
Chúng ta đang xét một lớp đặt biệt của bề mặt Fermi. Mức Fermi đã được cố định bởi thể
tích không cần trùng khớp với sự lượng tử hóa quỹ đạo từ trường. Khi trường thay đổi
quỹ đạo bị lượng tử hóa được vẽ phía trong và trên khắp mức Fermi hình 170.



Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

16

Hình 170: (a) Bề mặt Fermi không cần trùng khớp với những quỹ đạo bị lượng tử hóa.

(b) Khi từ trường thay đổi, những mức bị lượng tử hóa xuyên qua những mức Fermi.

Hình 171: Sự chiếm đóng của những mức từ khi từ trường thay đổi.

Chúng ta giả thiết T=0, vì thế sự phân bố Fermi là rõ nét nhất. Chuyện gì sẽ xảy ra
khi quỹ đạo bị lượng tử hóa trên khắp

? Ví dụ giả sử, trường đó là như vậy nằm ở
khoảng giữa hai quỹ đạo (hình 171 (a)). Khi đó số trạng thái bên dưới mức Fermi sẽ thật
sự chính xác nếu không có những mức từ, nhưng tổng năng lượng của khí electron sẽ nhỏ
hơn trong trường hợp không có từ trường,
1
2
H


trên một electron ở mức Fermi. Bây giờ
khi H tăng những electron này sẽ vẽ lên mức fermi (hình 171 (b)) vì thế năng lượng tự
do của chúng tăng đến cực đại. Nhưng khi mức từ xuyên qua mức Fermi, nó bắt đầu trở
nên trống rỗng (hình 171(c)) và năng lượng trung bình của những electron giảm một lần
nữa tới giá trị cực tiểu khi

một lần nữa lại nằm giữa hai quỹ đạo bị lượng tử hóa. Vì
vậy, năng lượng tự do của khí electron dao động đều đặn với chu kỳ được xác định bởi
khoảng giữa của quỹ đạo bị lượng tử hóa và mức Fermi. Điều này có nghĩa là (9.86); Chu
kỳ này xuất phát từ điều kiện

( , )
2
z

sc A k
n
eH




(9.87)
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

17

Hầu hết công thức từ (9.74) tới (9.81) là phương tiện để khai triển dao động như
một chuỗi Fourier, khi thay đổi năng lượng như các mức trên khắp bề mặt Fermi thì
không phải là hàm sin đơn giản. Điều này giải thích hệ số s, dẫn tới sống hài bậc cao.
Chúng ta cũng cho phép bề mặt Fermi không có hình dạng hoàn hảo khi
0
T

;
thật vậy, tất cả các dao động sẽ tồn tại yếu nếu

H
kT



(9.88)
Nói cách khác, từ trường phải đủ mạnh để tạo nên khoảng cách các quỹ đạo của bề dầy
của lớp nhiệt trên bề mặt Fermi.

Nhưng chúng ta vẫn chưa hoàn thành việc khai triển. Điều này là điều đặc biệt,
mặt cắt ở
s
k
; chúng ta phải lấy tổng trên tất cả các mặt khác

2
1
( , )
2 ( 1) ( , )cos(
2
s
z
z z
s
sc A keH
F kT g s k dk
c eH






 




(9.89)

Tích phân này là loại tích phân Fresnel; nó cũng cho biết rằng sự đóng góp chủ yếu xuất
phát từ pha dừng. Chúng ta hãy giả thiết rằng

( , )
0
z
z
A k
k




(9.90)
0
z
k k

. Khai triển tại điểm này:
0
'
z
k k k
 
, và

2 ''
0 0
1
'

2
A A k A
  (9.91)
(Sự dao động của
( , )
z
g s k
có thể bỏ đi và chúng ta cũng hoàn toàn giả định rằng mỗi phần
của bề mặt Fermi có tâm hình học). Vì vậy

2 ''
0 0 0
2
1
1
2 ( 1) ( , ) cos{ ( ' )} '
2 2
s
s
eH sc
F kT g s k A k A dk
c eH





  







1
0
2
0
2
1
0
2
2 ( 1) ( , )( ) cos( )
2 | ''| 4
s
s
sc A
eH eH
kT g s k
c sc A eH




  


 

Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

18


1 1
2 2
0 0
2
1
1
2 ( 1) ( ) | ''| cos( )
2 sinh(2 / ) 4
s
s
H
eH sc
kT A A
sc skT eH

  


  


 
(9.92)
Bởi đặt tính của tích phân Fresnel. Bằng cách vi phân hai lần với sự chú ý tới H, điều này
có thể được đưa ra khi có sự đóng góp của độ nhạy từ tính của kim loại.
Có vẻ công thức rất phức tạp nhưng việc giải thích thì đơn giản. Thay vì xem xét

mặt đơn lẻ, chúng ta đi xem xét toàn bộ chiều dài của ống từ trường phát sinh ra xa bên
ngoài giống như sự gia tăng của từ trường. Như chúng ta thấy ở trên, có sự thay đổi năng
lượng khi mỗi ống xuyên qua mức Fermi. Nhưng khi một ống được phát sinh , tất cả
những điều đó xảy tại những giao điểm của nó với bề mặt Fermi di chuyển lên hoặc
xuống (hình 169) vì thế có một ít ảnh hưởng trên năng lượng, ngoại trừ khi ống rời bề
mặt Fermi một cách hoàn toàn, ở diện tích cực đại hoặc cực tiểu của mặt cắt. Điều này
giải thích sự xuất hiện của
0
A
trong hệ số tuần hoàn. Đối với sóng hài bậc nhất.

0
2 ( )
c
A n
eH
 
 

(9.93)
Trong đó

là sự hiệu chỉnh pha. Vì vậy, chu kỳ của dao động, khi moment từ trường
được vẽ như là hàm của 1/H, cho trực tiếp diện tích mặt cắt cực đại hoặc cực tiểu của bề
mặt Fermi tới từ trường.
Thật vậy, nếu có mặt cắt cực đại và cực tiểu khác đối với bề mặt Fermi, thì mỗi sự
đóng góp mẫu dao động của nó và kết quả moment từ có thể được diễn tả rất phức tạp
như là hàm của trường. Biên độ của dao động sẽ phụ thuộc vào
''
0

A
- độ cong địa phương
của bề mặt Fermi xung quanh mặt cắt cực trị. Nó cũng phụ thuộc vào nhiệt độ xấp xỉ
exp( )
H
kT



vì thế tần số cyclotron trên quỹ đạo dừng có thể được xác định. Nhưng nếu có
tạp chất tán xạ, biên độ sẽ giảm hơn nữa bởi hệ số
1
exp( )
H


tức là nếu như hệ không thể
được làm lạnh dưới nhiệt độ
0
T
kT


.
Những phân tích trên cho năng lượng tự do, và moment từ của khí electron.
Những thuộc tính khác dễ thấy của hệ, như tính dẫn điện và nhiệt, cũng biểu diễn tương
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

19

tự như ảnh hưởng của dao động trong từ trường mạnh. Các phân tích chính thức như vậy
thì phức tạp hơn nhưng nó phụ thuộc vào bản chất các biến của mật độ trạng thái ở mức
Fermi khi trường biến đổi. Những biến đổi tính dẫn điện được gọi là hiệu ứng Haas-
Shubnikov.
9.8. Sự hấp thụ quang học Magneto
Trong bán dẫn mức Landau có thể được xác định trực tiếp bởi phương pháp quang
học. Xét ví dụ, vùng dẫn của những electron với khối lượng hiệu dụng
*
m
là một parabol
đơn giản. Trong từ trường bị lượng tử hóa (9.61) các mức năng lượng nằm trên là một
dãy các parabol trong không gian
z
k
bởi lượng tử từ
H


(hình 172)

Hình 172: (a) Sơ đồ lượng tử hóa từ trường đối với dãy Parabol. (b) mật độ các trạng
thái.
Số lượng các trạng thái được gán cho mỗi đoạn của Parabol được cho bởi (9.67) .
Đối với mỗi số lượng tử từ n, chúng ta có mật độ trạng thái trong kích thước. Hơn nữa từ
những sự đóng góp của tất cả parabol dưới năng lượng

chúng ta nhận được tổng mật
độ hàm trạng thái.

1

3
*
2
2
2 2
1 2 1
( ) ( ) { ( ) }
4 2
H H H
n
m
N n
   


  

 

(9.94)

Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

20


Hình 173: Những sự chuyển đổi qung học Magneto trong bán dẫn với hai vùng của lỗ
trống.
Khi
0

H


, công thức tích phân này là tiêu chuẩn Parabol của hàm mật độ trạng thái
(4.33). Nhưng từ trường sinh ra hiệu ứng kỳ dị van Hove (phần 2.5) của loại
1
2


ở mức
Landau, trong sự hòa hợp với các đối số tổng quát cho hiệu ứng de Haas – van phần 9.7.
Sự dịch chuyển giữa các mức sẽ thu được từ quy luật lựa chọn
1
n
  
; đây là
cách khác để diễn tả cộng hưởng cyclotron (9.2). Nhưng cấu trúc từ trong mật độ trạng
thái thì cũng đủ rộng để được quan sát thấy trong phổ hồng ngoại dịch chuyển sang
những vùng khác, như phần thảo luận ở 8.5. Đây chính là hiệu ứng quang học Maneto cơ
bản.
Để giải thích các quan sát thực ngiệm, người ta phải cho phép lượng tử hóa các
vùng hóa trị, với những giá trị khác nhau của
H

và
*
m
(hình 173). Đối với quá trình
dịch chuyển mạnh sẽ xảy ra mà không cần có từ trường, chúng ta có thể đưa ra phần tử
ma trận (8.40) không phụ thuộc H, và áp đặt một quy tắt lựa chọn

0
n
 
. Sự liên kết của
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

21

mật độ trạng thái (8.73) khi đó có dạng giống như (9.94), với những kỳ dị dạng
1
2
( )
n
 


xuất hiện khi

trùng với tần số cộng hưởng vùng trung gian.

1
( ) ( )
2
n G e h
n
   
     (9.95)
Trong thực tế, tuy nhiên những kỳ dị được mô tả bởi những sự va chạm.
Hiện tượng này do đó cung cấp một phương tiện rất chính xác lập nên bản đồ các
tần số cyclotron

e

và
h

của những electron và lỗ trống, trên khắp các dãy năng lượng
bề mặt hoặc năng lượng vùng cấm. Trong trường hợp không đẳng hướng tổng quát, với
vùng hóa trị suy biến và Parabol không phụ thuộc vào |k|, phổ quang học Magneto có thể
rất phước tạp, nhưng cung cấp bằng chứng vô giá về cấu trúc vùng năng lượng của
electron trong tinh thể.
9.9 Suy sụp Magnetic
Trong suốt chương này chúng ta đã đề cập tới những electron trong những từ
trừng cao. Đặt biệt chúng ta đã nghiên cứu các hiện tượng phát sinh khi những electron
tạo nên nhiều xoắn ốc cyclotron trước khi nó bị tán xạ. Chúng ta thấy rằng một dãy lượng
tử hóa mới bây giờ phù hợp, nơi mà mức từ trường hấp thụ tách biệt cho phép những
trạng thái của dãy Bloch. Tất nhiên, nếu có sự tán xạ, các mức từ sẽ được mở rộng bởi
chính chúng, nhưng quá dài như
1
H
 

hiệu ứng này có thể bỏ qua.
Sự lượng tử hóa mà chúng ta đã đưa ra (9.70), không phải là bất cứ đâu mà phải sử
dụng trong từ trường thật sự lớn. Lý thuyết cổ điển liên quan trong phần 9.6 phụ thuộc
nguyên lý tương đương hamilton phần 6.4; nó chỉ có giá trị khi chúng ta có thể bỏ qua sự
dịch chuyển giữa các vùng. Nếu từ trường rất lớn, khi đó những dịch chuyển phải xảy ra,
bởi hiệu ứng đường ngầm, như trong hiệu ứng Zerner phần 6.8, và onsager Scheme
(9.70) sẽ bị phá vỡ.
Để hiểu hiệu ứng này, dễ nhất là bắt đầu từ trường rất cao, nơi mà hàm sóng
electron là những hạt chuyển động tự do trong từ trường, với thế tinh thể của mạng như

một sự nhiễu loạn. Giới hạn vào hai chiều không gian của từ trường chúng ta có quỹ đạo
tròn trong không gian
( , )
x y
k k
.
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

22

Bây giờ giới thiệu một trạng thái nhiễu loạn dạng
( )
igx
g
g
V x V e


(9.96)
Một chuỗi mặt phẳng cách nhau
2
g

. Khi quỹ đạo xuyên qua vùng biên, chẳn hạn khi
vector sóng hiệu dụng của nó là
x
k
theo chiều x bằng
1
2

g
 , khi đó nó có khả năng nhiễu
xạ Bragg. Thay vì tiếp tục dọc theo AB, thì các quỹ đạo có thể chuyển sang hướng AC,
và vì vậy.


Hình 174: (a) Quỹ đạo electro tự do trong từ trường. (b) Thế tuần hoàn của mạng tinh
thể, những quỹ đạo được liên kết lại tại vùng biên; nhưng trong từ trường mạnh quỹ đạo
có thể nhảy lại quỹ các electron tự do.

Nếu chúng ta tăng cường độ của sự nhiễuloạn, khi đó các quỹ đạo ở A sẽ tách
thành những phần năng lượng, và tuyến AC sẽ được ưu tiên hơn. Những electron bây giờ
sẽ di chuyển trên những quỹ đạo bình thường trong vùng tuần hoàn truyền thống. Phần B
của hình tròn trong hình 174 bây giờ được nối vào những nhánh tách biệt của bề mặt
Fermi, biến đổi khá tách biệt.
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

23

Nếu bây giờ chúng ta tăng từ trường lên, chúng sẽ quay lại theo hướng quỹ đạo
tròn. Thay vì electron luôn đi theo đường AC nó có thể xuyên qua vùng cấm năng lượng,
hoặc ‘xuyên hầm’ vùng mà tách hai quỹ đạo trong không gian tương hỗ và tìm thấy nó
sẽ chuyển động xung quanh B.
Thật vậy chúng ta có thể sử dụng công thức (6.65) cho hiệu ứng suy sụp Zerner để
dự đoán xác suất dịch chuyển. Điện trường E có thể là nguyên nhân gây ra đường hầm
xuyên qua khoảng năng lượng
gap

nếu

0
2
1
( )
gap
eEa



(9.97)
Ở đây
0

là động năng của electron ở vùng cấm; năng lượng Fermi hiệu dụng
F

; và a là
hằng số mạng tương ứng.
Bây giờ một điện tử tiếp cận điểm A trong vùng tuần hoàn có vận tốc

F
k
v
m

 (9.98)
Ở đây
F
k
là bán kính Fermi. Công thức này sẽ không đúng trên vùng biên, bởi vì bề mặt

năng lượng sẽ bị bóp méo do sự tồn tại của vùng cấm năng lượng, nhưng chúng ta giả
thiết rằng điều này là rất nhỏ.
Sự chuyển động của những electron với vận tốc này ngang qua từ trường sẽ sinh ra
lực Lorentz, giống như có điện trường với cường độ

vH
E
c
 (9.99)
Vuông góc với v. Trường này có thể là nguyên nhân của đường hầm nếu (9.97) được thỏa
mãn, nghĩa là nếu tham số

0
2 2
( ) ( )
F F
gap gap
k a
evH a e
H
c mc


 


(9.100)
Trần Văn Thảo Cao học VLLT DHKHTN K19

24

Là lớn hơn phần tử đơn vị. (3.3) sinh ra
F
k
là một số của đơn vị. Sử dụng (9.4), điều
kiện cho suy sụp từ trường trở thành

2
1
( )
H F
gap
 



(9.101)
Điều kiện này thì ít giới hạn hơn, chúng ta sẽ nói rằng sự tách mức của quỹ đạo từ
trường sẽ lớn hơn năng lượng vùng cấm. Đối với một vài kim loại nó trở nên quang
trọng trong những trường của bậc 100kG., và có thể là nguyên nhân của sự xuất hiện
trong hiệu ứng Haas-van Alphen và trong những hiện tượng khác với những quỹ đạo mới
của nhiều vùng khác nhau.