luận văn thạc sỹ mô hình chuỗi thời gian mở trong sự báo chuỗi thời gian

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN







NGUYỄN THỊ KIM LOAN





MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN MỜ
TRONG DỰ BÁO CHUỖI THỜI GIAN





LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN


Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH
Mã số: 60.48.01
Giáo viên hướng dẫn: TS. NGUYỄN CÔNG ĐIỀU

THÁI NGUYÊN - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ CHUỖI THỜI GIAN 5
1. Chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên 5
1.1. Khái niệm chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên 5
1.2. Quá trình ngẫu nhiên dừng 6
1.3. Hàm tự tƣơng quan 7
1.4. Toán tử tiến, toán tử lùi 8
2. Quá trình ARMA 9
2.1. Quá trình tự hồi quy 9
2.2. Quá trình trung bình trƣợt 11
2.3. Quá trình tự hồi quy trung bình trƣợt 13
3. Ƣớc lƣợng tham số mô hình ARMA 15
4. Những hạn chế của mô hình ARMA trong chuỗi thời gian tài chính 16
CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT TẬP MỜ VÀ CHUỖI THỜI GIAN MỜ 23
1. Lý thuyết tập mờ 23
1.1. Tập mờ 23

1.2. Các phép toán trên tập mờ 25
2. Các quan hệ và suy luận xấp xỉ, suy diễn mờ 30
2.1. Quan hệ mờ 30
2.2. Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ 31
3. Hệ mờ 33
3.1. Bộ mờ hoá 33
3.2. Hệ luật mờ 34
3.3. Động cơ suy diễn 35
3.4. Bộ giải mờ 36
3.5. Ví dụ minh hoạ 37
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

CHƢƠNG 3. MỘT SỐ THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG CHUỖI THỜI
GIAN MỜ VÀ MỘT SỐ THUẬT TOÁN CẢI TIẾN 39
1. Một số khái niệm 39
1.1. Định nghĩa tập mờ và chuỗi thời gian mờ 39
1.2. Một số định nghĩa liên quan đến chuỗi thời gian mờ 40
2. Mô hình một số thuật toán dự báo trong mô hình chuỗi thời gian mờ 41
2.1. Mô hình thuật toán của Song và Chissom 41
2.2. Mô hình thuật toán của Chen 42
2.3. Thuật toán của Singh 43
2.4. Mô hình Heuristic cho chuỗi thời gian mờ 45
3. Ứng dụng trong dự báo chứng khoán 48
3.1. Bài toán chỉ số chứng khoán Đài Loan 48
3.2. Xây dựng chƣơng trình 60
KẾT LUẬN 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO 65
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1

MỞ ĐẦU

Chuỗi thời gian đang được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để phân
tích trong kinh tế, xã hội cũng như trong nghiên cứu khoa học. Chính do tầm
quan trọng của phân tích chuỗi thời gian, rất nhiều tác giả đã đề xuất các công
cụ để phân tích chuỗi thời gian.
Trong những năm trước, công cụ chủ yếu để phân tích chuỗi thời gian là
sử dụng các công cụ thống kê như hồi qui, phân tích Furie và một vài công cụ
khác. Nhưng hiệu quả nhất có lẽ là mô hình ARIMA của Box-Jenkins. Mô
hình này đã cho một kết quả khá tốt trong phân tích dữ liệu. Tuy nhiên sự phức
tạp của thuật toán đã gây khó khăn khi ứng dụng trong phân tích chuỗi số liệu,
nhất là khi chuỗi số liệu có những thay đổi phản ánh sự phi tuyến của mô hình.
Để vượt qua được những khó khăn trên, gần đây nhiều tác giả đã sử
dụng mô hình chuỗi thời gian mờ. Khái niệm tập mờ được Zadeh đưa ra từ
năm 1965 và ngày càng tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau
nhất là trong điều khiển và trí tuệ nhân tạo. Trong lĩnh vực phân tích chuỗi thời
gian, Song và Chissom đã đưa khái niệm chuỗi thời gian mờ phụ thuộc vào
thời gian và không phụ thuộc vào thời gian để dự báo. Chen đã cải tiến và đưa
ra phương pháp mới đơn giản và hữu hiệu hơn so với phương pháp của Song
và Chissom. Trong phương pháp của mình, thay vì sử dụng các phép tính tổ
hợp Max- Min phức tạp, Chen đã tính toán bằng các phép tính số học đơn giản
để thiết lập mối quan hệ mờ. Phương pháp của Chen cho hiệu quả cao hơn về
mặt sai số dự báo và độ phức tạp của thuật toán.
Từ các công trình ban đầu về chuỗi thời gian mờ được xuất hiện năm
1993, hiện nay mô hình này đang được sử dụng để dự báo rất nhiều lĩnh vực
trong kinh tế hay xã hội như trong lĩnh vực giáo dục để dự báo số sinh viên
nhập trường, hay trong lĩnh vực dự báo thất nghiệp, trong lĩnh vực dân số,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2

chứng khoán và trong nhiều lĩnh vực khác như tiêu thụ điện, hay dự báo nhiệt
độ của thời tiết…
Tuy nhiên xét về độ chính xác của dự báo, một số thuật toán trên còn
cho kết quả chưa cao. Để nâng cao độ chính xác của dự báo, một số thuật toán
cho moo hình chuỗi thời gian mờ liên tiếp được đưa ra. Chen sử dụng mô hình
bậc cao của chuỗi thời gian mờ để tính toán. Sah và Degtiarev thay vì dự báo
chuỗi thời gian đã sử dụng chuỗi thời gian là hiệu số bậc nhất để nâng cao độ
chính xác. Đây cũng là một phương pháp hay được sử dụng trong mô hình
Box-Jenkins để loại bỏ tính không dừng của chuỗi thời gian. Huarng đã sử
dụng các thông tin có trước trong tính chất của chuỗi thời gian như mức độ
tăng giảm để đưa ra mô hình heuristic chuỗi thời gian mờ.
Trong thời gian gần đây, đề tài này vẫn luôn được một số tác giả nghiên
cứu. Các hướng hiện nay vẫn là tập trung nâng cao độ chính xác dự báo của
mô hình chuỗi thời gian mờ. Bài báo của I-Hong Kuo và các tác giả (2008) đưa
ra phương pháp tăng độ chính xác của dự báo bằng tối ưu các phần tử đám
đông (Particle swarm optimaization). Ching Hsue Cheng và các đồng tác giả
(2008) mở rông nghiên cứu bằng các phương pháp kỳ vọng (Exspectation
method) và Phương pháp lựa chọn mức (Grade Selection Method) thông qua
các ma trận chuyển dịch có trọng. Ngoài ra hiện nay có xu hướng sử dụng kết
hợp các phương pháp khác nhau với chuỗi thời gian mờ như phương pháp
mạng Nơ ron như Cagdas H. Aladag (2008) hay Medey Khascay (2008). Ngay
cả một nhà nghiên cứu sâu trong lĩnh vực này là Huarng cũng đã mở rộng theo
hướng này từ năm 2006. Thuật toán di truyền cũng tìm được ứng dụng trong
hướng nghiên cứu này. Năm 2007 có bài báo của Li-Wei Lee sử dụng mối
quan hệ mờ và thuật toán di truyền để dự báo nhiệt độ và chỉ số tài chính của
Đài Loan. Ngoài ra một số tác giả khác tìm những thuật toán khác đơn giản để
dự báo như bài báo của Singh (2007) hay thuật toán dựa vào trend của chuỗi
thời gian (Baldwin 2000).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
Nghiên cứu dự báo chuỗi thời gian luôn là một bài toán gây được sự chú ý
của các nhà toán học, kinh tế, xã hội học, Các quan sát trong thực tế thường
được thu thập dưới dạng chuỗi số liệu. Từ những chuỗi số liệu này người ta có thể
rút ra được những quy luật của một quá trình được mô tả thông qua chuỗi số liệu.
Nhưng ứng dụng quan trọng nhất là dự báo khả năng xảy ra khi cho một chuỗi số
liệu. Những thí dụ dẫn ra trong các bài báo đều đưa ra khả năng dự báo trong kinh
tế như dự báo chỉ số chứng khoán, mức tăng dân số, dự báo nhu cầu sử dụng điện,
dự báo số lượng sinh viên nhập học của một trường đại học Các thí dụ này đều
có thể dẫn ra trong mỗi ngành kinh tế kỹ thuật.
Như đã trình bày ở phần trên, có khá nhiều phương pháp dự báo chuỗi thời
gian. Thông thường để dự báo, người ta sử dụng một công cụ khá mạnh của thống
kê là mô hình ARIMA. Mô hình này thích ứng hầu hết cho chuỗi thời gian dừng
và tuyến tính. Trong mỗi bộ chương trình xử lý số liệu đều có một phần để dự báo
chuỗi thời gian. Nhưng đối với các chuỗi số liệu phi tuyến, nhất là trong số liệu
kinh tế, sử dụng mô hình ARIMA kém hiệu quả. Chính vì vậy phải có những
phương pháp khác nhau để xử lý chuỗi số liệu phi tuyến. Đã có nhiều người sử
dụng công cụ mạng nơ ron để xử lý tính chất phi tuyên của chuỗi số liệu. Đây là
một hướng đi đã được nhiều người tiếp cận và đã có những sách chuyên khảo về
vấn đề này thí dụ như cuốn của Mandic và Chambers “ Recurrent neural network
and prediction” in vào năm 2001. Một hướng đi khác là sử dụng khái niệm mờ để
đưa ra thuật ngữ “ Chuỗi thời gian mờ”. Phương pháp sử dụng chuỗi thời gian mờ
đã được đưa ra từ năm 1994 và đến nay vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu để làm
tăng độ chính xác của dự báo.
Trong đề tài này em trình bày phương pháp dự báo chỉ số chứng khoán
bằng công cụ chuỗi thời gian mờ đã được một số tác giả phát triển. Tư tưởng
chính của phương pháp là sử dụng một số khái niệm của Huarng và Chen, Hsu
để phát triển thuật toán mới. Dựa trên thuật toán đề ra, em đã tính toán một bài
toán thực tế dựa trên dữ liệu lấy từ thị trường chứng khoán Đài Loan để kiểm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
chứng. Kết quả thu được rất khả quan. Độ chính xác của dự báo được nâng lên
khá nhiều so với các thuật toán trước đây đề ra.
Nội dung chính của luận văn nghiên cứu những khái niệm, tính chất và
những thuật toán khác nhau trong mô hình chuỗi thời gian mờ để dự báo cho
một số chuỗi số trong kinh tế xã hội, được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: trình bày các kiến thức cơ bản về chuỗi thời gian.
Chương 2: trình bày Lý thuyết tập mờ và chuỗi thời gian mờ.
Chương 3: trình bày một số thuật toán cơ bản trong chuỗi thời gian mờ
và một số thuật toán cải tiến.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS
Nguyễn Công Điều, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối
với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo Viện công nghệ thông
tin, khoa Công nghệ thông tin Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng dạy
giúp đỡ em trong suốt qúa trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy nhiên
vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong các thầy cô giáo và bạn đóng góp ý kiến để
đề tài được hoàn thiện hơn.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
CHƢƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ CHUỖI THỜI GIAN

Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu về một lớp mô hình chuỗi thời
gian hết sức thông dụng trong thực tế. Đó là mô hình quy trình trượt
ARMA(Autoregressive Moving Average). Ta sẽ nghiên cứu các đặc trưng của

quá trình ARMA, xem xét tổng quan về phương pháp ước lượng tham số của
lớp mô hình này và cũng thấy rõ được hạn chế của nó khi áp dụng vào chuỗi
thời gian tài chính. Ngoài ra, mô hình ARMA còn đóng vai trò quan trong như
là cơ sở để xây dựng mô hình ARCH sau này.
1. Chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên
Trước khi đi vào chi tiết tìm hiểu về mô hình ARMA, ta sẽ nhắc lại một
số khái niệm liên quan đến chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên. Dù là ta đi
vào chi tiết mô hình gì đi chăng nữa thì các khái niệm cơ bản này vẫn sẽ theo
chúng ta trong suốt quá trình nghiên cứu về chuỗi thời gian.
1.1. Khái niệm chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên
Một chuỗi thời gian là một dãy các giá trị quan sát X:={x
1
, x
2
,……… x
n
}
được xếp thứ tự diễn biến thời gian với x
1
là các giá trị quan sát tại thời điểm
đầu tiên, x
2
là quan sát tại thời điểm thứ 2 và x
n
là quan sát tại thời điểm thứ n.
Ví dụ: Các báo cáo tài chính mà ta thấy hằng ngày trên báo chí, tivi hay
Internet về các chỉ số chứng khoán, tỷ giá tiền tệ, chỉ số tăng cường hay chỉ số
tiêu dùng đều là những thể hiện rất thực tế của chuỗi thời gian.
Bước đầu tiên của việc phân tích chuỗi thời gian là chọn một mô hình
toán học phù hợp với tập dữ liệu cho trước X:={x

1
, x
2
,……… x
n
}nào đó. Để có
thể nói về bản chất của những quan sát chưa diễn ra, ta giả thiết mỗi quan sát x
t

là một giá trị thể hiện của biến ngẫu nhiên X
t
với t

T. Ở đây T được gọi là tập
chỉ số. Khi đó ta có thể coi tập dữ liệu X:={x
1
, x
2
,……… x
n
} là thể hiện của quá
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
trình ngẫu nhiên X
t
, t

T. Và vì vậy, ta có thể định nghĩa một quá trình ngẫu
nhiên như sau

Định nghĩa 1.1(Quá trình ngẫu nhiên)
Một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên

X
t
, t

T

được
định nghĩa trên một không gian xác suất(

,

,

).
Chú ý:
Trong việc phân tích chuỗi thời gian, tập chỉ số T là một tập các thời điểm,
ví dụ như là tập {1,2 } hay tập (-,+). Tất nhiên cũng có những quá trình ngẫu
nhiên có T không phải là một tập con của R nhưng trong giới hạn của luận văn này
ta chỉ xét cho trường hợp TR. Và thường thì ta xem T là các tập các số nguyên,
khi đó ta sẽ sử dụng ký hiệu tập chỉ số là Z thay vì T ở trên. Một điểm chú ý nữa là
trong luận văn này chúng ta sẽ dùng thuật ngữ chuỗi thời gian để đồng thời chỉ dữ
liệu cũng như quá trình có dữ liệu đó là một thể hiện.
1.2. Quá trình ngẫu nhiên dừng
Định nghĩa 1.2 (Hàm tự hiệp phƣơng sai)
Giả sử

X

t
, t

Z

là một quá trình ngẫu nhiên có var(X
t
)<

với mỗi t


Z. Khi đó hàm tự hiệp phương sai của X
t
được định nghĩa theo công thức sau:
)],
s
X)(
r
X[(),cov(:),( E
s
XE
r
XE
s
X
r
Xsr
x



với r, s

Z.
Định nghĩa 1.3 (Quá trình dừng)
Chuỗi thời gian

X
t
, t

Z

được gọi là dừng nếu nó thoả mãn 3 điều
kiện sau:
-
ZtE  ,X
2
t

-
ZtmE  ,X
t

-
Zsrttstrsr
xx
 ,,),,(),(


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
Định lý 1.1
Nếu

X
t
, t

Z

là một quá trình dừng, và nếu như a
t


R, i

Z thoả mãn
điều kiện



i
i
a
thì hệ thức
ZtaY
i

it




,X:
i-t
sẽ định nghĩa một quá dừng.
Chú ý: Cũng có tài liệu gọi “dừng” theo nghĩa trên là dừng yếu, đừng
theo nghĩa rộng hay dừng bậc hai. Tuy nhiên ở đây ta chỉ xem xét tính dừng
theo nghĩa đã định nghĩa ở trên
Khi chuỗi thời gian

X
t
, t

Z

là dừng thì
,,),0,(),( Zsrsr
x
sr
x
y 


Và vì vậy, với một quá trình dừng thì có thể định nghĩa lại hàm tự hiệp
phương sai bằng cách chỉ thông qua hàm một biến. Khi đó, với quá trình
dừng


X
t
, t

Z

ta có:
Zht
t
X
ht
XCovh
x
h
x
y 

 ,),,()0,()(


Hàm số
(.)
x
y
được gọi là hàm tự hiệp phương sai của X
t
, còn 
x
(h)là

giá trị của nó tại “trễ” h. Đối với một quá trình dừng thì ta thường ký hiệu hàm
tự hiệp phương sai bởi (.) thay vì 
x
(.).
Với một quá trình dừng thì hàm hiệp phương sai có các tính chất
(0)  0, (h)(0), hZ
Và nó còn là một hàm chẵn nghĩa là:
(h) = (-h),hZ.
1.3. Hàm tự tƣơng quan
Định nghĩa 1.4
Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên

X
t
, t

Z

được định
nghĩa tại trễ h như sau:

(h): = (h)/(0):=corr(X
t+h
,X
t
), t, hZ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Chú ý:

Trong thực tế, ta chỉ quan sát được một thể hiện hữu hạn X:={x
t
, t =
1,2,…n}của một chuỗi thời gian đừng nên về nguyên tắc ta không thể biết
chính xác được các hàm tự hiệp phương sai của chuỗi thời gian đó, muốn ước
lượng nó ta đưa vào khái niệm hàm tự hiệp phương sai mẫu của thể hiện X.
Hàm tự hiệp phương sai mẫu của một thể hiện X được định nghĩa bởi
công thức
nhx
hj
xx
hn
j
j
xnnhc 






 0),)(
1
(
11
:)(

Và
,0),(:)(  hnhchc
trong đó





n
j
j
xnx
1
1
là trung bình mẫu.
Khi đó thì hàm tương tự tương quan mẫu cũng định nghĩa thông qua
hàm tự hiệp phương sai mẫu như sau:
.),0(/)(:)( nhchchr 

1.4. Toán tử tiến, toán tử lùi
Toán tử lùi B kết hợp với một quá trình ngẫu nhiên

X
t
, t

Z

là quá
trình ngẫu nhiên

Y
t
, t


Z

sao cho
1
::


ttt
XBXY

Toán tử lìu B là toán tử tuyến tính va khả nghịch. Nghịch đảo của nó
B
-1
:=F được gọi là toán tử tiến, định nghĩa bởi công thức:
FX
t :=
X
t+1
Các toán tử B, F thoả mãn hệ thức
B
n
X
t
= X
t-n,
F
n
X
t :=

X
t+n
Và
i-t
X
0
t
X
0













n
i
i
a
n
i
i
B

i
a

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
Chú ý:
Một cách tổng quát, người ta có thể định nghĩa các chuỗi theo toán tử
tiến F hay toán tử lùi b và muốn thế chúng ta hạn chế trong trường hợp các quá
trình là dừng. Khi đó, giả sử ta có quá trình dừng

X
t
, t

Z

và một dãy {a
i
,iZ tuyệt đối khả tổng, tức là



i
i
a
, thì định lý 1.1, quá trình
ZtXaY
it
i

it





,:
cũng là quá trình dừng. Ta ký hiệu
i
i
i
Ba



là ánh xạ đặt
tương ứng quá trình dừng

X
t
, t

Z

với quá trình dừng

Y
t
, t


Z

. Các
chuỗi theo B khi đó sẽ có những tính chất cho phép ta xử lý nó tương tự như
đối với chuỗi nguyên thông thường. Đặc biệt ta có thể thực hiện phép cộng,
phép nhân hay phép lấy nghịch đảo. Điều này có vai trò quan trọng trong các
phép biến đổi của đa thức tự hồi quy, đa thức trung bình trượt và các phép biến
đổi xử lý chuỗi thời gian khác.
2. Quá trình ARMA
2.1. Quá trình tự hồi quy
Định nghĩa 1.5 (Quá trình ồn trắng)
Quá trình ngẫu nhiên

t
t

Z

được gọi là một ồn trắng, ký hiệu

WN(0,

2
), khi nó thoả mãn các điều kiện sau:
E

t

s
= 0 (t s)

22


t
E


t
t
E  ,0


Định nghĩa 1.6 (Quá trình tự hồi quy)
Người ta gọi quá trình ngẫu nhiên

X
t
, t

Z

là một quá trình tự hồi
quy cấp P, viết là X
t

AR(p), là một quá trình dừng {X
t
, t


Z} thoả mãn
0,
p-t
X
2211





p
a
t
p
a
t
Xa
t
Xa
t
X

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
với {

} là một ồn trắng.
Ta có thể viết biểu thức của quá trình tự hồi quy ở trên bởi công thức

,0,
p-t
X
2211





p
a
t
p
a
t
Xa
t
Xa
t
X


Hay ở dạng
toán tử

ở đây a(z) được gọi là đa thức hồi quy.
Chú ý:
Nếu đa thức a(z) ở trên có nghiệm nằm ngoài đĩa tròn đơn
vị
)1( z

thì X
t
được gọi là quá trình nhân quả tự hồi qui cấp p và nói chung ta
chỉ xét các quá trình nhân quả.
Các đặc trưng của quá trình tự hồi quy cấp p:
- E(X
t
) = 0
-



p
t
i
ia
1
2
|)()0(


-
0,0)(
1
)( 


 hih
p
i

i
ah


Lần lượt cho h = 1,2,….p ta được

















p
p
a
a
a
a
1
2

1
=

















)(
)1(

)2(
)1(
p
p





Hệ phương trình gọi là hệ phương trình Jule – Walker, song tuyến đối
với a và

.
1

(1) ….

(p-2)

(p-1)
(1) 1 ….

(p-3)

(p-1)
…. …. …. … …

(p-2)….

(p-3) 1

(1)

(p-1)

(p-2)

(1) 1

p
z
p
azazaza 
2
21
1:)(
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
Nghĩa là nếu cho

ta sẽ tính được a và ngược lại cho a ta cũng sẽ tính
được

. Trong hệ phương trình Jule – Walker, nếu ta đặt 
pi
= a
i
, i =1,…p thì
hệ phương trình Jule – Walker tương đương với
pjpjj
p
, ,1),()(
1



Đại lượng 

pp
ở trên được gọi là tự tương quan riêng cấp p của quá trình
{X
t
, nó đóng vai trò rất quan trọng trong việc xác định bậc của quá trình tự
hồi quy cũng như việc ước lượng tham số mô hình tự hồi quy sau này.
Trong việc thực tế, khi cho chuỗi quan sát X:=x
1
, t = 1,2…,n thì ta
dùng công thức của tương quan mẫu để tính các r(i), là các giá trị xấp xỉ của

(i). Khi đã có các tự tương quan mẫu ta thay vào hệ phương trình Jule –
Walker và giải nó để tìm các tham số a
1
. Từ đây ta cũng xác định được tương
quan riêng

p1
….,

pp.
2.2. Quá trình trung bình trƣợt
Định nghĩa1.7 (Quá trình trung bình trƣợt)
Một quá trình trung bình trượt cấp q, ký hiệu X
t


MA(q), là một quá
trình


X
t
, t

Z

thoả mãn biểu thức
0,, ,
21
,
111





q
bR
q
bbb
qt
q
b
t
b
t
X


với


t

là một ồn trắng.
Ta cũng có thể viết biểu thức trung bình trượt ở trên dưói dạng toán tử
lìu tương tự như đối với quá trình tự hồi quy như sau :
X
t
= b(B)

t,
Trong đó hàm b(.) định nghĩa bởi
b(z) : = 1+b
1
z+…+b
q
z
q.
Ở đây b(z) được gọi là đa thức trung bình trượt .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
Chú ý:
Khác với quá trình AR, biểu thức trên luôn xác định duy nhất một quá
trình MA mà không đòi hỏi thêm điều kiện gì đối với các hệ số b
1
. Và với giả
thiết 
t
là ồn trắng thì theo định lý 1.1 ta có

b(z)

(z) = 1.
Và khi đó 
1
có thể biểu diễn dưới dạng













j
j
j
z
j
j
z
j
jt
X
j

t

;)(;

Một chú ý nữa, cũng giống như trường hợp AR, nếu đa thức trung bình
trượt b(z) không có nghiệm có môđun bằng 1 thì ta có thể biểu diễn X
t
dưới
dạng sau:






 j
jtjt
j
jt
XX

;
1

Và có thể xác định
i

bằng cách chia 1(theo luỹ thừa tăng) cho
b(z),
)1(

0



Khi quá trình
t
X
có thể biểu diễn ở dạng trên, tức là khi b(z) chỉ có
nghiệm có môđun lớn hơn 1 thì ta nói
t
X
là một quá trình khả nghịch. Và từ
nay về sau, nếu không nói gì thêm thì khi nói về các quá trình AR và MA
chúng ta hiểu đó là các quá trình nhân quả và khả nghịch.
Các đặc trưng của quá trình trung bình trượt:
Trước hết, ta dễ dàng thấy rằng
0
t
EX
,
Và












s
qiitsb
ts
tt
XE
,0
1;,
1
2
,
2
)(





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
Mặt khác ta có:
))
111
1
(()(:)(
qh
q
b

h
b
ht
t
XE
ht
X
t
XEh










Từ đó ta suy ra












qhh
qhb
q
b
hq
b
h
bb
h
bh
,0)(
1;1:
0
),
1
1
(
2
)(



Đặc biệt ta có
2

2
1
1(
2

var:)0(
q
bb
t
X 


Từ công thức hiệp sai của quá trình trung bình trượt ta suy ra công thức
của tự tương quan như sau:

















qh
qh
q
bb

q
b
hq
b
h
bb
h
b
h
.,0
2,1,
2

2
1
1

1
1
)(


2.3. Quá trình tự hồi quy trung bình trƣợt
Định nghĩa 1.8 (quá trình tự hồi quy trung bình trượt)
Một quá trình

X
t
, t


Z

được gọi là quá trình tự hồi quy trung bình
trượt cấp p,q , kí hiệu
t
X

ARMA(p,q) là một quá trình

X
t
, t

Z

thỏa mãn
0,0,, ,
2
,
1
,,
2
,
1
,

11

11











q
b
p
aR
q
bbb
p
aaa
qt
q
b
t
b
tpt
X
p
a
t
Xa
t
X




Trong đó
t

là ồn trắng, a(.) và b(.) lần lượt là đa thức tự hồi quy và đa
thức trung bình trượt có bậc tương ứng là p và q:
p
z
p
azaza 
1
1:)(

q
z
q
bzbzb 
1
1:)(

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Khi đó ta có thể viết quá trình ARMA ở dạng toán tử như sau
t
Bb
t
XBa


)()( 

Định nghĩa 1.9 (Quá trình nhân khả nghịch)
Một quá trình ARMA(p,q) được gọi là một quá trình nhân quả và khả nghịch
nếu có là một quá trình ARMA(p,q) có a(z) và b(z) thỏa mãn hai điều kiện:
i) a(z) và b(z) không có nghiệm chung
ii) a(z) và b(z) không có nghiệm có môđun không vượt quá 1
Chú ý:
Do tính nhân quả và khả nghịch cộng với tính chất khả đảo của đa
thức toán tử, ta có thể biểu diễn một quá trình
.
1
;1
0
,
0










i
i
i

iti
t
X


Và có thể tính các hệ số
t

bằng cách chia theo lũy thừa tăng a(z) cho b(z).
Các đặc trưng của quá trình ARMA:
Trước hết ta có
)(
.
1
)(
1
.
)(
1
)()( ih
X
q
i
i
bh
p
t
X
iha
ht

X
t
XEh 













Với
kt
X
t
Ek
X





(:)(
.

Mặt khác ta có thể biểu diễn
ikt
i
i
kt
X







0

Và ta có










0,
2
0,0
)(

.
k
k
k
k
Xe



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
Lần lượt cho h = 0,1, p trong các chương trình trên và chú ý đến tính
chẵn của hàm (h) ta có hệ phương trình tuyến tính đối với (0), , (p) hay
với
).(), 1( p





p
i
i
qhihah
1
),()(


Và vì thế




p
i
qhih
i
ah
1
.),()(


3. Ước lượng tham số mô hình ARMA
Giả sử ta cần ước lượng các tham số của mô hình ARMA(p,q)
,0,0,, ,
2
,
1
,, ,
2
,
1
,
11

11










q
b
p
aR
q
bbb
p
aaa
qt
q
b
t
b
tpt
X
p
a
t
Xa
t
X

trong đó
t


đóng vai trò là sai số.
Đối với mô hình ARMA cũng có nhiều phương pháp ước lượng tham số
hiệu quả và được nêu ra chi tiết trong P.Brockwell, R. David, 2001. Dưới đây,
ta sẽ xem xét phương pháp bình phương cực tiểu theo kiểu thuật toán Hannan
– Rissanen. Ý tưởng của thuật toán này là sử dụng hồi quy tuyến tính để ước
lượng các tham số. Nếu q>0 ta còn phải ước lượng các giá trị chưa biết
t

.
Thuật toán Hannan – Rissanen
Bước 1:
Dùng ước lượng Yule Walker để ước lượng các tham số mô hình
AR(m), với m > max(p,q).

Bước 2:
Ước lượng vecto tham số
t
q
bb
p
aa ) ,
1
,, ,
1
(

trên cơ sở cực tiểu
hóa hàm
., ,1,
11

nmt
tmt
X
m
a
t
Xa
t
X 





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
.
2
)
21

2211
1
()(

theo
qt
q
b

t
b
pt
x
p
a
t
xa
t
xa
n
qmt
t
xS














Giải hệ Gauss-Markov, kết quả thu được ở dạng sau:
,

1
)(
n
X
t
ZZ
t
Z





Ta cũng có thể dùng phương pháp trực giao hóa Househoder để tìm
Ở đây,
n
X
qm
X
n
X , ,
1
(


)
Và

































qn

nn
pn
X
n
X
n
X
m
qm
qmpqm
X
qm
X
qm
X
mqm
qm
pqm
X
qm
X
qm
X
Z




22

21

2

12

1
1

11

1


Ước lượng phương sai
t

theo công thức
.
)(
2
qmn
S
HR







4. Những hạn chế của mô hình ARMA trong chuỗi thời gian tài chính
Mô hình ARMA thu được thành công lớn khi áp dụng cho các chuỗi
thời gian xuất phát từ các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật nhưng thất
bại khi áp dụng cho các chuỗi thời gian kinh tế và tài chính. Nguyên nhân
chính là giả thiết về mặt toán học phương sai của các chuỗi thời gian tài chính
không thay đổi theo thời gian là không phù hợp. Và vì vậy mô hình ARMA có
thể dự báo được kỳ vọng nhưng thất bại khi dự báo phương sai của chuỗi thời
gian tài chính. Sau đây ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể để thấy rõ sự không phù
hợp của mô hình ARMA đối với chuỗi thời gian tài chính.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Xét chuỗi số chuỗi số liệu NYSE chứa giá trị của chỉ số chứng khoán
giao dịch hằng ngày trên thị trường NewYork từ tháng ngày 02/01/1990 đến
ngày 31/12/2001. Chuỗi gồm 3028 số liệu được lưu dưới tên file là NYSE.txt.
Tuy nhiên thay vì trực tiếp làm việc với chuỗi số liệu gốc, ta lấy logarit tự
nhiên của chuỗi gốc rồi lấy lại sai phân của nó để được một chuỗi mới mà
trong lĩnh vực kinh tế tài chính ta gọi là chuỗi tăng trưởng.
Từ số liệu ở trên, chuỗi giá và chuỗi tăng trưởng được minh họa bằng đồ
thị sau

Hình 1.1 Chuỗi giá

Hình 1.2 Chuỗi tăng trưởng
Nhìn vào đồ thị của chuỗi giá, rõ ràng ta thấy nó không có tính dừng.
Ngược lại, chuỗi tăng trưởng có đồ thị rất giống với một quá trình dừng. Khi
nhìn vào đồ thị của chuỗi tăng trưởng ta cũng thấy có xuất hiện những cụm
biến động, có vùng biến đổi về phương sai của chuỗi thời gian. Tiếp theo ta sẽ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
khai thác đặc trưng tương quan riêng mẫu của chuỗi tăng trưởng ở trên. Kết
quả được minh họa bằng đồ thị sau:

Hình 1.3 Tự tương quan của chuỗi tăng trưởng


Hình 1.4 Tự tương quan riêng của chuỗi tăng trưởng
Ta thấy rằng tương quan riêng của chuỗi tăng trưởng biến đổi trong một
khoảng tương đối hẹp khá giống với tự tương quan riêng của một quá trình
dừng. Tuy nhiên ta lại không thấy được dấu hiệu triệt tiêu của tự tương quan
riêng mặc dù ta đã lấy đến trễ 100. Điều này cho thấy cho chuỗi tăng trưởng
chắc chắn không thể là một quá trình tự hồi quy. Ta cũng biết rằng, về mặt lý
thuyết có thể xấp xỉ mô hình AR nhiều tham số bằng mô hình ARMA với ít
tham số hơn. Điều này cũng cho thấy mô hình ARMA nhiều khả năng không
phù hợp với chuỗi tăng trưởng của chúng ta.
Bây giờ ta lấy bình phương chuỗi tăng trưởng, kết quả cho bởi đồ thị
dưới đây
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19

Hình 1.5 Bình phương chuỗi tăng trưởng
Nhìn vào đồ thị ta có thể ta có thể thấy được việc tạo thành các cụm biến
động trong đó các thời kỳ và biến động mạnh xen kẽ nhau. Ta tính tiếp các đặc
trưng mẫu của bình phương chuỗi tăng trưởng. Kết quả được thể hiện bằng các
đồ thị sau

Hình 1.6 Tự tương quan của bình phương chuỗi tăng trưởng

Hình 1.7 Tự tương quan riêng của bình phương chuỗi tăng trưởng
Mặc dù chuỗi tăng trưởng ít tương quan nhưng bình phương của nó lại
thể hiện sự tương quan mạnh. Những dấu hiệu đó cho ta thấy rằng mô hình
ARMA không thực sự phù hợp với chuỗi thời gian qua sát này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20
Bây giờ giả sử bằng cách nào đó ta tìm được mô hình ARMA gần nhất
với chuỗi quan sát và đó là mô hình ARMA(1,1). Mục đích ở đây là chúng ta
sẽ thấy rõ ràng sau khi ước lượng, nhiễu thu được sẽ không phải là một ồn
trắng như ta mong muốn nữa. Thật vậy, kết quả ước lượng theo mô hình
ARMA(1,1) là
t
t
y

 00049332.0

Nhiễu khi đó được tính toán và biểu diễn bởi đồ thị sau

Hình 1.8 Nhiễu
Khi đó tự tương quan và tự tương quan riêng của nhiễu cho bởi đồ thị
dưới đây

Hình 1.9 Tự tương quan của nhiễu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21

Hình 1.10. Tự tương quan riêng của nhiễu
Ban đầu, do tính ít tương quan của nhiễu ước lượng được nên ta thấy nó
giống với một quá trình ồn trắng. Tuy nhiên khi lấy bình phương nhiễu ta lại
thấy khác

Hình 1.11. Bình phương nhiễu

Hình 1.12 Tự tương quan bình phương nhiễu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22

Hình 1.13 Tự tương quan riêng bình phương nhiễu
Rõ ràng là nhiễu có hiện tượng tạo cụm biến động giống như chuỗi tăng
trưởng ban đầu. Còn khi nhìn vào đồ thị tự tương quan của bình phương nhiễu
ta thấy nó thể hiện sự tương quan mạnh nên ta có thể kết luận rằng nhiễu
không phải là một ồn trắng như mong muốn. Và như vậy mô hình ARMA sẽ
không phù hợp với chuỗi số liệu này.
Mặc dù mô hình ARMA tỏ ra không phù hợp với chuỗi thời gian tài
chính nhưng những kỹ thuật mà nó cung cấp là một cơ sở rất quan trọng và
mang lại nhiều gợi ý cho các công trình nghiên cứu về chuỗi thời gian sau
Box-Jenkins. Chính Box-Jenkins là những người đầu tiên đưa ra các kỹ thuật
lấy sai phân để khử khuynh tất định nhằm tăng khả năng dừng của một chuỗi
thời gian. Với những vận dụng sáng tạo khái niệm khuynh này, những người
nghiên cứu đi sau Box-jenkins đã cho ra đời hai lớp mô hình rất quan trọng đối
với chuỗi thời gian tài chính. Đó là mô hình cộng tích, Cointegration
(Granger,1981) và mô hình tự hồi quy biến động bất thường của chuỗi thời
gian tài chính. Mô hình ARCH là cống hiến mang tính khai phá của Engle, nó
có thể giải thích sự bất thường của phương sai mà chỉ sử dụng những thông tin
quá khứ của bản thân nhiễu. Mô hình GARCH (Generalized Autoregressive

Conditional Heteroschedasticity) đầu tiên được giới thiệu bởi Tim Bollerslev
năm 1986 đã làm cho lớp mô hình này có nhiều ứng dụng thực tế hơn trong
lĩnh vực kinh tế tài chính.