Copy of HE PHUONG TRINH MU - LOGARIT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (121.63 KB, 9 trang )
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau:
1
2 3 5
2 3 2
x y y
x y y
+
+ −
+ =
=
Hướng dẫn
Đặt
2
3
x y
y
u
v
+
=
=
(điều kiện u, v>0), ta có hệ phương trình:
5
6
u v
uv
+ =
=
Theo định lí viete đão thì hai số u và v là nghiệm của phương trình bậc hai:
2
5 6 0
2 2
3 3
2
3
2 3
3 2
x y
y
x y
y
X X
X
X
+
+
− + =
=
=
=
⇔ ⇔
=
=
=
(Đến đây các bạn tự giải quết nhe !)
Bài tập 2: Giải hệ phương trình:
( )
2 1
2
2 2 2
log log 4 1 4
x y x y
x y
− +
+ =
− =
Hướng dẫn.
Nhân hai vế phương trình
2 1
2 2 2
x y x y− +
+ =
cho
2
y
−
, ta được phương trình:
( )
2
2 2 2
x y
x y
−
−
+ =
Đặt
2 , 0
x y
t t
−
= >
Khi đó ta có phương trình:
2
2 0t t+ − =
Giải phương trình ta được hai nghiệm t=1 và t=-2. Vì t>0 nên nhận nghiệm t=1
Với t=1 thì
2 1 0
x y
x y x y
−
= ⇔ − = ⇔ =
Vậy hệ đã cho tương đương với:
( )
2
log log4 1 4
x y
x y
=
− =
( )
2
2 2
2 2
1
log 1 log 4
log 2log 8 0
2
x y
x y
x x
x x
=
=
⇔ ⇔
− =
− − =
÷
1
2
2
2
4
4
2
1
2
4
log 2
2 1
4
2
16
log 4
2
16
x
x
x y
x
y
y
x y
x
x
x
y
y
−
−
=
=
=
=−
=
=
⇔ ⇔ ⇔
=
=
=
=
=
=
Kết luận: Tập nghiệm của hệ phương trình là
( )
1 1
; , 16;16
4 4
S
=
÷
Bài tập 3: Giải hệ phương trình:
2 2
1
log log 2
xy
x y
=
+ =
Hướng dẫn.
Điều kiện xác định của hệ phương trình là x, y > 0. Với điều kiện đó ta có:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2
log log1
1 log log 0
log log 2 log log 2
log log 2
log log 0
log log 0
log log 1
log log 2 log log 2
xy
xy x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y x y
=
= + =
⇔ ⇔
+ = + =
+ =
+ =
+ =
⇔ ⇔
= −
+ − =
(Các bạn tự giải quết tiếp nhe !)
Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệm
( )
1 1
, 10; ( , ) ;10
10 10
x y x y
= =
÷ ÷
Bài tập 4: Giải hệ phương trình:
4 4 4
20
log log 1 log 9
x y
x y
+ =
+ = +
Hướng dẫn.
Điều kiện xác định của hệ phương trình là x, y > 0. Với điều kiện đó ta có:
( )
4 4 4 4 4
20
20
20
log log 1 log 9 log log 36
36
x y
x y
x y
x y xy
xy
+ =
+ =
+ =
⇔ ⇔
+ = + =
=
Theo định lí viete đão ta có hai số x, y là nghiệm của phương trình:
2
20 36 0X X− + =
(các bạn tự giải quyết tiếp nhe !)
Đáp số: Hệ pt có nghiệm:
( ) ( )
, 2,7x y = −
Bài tập 5: Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
2 3
2
log log 1
x y
x y x y
− =
+ − − =
Hướng dẫn.
2
Điều kiện xác định của hệ phương trình là
0x y± >
. Với điều kiện đó ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2
2 3
2
log log 1
2
log
log 1
log log 1
log 3
x y x y
x y
x y
x y
x y x y
+ + − =
− =
⇔
−
+ − =
+ − − =
Tiếp theo ta đặt
( )
( )
2
2
log
log
u x y
v x y
= +
= −
Khi đó ta có hệ phương trình:
2
1
1
log 3
u v
v
u
+ =
− =
(Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !)
Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệm
( )
3 1
, ;
2 2
x y
=
÷
Bài tập 6: Giải hệ phương trình:
( ) ( )
( )
5 5 7 5
2 2 5
log log 7 log 1 log 2
3 log log 5 1 3log
x y
y x
+ = +
+ = +
Hướng dẫn.
Điều kiện xác định của hệ phương trình là x, y >0. Với điều kiện đó ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
5 5 55 5 7 5
2 2 2 5
2 2 5
5 5 5
3
3
2 2
log log log 10log log 7 log 1 log 2
3 log log 5 3 log 5 log
3 log log 5 1 3log
log log log 10
10
2
5
log 8 log 5
8 5
x yx y
y x
y x
x y
xy
x
y
y x
y x
+ =+ = +
⇔
+ = +
+ = +
+ =
=
=
⇔ ⇔ ⇔
=
=
=
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm
( ) ( )
; 2;5x y =
Bài tập 7: Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
log 5 log
log log4
1
log log3
x y x y
x
y
− = − +
−
= −
−
Hướng dẫn.
Điều kiện xác định của hệ phương trình là x>y>0. Với điều kiện đó ta có:
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
log 5 log
log 5
32
log log4
1
12
log log
log log3
4 3
x y x y
x y
x y
x
x y
xy
y
− = − +
− =
− =
⇔ ⇔
−
= −
=
= −
−
(Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !)
Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệm
( ) ( )
; 6;2x y =
3
Bài tập 8: Giải hệ phương trình:
( )
9 3
2 8 2 2
1 1 1
log log 9
2 2
x y
y
x
−
=
+ =
Hướng dẫn.
Điều kiện xác định của hệ phương trình là x, y >0. Với điều kiện đó ta có:
( )
( )
3
3
2
9 3
3
3
3
2 8 2 2
2
2 2
1 1 1
1
log log 9
log 1
2 2
3
x y
x y
x y
y
xy
xy
x
−
−
− =
=
=
⇔ ⇔
+ =
= −
=
(Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !)
Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệm
( )
1
; 2;
6
x y
=
÷
Bài tập 9: Giải hệ phương trình:
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
= −
+
=
+
(Trích đề thi ĐH khối D – 2002)
Hướng dẫn.
Ta có:
( )
( )
3 2
3 2
3 2
2
1
2 5 4
2 5 4
2 5 4
2 2 2
4 2
2 2.2
2 2
2 2
2 2
x
x
x
x x
x x
x x
x
x
x
y y
y y
y y
y
y
y
+
= −
= −
= −
⇔ ⇔
+
+
+
=
=
=
+
+
+
3 2 3 2
1
2
0
2 5 4 5 4
1
4
2 2
4
2
x
x
x x
y
y
x
y y y y y
y
y
y y
y
x
=
=
=
= − = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
=
= =
=
=
( Chú ý
0y ≠
).
Kết luận: Tập nghiệm của hệ phương trình:
( ) ( )
{ }
0;1 ; 2;4S =
Bài tập 10: Giải hệ phương trình:
( )
1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y
− − =
+ =
(Trích đề thi ĐH khối A năm 2004)
4
Bài tập 11: Giải hệ phương trình:
( )
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
− + − =
− =
(Trích đề thi ĐH khối B năm 2005)
Bài tập 12: Giải hệ phương trình:
( )
( ) ( )
2 2
log 1 log8
log log log3
x y
x y x y
+ = +
+ − − =
Hướng dẫn.
Điều kiện xác định của hệ phương trình là
0x y± >
. Với điều kiện đó ta có:
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
log log80
80
log 1 log8
3
log log3
log log log3
x y
x y
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
+ =
+ =
+ = +
⇔ ⇔
+
+
=
=
+ − − =
−
−
(Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !)
Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm
( ) ( )
; 8;4x y =
Bài tập 13: Giải hệ phương trình:
( )
3
3 .2 972
log 2
x y
x y
=
− =
Hướng dẫn.
Hệ phương trình:
( )
3
3
3
3 .2 972
3 .2 972
log 2
3 3 .2 972
x y
x y
y y
x y
x y
x y
+
= +
=
=
⇔ ⇔
− =
− = =
3
5
2
6 36
y
x y
x
y
= +
=
⇔ ⇔
=
=
Kết luận: Hệ pt có nghiệm
( ) ( )
; 5;2x y =
Bài tập 14: Giải hệ phương trình:
2 2
25
log log 2
x y
x y
+ =
− =
Hướng dẫn.
Điều kiện xác định của hệ phương trình là x, y >0. Với điều kiện đó ta có:
2
2 2
25 25
25
20
log 2 4
log log 2
5
x y x y
x y
x
x x
x y
y
y y
+ = + =
+ =
=
⇔ ⇔ ⇔
= =
− =
=
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm
( ) ( )
; 20;5x y =
5
Bài tập 15: Giải hệ phương trình:
3 3 4
1
x y
x y
+ =
+ =
Hướng dẫn.
Cách 1:
Hệ phương trình:
1
3 3 4 3 3 4 3 3 4
1 1 1
x y x y x x
x y y x y x
−
+ = + = + =
⇔ ⇔
+ = = − = −
Đặt
3 , 0
x
t t= >
khi đó ta có phương trình:
3
4t
t
+ =
(Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !)
Cách 2:
Hệ phương trình:
3 3 4
3 3 4
3 3 4
3 3 3
1
3 3 3
1
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
x y
+
+ =
+ =
+ =
⇔ = ⇔
+ =
=
+ =
Áp dụng định lí viète ta có:
3
x
và
3
y
là hai nghiệm của phương trình bậc hai
2
4 3 0X X− + =
(các bạn tự giải quyết tiếp nhe !)
Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm
( ) ( )
; 1;0x y =
hoặc
( ) ( )
; 0;1x y =
Bài tập 16: Giải hệ phương trình:
4
3 3
9
3
x y
x y
− −
+ =
+ =
Hướng dẫn.
Cách 1:
Hệ phương trình:
3
4 4 4
3 3 3 3 3 3
9 9 9
3 3 3
x y x y x x
x y y x y x
− − − − − −
+ = + = + =
⇔ ⇔
+ = = − = −
Đặt
3 , 0
x
t t= >
khi đó ta có phương trình:
1 4
27 9
t
t
+ =
(Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !)
Cách 2:
Hệ phương trình:
( )
4
3 3
4
4
3 3
9
3 3
9
3
9
1
3
3 3
3 3 3
27
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
− −
− −
− −
− −
− +
− −
+ =
+ =
+ =
⇔ + = ⇔
+ =
=
=
Áp dụng định lí viète ta có:
3
x−
và
3
y−
là hai nghiệm của phương trình bậc hai
6
2
4 1
0
9 27
X X− + =
(các bạn tự giải quyết tiếp nhe !)
Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm
( ; )x y
là
( )
1;2
và
( )
2;1
Bài tập 17: Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
3 5
3
log log 1
x y
x y x y
− =
+ − − =
Hướng dẫn.
Điều kiện xác định của hệ phương trình là
0x y± >
. Với điều kiện đó ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3 3
2 2
3
3
3 5
3
log log 1
3
log
log 1
log log 1
log 5
x y x y
x y
x y
x y
x y x y
+ + − =
− =
⇔
−
+ − =
+ − − =
Đặt
( )
( )
3
3
log
log
u x y
v x y
= +
= −
Khi đó ta có hệ phương trình
3
1
1
log 5
u v
v
u
+ =
− =
(các bạn tự giải quyết tiếp nhe !)
Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm
( ) ( )
, 2;1x y =
Bài tập 18: Giải hệ phương trình:
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
log log log
log log log 0
x y xy
x y x y
= +
− + =
Hướng dẫn.
Điều kiện xác định của hệ phương trình là x>y>0. Với điều kiện đó ta có:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2
2
2
log log log
log log log log
log log log 0
log log log 0
x y xy
x y x y
x y x y
x y x y
= +
= + +
⇔
− + =
− + =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
log 0
log log log 0
2log 2 log log 0
log log 0
log log log 0
log log log 0
y
x y x y
y x y
x y
x y x y
x y x y
=
− + =
+ =
⇔
+ =
− + =
− + =
Xét hệ phương trình:
( ) ( ) ( )
2
log 0
log log log 0
y
x y x y
=
− + =
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
log 0 1
log log log 0 log 1 log log1 0
y y
x y x y x x
= =
⇔
− + = − + =
7
1 1
1 1 2
y y
x x
= =
⇔ ⇔
− = =
Xét hệ phương trình
( ) ( ) ( )
2
log log 0
log log log 0
x y
x y x y
+ =
− + =
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
1
log log 0
log log log 0
log log log 0
x y
y
x
x y x y
x y x y
+ =
=
⇔
− + =
− + =
( )
2
2
2 2
1
1
1 1
1
log log log 0
log log 0
y
y
x
x
x
x x
x
x x
x
=
=
⇔
−
− + =
− =
÷ ÷
2
2
2
2
2
1
1
1
log log
2
1
1
2
2
1
log log
y
x
x
x
x
y
x
x
y
x
y
x
x
x
x
=
−
=
=
=
⇔ ⇔
=
=
=
−
= −
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm
( )
;x y
là
( )
2;1
và
1
2;
2
÷
Bài tập 19: Giải hệ phương trình:
( ) ( )
log log
log 4 log 3
3 4
4 3
x y
x y
=
=
Hướng dẫn.
Điều kiện xác định của hệ phương trình là x, y >0. Với điều kiện đó ta có:
Lấy logarit cơ số 10 hai vế của hai phương trình trong hệ ta được:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
log log
log 4 log3
3 4 log log3 log log4
log4 log4 log log3 log3 log
4 3
x y
x y
x y
x y
= =
⇔
+ = +
=
Tiếp theo ta đặt
log , logu x v y= =
(Các bạn tự giải tiếp nhe !)
Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm
( )
1 1
; ;
4 3
x y
=
÷
Bài tập 20: Giải hệ phương trình:
8
1.
( )
( )
3
3
log 2
log
2 2
4 2
3 3 12
xy
xy
x y x y
= +
+ − − =
2.
2 4 4
3 9 9
4 16 16
log log log 2
log log log 2
log log log 2
x y z
y z x
z x y
+ + =
+ + =
+ + =
3.
4 2
3 0
log log 0
x y
x y
− + =
− =
4.
2
2 2
2
1
x
x y x
x y
+ = +
+ =
Bài tập 21: Giải hệ phương trình:
1.
2
1 log
64
y
y x
x
= +
=
2.
( )
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x
+ − − =
+ − − =
3.
3 1 2 3
2 2 3.2
3 2 1 1
x y y x
x xy x
+ − +
+ =
+ + = +
4.
1 2
2
2 3 .2 2
2 .2 3 .8 1
x y x y
x y x y
x y
x y
− + +
+ +
+ =
+ =
Bài tập 22: Giải hệ phương trình:
1.
( ) ( )
2 2
5 3
9 4 5
log 3 2 log 3 2 1
x y
x y x y
− =
+ − − =
2.
log log
2 2 3
y x
x y
xy y
=
+ =
3.
2
3 3
3 2
1
log log 0
2
2 0
x y
x y y
− =
+ − =
4.
( )
3
3 2 972
log 2
x y
x y
=
− =
5.
( )
8 8 8
8
8
8
log 3log .log
log
4log
log
xy x y
xx
y y
=
=
Bài tập 23: Giải hệ phương trình:
1.
( ) ( )
ln ln
ln 6 ln5
5 6
6 5
x x
x y
=
=
2.
1 2 1
4
4 3.4 2
3 2 log 3
x y y
x y
+ − −
+ =
+ = −
3.
( )
2 2
2
4 2
log 5
2log log 4
x y
x y
+ =
+ =
4.
3 3
log log
3 3
2 27
log log 1
y x
x y
y x
+ =
− =
5.
2
7 12
1
6
x x
y
x y
− +
=
+ =
9
