Phương pháp biến đổi tương đương phương trình logarit

ShopKienThuc.Net
Lược đồ giải phương trình logarit
• Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình
• Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện
 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương
 Phương pháp 2: Logarit hoá và đưa về cùng cơ số
 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ
a. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ
b. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ
nhưng các hệ số vẫn còn chứa x
c. Sử dụng k ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành hệ pt với k ẩn phụ
 Phương pháp 4: Hàm số bao gồm:
a. Sử dụng tính liên tục của hàm số
b. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Bài toán 1: Biến đổi tương đương (Logarit hoá & Đưa về cùng cơ số)
Dạng 1: Phương trình:
( )
=
a
log f x b
( )
< ≠


⇔

=


b
0 a 1

f x a
Dạng 2: Phương trình:
( ) ( )
=
a a
log f x log g x

< ≠

⇔

= >

0 a 1
f(x) g(x) 0
Ví dụ 1: Giải phương trình: Log
x
(x
2
+ 4x – 4) = 3
Biến đổi tương đương pt về dạng:
Biến đổi tương đương (Logarit hoá & Đưa về cùng cơ số)
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Biến đổi tương đương pt về dạng:
< ≠

⇔

+ − =


2 3
0 x 1
x 4x 4 x
< ≠

⇔

− − + =

3 2
0 x 1
x x 4x 4 0
( )
( )
< ≠


⇔

− − =


2
0 x 1
x 1 x 4 0
< ≠


⇔
=





= ±


0 x 1
x 1
x 2
⇔ =x 2
( )
( )
 
+ − + + =
 
3 2
1 3
3
log 2 x x 2 log 2x 2 0
( )
( )
 
+ − = +
 
3 2
3 3
log 2 x x 2 log 2x 2
( )
+ >



⇔

+ − = +


3 2
2x 2 0
2 x x 2 2x 2
ShopKienThuc.Net
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:
Hãy nhớ rằng:
> −


⇔

+ − − =


3 2
x 1
x x x 2 2 2 0
( ) ( )
> −



⇔

 
− + + + =

 

2
x 1
x 2 x 2 1 x 2 0
( ) ( )
> −


⇔

 
− + + + =

 

2
x 1
x 2 x 2 1 x 2 0
( )
( )

> −



⇔ − =



+ + + =

2
x 1
x 2 0
x 2 1 x 2 0
⇔ =x 2
+ − = − + +
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log (x 2) 3 log (4 x) log (x 6)
2
( )
( )

+ >

− < < −


− > ⇔ ∗


− < <



+ >


2
x 2 0
6 x 2
4 x 0
2 x 4
x 6 0
+ − = − + +
1 1 1
4 4 4
3log x 2 3 3log (4 x) 3log (x 6)
⇔ + − = − + +
1 1 1
4 4 4
log x 2 1 log (4 x) log (x 6)
( )
⇔ + = − +
1 1
4 4
log 4 x 2 log (4 x) x 6
( )
⇔ + = − +4 x 2 (4 x) x 6
( )
( )

+ = − +

⇔

+ = − − +


4(x 2) (4 x) x 6
4(x 2) (4 x) x 6
=


= −

⇔

= +


= −

x 2
x 8
x 1 33
x 1 33
=

⇔

= −

x 2

x 1 33
• =
c
a
log b
a
clog b
• =
2
a a
a
b
• =a.b
ShopKienThuc.Net
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:
Ví dụ 5: Giải phương trình:
Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:
( )
( )
( )
+ = + + + +
3 2
1
lg x 8 lg x 58 lg x 4x 4
2
( )


+ >

+ > ⇔ > − ∗


+ + >

3
2
x 8 0
x 58 0 x 2
x 4x 4 0
( )
( ) ( )
+ = + + +
2
3
1
lg x 8 lg x 58 lg x 2
2
( )
( )
3
lg x 8 lg x 58 lg x 2⇔ + = + + +
( )
( ) ( )
3
lg x 8 lg x 58 x 2
 
⇔ + = + +

 
( )
( ) ( )
3
x 8 x 58 x 2⇔ + = + +
2
x 3x 54 0⇔ − − =
x 9
x 6
=

⇔

= −

x 9
⇔ =
( )
( )
2
9 3 3
2 log x log x.log 2x 1 1= + −
x 0
2x 1 0
2x 1 1 0

>

+ ≥



+ − >

x 0
⇔ >
( )
2
3 3 3
1
log x log x.log 2x 1 1
2
⇔ = + −
( )
2
3 3 3
1
2 log x log x.log 2x 1 1
2
 
= + −
 ÷
 
( )
2
3 3 3
log x 2log x.log 2x 1 1⇔ = + −
( )
3 3 3
log x 2log 2x 1 1 .log x 0
 

⇔ − + − =
 
( )
3
2
3 3
log x 0
log x log 2x 1 1 0
=


⇔

− + − =

( )
2
x 1
x 2x 1 1 2x 1 2 2x 1 1
=


⇔

= + − = + − + +

x 1
2 2x 1 x 2
=


⇔

+ = +

x 1
2 2x 1 x 2
=

⇔

+ = +

ShopKienThuc.Net
Ví dụ 6: Giải phương trình
( )
2
2 3 2 3 7 4 3
log x 3x 2 log x 1 log x 2
+ − −
− + + − = +
Điều kiện:
( )
2
x 3x 2 0
x 1 0 x 2
x 2

− + >

− > ⇔ > ∗



+ >

Nhận xét rằng:
( ) ( ) ( )
1
2 3 2 3 1 2 3 2 3
−
+ − = ⇒ + = −
và
( )
2
7 4 3 2 3− = −
Khi đó phương trình có dạng:
( )
2
2 3 2 3 2 3
1
log x 3x 2 log x 1 log x 2
2
− − −
− − + + − = +
( )
2
2 3 2 3 2 3
2log x 3x 2 2log x 1 log x 2
− − −
⇔ − − + + − = +
( )

( ) ( )
2
2 3 2 3 2 3
log x 3x 2 log x 1 log x 2
− − −
⇔ − − + + − = +
( )
2
2 3 2 3
x 1
log log x 2
x 3x 2
− −
−
⇔ = +
− +
2
x 1
x 2
x 3x 2
−
⇔ = +
− +

1
x 2
x 2
⇔ = +
−

( )
2
x 4 1 x 5 x 5
∗
⇔ − = ⇔ = ± ⇔ =
Ví dụ 7: Giải phương trình:
3 4 5
log x log x log x+ =
Điều kiện: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 3:

4 4 3
5 5 3
log x log 3.log x
log x log 3.log x
=
=
Khi đó phương trình có dạng:
3 4 3 5 3
log x log 3.log x log 3.log x+ =
( )
3 4 5
log x 1 log 3 log 3 0⇔ + − =

3
log x 0 x 1⇔ = ⇔ =
Ví dụ 8: Giải phương trình:
2
cosx
cos x

log 4.log 2 1=
Biến đổi phương trình về dạng:
( ) ( )
x 0
2
x 1
4 2x 1 x 2
>
=

¬ →

+ = +


x 0 x 0
2
x 1
x 1
x 4
x 4x 0
> >
=
=

¬ → ¬ →


=
− =



ShopKienThuc.Net
cosx
cosx cosx
cosx
0 cosx 1
0 cosx 1
0 cosx 1
cosx 2
log 2 1
log 2.log 2 1
1
log 2 1
cosx
2
< <

< <


< ≠



=

=
⇔ ⇔


  

=


 

= −
=





1
co1sx x k2 ,k Z.
2 3
π
⇔ = ⇔ = ± + π ∈
Ví dụ 9: Giải phương trình:
3
2x 3
log
x
2 1
−
 
 ÷
 
=

Điều kiện:
2x 3
0
x
−
> ⇔
Biến đổi phương trình về dạng:
3
2x 3
log
0
x
3
2x 3 2x 3
2 2 log 0 1 2x 3 x x 3
x x
−
 
 ÷
 
− −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
Ví dụ 10: Giải phương trình:
( )
( )
2
3
2 2
log x 1 2log x x 1− = + +
Biến đổi phương trình về dạng:

( )
3
2 2
2log x 1 2log x x 1− = + +
3
x 1 x x 1⇔ − = + +
3 3
3 3
x 1 0 x 1
x 1 x x 1 x 2 0
x 0
x 1 0 x 1
x 1 x x 1 x 2x 0
 
− > >
 
 
 
− = + + + =
 
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
− < <
 
 
 
 
− + = + + + =
 

 
Ví dụ 11: Giải phương trình:
( )
( )
2
2 1
2
log x 1 log x 1− = −
Điều kiện:
2
x 1 0
x 1
x 1 0

− >
⇔ >

− >

Biến đổi phương trình về dạng:
( )
( )
2
2 2
log x 1 log x 1− = − −
( )
( )
2
2
log x 1 x 1 0

 
⇔ − − =
 
( )
( )
2
x 1 x 1 1⇔ − − =
( ) ( )
3 2 2
1 3
x x x 0 x x 1 0 x
2
∗ ∗
+
⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ =
Ví dụ 12: Giải phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 4 2 4 2
2 2 2 2
log x x 1 log x x 1 log x x 1 log x x 1+ + + − + = + + + − +
Biến đổi phương trình về dạng:
ShopKienThuc.Net
( ) ( ) ( )
4 2 4 2 4 2
2 2 2
log x x 1 log x x 1 log x x 1+ + = + + + − +
( )
4 2 4 2
2
x 0

log x x 1 0 x x 1 1
x 1
=

⇔ − + = ⇔ − + = ⇔

= ±

Ví dụ 13: Giải phương trình:
( ) ( )
2 2
2 2 2
log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3+ + + + + = +
Điều kiện:
( )
2
2
x 4
x 3x 2
3 x 2
x 7x 12 0
x 1
< −


+ + >


⇔ − < < − ∗



+ + >



> −

Viết lại phương trình dưới dạng:
( ) ( )
2 2
2 2
log x 3x 2 . x 7x 12 log 24+ + + + =
( ) ( )
2 2
x 3x 2 x 7x 12 24⇔ + + + + =
( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 2 x 3 x 4 24⇔ + + + + =
( ) ( )
( )
2 2
x 5x 4 x 5x 6 24 2⇔ + + + + =
Đặt t = x
2
+ 5x + 4, điều kiện
( )
9
t
4
≥ − ∗∗
Khi đó (2) có dạng:

( )
( )
2
t t 2 24 t 2t 24 0 t 4
∗∗
+ = ⇔ + − = ⇔ =
Với t = 4:
2
x 0
x 5x 4 4
x 5
=

⇔ + + = ⇔

= −

thỏa điều kiện (*)
Ví dụ 14: Giải phương trình
2 3 4
log x log x log x lgx+ + =
Điều kiện: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 10:
2 2
3 3
4 4
log x log 10.lgx
log x log 10.lgx
log x log 10.lgx
=

=
=
Khi đó phương trình có dạng:
2 3 4
log 10.lgx log 10.lgx log 10.lgx lgx+ + =
( )
2 3 4
lgx log 10 log 10 log 10 1 0⇔ + + − =

lgx 0 x 1⇔ = ⇔ =
Ví dụ 15: Giải phương trình:
( )
x
x lg 1 2 xlg5 lg6+ + = +
Viết lại phương trình dưới dạng:
( )
( )
x
lg 1 2 lg6 x lg5 1+ − = −
ShopKienThuc.Net
x
x
1 2 1
lg lg
6 2
+
 
⇔ =
 ÷
 

x
x
1 2 1
6 2
+
⇔ =
Đặt t = 2
x
, điều kiện t > 0, khi đó phương trình có dạng:
( )
2
t 3 loai
1 t 1
t t 6 0
6 t
t 2

= −
+
= ⇔ + − = ⇔

=

x
2 2 x 1⇔ = ⇔ =
Ví dụ 16: Giải phương trình:
( )
( ) ( )
( )
x 1 x

5 5 5
x 1 log 3 log 3 3 log 11.3 9 1
+
− + + = −
( )
( )
( ) ( )
1
x 1
x 1 x
5 5 5
log 3 log 3 3 log 11.3 9
−
+
⇔ + + = −
( )
( )
x 1
x 1 x
3 . 3 3 11.3 9
−
+
⇔ + = −
( )
( )
1
1
2
3 . 3 3 11.3 9
3 10.3 9 0

x
x x
x x
−
+
⇔ + = −
⇔ − + =
3 9 2
0
3 1
x
x
x
x

= =

⇔ ⇔


=
=


Ví dụ 17:
( ) ( ) ( )
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4 1x x x+ + = − + +

Điều kiện:
( )
( )
2
1 0
4 0 4 1 1 4
4 0
x
x x x
x

+ >


− > ⇔ − < < ∨ < < ∗


+ >


( )
1
2 2
4
log 4 1 log
4
x
x
x
−

⇔ + =
+
4
4 1
4
x
x
x
−
⇔ + =
+
( )
( )
2
2
1 0
1
4
4 1
4 19 12 0
4
1 0
4 1
4
4 19 20 0
4 1
4
x
x
x

x
x x
x
x
x
x
x x
x
x
 + >




> −

−




+ =

+ + =

+
 

⇔ ⇔



+ <
− ≠ < −
 





−


+ + =


− + =


+


ShopKienThuc.Net
3
4
19 41
8
x
x

= −



⇔
− ±

=



( )
3
4
19 41
8
x
x
∗

= −


⇔
− +

=

