Bài tập số phức ôn tốt nghiệp

Tóm tắt lí thuyết :
1.i
2
=-1.
2.Cho số phức z=a+bi .trong đó a là phần thực b là phần ảo.
3 Cho hai số phức z
1
= a+bi , z
2
= c+di .

1 2
a c
z z
b d

=
=

=

.
4.Biểu diễn hình học của số phức:
Số phức z=a+bi đơc biểu diễn bởi điểm M(a,b) trên mp tọa độ.
5.Môđun của số phức: z=a+bi
2 2
z a b = +
.
6. Số phức liên hợp của z= a+bi là :
z a bi=
.

7.
z z=
2 2
a b= +
8.
z z=
.
9.Phép cộng và trừ số phức :

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.


(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
10.Phép nhân:

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
( phép nhân hai só phức đợc thực hiện theo quy tắc nhân đa thức sau đó ta thay i
2
bằng -1 vào kết quả nhận
đợc)
11.Tổng và tích của hai số phức liên hợp:

2
2
2 2
2 ,
.
z z a
z z a b z z
+ =

= + = =
12. Phép chia :
2 2
c di (c+di)(a-bi) (c i)(a-bi)
a bi (a bi)(a-bi)
d
a b
+ +
= =
+ +
+
( nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu)
13. Căn bậc hai của số thực âm .

Cho a<0. khi đó a có hai căn bâc hai là :
i a
.
+Ph ơng trình bậc hai với hệ số thực :
Cho pt : ax
2
+bx+c=0 (a
0)
+
2
4b ac =
.
-Nếu

=0 thì pt có nghiệm kép x
1

=x
2
=
2
b
a

.
-Nếu

>0 thì pt có hai nghiệm phân biệt x
1,2
=
2
b
a

.
-Nếu

<0 thì pt có hai nghiệm phức : x
1,2
=
2
b i
a

.
Bài tập
Dạng 1: Các phép toán về số phức

Câu1: Thực hiện các phép toán sau:
a. (2 - i) +
1
2i
3


ữ

b.
( )
2 5
2 3i i
3 4


ữ

c.
1 3 1
3 i 2i i
3 2 2
+ +

ữ ữ

d.
3 1 5 3 4
i i 3 i
4 5 4 5 5

+ + +

ữ ữ ữ

Câu2: Thực hiện các phép tính sau:
a. (2 - 3i)(3 + i) b. (3 + 4i)
2
b.
3
1
3i
2


ữ

Câu3: Thực hiện các phép tính sau:
a.
1 i
2 i
+

b.
2 3i
4 5i

+
c.
3
5 i

d.
( ) ( )
2 3i
4 i 2 2i
+
+
Câu4: Giải phơng trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức
a.
( )
4 5i z 2 i = +
b.
( ) ( )
2
3 2i z i 3i + =
c.
1 1
z 3 i 3 i
2 2
= +

ữ

d.
3 5i
2 4i
z
+
=
e.
(2 3 ) 5 2

4 3
z
i i
i
+ =

,
f.(1+3i)z - (2+5i)= (2+i) z. g.(3-2i)z+ (6- 4i)= 5-i h. (3+4i)z+(1-3i)=2+5i.
5. Tìm
z
biết: a. z=2-5i , b. z=3-6i d. z=4i, e. z=
2 6i
, z=6.
6.Tính : i
3
, i
4
, i
5
, i
6
, i
10
.
7. Tính :a. ( 2i+1)
2
, b. (3i-1)
3
c.(2i+3)
3

.

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trớc

Câu1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
1.phần thực của z bằng -2.
2.phần ảo của z=3 .
3.phần thực của z thuộc khoảng (-1;2).
4.phần ảo của z thuộc đoạn [1;3].
5.phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2;2].
6. a.
1z =
. b.
1z
c.
2z
d.
1 2z<
d.
1z =
và phần ảo bằng 1.
e.
z 3 1+ =
. f.
z i z 2 3i+ =
.
7.phần thực của z thuộc khoảng (-1;2) và phần ảo của z thuộc doạn [0;1].
Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai
Câu1: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a. x

2
+ 7 = 0 b. x
2
- 3x + 3 = 0 c. x
2
-5x +7=0 d. x
2
-4x + 11=0,. e. z
2
3z + 11=0.
f. z
4
- 5z
2
- 6 = 0 g. z
4
+7z
2
8 = 0 h. z
4
-8=0 , k. z
4
-1=0.
Câu2: Giải các phơng trình sau trên tập số phức :
a.
( )
( )
2
z 3i z 2z 5 0+ + =
b.

( ) ( )
2 2
z 9 z z 1 0+ + =
.
Câu 3: Tìm modun của số phức : z=2+3i - (2i-3)
3
.
Tính: P=
2 2
(1 3 ) (1 3 )i i +