Những bài toán sử dụng định lý ta lét hay

L
N
K
M
D
C
B
A
E
K
H
Q
N
M
P
D
C
B
A
E
K
H
P
Q
N
M
D
C
B
A
Những bài toán hay Trang 1

NHỮNG BÀI TOÁN HAY LỚP 8 VÀ KHÓ LỚP 8.
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi K là trung điểm của cạnh AB. L là điểm chia đường chéo
AC theo tỉ số
3
AL
LC
=
. Chứng minh LK
⊥
LD.
BÀI GIẢI
Kẻ LM
⊥
AB và LN
⊥
AD.
Tứ giác AMLN có
µ
¶
µ
A M N= =
nên nó là hình chữ nhật.
AC là phân giác của
·
DAB
nên AL là phân giác của
·
NAM
.
Vậy tứ giác AMLN là hình vuông.

Suy ra : AM = AN , kết hợp với AB = AD nên MB = ND.
LM // BC suy ra
3
AL AM
LC MB
= =
. Do đó :
1
4
MB
AB
=
hay AB = 4MB
Lại có AB = 2KB nên KB = 2MB. Vậy MB = MK nên MK = DN
Từ đó ΔLND = ΔLMK . Suy ra :
·
·
NLD KLM=
nhưng
·
·
0
90MLK KLN+ =
nên
·
·
0
90KLN NLD+ =

Vậy LK

⊥
LD (đpcm).
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đáy
BC và AD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q.
Chứng minh MN là tia phân giác của góc
·
PMQ
.
BÀI GIẢI
Gọi K là giao điểm của MQ và AD; H là giao điểm của
PM và AD; E là giao điểm của PQ và BC.
Do MN là trục đối xứng của hình thang cân nên MN
⊥
AD
Ta cần chứng minh KN = NH
NK // ME
⇒

NK NQ
ME QE
=
(hệ quả định lý Ta-lét cho ΔNQK )
DN // BE
⇒

NQ DN
QE BE
=
(hệ quả định lý Ta-lét cho ΔNQD )
Do đó:

NK DN
ME BE
=
(1)
Chứng minh tương tự ta được:
NH AN
ME EB
=
( cùng bằng tỉ số
PN
PE
) (2)
Từ (1) & (2) kết hợp với giả thiết NA = ND suy ra : NK = NH.
Tam giác HMK có NH = NK và MN
⊥
HK nên ΔHMK cân tại M.
Do đó MN là tia phân giác của
·
HMK
(đpcm)
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC.Trên tia đối
Của tia DC lấy điểm P . Gọi Q là giao điểm của PM và AC.
Chứng minh rằng :
·
·
QNM MNP=
BÀI GIẢI
****Nguyễn Đức Nghị - trường THCS Lương Phú*****
d
2

d
1
K
Q
T
L
I
O
F
E
D
C
B
A
E
K
H
P
Q
N
M
D
C
B
A
=
=
=
=
O

E
P
Q
N
M
D
C
B
A
Những bài toán hay Trang 2
Gọi H là giao điểm của NQ và AD, K là giao điểm của NP và AD, E là
giao điểm của PQ và BC.
//
AM MQ
AM CE
CE QE
⇒ =
(hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔAQM)
//
DM PM
DM CE
CE PE
⇒ =
(hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔPCE)
Mà AM = MD ( M là trung điểm AD)
Nên
AM DM
CE CE
=
. Do đó:

MQ PM
QE PE
=
(1)
Lập luân tương tự:
//
MH MQ
MH EN
EN QE
⇒ =
(2)

//
MK PM
MK EN
EN PE
⇒ =
(3)
Từ (1); (2) ; (3) suy ra:
MH MK
MH MK
EN EN
= ⇒ =
Hình chữ nhật ABCD có M, N là trung điểm AD và BC nên MN
⊥
AD
ΔHNK có NM vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên ΔHNK cân ở N.
Do đó NM là phân giác
·
HNK

. Vậy
·
·
QNM MNP=
(đpcm)
Cách 2: Gọi O là giao điểm MN và AC, E là giao
điểm của QN và DC.
AM // CN và AM = CN (do AD// BC, AD = BC,
và M , N là trung điểm AD; BC) nên tứ giác
AMCN là hình bình hành. Suy ra: OM = ON.
ΔQPC có MO // PC nên
MO QO
PC QC
=
ΔQCE có NO // EC nên
NO QO
CE QC
=
Do đó:
MO NO
PC CE
=
. Mà OM = ON nên PC = EC.
ΔNPE có
;NC PE PC CE⊥ =
nên cân ở N
·
·
NPE NEP⇒ =
Mặt khác

·
·
·
·
;QNM QEP MNP NPE= =
(do MN // CD)
Do đó :
·
·
QNM MNP=
(đpcm)
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm E, dựng điểm F đối xứng
với C qua E. Đường thẳng d
1
đi qua F song song với AD cắt AB tại I.Đường thẳng d
2

đi qua F song song với AB cắt AD tại K.
Chứng minh ba điểm I , K , E thẳng hàng.
BÀI GIẢI
Gọi O là giao điểm của AC và BD
****Nguyễn Đức Nghị - trường THCS Lương Phú*****
x
K
H
N
M
E
C
B

A
Những bài toán hay Trang 3
L là giao điểm của d
1
và AC
Q là giao điểm của AF và KI
T là giao điểm của AF và BC
Tam giác ACF có EO là đường nên EO // AT
Tứ giác ADBT có AD// BT & BT// AD
Suy ra BT = BC ( cùng bằng AD)
Do FI // BT và IL // BC ta suy ra:
FI IL
BT BC
=
(cùng bằng
AI
AB
) , nhưng BT = BC
Nên FI = IL
Tam giác CLF có EI là đường trung bình nên IE//AC (1)
Tứ giác AKFI có AK // FI & KF // AI nên nó là hình bình hành . suy ra Q là trung điểm
của AF. Từ đó EQ là đường trung bình của tam giác AFC nên QE // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm Q ; I ; E thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)
Điểm K thuộc đường thẳng QI nên ba điểm I ; K ; E thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm E nằm giữa A và C. Gọi Bx là tia nằm giữa hai tia BA và
BC. Các đường thẳng kẻ qua E song song BC và AB cắt tia Bx lần lượt tại N và M.
Chứng minh AN // CM.
Hướng dẫn: Đã có BC // EN . Muốn MC // AN
cần chứng minh
·

·
KCM ANE=
Do đó cần chứng minh hai tam giác CMK & NEA
đồng dạng.
BÀI GIẢI:
Gọi H là giao điểm của NE và AB, K là giao điểm
của EM và BC.
Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác NHB có EM // HB ta được:

NH BH NH NE
NE ME BH ME
= ⇒ =
(1) . Tương tự HE // BC nên :
HB CE
HA AE
=
(2)
Từ (1) & (2) suy ra:
. .
NH HB NE CE
HB HA ME AE
=
. Do đó:
.
NH NE CE
HA ME AE
=
(3)
Nhưng
&

NE BK CE CK
ME MK AE BK
= =
( do EN // BK & EK // AB) nên
. .
NE CE BK CK CK
ME AE MK BK MK
= =
(4)
Từ (3) & (4) suy ra:
NH CK
HA MK
=
, mà
·
·
AHN MKC=
( cùng bằng góc ABC)
Vậy tam giác ANH & tam giác MKC đồng dạng.
Suy ra:
·
·
ANH MCK=
; kết hợp với NH // BC ta được CM //AN (đpcm)
Hết
****Nguyễn Đức Nghị - trường THCS Lương Phú*****
Những bài toán hay Trang 4
****Nguyễn Đức Nghị - trường THCS Lương Phú*****