Bài giảng Ung dung dinh ly Vi-et giai cac bai toan

Tr ờng thcs minh nghĩa
A. Phần mở đầu.
1. lý do chọn đề tài.
Trong chơng trình sách giáo khoa mới Toán lớp 9 THCS, học sinh đợc làm
quen với phơng trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của phơng trình bậc hai, đặc
biệt là định lý Viét và ứng dụng của nó trong việc giải toán.
Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại trờng T.H.C.S tôi nhận thấy các em vận
dụng hệ thức Viét vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác và sử dụng hệ
thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét có tính ứng dụng rất
rộng rãi trong việc giải toán.
Đứng trớc vấn đề đó, tôi đi sâu vào nghiên cứu đề tài: áp dụng định lý Viét
trong việc giải toán một số bài toán với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và
sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và
kích thích hứng thú học tập của học sinh.
2. đối tợng và phạm vi nghiên cứu.
Trong đề tài này, tôi chỉ đa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lý Viét
trong việc giải một số bài toán thờng gặp ở cấp T.H.C.S. Do đó chỉ đề cập đến một số
loại bài toán đó là:
a) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài
toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra
b) ứng dụng của định lý trong giải bài toán lập phơng trình bậc hai một ẩn,
tìm hệ số của phơng trình bậc hai một ẩn.
c) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán chứng minh.
d) áp dụng định lý Viét giải phơng trình và hệ phơng trình.
e) Định lý Viét với bài toán cực trị.
3.tình hình thực tế của học sinh lớp 9 trờng thcs minh nghĩa:
Đa số học sinh khối 9 là con em các gia đình thuần nông nên ngoài thời gian
học trên lớp nhiều học sinh là lao động chính của gia đình do đó các em giành nhiều
thời gian cho việc giúp gia đình làm kinh tế nên giành rất ít thời gian cho việc học.
Giáo viên: Lê Ngọc Chiến
-1-

Tr ờng thcs minh nghĩa
Mặt khác một số học sinh coi nhẹ, xem thờng việc học, lời học dẫn đến việc
hổng kiến thức ở các lớp dới và không nắm vững kiến thức trên lớp. Nhiều học sinh
rất hạn chế về khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học , khả năng trình bày một bài toán
.
4. những việc làm của bản thân
Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về phơng trình bậc hai nhất là việc
dùng định lý viét, trong quá trình giảng dạy tôi đã đa một số bài toán việc sử dụng
định lý viét dể giải sẽ dẫn đến kết quả nhanh hơn.
B. nội dung.
Định lý Viét:
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) thì:
* Hệ quả: (trờng hợp đặc biệt)
a) Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phơng
trình có một nghiệm là: x
1
= 1 còn nghiệm kia là: x
2
=
b) Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phơng

trình có một nghiệm là: x
1
= - 1 còn nghiệm kia là: x
2
=
* Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện:
thì u, v là hai nghiệm của phơng trình: x
2
Sx + P = 0.
điều kiện để có hai số u, v là: S
2
4P 0.
Giáo viên: Lê Ngọc Chiến
-2-







=
=+
a
c
xx
a
b
xx
21

21
.
a
c
a
c




=
=+
Pvu
Svu
.
Tr ờng thcs minh nghĩa
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lý Viét trong giải một
số dạng toán.
I. ứng dụng của định lý viét trong giải toán tìm điều kiện của
tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra.
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình
mx
2
- 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện
1

2
2
2
1
=+
xx
Bài giải:
Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép):
m 0 ; ' 0
' = (m - 2)
2
- m(m - 3) = - m + 4
' 0 m 4.
Với 0 m 4, theo định lý Viét, các nghiệm x
1
; x
2
của phơng trình có
liên hệ:
x
1
+ x
2
=
m
m )2(2

; x
1
.x

2
=
m
m 3

Do đó: 1 =
2
2
2
1
xx
+
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
2
2
)2(4
m
m

-

m
m )3(2

m
2
= 4m
2
- 16m + 16 - 2m
2
+ 6m
m
2
- 10m + 16 = 0
m = 2 hoặc m = 8
Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0 m 4
Vậy với m = 2 thì
2
2
2
1
xx
+
= 1
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
- 2(m - 2)x + (m
2
+ 2m - 3) = 0. Tìm m để phơng
trình có 2 nghiệm x
1

, x
2
phân biệt thoả mãn
5
11
21
21
xx
xx
+
=+

Bài giải:
Giáo viên: Lê Ngọc Chiến
-3-
Tr ờng thcs minh nghĩa
Ta phải có:







+
=+

>+=
(3)
(2)

(1)
5
xx
x
1
x
1
0.xx
03)2m(m2))(m(
21
21
21
22'

(1) ' = m
2
- 4m + 4 - m
2
- 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 m <
6
7
(2) m
2
+ 2m - 3 0 (m - 1)(m + 3) 0 m 1; m - 3
(3)
0).5)((
5.
2121
21
21

21
=+
+
=
+
xxxx
xx
xx
xx
Trờng hợp: x
1
+ x
2
= 0 x
1
= - x
2
m = 2 không thoả mãn điều kiện (1)
Trờng hợp: 5 - x
1
.x
2
= 0 x
1
.x
2
= 5
Cho ta: m
2
+ 2m - 3 = 5 (m - 2)(m + 4) = 0

=
=

K)Đ mãn(thoả 4m
(loại) 2m
Vậy với m = - 4 phơng trình đã cho có 2 nghiệm x
1
, x
2
phân biệt thoả mãn
5
x
x
1
x
1
21
21
x
+
=+
Ví dụ 3: Cho phơng trình: mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x
1
; x

2
của phơng trình thoả mãn
x
1
+ 4x
2
= 3
b) Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2
mà không phụ thuộc vào m
Bài giải:
a) Ta phải có:














+=

=+

=
+
=+
0)4()1(('
0
34
4
.
)1(2
2
21
21
21
mmm
m
xx
m
m
xx
m
m
xx
Từ (1) và (3) tính đợc:
m
m
x
m
m

x
3
85
;
3
2
12
+
=

=
Thay vào (2) đợc
m
m
m
mm 4
9
)85)(2(
2

=
+
2m
2
- 17m + 8=0
Giải phơng trình 2m
2
- 17m + 8 = 0 đợc m = 8; m =
2
1

thoả mãn điều kiện (4).
Giáo viên: Lê Ngọc Chiến
-4-
(1)
(2)
(3)
(4)
Tr ờng thcs minh nghĩa
Vậy với m = 8 hoặc m = thì các nghiệm của phơng trình thoả mãn x
1
+
4x
2
= 3.
b) Theo hệ thức Viét:
x
1
+ x
2
= 2 +
m
2
x
1
+ x
2
= 1 -
m
4
(*)

Thay
m
2
= x
1
+ x
2
- 2 vào (*) đợc x
1
x
2
= 1 - 2(x
1
+ x
2
- 2)
Vậy x
1
.x
2
= 5 - 2(x
1
+ x
2
)
Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm
chung:
x
2
+ 2x + m = 0 (1)

x
2
+ mx + 2 = 0 (2)
Bài giải:
Gọi x
0
là nghiệm chung nào đó của 2 phơng trình khi đó ta có
02
0
2
0
=++
mxx

02
0
2
0
=++ mxx
Trừ theo từng vế hai phơng trình ta đợc (m - 2)x
0
= m - 2
Nếu m = 2 cả hai phơng trình là x
2
+ 2x + 2 = 0 vô nghiệm
Nếu m 2 thì x
0
= 1 từ đó m = - 3
Với m = - 3:(1) là x
2

+ 2x 3 = 0; có nghiệm x
1
= 1 và x
2
= - 3
Và (2) là x
2
- 3x + 2 = 0; có nghiệp x
3
= 1 và x
4
= 2
Rõ ràng với m = - 3 thì hai phơng trình có nghiệm chung x = 1.
2. Bài tập:
Bài 1: Cho phơng trình x
2
- (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)
Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x
1
= 2x
2
.
Bài 2: Cho phơng trình mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
Giáo viên: Lê Ngọc Chiến
-5-
2
1