Các chủ đề tự chọn nâng cao toán 8

Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên
A. Kiến thức cơ bản
- Nắm đợc tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên
- Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập
B. Phơng pháp chung
I. Chứng minh tính chia hết trong tập hợp số nguyên
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n N hoặc n Z)
Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, ta thờng phân tích A(n)
thành thừa số, trong đó có một thừa số là m. Nừu m là một hợp số ta
phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi
chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó
Nhận xét: Trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội
của k
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
A = n
3
(n
2
- 7)
2
- 36n chí hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n
Giải:
Phân tích ra thừa số: 5040 = 2
4
.3
2
.5.7
Ta có:
A = n[n
2
(n

2
- 7)
2
- 36]
= n[(n
3
- 7n)
2
- 6
2
]
= n(n
3
- 7n - 6)(n
3
- 7n + 6)
Ta lại có:
n
3
- 7n - 6 = (n + 1)(n + 2)(n - 3)
n
3
- 7n + 6 = (n - 1)(n - 2)(n + 3)
Do đó: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3)
Đây chính là tích của bảy số nguyên liên tiếp. Trong bảy số nguyên
liên tiếp
- Tồn tại một bội của 5 nên A chia hết cho 5
- Tồn tại một bội của 7 nên A chia hết cho 7
- Tồn tại hai bội của 3 nên A chia hết cho 9
- Tồn tại ba bội của 2, trong đó có một bội của 4 nên A chia hết cho

16
A chia hết cho các số 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A
chia hết cho 5.7.9.16 = 5040
áp dụng:
1
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì
a) a
2
- a chia hết cho 2
b) a
3
- a chia hết cho 3
c) a
5
- a chia hết cho 5
d) a
7
- a chia hết cho 7
Gợi ý: Phân tích thành tích của các số nguyên liên tiếp, khi đó tồn tại
các số là bội của 2, 3, 5, 7
Ví dụ 2: Số chính phơng
a) Chứng minh rằng một số chính phơng chia cho 3 chỉ có thể có số
d bằng 0 hoặc 1
b) Chứng minh rằng một số chính phơng chia cho 4 chỉ có thể có số
d bằng 0 hoặc 1
Giải:
Gọi A là số chính phơng A = n
2
(n N)
a) Xét các trờng hợp:

n = 3k (k N) A = 9k
2
chia hết cho 3
n = 3k 1 (k N) A = 9k
2
6k +1 chia cho 3 d 1
Vậy số chính phơng chi cho 3 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc 1
b) Xét các trờng hợp
n = 2k (k N) ) A = 4k
2
chia hết cho 4
n = 2k + 1 (k N) A = 4k
2
+ 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 chia cho 4 d 1
Vậy số chính phơng chi cho 4 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc 1
áp dụng:
Trong các số sau có số nào là số chính phơng không?
M = 1992
2
+ 1993
2
+ 1994
2
N = 1992
2
+ 1993
2
+ 1994
2
+ 1995

2
P = 1 + 9
100
+ 94
100
+ 1994
100
Lu ý: Các hằng đẳng thức hay dùng để chứng minh tính chia hết của
một luỹ thừa.
a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
.b + a
n-3
.b
2
+ + a.b
n-2
+ b
n-1
) với n N
*
a
n
+ b

n
= (a + b)(a
n-1
- a
n-2
.b + a
n-3
.b
2
- - a.b
n-2
+ b
n-1
) với mọi n lẻ
Công thức Niu-tơn
2
(a + b)
n
= a
n
+ c
1
a
n-1
b + c
2
a
n-2
b
2

+ + c
n-1
ab
n-1
+ b
n
Các hệ số c
i
đợc xác định bởi tam giác Pa-xcan
áp dụng vào tính chất chia hết ta có:
a
n
- b
n
Chia hết cho a - b (a b)
a
2n+1
+ b
2n+1
Chia hết cho a + b (a - b)
(a + b)
n
= BS a + b
n
(BS a là bội số của a)
Ví dụ:
Bài tập áp dụng:
1/ Cho A = 11
100
-1

Chứng minh rằng A chia hết cho 10, chia hết cho 1000
2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16
n
- 1 chia hết cho
17 khi và chỉ khi n là số chẵn
3/ Chứng minh rằng với n N:
a) 11
n+1
+ 12
2n+1
chia hết cho 133
b) 3
4n+2
+ 2.4
3n+1
chia hết cho 17
c) 3.5
2n+1
+ 2
3n+1
chia hết cho 17
II. Tìm số d
Ví dụ: Tìm số d khi chia 2
100
a) Cho 9
b) Cho 25
c) Cho 125
Giải:
a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 2
3

= 8 = 9 - 1
Ta có: 2
100
= 2.(2
3
)
33
= 2.(9 - 1)
33
= 2.(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7
Số d khi chia 2
100
cho 9 là 7
b) Luỹ thừa của 2 sát với một bội số của 25 là 2
10
= 1024 = BS 25 - 1
Ta có: 2
100
= (2
10
)
10
= (BS 25 - 1)
10
= BS 25 + 1
Vậy số d khi chia 2
100
cho 25 là 1
c) Dùng công thức Niu-tơn:
2

100
= (5 - 1)
50
= 5
50
- 50.5
49
+ +
50.49
2
.5
2
- 50.5 + 1
Ta thấy 48 số hạng đầu tiên chứa luỹ thừa của 5 với số mũ lớn hơn 3 nên
chia hết cho 125. hai số hạng tiếp theo cũng chia hết cho 125, số hạng
cuối cùng là 1
3
Vậy số d khi chia 2
100
cho 125 là 1
Bài tập áp dụng:
a) Tìm số d của phép chia S
n
= 1
n
+ 2
n
+ 3
n
+ 4

n
cho 4
b) Chứng minh rằng:
5
2n
+ 5
n
+ 1 chia hết cho 31 với mọi n không chia hết cho 3
III. Tìm chữ số cuối cùng trong biểu diễn thập phân của một
số
Phơng pháp:
Xét số tự nhiên A = n
k
với n, k N
Cách 1:
Muốn tìm chữ số cuối cùng của A ta chỉ cần biểu diễn A dới dạng:
A = 10a + b =
ab
Thì b là chữ số cuối cùng của A
Ta viết A = n
k
= (10q + r)
k
= 10t + r
k
Thì chữ số cuối cùng của A cũng chính là chữ số của cùng của r
k
- Nếu A = 100b +
ab
=

abc
thì
bc
là hai chữ số cuối cùng của A
-
Cách 2:
Khi lấy k lần lợt những giá trị tự nhiên khác nhau thì trong biểu
diễn thập phân của số A = n
k
chữ số cuối cùng hoặc một chữ số cuối
cùng xuất hiện tuần hoàn. Ta chỉ cần tìm chu kì của hiện tợng này và A
ở trờng hợp nào với giá trị k đã cho
Cách 3: Dùng phép chia có d
Ví dụ: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2
100
khi viết trong hệ thập phân
Giải:
Ba chữ số tập cùng của 2
100
là số d của phép chia 2
100
cho 1000
Theo ví dụ trên ta có 2
100
= BS 125 + 1, mà 2
100
là số chẵn, nên ba chữ
số tân cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876
Mà 2
100

chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó cũng phải chia hết
cho 8. Trong bốn số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện
Vậy ba chữ số tận cùng của 2
100
là 376
Bài tập:
1) Tìm 4 chữ số tận cùng của 5
1994
khi viết trong hệ thập phân.
2) Tìm chữ số hàng đơn vị của số 17
1983
+ 11
1983
- 7
1983
4
3) Tìm ba chữ số cuối cùng của số A = m
100
trong đó m là một
số tự nhiên khác 0
IV. Tìm điều kiện chia hết
Ví dụ: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị
của biểu thức B
A = n
3
+ 2n
2
- 3n + 2
B = n
2

- n
Biến đổi
n
3
+ 2n
2
- 3n + 2 = (n
2
- n)(n + 3) + 2
Muốn A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n
2
- n hay n(n - 1)
do đó 2 phải chia hết cho n
n 1 -1 2 -2
n-1 0 -2 1 -3
n(n - 1) 0 2 2 6
Loại Loại
Vậy n = -1 ; n = 2
Bài tập:
1) Tìm số nguyên dơng n để n
5
+ 1 chia hết cho n
3
+ 1
2) Tìm số tự nhiên n sao cho
a) 2
n
- 1 chia hết cho 7
b) 2
n

- 1 chia hết cho 7
c) n
2
- 3n + 6 chia hết cho 5
d) n
3
- n + 1 Chia hết cho 7
e) 2.3
n
+ 3 chia hết cho 11
f) 10
n
- 1 chia hết cho 81
g) 10
n
- 1 chia hết cho 11
h) 10
n
-1 chia hết cho 121
V. Tính chia hết đối với đa thức
1. Tìm số d của phép chia mà không thực hiện phép chia
Phơng pháp:
* Đa thức chia có dạng x - a với a là hằng số
Số d của phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức
f(x) tại x = a
* Đa thức có bậc từ bậc hai trở lên
Cách 1: Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa
thức chia
Cách 2: Xét các giá trị riêng
5

Chú ý:
a
n
- b
n
Chia hết cho a - b (a b)
a
2n+1
+ b
2n+1
Chia hết cho a + b (a - b)
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì đa
thức ấy chia hết cho x - 1
Giải:
Gọi f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x + a
n
Theo giả thiết: a
0
+ a

1
+ + a
n-1
+ a
n
= 0
Số d của phép chia f(x) cho x - 1 là
r = f(1) = a
0
+ a
1
+ + a
n-1
+ a
n
= 0
Vậy f(x) chia hết cho x - 1
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số luỹ thừa bậc
chẵn bằng tổng các hệ số luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) chia hết cho x + 1
2. Tìm thơng và số d của phép chia các đa thức
Phơng pháp:
- Đặt phép chia
- Dùng sơ đồ Hoóc-ne
Đa thức bị chia
1 2
0 1 2 1

n n n
n

a x a x a x a x x


+ + + + +
Đa thức chia là x - a thơng là
1 2
0 1 2 1

n n
n n
b x b x b x b


+ + + +
số d r
Với
b
0
= a
0
b
1
= a.b
0
+ a
1
b
2
= a.b
1

+ a
2

b
n-1
= a.b
n-2
+ a
n-1
r = ab
n-1
+ a
n
3. Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức
Phơng pháp:
* Phân tích đa thức bị chi thành nhân tử, trong đó có một nhân tử
là đa thức chia
6
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng x
8n
+ x
4n
+ 1 chia hết cho x
2n
+ x
n
+ 1 với mọi
một số tự nhiên n.
Giải:

x
8n
+ x
4n
+ 1 = x
8n
+ 2x
4n
+ 1 - x
4n
= (x
4n
+ 1)
2
- (x
2n
)
2
= (x
4n
+ x
2n
+1) (x
4n
- x
2n
+1)
x
4n
+ x

2n
+1 = x
4n
+ 2x
2n
+1- x
2n
= (x
2n
+ 1)
2
- (x
n
)
2
= (x
2n
+ x
n
+1) (x
2n
- x
n
+1)
Vậy x
8n
+ x
4n
+ 1 chia hết cho x
2n

+ x
n
+ 1
* Biến đổi các đa thức chia thành một tổng các đa thức chia hết
cho đa thức chia
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng x
3m+1
+ x
3n+2
+ 1 chia hết cho đa thức x
2
+ x + 1 với
mọi số tự nhiên m, n
Giải:
x
3m+1
+ x
3n+2
+ 1 = x
3m+1
- x + x
3n+2
+ 1 - x
2
+ x
2
+ x + 1
= x(x
3m

- 1) + x
2
(x
3n
- 1) + x
2
+ x + 1
Ta thấy x
3m
- 1 và x
3n
- 1 chia hết cho x
3
- 1
Do đó x
3m
- 1 và x
3n
- 1 chia hết cho x
2
+ x + 1
Vậy x
3m+1
+ x
3n+2
+ 1 chia hết cho đa thức x
2
+ x + 1
* Sử dụng các biến đổi tơng đơng, chẳng hạn để chứng minh f(x)
chia hết cho g(x), có thể chứng minh f(x) + g(x) chia hết cho g(x) hoặc

f(x) - g(x) chia hết cho g(x)
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng f(x) chia hết cho g(x)
f(x) = x
99
+ x
88
+ x
77
+ + x
11
+ 1
g(x) = x
9
+ x
8
+ x
7
+ + x + 1
Giải:
f(x) - g(x) = x
99
- x
9
+ x
88
- x
8
+ + x
11

- x
= x
9
(x
90
- 1) + x
8
(x
80
- 1) + + x(x
10
- 1)
Các biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho x
10
- 1, mà x
10
- 1 chia
hết cho g(x)
Vậy f(x) chia hết cho g(x)
7
* Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của
đa thức bị chia
Ví dụ:
Cho f(x) = (x
2
+ x - 1)
10
+ (x
2
- x + 1)

10
- 2 chứng ming rằng f(x)
chia hết cho x
2
- x
Giải:
Đa thức x
2
- x có hai nghiệm là x = 0 và x = 1. Ta sẽ chứng minh
x=0 và x = 1 cũng là nghiệm của đa thức f(x)
8
Chủ đề 2: Giải phơng trình
A. Kiến thức cơ bản
- Nắm đợc khái niệm phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình
tích, phơng trình chứa ẩn ở mẫu.
- Có kỹ năng giải phơng trình một cách thành thạo
B. Nội dung
I. Phơng trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ 1:
Giải phơng trình a
2
x + b = a(x + b)
Giải:
a
2
x + b = a(x + b)
a
2
x + b = ax + ab
a

2
x - ax = ab - b
ax(a - 1) = b(a - 1) (1)
Nếu a 0, a 1thì phơng trình có nghiệm duy nhất
b
x
a
=
Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x
Nếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm đúng với mọi x
nếu b = 0, vô nghiệm nếu b 0
Kết luận:
Nếu a 0, a 1thì phơng trình có nghiệm duy nhất
b
x
a
=
Nếu a = 1 hoặc a = 0 và b = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x
Nếu a = 0 và b 0, phơng trình vô nghiệm
Bài tập áp dụng:
Giải phơng trình:
9
2
a+x 3
)
a-1 1 1
x-a
) 3
b+c
x-a 3

)
b+c
a+b-x a+c-x b+c-x 4
) 1
c b a
a x a
a
a a
x b x c
b
c a a b
x b x c x
c
c a a b a b c
x
d
a b c

=
+

+ + =
+ +

+ + =
+ + + +
+ + =
+ +
II. Phơng trình tích
Định nghĩa:

Phơng trình tích một ẩn là phơng trình có dạng:
A(x).B(x) = 0 (1)
Trong đó A(x), B(x), là các đa thức
Cách giải:
Giải từng phơng trình A(x) = 0, B(x) = 0, rồi lấy tất cả các
nghiệm của chúng.
Chú ý:
Việc phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong
việc đa phơng trình về dạng phơng trình tích. Ngoài ra ta còn dùng ph-
ơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1:
Giải phơng trình:
(x + 3)
3
- (x + 1)
3
= 56
Giải:
(x + 3)
3
- (x + 1)
3
= 56
x
3
+ 9x
2
+ 27x + 27 - x
3
- 3x

2
- 3x- 1 = 56
6x
2
+ 24x -30 = 0
6(x
2
+ 4x - 5) = 0
x
2
- x + 5x - 5 = 0
x(x - 1) + 5(x - 1) = 0
(x - 1)(x + 5) = 0
Kết luận: S = {1; -5}
10
Chú ý:
Có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ x + 2 = y (x + 2 là trung bình
cộng của x + 3 và x + 1)
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
(x - 6)
4
+ (x - 8)
4
= 16
Giải:
Đặt x - 7 = y, phơng trình trở thành:
(y + 1)
4
+ (y - 1)
4

= 16
Rút gọn ta đợc:
y
4
+ 6y
2
- 7 = 0
Đặt y
2
= z (z 0), ta có z
2
+ 6z - 7 = 0 (z - 1)(z + 7) = 0
Phơng trình này cho z
1
= 1, z
2
= -7 (loại)
Với z = 1, nên y = 1
Từ đó x
1
= 8 ; x
2
= 6
Chú ý:
Khi giải phơng trình bậc bốn dạng (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c ta thờng
đặt ẩn phụ

2
a b
y x
+
= +

áp dụng: Giải phơng trình:
a) (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 2
b) (x + 1)
4
+ (x - 3)
4
= 82
c) (x - 2)
4
+ (x - 3)
4
= 1
d) (x - 2,5)
4
+ (x -1,5)
4
= 1
* Phơng trình đối xứng (các hệ số có tính đối xứng)
Trong phơng trình đối xứng nếu a là nghiệm thì
1

a
cũng là nghiệm
+ Phơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các
nghiệm là x = -1
+ Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đa đợc về phơng trình bậc n
bằng cách đặt ẩn phụ
1
y x
x
= +
Ví dụ 3:
Giải phơng trình:
11
a) 2x
3
+ 7x
2
+ 7x + 2 = 0
b) x
4
- 3x
3
+ 4x
2
- 3x + 1 = 0
Giải:
a) Biến đổi phơng trình thành:
(x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0
Phơng trình có ba nghiệm: x
1

= -1 ; x
2
= -2 ;
3
1
2
x
=
b) Cách 1:
Đa phơng trình về dạng: (x + 1)
2
(x
2
- x + 1) = 0
Phơng trình có một nghiệm x = -1
Cách 2:
Chia cả hai vế của phơng trình cho x
2
(vì x = 0 không là nghiệm
của phơng trình) ta đợc:
2
2
1 1
3 4 0x x
x x

+ + + =
ữ ữ

Đặt

1
y x
x
= +
thì
2 2
2
1
2x y
x
+ =
, ta đợc:
y
2
- 3y + 2 = 0 nên y
1
= 1; y
2
= 2
Với y
1
= 1, ta có x
2
- x + 1 = 0, vô nghiệm
Với y = 2, ta có x
2
- 2x + 1 = 0 nên x = 1
Bài tập áp dụng:
Giải phơng trình
a) x

4
+ 3x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1 = 0
b) x
5
- x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
- x + 1 = 0
c) x
4
- 3x
3
+ 4x
2
- 3x + 1 = 0
d) 6x
4
+ 5x
3
- 38x
2
+ 5 + 6 = 0
3. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu

Các bớc giải:
- Tìm điều kiện xác định của phơng trình
- Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phơng trình rồi khử mẫu thức
- Giải phơng trình vừa nhận đợc
- Nghiệm của phơng trình là các giá trị tìm đợc của ẩn thoả mãn
điều kiện xác định.
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
12
1 3 2
(1)
2 4 ( 2)(4 )
x x
x x x x
+
+ =

Giải:
ĐKXĐ của phơng trình là x 2, x 4
Biến đổi phơng trình (1) ta đợc:
(x - 1)(x - 4) + (x + 3)(x - 2) = -2
Thu gọn phơng trình ta đợc: 2x(x - 2) = 0 (2)
Ngiệm của (2) x
1
= 0 ; x
2
= 2
x
1
= 0 thoả mãn ĐKXĐ; x
2

= 2 không thoả mãn ĐKXĐ
Vậy S = {0}
Bài tập:
Giải phơng trình với các tham số a, b
1 1 1 1
)
x+a 3
) 2
x+3
a
a b x a b x
x
b
x a
+ + =
+ +

+ =

4) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
a) Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Bớc 1:
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết.
- Lập phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng.
Bớc 2: Giải phơng trình.
Bớc 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời
Ví dụ 1:
Vào thế kỉ thứ III trớc công nguyên, vua xứ Xi-ra-cút giao cho Ac-
si-met kiểm tra xem chiếc mũ bằng vàng của mình có pha thêm bạc hay

không. Chiếc mũ có trọng lợng 5 niutơn (theo đơn vị hiện nay), khi
nhúng ngập trong nớc thì trọng lợng giảm đi 0,3 niutơn
Biết rằng khi cân trong nớc, vàng giảm
1
20
trọng lợng, bạc giảm
1
10
trọng lợng. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam bạc (vật có khối lợng 100
gam trì trọng lợng bằng 1 niutơn)
Giải:
13
Gọi trọng lợng bạc trong mũ là x (niutơn) (0 < x < 5). Trọng lợng
vàng trong mũ là 5 - x (niutơn)
Khi nhúng ngập trong nớc, trọng lợng bạc giảm
10
x
(niutơn), trọng
lợng vàng giảm
5
20
x
(niutơn)
Ta có phơng trình:
5
0,3
10 20
x x
+ =

Giải phơng trình ta đợc x = 1
Vậy trọng lợng bạc trong mũ là 1 niutơn.
Chiếc mũ chứa 100 gam bạc.
Chú ý:
Khi giải bài toán bằng cách lập phơng trình, ngoài ẩn đã chọn đôi
khi ngời ta còn biểu thị những đại lợng cha biết khác bằng chữ. Điều lý
thú là các chữ đó tuy tham gia vào quá trình giải toán nhng chúng lại
không có mặt trong đáp số của bài toán.
Ví dụ 2:
Một ngời đi nửa quãng đờng AB với vận tốc 20 km/h, và đi phần
còn lại với vận tốc 30 km/h. Tính vận tốc trung bình của ngời đó trên cả
quãng đờng.
Giải:
Gọi vận tốc trung bình phải tìm là x (km/h). Ta biểu thị một nửa
quãng đờng AB là a km (a > 0).
Thời gian ngời đó đi nửa đầu quãng đờng là
20
a
giờ, thời gian ngời
đó đi nửa sau quãng đờng là
30
a
giờ,
Ta có phơng trình:
2
20 30
a a a
x
+ =
Giải phơng trình ta đợc x = 24

Vậy vận tốc trung bình của ngời đó trên cả quãng đờng là 24km/h.
Bài tập:
1) Một khách du lịch đi từ A đến B nhận thấy cứ 15 phút lại gặp
một xe buýt đi cùng chiều vợt qua, cứ 10 phút lại gặp một xe buýt chạy
14
ngợc lại. Biết rằng các xe buýt đều chạy với cùng một vận tốc, khởi
hành sau những khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại trên đ-
ờng (trên chiều từ A đến B cũng nh chiều ngợc lại). Hỏi cứ sau bao
nhiêu phát thì các xe buýt lại lần lợt rời bến?
2) Trên quãng đờng AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe
buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi
theo chiều ngợc lại. Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc nh
nhau.
Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phút lại gặp
một xe đi từ B về phía mình. Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ
A vợt qua ngời đó?
15
Chủ đề 3: Chứng minh bất đẳng thức
A. Mục tiêu
Học sinh nắm đợc các tính chất của bất đẳng thức, nắm đợc các
hằng bất đẳng thức, các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Biết chứng minh bất đẳng thức một cách thành thạo.
B. Kiến thức cơ bản
I. Các tính chất của bất đẳng thức
- Tính bắc cầu: a > b ; b > c a > c
- Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số
a > b a + c b + c
- Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số:
a > b ; c > 0 ac > bc
a > b ; c < 0 ac < bc

- Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều,
a > b ; c > d a + c > b + d
- Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều, đợc bất đẳng thức
cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ:
a > b ; c < d a - c > b d
- Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm
a > b 0 ; c > d 0 ac > bd
- Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức:
a > b > 0 a
n
> b
n

a > b a
n
> b
n
với n lẻ
a b
>
a
n
> b
n
với n chẵn
- So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ dơng:
Nếu m > n > 0 thì: a > 1 a
m
> a
n

a = 1 a
m
= a
n
0 < a < 1 a
m
< a
n
- Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng
dấu
16
a > b , ab > 0
1 1
a b
<
II. Các hằng bất đẳng thức:
1. Ngoài các hằng bất đẳng thức a
2
0 ; -a
2
0, cần nhớ các hằng
bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối:
0a

Xẩy ra đẳng thức khi a = 0
a a

Xẩy ra đẳng thức khi a 0
a b a b
+ +

Xẩy ra đẳng thức khi ab 0
a b a b

Xẩy ra đẳng thức khi ab > 0 và
a b
2. Một số hằng bất đẳng thức khác có thể sử dụng nh một bổ đề để
giải toán.
a
2
+ b
2
2ab;
2
2
a b
ab
+


ữ

Hay (a + b)
2
4ab (bất đẳng thức Cô-si);
1 1 4
a b a b
+
+
với a, b > 0
2

a b
b a
+
với a, b > 0
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
(Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)
III. Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức:
1. Dùng định nghĩa
Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A - B và chứng minh A - B > 0
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) -1
Giải: Xét hiệu
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (-1) = (x
2
- 5x + 4)(x
2
- 5x + 6) + 1
Đặt x
2
- 5x + 5 = y ta đợc
(y - 1)(y + 1) + 1 = y

2
0
Vậy (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) -1
17
2. Dùng phép biến đổi tơng đơng
Ví dụ 2:
Cho các số dơng a và b thoả mãn điều kiện a + b = 1
Chứng minh rằng:
1 1
1 1 9
a b

+ +
ữ ữ

(1)
Ta có:
1 1 a+1 1
1 1 9 . 9
a
b
a b b
+

+ +
ữ ữ

ab + a + b + 1 9ab (vì ab > 0)
a + b + 1 8ab (vì a + b = 1)
2 8ab

1 4ab
(a + b)
2
4ab (vì a + b = 1)
(a - b)
2
0 luôn đúng
Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh
Xẩy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b
3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức
Ví dụ 3:
Cho a + b > 1. Chứng minh rằng:
4 4
1
8
a b
+ >
Giải: Ta có
a + b + 1 > 0 (1)
Bình phơng hai vế:
(a + b)
2
> 1 a
2
+ 2ab + b
2
> 1 (2)
Mặt khác
(a - b)
2

0 a
2
- 2ab + b
2
0 (3)
Cộng từng vế (2) và (3)
2(a
2
+ b
2
) > 1 a
2
+ b
2
>
1
2
(4)
Bình phơng hai vế của (4)
18
a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
>
1

4
(5)
Mặt khác
(a
2
- b
2
)
2
0 a
4
- 2a
2
b
2
+ b
4
0 (6)
Cộng từng vế (5) và (6)
2(a
4
+ b
4
) >
1
4
a
4
+ b
4

>
1
8
4. Dùng phơng pháp phản chứng
Ví dụ 4:
Cho a
2
+ b
2
2. Chứng minh rằng: a + b 2
Giải:
Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế ta đợc:
a
2
+ 2ab + b
2
> 4 (1)
Mặt khác ta có:
(a - b)
2
0 2ab a
2
+ b
2
a
2
+ 2ab + b
2
2(a
2

+ b
2
)
Mà 2(a
2
+ b
2
) 4 (giả thiết), do đó
a
2
+ 2ab + b
2
4 Mâu thuẫn với (1)
Vậy a + b 2
C. Bài tập áp dụng:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2
2 2 2
a b c c b a
b c a b a c
+ + + +
2) Chứng minh các bất đẳng thức với a, b , c là các số dơng:
a)
( )
1 1 1
9a b c
a b c

+ + + +

ữ

b)
1,5
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
3) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a)
1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
+ + + +
+ + +
19
Gîi ý:
¸p dông bÊt ®¼ng thøc
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
víi x, y > 0
b)
3
a b c
b c a a c b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
c)
2

a b c
b c c a a b
+ + <
+ + +
4) Cho a + b + c = 1. Chøng minh r»ng
2 2 2
1
3
a b c
+ + ≥
5) Chøng minh r»ng víi a, b, c > 0 th×
a)
2 2
2 2
a b a b
b a b a
+ ≥ +
b)
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
c)
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥

+ + +
20
Chủ đề 4: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
A. Mục tiêu
- Học sinh nắm đợc thế nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
một biểu thức
- Biết cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu
thức
B. Các khái niệm cơ bản
1. Cho biểu thức f(x,y, )
Ta nói M là GTLN của biểu thức f(x,y, ) nếu thoả mãn hai điều
kiện sau:
- Với mọi x, y, để f(x,y, ) xác định thì
f(x,y, ) M (M là hằng số) (1)
- Tồn tại x
0
, y
0
sao cho
f(x
0
, y
0
, ) = M (2)
2. Cho biểu thức f(x,y, )
Ta nói M là GTNN của biểu thức f(x,y, ) nếu thoả mãn hai điều
kiện sau:
Với mọi x, y, để f(x,y, ) xác định thì (1)
f(x,y, ) m (m là hằng số)
- Tồn tại x

0
, y
0
sao cho
f(x
0
, y
0
, ) = m (2)
Chú ý: Nếu chỉ có điều kiện (1) và (1) thì cha thể nói gì về cực trị
của một biểu thức
Chẳng hạn ta xét biểu thức
A = (x - 1)
2
+ (x - 3)
2
Mặc dù A 0 nhng cha thể kết luận GTNN của A = 0 vì không tồ
tại giá trị nào của x để A = 0
C. Nội dung
I. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa
một biến
1. Tam thức bậc hai
Ví dụ 1:
a) Tìm GTNN của A = 2x
2
- 8x + 1
b) Tìm GTLN của B = -5x
2
- 4x + 1
Giải:

21
a) A = 2x
2
- 8x + 1 = 2(x
2
- 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)
2
- 7 -7
Min A = -7 khi và chỉ khi x = 2
b) B = -5x
2
- 4x + 1 =
2
2
4 4 9 2 9 9
5 5
5 25 5 5 5 5
x x x

+ + + = + +
ữ ữ


Max B =
9
5
khi và chỉ khi x =
2
5

áp dụng:
Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+ bx + c
a) Tìm GTNN của P nếu a > 0
b) Tìm GTLN của P nếu a < 0
2. Đa thức bậc cao hơn hai
Ví dụ 2:
Tìm GTNN của A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7)
Giải:
Ta có: A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x
2
- 7x)(x
2
- 7x + 12)
Đặt x
2
- 7x + 6 = y thì
A = (y - 6)(y + 6) = y
2
- 36 -36
Vậy Min A = -36 x
2
- 7x + 6 = 0 x
1
= 1; x
2
= 6
3. Phân thức có tử là hằng số mẫu là tam thức bậc hai
Ví dụ 3:

Tìm GTNN của
2
2
6 5 9
A
x x
=

Giải:
( )
2
2
2 2
9 6 5
3 1 4
A
x x
x

= =
+
+
Ta thấy (3x - 1)
2
0 nên (3x - 1)
2
+ 4 4
Do đó
( )
2

1 1
4
3 1 4x

+

( )
2
2 2
4
3 1 4x


+

1
2
A
22

1 1
3x-1 =0 x=
2 3
Min A =
4. Phân thức có mẫu là bình phơng của một nhị thức
Ví du 4:
Tìm GTNN của
2
2
3 8 6

2 1
x x
A
x x
+
=
+
Giải:
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
2 4 2 4 4
2
3 8 6
2 2
2 1
1 1
x x x x
x
x x
A
x x
x x

+ + +

+
= = = +
+

Min A = 2 khi và chỉ khi x = 2
II. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức có quan
hệ ràng buộc giữa các biến
Ví dụ 1:
Tìm GTNN của A = x
3
+ y
3
+ xy biết rằng x + y = 1
Giải:
Sử dụng kiều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A:
A = (x + y)(x
2
- xy + y
2
) + xy
= x
2
- xy + y
2
+ xy
= x
2
+ y

2
Đến đay có nhiều cách giải:
Cách 1:
Biểu thị y theo x rồi đa về tam thức bậc hai đối với x:
Thay y = x - 1vào biểu thức A ta đợc
( )
( )
2
2
2 2
1 1 1
1 2 1 = 2 x-
2 2 2
A x x x x

= + = + +
ữ

Min A =
1
2
khi và chỉ khi x =
1
2
, y =
1
2
Cách 2:
23
Sử dụng các điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức mới có

chứa A:
Bài tập:
1) Cho x + y + z = 3
a) Tìm GTNN của A = x
2
+ y
2
+ z
2
b) Tìm GTLN của B = xz + yz + zx
c) Tìm GTNN của A + B
2) Tìm GTNN của các biểu thức
A = (x + 8)
4
+ (x + 5)
4

B = (x - 1)(x - 3)(x
2
- 4x + 5)
3 7C x x
= + +
2 2
1 2D x x x x
= + +
3) Tìm GTNN, GTLN của
2
2
2
27 12

9
3 2 3
1
x
A
x
x x
B
x

=
+
+
=
+
4) Tìm GTNN của
( )
1 1
A a b
a b

= + +
ữ

với a, b > 0
( )
1 1 1
B a b c
a b c

= + + + +
ữ

với a, b, c > 0
( )
1 1 1 1
B a b c d
a b c d

= + + + + + +
ữ

với a, b, c, d > 0
24
Chủ đề 5: Phơng pháp diện tích trong chứng minh
hình học
A. Mục tiêu
- Sử dụng các công thức tính diện tích để thiết lập quan hệ về độ dài
của các đoạn thẳng để chứng minh hình học
- Có kỹ năng sử dụng các công thức tính diện tích để chứng minh
hình học
B. Sử dụng các công thức tính diện tích để
chứng minh hình học.
Ví dụ 1:
Cho tam giác đều ABC.
a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC
thì tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác bằng
chiều cao tam giác.
b) Quan hệ trên thay đổi nh thế nào nếu điểm M thuộc miền ngoài
tam giác

Giải:
Gọi a và h là cạnh và chiều cao của tam giác ABC, MA, MB,
MC là các khoảng cách từ M đến BC, AC, AB
a) Nếu M thuộc miền trong ABC thì
C'
B'
A'
A
B
C
M
S
MBC
+ S
MAC
+ S
MAB
= S
ABC
( )
( )
1 1 1 1
. ' . ' . ' .
2 2 2 2
a
' ' '
2 2
' ' '
BC MA AC MB AB MC BC AH
a

MA MB MC h
MA MB MC h
+ + =
+ + =
+ + =
b) Nếu M thuộc miền ngoài ABC và thuộc miền trong góc A
(miền 2) thì:
25