Tuyển tâp đề thi HSG THPT số 1 Bảo yên-Lao cai

Sở GD&DT Lào Cai
Trờng THPT Số 1 Bảo Yên
Kỳ Thi Chọn HSG Cấp Trờng Lớp 12 THPT
Năm học 2006-2007
Môn thi: Toán
(thời gian lam bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: Chứng minh rằng :
cbaaccbba +
+
+
+
+

++
+
++
+
++ 2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
Với a,b,c>0;a.b.c=1
Câu 2: Cho hệ phơng trình :

( )
( )



=+
=
mxmy
xmmy
2
12
22
23
a, Giải hệ phơng trình khi m=1
b, Giải và biện luận hệ phơng trình theo m
Câu 3: Cho 2 dãy số
( )
n
u
và
( )
n
v
xác định nh sau:
1,
1
1
=u
2,
*

1
,12 Nnnuu
nn
+=
+
3,
*
1
, Nnuuv
nnn
=
+
a, Chứng minh rằng dãy số
( )
n
v
là một cấp số cộng . Xác định số hạng đầu và công
sai của cấp số cộng đó .
b, Tính
m
vvv +++
21
với
*
Nm
theo m từ đó suy ra công thức tính
n
u
theo n.
Câu 4: Tìm các hàm số f,g thỏa mãn :

( ) ( )
( ) ( )



=++
=++
43613
1232
xgxf
xxgxf
Câu 5: Cho tam giác cân ABC, AB=AC. Một điểm M thay đổi trên đơng thẳng
vuông goc với mặt phẳng (ABC) tại A (m không trùng với A).
a, Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác MBC.
b, Gọi trực tâm của tam giác ABC ,hãy xác định vụ trí của M để có thể tích tứ diện
OHBC đạt giá trị lớn nhất.
Sở GD&DT Lào Cai
Trờng THPT Số 1 Bảo Yên
Kỳ Thi Chọn HSG Cấp Trờng Lớp 12 THPT
Năm học 2005-2006
Môn thi: Toán
(thời gian lam bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6 điểm)
Cho hệ phơng trình :



+=+
=+
32

12
222
aayx
ayx
a, Giải hệ phơng trình với a=2.
b, Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) ma xy nhỏ nhất.
Câu 2 : (4 điểm)
Cho
1 ,36
3
=> cbaa
Chứng minh rằng :

cabcabcb
a
++>++
22
2
3
Câu 3: (4 điểm)
Tìm hàm f(x), biết rằng:

2
4
2
1
1 x
x
x
x

f
+
=






+

( )
0x
Câu 4: (6 điểm)
Cho hình chóp tam giác DABC, N là một điểm nằm trong tam giác ABC . Các đ-
ờng thẳng qua M song song với AD,BD,CD theo thứ tự cắt các mặt phẳng (BCD),
(ACD),(ABD) tại A',B',C'.
a, Gọi N là giao điểm của DA' và BC.Chng minh rằng: A,M,N thẳng hàng.
b, CMR:
AD
MA
V
V
ABCD
MBCD
'
=
c, CMR:
CD
MC

BD
MB
AD
MA '''
++
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trong

ABC.

Sở GIáO DụC Và ĐàO TạO Kì THI CHọN HọC SINH GIỏI CấP TỉNH
LàO CAI LớP 12 THPT
Đề CHíNH THứC
NĂM HọC : 2005-2006
Đề THI MÔN TOáN
(Thời gian làm bài : 180 phút,không kể thời gian giao
đề.)
Bài số 1:(5 điểm)
1) Chứng minh rằng :
cbaaccbba +
+
+
+
+

++
+
++
+
++ 2
1

2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
Với a,b,c>0;a.b.c=1
2) Giải hệ phơng trình :





=++
=+++
24
549
yxyx
yxyx
Bài số 2:(4 điểm)
1) Tìm
Zn
sao cho phơng trình :
( ) ( )
09.3.527.5
sin22

=+
xxtgx
nnn
có nghiệm
[
)
2
;0

x
2) Cho phơng trình :
20051227
23
+++ xxax
=0 có 3 nghiệm thực phân biệt.Tìm số
nghiệm thực của phơng trình sau:
4(
20051227
23
+++ xxax
)
( )
( )
2
2
12543273 +++=+ xaxax
,với
0, aRa
Bài số 3:(3 điểm)
Cho dãy

{ }
n
u
đợc xác định nh sau:
( )





+=

+
11ln
2
1
2
1
1
nn
uu
Ru
với
*
Nn
.Tìm lim
n
u
Bài số 4:(4 điểm)
Tìm các hàm số

RRf :
thỏa mãn điều kiên :
( )( ) ( )
xfxyxyxff +=+
;
Ryx ,
Bài số 5: (4 điểm)
Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J thứ tự là trung điểm của BC và AD.Lấy G bất kì
thuộc IJ sao cho E

BC ; F

AD thỏa mãn IE=IG; JE=JG. Gọi M là giao điểm của
đờng tròn ngoại tiếp tam giác GEF và đờng phân giác của góc EGF. Tìm quỹ tích
điểm M.
Hết


Sở GIáO DụC Và ĐàO TạO Kì THI CHọN HọC SINH GIỏI CấP TỉNH
LớP 12
LàO CAI TRUNG HọC PHổ THÔNG.
Đề CHíNH THứC
NĂM HọC : 2007-2008
Đề THI MÔN TOáN
(Thời gian làm bài : 180 phút.)

Câu 1:(3 điểm):
a) (1,5 điểm) Giải hệ phơng trình :

=+
=+++
=+++
=+++
xyztzytx
tzyx
tzyx
tzyx
2
252
50
12
2222
3333
2222
b) (1,5 điểm) Giải phơng trình nghiệm dơng:
1
111
=++
zyx
Câu 2: (3 điểm) Tìm tất cả các hàm số f:R

R thỏa mãn đẳng thức:

( ) ( )

( ) ( ) ( )
[ ]
yfxfyxyfxf +=
22

Ryx ,
Câu 3:(4 điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O.Đờng phân giác của góc C cắt đ-
ờng tròn ở điểm R ,các đờng trung trực của 2 cạnh BC và CA theo thứ tự cắt CR ở P
và Q.Gọi trung điểm của CB và CA lần lợt là S vàT. Chứng minh rằng hai tam giác
QRT và PRS có diện tích bằng nhau.
Câu 4:(4 điểm):
Cho a>0 và dãy
( )
n
U
xác định bởi :
( )





++=
=
+
3
4
1log
3

1
3
31
1
nn
UU
aU
Chứng minh rằng dãy
( )
n
U
có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 5:(3 điểm):
Cho tập hợp 10 số có hai chữ số.Chứng minh rằng tập hợp đó có ít nhất 2 tập hợp con
không giao nhau, mà tổng những phần tử trong chúng bằng nhau.
Câu 6:(3 điểm):
Cho a,b,c là các sồ thực dơng.Chứng minh rằng:
( )






++++

++
cba
cba
a
c
c
b
b
a 111
2
Hết
Dự KIếN ÔN TậP
(Cm n s Ging dy tn tỡnh ca thy To n v th y Phm i An-B mụn
toỏn tin ca trng THPT s 1 Bo Yờn)
Một số: Đề thi HSG cấp tỉnh (Lào Cai) 2005-2006:
1.Giải hệ phơng trình :
a,





=+
=+
=+
33
33
33
3

3
3
xzz
zyy
yxx
b,





=++++
=++++++++
2006.200 51 111
2007.20061 111
2006321
2006321
xxxx
xxxx
2.Cho đa thức P(x) bậc 4, đa thức P(x) có hệ số cao nhất là 1.
Biết rằng : P(1)=10
P(2)=20
P(3)=30
Hãy xác định : P(10)+P(-6)
3. Cho dãy số :
1
10
==UU

1
2
1
1

+
+
=
n
n
n
U
U
U
với n=1,2,3
a, Chứng minh rằng các số hạng của dãy số đều là các số nguyên.
b, Xác định số hạng tổng quát của dãy số
n
U
theo n.

4.Cho hàm số :
ZZf :
thỏa mãn các điều kiện.
a.
( )
( )
nff
n
=

b.
( )
( )
nff
n
=+
+
2
2

c.
( )
1=
o
f

Hãy xác tính gá trị :
( ) ( )
?3?;1 == ff

5.Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn với AB<AC .Điểm D là chân đờng cao của
tam giác ABC hạ từ đỉnh A .Một đờng thẳng

đi qua điểm D cắt AC của tam giác
ABC tại I (
CIAI ;
) Điểm D nằm trên đờng thẳng

sao cho AE vuông góc với

BE
( )
DE
.Điểm F nằm trên tia đối của IA sao cho AF vuông góc với CF .Gọi
M,N lần lợt là trung điểm của đoạn BC ,EF.
a, Chứng minh rằng :

ABC~

AEF.
b, Chứng minh AN

MN.