Hoán vị tổ hợp chỉnh hợp lý thuyết và bài tập

LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy
1
ĐẠI SỐ TỔ HP
Hoán vò – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1) Quy tắc cộng :
Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y, và nếu cách chọn đối tượng x không trùng
với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào, thì có m + n cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
VD: Có 8 quyển sách khác nhau và 6 quyển vở khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong các
quyển đó?
Vì có 8 cách chọn 1 quyển sách và 6 cách chọn 1 quyển vở, khi chọn sách thì không chọn vở, hiển
nhiên có 8+6=14 cách chọn
2) Quy tắc nhân :
Nếu có m cách chọn đối tượng x, và sau đó, với mỗi cách chọn x như thế, có n cách chọn đối tượng y,
thì có m x n cách chọn đối tượng (x ; y).
VD: Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách trao 3 loại huy chương vàng, bạc,
đồng cho ba đội nhất, nhì, ba, biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất là 1 huy chương và đội nào
cũng có thể đoạt huy chương?
· Trước tiên, có 18 cách trao huy chương vàng.
· Sau đó, có 17 cách trao huy chương bạc
· Sau đó, còn 16 đội có thể nhận huy chương đồng, vậy có 16 cách trao
ð Theo quy tắc nhân, có 18 x 17 x 16 = 4896 cách trao
Hoán vò Chỉnh hợp Tổ hợp
P
n
= n!
(n ³ 1)
£ £
k
n
n!
A =

(n -k)!
(1 k n) £ £
k
n
n!
C =
k!(n -k)!
(0 k n)
k k
n n
A = k!C
n! = 1.2.3…n
n! = (n – 1)!n
0! = 1
1
n
n
n
A =1
A = n!
n
n n
P = A
0 n
n n
n-k k
n n
k-1 k k
n-1 n-1 n
C = C =1

C = C
C + C = C
Số cách xếp n phần tử vào n vò
trí có thứ tự
Số cách chọn k phần tử trong n
phần tử có thứ tự
Số cách chọn ra tập hợp con k
phần tử trong tập hợp n phần tử
không thứ tự
C
C
A
A
Ù
Ù
C
C
D
D
A
A
Ï
Ï
N
N
G
G
T
T
O

O
A
A
Ù
Ù
N
N
:
:
Dạng 1: Sử dụng các công thức hoán vò, chỉnh hợp, tổ hợp giải pt, bpt, hpt
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy
2
ì
í
³
ỵ
Û Û Û
Û Û Û
2 2
4 6 5
x x x
x nguyên dương
ĐK :
x 6
x! x! 2x! 1 1 2 1 1 2
pt + = + = + =
4!(x-4)! 6!(x-6)! 5!(x -5)! (x -5)(x-4) 5.6 5(x -5) (x -5)(x -4) 30 5(x -5)
x =14 (nhận)
30 +(x -9x +20) =12(x -4) x -21x +98 = 0
x = 7 (nha

1) Giải phương trình :C +C = 2C
é
ê
ë
än)
4
³
Û £ Û £
Û £ Û £ Û £
é
£ £ Þ
ê
=
ë
£
2 2 2
2 2 3
x x
2x
ĐK : x nguyên và x 3
1 (2x)! x! 6 x! (2x -1)2x
bpt - +10 -x(x -1) (x -2)(x -1) +10
2 (2x -2)! (x -2)! x 3!(x -3)! 2
2x -x-x + x x -3x+ 2+10 3x 12 x 4
x = 3
So đk : 3 x 4
x
2) Giải bất phương trình :
1 6
A -A C +10

2 x
ì
ï
í
ï
ỵ
³ ³
ì
ì ì
ï
Û Û Û
í í í
ỵ ỵ
ï
ỵ
x x
y y
x
y
x
y
ĐK : y nguyên dương,x nguyên, x 0,y x
Đặt u = A , v = C , hpt thành :
y!
= 20 (
A = 20
2u + 5v = 90 u = 20 (y - x)!
5u -2v = 80 v = 10
C = 10
x x

2A +5C = 90
y y
3) Giải he äphương trình :
x x
5A -2C = 80
y y
ì
ï
ï
í
ï
ï
ỵ
Û Û
é ì
Û Û Û
í
ê
ë ỵ
3)
y!
= 10 (4)
x!(y - x)!
20
Thế (3) vào (4) : =10 x! = 2 x = 2
x!
y = 5 (nhận) x = 2
y!
(3) = 20 y(y -1) = 20 ĐS :
(y - 2)! y = -4 (loại) y = 5

Dạng 2 : Dùng hoán vò, chỉnh hợp, tổ hợp để đếm số phương án
1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau xếp theo thứ tự tăng dần?
Số gồm 7 chữ số khác nhau xếp theo thứ tự tăng dần được biểu diễn qua 7 ô
¨¨¨¨¨¨¨
Để tạo ra số trên ta phải :
· Lấy ra 7 số từ 9 số (số 1 đến 9), số cách lấy là
7
9
C
· Xếp 7 số vừa lấy vào 7 ô theo thứ tự tăng dần, chỉ có 1 cách xếp
ð Số con số tạo được là
7
9
C = 36 số
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy
3
2) Một người có 6 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi đen. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 6 bi mà có ít nhất 2 bi xanh
Ta làm 2 công việc :
· Công việc 1 : Lấy tùy ý 6 bi từ 15 bi, số cách lấy là
6
15
C = 5005 cách
· Công việc 2 : Lấy vi phạm
Ø Không lấy bi xanh, số cách lấy
6
9
C
Ø Lấy 1 bi xanh, số cách lấy
1 5
6 9

C C
ð Số cách lấy vi phạm là
6
9
C +
1 5
6 9
C C = 840 cách
Số cách lấy thỏa yêu cầu bài toán là 5005 – 840 = 4165 cách
3) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số khác nhau và có tổng 8 số đó là số chẵn?
Số đó phải gồm 4 số chẵn, 4 số lẻ, được biểu diễn qua 8 ô : ¨¨¨¨¨¨¨¨
· TH1 : Trong 8 số đó có mặt số 0
Ø Đưa số 0 vào ô, có 7 cách đưa
Ø Lấy thêm 3 số chẵn từ 4 số chẵn, số cách lấy là
3
4
C
Ø Lấy thêm 4 số lẻ từ 5 số lẻ, số cách lấy là
4
5
C
Ø Xếp 7 số vừa lấy vào 7 ô, số cách xếp là 7!
ð Số con số tìm được ở TH1 là 7.
3
4
C .
4
5
C .7! = 705600 số
· TH2 : Trong 8 số đó không có mặt số 0

Ø Lấy 4 số chẵn từ 4 số chẵn, có 1 cách lấy
Ø Lấy 4 số lẻ từ 5 số lẻ, số cách lấy là
4
5
C
Ø Xếp 8 số vừa lấy vào 8 ô, số cách lấy là 8!
ð Số con số tìm được ở TH2 là
4
5
C .8! = 201600 số
Số con số thỏa yêu cầu bài toán là 705600 + 201600 = 907200 số
4) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số trong đó chữ số 9 có mặt 3 lần và các số còn lại khác nhau
Số đó được biểu diễn qua 8 ô : ¨¨¨¨¨¨¨¨
· TH1 : Trong 8 số đó có mặt số 0
Ø Đưa số 0 vào ô, có 7 cách đưa
Ø Lấy 3 ô từ 7 ô, số cách lấy
3
7
C
Ø Đưa số 9 vào 3 ô đó, chỉ có 1 cách đưa
Ø Lấy thêm 4 số từ 8 số, số cách lấy
4
8
C
Ø Xếp 4 số vừa lấy vào 4 ô, số cách xếp là 4!
ð Số con số tìm được ở TH1 là : 7.
3
7
C .
4

8
C .4! = 411600 số
· TH2 : Trong 8 số đó không có mặt số 0
Ø Lấy 3 ô từ 8 ô, số cách lấy
3
8
C
Ø Đưa số 9 vào 3 ô đó, chỉ có 1 cách đưa
Ø Lấy thêm 5 số từ 8 số, số cách lấy
5
8
C
Ø Xếp 5 số vừa lấy vào 5 ô, số cách xếp 5!
ð Số con số tìm được ở TH2 là :
3
8
C .
5
8
C .5! = 376320 số
Số con số thỏa yêu cầu bài toán là 411600 + 376320 = 787920 số
5) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn và 3 số lẻ?
Được biểu diễn qua 6 ô : ¨¨¨¨¨¨
· TH1 : Trong 3 số chẵn có mặt số 0
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy
4
Ø Đưa số 0 vào ô: có 5 cách đưa
Ø Lấy thêm 2 số chẵn từ 4 số chẵn, số cách lấy
2
4

C
Ø Lấy thêm 3 số lẻ từ 5 số lẻ, số cách lấy
3
5
C
Ø Xếp 5 số vừa lấy vào 5 ô, số cách xếp 5!
ð Số con số tìm được ở TH1 là 5.
2
4
C .
3
5
C .5! = 36000 số
· TH2 : Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0
Ø Lấy 3 số chẵn từ 4 số chẵn, số cách lấy
3
4
C
Ø Lấy thêm 3 số lẻ từ 5 số lẻ, số cách lấy
3
5
C
Ø Xếp 6 số vừa lấy vào 6 ô, số cách xếp 6!
ð Số con số tìm được ở TH2 là
3
4
C .
3
5
C .6! = 28800 số

Số con số thỏa yêu cầu bài toán là 36000 + 28800 = 64800 số
6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có số 1, 2, 3 và chúng
đứng cạnh nhau?
Vì số 1, 2, 3 đứng cạnh nhau nên ta coi đó là 1 phần tử _ gọi là a
Được biểu diễn qua 5 ô : ¨¨¨¨¨
· TH1 : Trong 5 ô, có mặt số 0
Ø Đưa số 0 vào ô, có 4 cách đưa
Ø Đưa số a vào ô, có 4 cách đưa
Ø Xếp thứ tự cho 3 số 1, 2, 3 có 3! cách xếp
Ø Lấy thêm 3 số từ 6 số, số cách lấy
3
6
C
Ø Xếp 3 số vừa lấy vào 3 ô, số cách xếp 3!
ð Số con số tìm được ở TH1 là 4.4.3!.
3
6
C .3! = 11520 số
· TH2 : Trong 5 ô, không có mặt số 0
Ø Đưa số a vào ô, có 5 cách đưa
Ø Xếp thứ tự cho 3 số 1, 2, 3 có 3! cách xếp
Ø Lấy thêm 4 số từ 6 số, số cách lấy
4
6
C
Ø Xếp 4 số vừa lấy vào 4 ô, số cách xếp 4!
ð Số con số tìm được ở TH2 là 5.3!.
4
6
C .4! = 10800 số

Số con số thỏa yêu cầu bài toán là 11520 + 10800 = 22320 số
7) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Vật
lý, 3 cuốn sách Hóa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em
một cuốn và sau khi tặng sách xong, ba thể loại Toán, Lý, Hóa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có
tất cả bao nhiêu cách tặng?
· Công việc 1 : Lấy tùy ý 6 quyển từ 12 quyển. Số cách lấy
6
12
C = 924
· Công việc 2 : Tìm số cách lấy vi phạm
Ø Lấy hết 5 quyển Toán, 1 quyển Lý, Hóa. Số cách lấy
5 1
5 7
C C
Ø Lấy hết 4 quyển Lý, 2 quyển Toán, Hóa. Số cách lấy
4 2
4 8
C C
Ø Lấy hết 3 quyển Hóa, 3 quyển Toán, Lý. Số cách lấy
3 3
3 9
C C
ð Số cách lấy vi phạm :
5 1
5 7
C C +
4 2
4 8
C C +
3 3

3 9
C C = 119
Số cách lấy thỏa ycbt là 924 – 119 = 805 cách
Sau đó phát 6 quyển cho 6 học sinh, có 6! cách phát
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy
5
Tóm lại : Có 805.6! = 579600 cách làm thỏa ycbt
8) Một người có 7 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi đen. Yêu cầu cần lấy ra 7 bi đủ 3 màu. Hỏi số cách lấy
· Công việc 1 : Lấy tùy ý 7 bi từ 16 bi, số cách lấy
7
16
C = 11440
· Công việc 2 : Tìm số cách lấy vi phạm
Ø Không lấy bi xanh, lấy 7 bi từ 9 bi đỏ, đen, số cách lấy
7
9
C
Ø Không lấy bi đỏ, lấy 7 bi từ 11 bi xanh, đen, số cách lấy
7
11
C
Ø Không lấy bi đen, lấy 7 bi từ 12 bi xanh, đỏ, số cách lấy
7
12
C
Trong quá trình đếm, khi lấy 7 bi xanh được đếm cả ở TH2 và TH3 ở công việc 2 nên số cách lấy vi
phạm là
7
9
C +

7
11
C +
7
12
C - 1 = 1157 cách
Tóm lại: Số cách lấy thỏa ycbt là 11440 – 1157 = 10283 cách
9) Cho một đa giác đều có 2n đỉnh nội tiếp trong đường tròn. Tìm n biết số hình chữ nhật vẽ được là
36.
· Vì đa giác đều có 2n đỉnh nội tiếp trong đường tròn nên có n đường kính
· Muốn có 1 hình chữ nhật ta lấy 2 đường kính từ n đường kính, số hình chữ nhật tạo được là
2
n
C
Ta có
é
Û Û Û
ê
ë
2
n
n = 9 (nhận)
n!
C = 36 = 36 n(n -1) = 72
2!(n -2)! n = -8 (loại)
10) Cho một đa giác đều có 20 cạnh. Hỏi
a) Có bao nhiêu tam giác vẽ được từ các đỉnh
Muốn có 1 tam giác ta phải lấy 3 đỉnh từ 20 đỉnh. Vậy số tam giác có được là
3
20

C = 1140
b) Có bao nhiêu tam giác mà có 2 cạnh là cạnh của đa giác
Lấy 1 cạnh của đa giác vẽ được 2 D thỏa yêu cầu
Lấy 20 cạnh của đa giác vẽ được 40 D thỏa yêu cầu
Tuy nhiên trong quá trình đếm, 1 tam giác bò đếm đến 2 lần nên số tam giác thực sự còn 20
c) Có bao nhiêu tam giác mà chỉ có 1 cạnh là cạnh đa giác
Lấy 1 cạnh của đa giác vẽ được 16 D thỏa yêu cầu
Lấy 20 cạnh của đa giác vẽ được 320 D thỏa yêu cầu
d) Có bao nhiêu tam giác mà không có cạnh nào là cạnh đa giác
Số D có được = 1140 – ( 20 + 320) = 800 tam giác
11) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và £ 46800
Số đó được biểu diễn qua 5 ô : ¨¨¨¨¨
· TH1 : Ô thứ 1 lấy số 1, 2, 3
Ø Ô thứ 1 có 3 cách chọn
Ø Lấy 4 số từ 9 số, số cách lấy
4
9
C
Ø Xếp 4 số vừa lấy vào 4 ô, có 4! cách xếp
ð Số con số tìm được ở TH1 là 3.
4
9
C .4! = 9072 số
· TH2 : Ô thứ 1 lấy số 4, ô thứ 2 lấy số < 6
Ø Ô thứ 2 có 5 cách chọn số
Ø Lấy thêm 3 số từ 8 số, số cách lấy
3
8
C
Ø Xếp 3 số vừa lấy vào 3 ô, số cách xếp 3!

ð Số con số tìm được ở TH2 là 5.
3
8
C .3! = 1680 số
· TH3 : Ô thứ 1 lấy số 4, ô thứ 2 lấy số 6, ô thứ 3 lấy số < 8
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy
6
Ø Khi đó ô thứ 3 có 6 cách chọn số
Ø Ô thứ 4 có 7 cách chọn số
Ø Ô thứ 5 có 6 cách chọn số
ð Số con số tìm được ở TH3 là 6.7.6 = 252 số
Số con số thỏa ycbt là 9072 + 1680 + 252 = 11004 số
12) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau mà không có mặt đồng thời số 0 và số 1
Số đó được biểu diễn qua 7 ô : ¨¨¨¨¨¨¨
· Công việc 1 : Tìm số con số gồm 7 chữ số khác nhau
Ø Ô thứ 1 có 9 cách chọn
Ø Lấy thêm 6 số từ 9 số, số cách lấy
6
9
C
Ø Xếp 6 số vừa lấy vào 6 ô, số cách xếp 6!
ð Số con số tìm được ở CV1 là 9.
6
9
C .6! = 544320 số
· Công việc 2 : Tìm số con số vi phạm yêu cầu, nghóa là số đó có mặt đồng thời số 0 và số 1
Ø Đưa số 0 vào ô, có 6 cách đưa
Ø Đưa số 1 vào ô, có 6 cách đưa
Ø Lấy thêm 5 số từ 8 số, số cách lấy
5

8
C
Ø Xếp 5 số vừa lấy vào 5 ô, số cách xếp 5!
ð Số con số tìm được ở CV2 là 6.6.
5
8
C .5! = 241920
Số con số thỏa ycbt là 544320 – 241920 = 302400 số
13) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và có mặt đồng thời số 1 và số 2, 2 số đó không
đứng cạnh nhau.
& CV1 : Tìm số con số gồm 7 chữ số khác nhau và có mặt đồng thời số 1 và 2.
Số đó được biểu diễn qua 7 ô : ¨¨¨¨¨¨¨
· TH1 : Có mặt số 1, 2 và có mặt số 0
Ø Đưa số 0 vào ô, có 6 cách đưa
Ø Đưa số 1 vào ô, có 6 cách đưa
Ø Đưa số 2 vào ô, có 5 cách đưa
Ø Lấy thêm 4 số từ 7 số, số cách lấy
4
7
C
Ø Xếp 4 số vừa lấy vào 4 ô, số cách xếp 4!
ð Số con số tìm được ở TH1 là 6.6.5.
4
7
C .4! = 151200 số
· TH2 : Có mặt số 1, 2 và không có mặt số 0
Ø Đưa số 1 vào ô, có 7 cách đưa
Ø Đưa số 2 vào ô, có 6 cách đưa
Ø Lấy thêm 5 số từ 7 số, số cách lấy
5

7
C
Ø Xếp 5 số vừa lấy vào 5 ô, số cách xếp 5!
ð Số con số tìm được ở TH2 là 7.6.
5
7
C .5! = 105840 số
Vậy, số con số tìm được ở CV1 là 151200 + 105840 = 257040 số
& CV2 : Tìm số con số gồm 7 chữ số khác nhau và có mặt đồng thời số 1 và 2, chúng đứng cạnh nhau
Vì số 1, 2 đứng cạnh nhau, ta coi đó là 1 phần tử _ gọi là a.
Số cần tìm được biểu diễn qua 6 ô: ¨¨¨¨¨¨
· TH1 : Có mặt số 0
Ø Đưa số 0 vào ô, có 5 cách đưa
Ø Đưa số a vào ô, có 5 cách đưa
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy
7
Ø Xếp thứ tự cho 1 và 2 có 2! cách xếp
Ø Lấy 4 số từ 7 số, số cách lấy
4
7
C
Ø Xếp 4 số vừa lấy vào 4 ô, số cách xếp 4!
ð Số con số tìm được ở TH1 là : 5.5.2!
4
7
C .4! = 42000 số
· TH2 : Không có mặt số 0
Ø Đưa số a vào ô, có 6 cách đưa
Ø Xếp thứ tự cho 1 và 2 có 2! cách xếp
Ø Lấy 5 số từ 7 số, số cách lấy

5
7
C
Ø Xếp 5 số vừa lấy vào 5 ô, số cách xếp 5!
ð Số con số tìm được ở TH2 là 6.2!.
5
7
C .5! = 30240 số
Số con số tìm được ở CV2 là 42000 + 30240 = 72240 số
Tóm lại, số con số thỏa ycbt là 257040 – 72240 = 184800 số
14) Có 5 nam và 5 nữ ngồi vào 1 dãy ghế có 10 chỗ. Hỏi số cách xếp biết họ ngồi theo phái?
· Xem 5 nam như 1 phần tử, 5 nữ như 1 phần tử, xem ghế có 2 chỗ
Số cách xếp 2 phần tử vào 2 vò trí là 2!
· Xếp 5 nam vào 5 ghế, số cách xếp là 5!
· Xếp 5 nữ vào 5 ghế, số cách xếp là 5!
ð Số cách xếp : 2!5!5! = 28800 cách
15) Một tập thể nhà khoa học gồm 2 nhà toán học và 10 nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập từ
tập thể đó một phái đoàn gồm 8 người trong đó có ít nhất một nhà toán học.
Cách 1 : Yêu cầu có ít nhất 1 nhà toán học nên ta có 2 trường hợp
· Lấy 1 nhà toán học và 7 nhà vật lý, số cách lấy
1 7
2 10
C C = 240 cách
· Lấy 2 nhà toán học và 6 nhà vật lý, số cách lấy
2 6
2 10
C C = 210 cách
ð Vậy có 240 + 210 = 450 cách lập đoàn
Cách 2 : Ta làm 2 công việc
· Lấy tùy ý 8 người từ 12 người, số cách lấy

8
12
C = 495 cách
· Lấy vi phạm (không lấy nhà toán học), chỉ lấy 8 nhà vật lý từ 10 người, số cách lấy
8
10
C = 45 cách
ð Vậy có 495 – 45 = 450 cách lập đoàn
Công thức nhò thức Niutơn
å
n
n k n-k k 0 n 1 n-1 2 n-2 2 3 n-3 3 n n
n n n n n n
k=0
(a + b) = C a b = C a + C a b + C a b + C a b + + C b
Các tính chất :
· Trong khai triển (a + b)
n
ta được (n+1) số hạng.
· Tổng số mũ của a và b trong mỗi số là n.
· Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a + b)
n
là
k n-k k
k+1 n
T = C a b
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy
8
CÁC DẠNG BÀI TẬP :
Dạng 1 : Tìm hệ số của x

n
trong khai triển nhò thức Niutơn
ỉ ư
ç ÷
ç ÷
è ø
7
1
3
1) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức Niutơn của x + với x > 0
4
x
Giải
( )
ỉ ư ỉ ư
ỉ ư ỉ ư
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
è ø è ø
Û
å å å
7-k k
7 k
7-k
1 7 7
-1
7 7 7
- k
k k k

3 3
3 3 12 4
7 7 7
4 4
k=0 k=0 k=0
4
7
1 1
Ta co ù: x + = C x = C x x = C x
x x
7 7
Yêu cầu là số hạng không chứa x nên : - k = 0 k = 4
3 12
Vậy số hạng không chứa x là C = 35
( )
é ù
ê ú
ë û
8
8 2
2) Tìm he äsố của x trong khai triển thành đa thức của 1+ x 1-x
Giải
( ) ( ) ( ) ( )
( )
£ £ £ £
é
ê
ë
å å å åå
8 8 k 8 k

8 k k-m m
m
2 3 k 2 3 k m 2 3 k m 2k+m
8 8 k 8 k
k=0 k=0 m=0 k=0 m=0
8
Ta co ù: 1+ x -x = C x - x = C C x -x = C C -1 x
Do yêu cầu bài toán nên 2k + m = 8 (với 0 k 8 và 0 m k)
m = 0, k = 4
Vậy
m = 2, k = 3
Vậy số hạng của x là : C
4 0 0 8 3 2 2 8 8
8 4 8 3
8
C (-1) x + C C (-1) x = 238x
ĐS : He äsố của x là 238
(Đại học khối D - 2007)
5 5 2 10
3) Tìm he äsố của x trong khai triển thành đa thức của : x(1-2x) + x (1+3x)
Giải
å å
5 10
5 k k k 10 m m m
5 10
k=0 m=0
5 4 4 5 3 3 5 5
5 10
5
Ta co ù(1- 2x) = C (-2) x ; (1+ 3x) = C 3 x

Do yêu cầu bài toán nên k = 4, m = 3
Vậy số hạng chứa x là : C (-2) x + C 3 x = 3320x
KL : He äsố của x là 3320
Dạng 2 : Tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức, áp dụng giải bài toán khác
P
P
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
p
p
h
h
a
a
ù
ù
p
p :
1) Nếu trong tổng có
k
n
C

k +1
, ta khai triển
( )
n
ax + b rồi lấy tích phân.
2) Nếu trong tổng có
k
n
kC , ta khai triển
( )
n
ax + b rồi lấy đạo hàm.
3) Nếu trong tổng không có 2 số hạng trên, ta khai triển
( )
n
ax + b rồi chọn a, b, x.
4) Nếu tổng có chỉ số không đầy đủ, ta đặt tổng bổ sung, tính tổng hiệu
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy
9
2 3 n+1
2 -1 2 -1 2 -1
0 1 2 n
1) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng : C + C + C + + C
n n n n
2 3 n +1
k
(C là số tổ hợp chập k của n phần tử)
n
Giải
( )

( )
é ù
é ù
Û
ê ú
ê ú
ë û
ë û
å
ò ò
n
n
k k 0 1 2 2 n n
n n n n n
k=0
b
b
b b
n+1
n 0 1 2 2 n n 0 1 2 2 3 n n+1
n n n n n n n n
a
a a
a
Ta co ù 1+ x = C x = C + C x + C x + + C x
Lấy tích phân 2 vế, ta được :
(1+ x) 1 1 1
(1+ x) dx = C + C x + C x + + C x dx = C x + C x + C x + + C x
n +1 2 3 n +1
Chọn a = 1; b

2 3 n+1 n+1 n+1
0 1 2 n
n n n n
2 -1 2 -1 2 -1 3 -2
= 2 ta được : C + C + C + C =
2 3 n +1 n +1
10 n
2) Tìm he äsố của số hạng chứa x trong khai triển nhò thức Niutơn của (2+ x) , biết :
n 0 n-1 1 n-2 2 n-3 3 n n
3 C -3 C + 3 C -3 C + + (-1) C = 2048
n n n n n
k
(n là số nguyên dương, C là số to å hợp chập k củ
n
(Đại học khối B - 2007)
a n phần tử)
Giải
( )
( )
Û
å
å
n
n
k n-k k n 0 n-1 1 n-2 2 2 n-3 3 3 n n n
n n n n n n
k=0
n 0 n-1 1 n-2 2 n-3 3 n n n 11
n n n n n
11

11
k 11-k k
11
k=0
Ta co ù: 3 -x = C 3 (-x) = 3 C -3 C x + 3 C x -3 C x + + (-1) C x
Chọn x = 1, ta được : 3 C -3 C + 3 C -3 C + + (-1) C = 2 = 2048 = 2 n = 11
Vậy 2 + x = C 2 x
Yêu ca
10
10 10
11
àu là số hạng chứa x nên k = 10
Vậy he äsố của số hạng chứa x là C .2 = 22
(Đại học khối A - 2005)
3) Tìm số nguyên dương n sao cho :
1 2 2 3 3 4 2n 2n+1
C -2.2C +3.2 C -4.2 C + + (2n +1).2 C = 2005
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
k
(C là số tổ hợp chập k của n phần tử)
n
Giải
( ) ( )
( )( ) ( )
Û
å
2n+1
2n+1 k
k k 0 1 2 2 3 3 4 4 2n+1 2n+1
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1

k=0
2n
1 2 3 2 4 3 2n+1 2n
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
Ta co ù: 1- x = C -1 x = C -C x + C x -C x + C x - C x
Lấy đạo hàm 2 vế ta được :
- 2n +1 1- x = -C + 2C x -3C x + 4C x 2n +1 C x
2n +
( )( ) ( )
( )( ) ( )
Û Û
2n
1 2 3 2 4 3 2n+1 2n
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
2n
1 2 2 3 3 4 2n 2n+1
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
1 1- x = C -2C x + 3C x - 4C x + + 2n +1 C x
Chọn x = 2, ta được :
2n +1 -1 = C -2.2C + 3.2 C - 42 C + + 2n +1 2 C = 2005
2n +1= 2005 n = 1002
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy
10
(Đại học khối A - 2007)
2n
1 1 1 1 2 -1
1 3 5 2n-1
4) Chứng minh rằng : C + C + C + + C =
2n 2n 2n 2n
2 4 6 2n 2n +1

k
( n là số nguyên dương, C là số tổ hợp chập k của n phần tử)
n
Giải
( )
å
0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n
1 3 5 2n
2n 2n 2n 2n
0 1 2 3 2n
2n 2n 2n 2n 2n
2n
2n
k k 0 1 2 2 3 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
k=0
1 1 1
Đặt A = C + C + C + + C
3 5 2n + 1
1 1 1 1
B = C + C + C + + C
2 4 6 2n
1 1 1 1
Tính A + B = C + C + C + C + + C
2 3 4 2n +1
Ta co ù: 1+ x = C x = C + C x + C x + C x + + C x
Lấy t
( )
( )

( )
é ù
é ù
ê ú
ê ú
ë û
ê ú
ë û
ò ò
b b
2n
0 1 2 2 3 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n
a a
b
2n+1
b
0 1 2 2 3 3 4 2n 2n+1
2n 2n 2n 2n 2n
a
a
0
2n
ích phân hai vế ta được :
1+ x dx = C + C x + C x + C x + + C x dx
1+ x
1 1 1 1
Û = C x + C x + C x + C x + + C x
2n +1 2 3 4 2n +1
Chọn a = 0, b = 1, ta được :

1
C +
( ) ( )
å
2n+1
1 2 3 2n
2n 2n 2n 2n
0 1 2 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
2n
2n k
k k 0 1 2 2 3 3 2n-1 2n-1 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
k=0
1 1 1 2 -1
C + C + C + + C =
2 3 4 2n +1 2n +1
1 1 1 1 1
Tính A - B = C - C + C - C + C + C
2 3 4 2n 2n +1
Ta co ù: 1-x = C -1 x = C - C x + C x -C x + C x + C x
Lấy tích
( )
( )
é ù
é ù
ê ú
ê ú
ë û
ë û

ò ò
b b
2n
0 1 2 2 3 3 2n-1 2n-1 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
a a
b
b
2n+1
0 1 2 2 3 3 4 2n-1 2n 2n 2n+1
2n 2n 2n 2n 2n 2n
a
a
phân hai vế ta được :
1- x dx = C -C x + C x -C x + C x + C x dx
-(1- x) 1 1 1 1 1
Û = C x - C x + C x - C x - C x + C x
2n +1 2 3 4 2n 2n +1
Chọn a = 0, b =
ì
ï
ï
í
ï
ï
ỵ
0 1 2 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
2n+1
2n

1 3 5 2n
2n 2n 2n 2n
1, ta được :
1 1 1 1 1 1
C - C + C - C + C + C =
2 3 4 2n 2n +1 2n +1
2 -1
A + B =
1 1 1 1 2 -1
2n +1
Giải he äphương trình : , ta được B = C + C + C + + C = (đpcm)
2 4 6 2n 2n +1
1
A - B =
2n +1
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy
11
Dạng 3 : Các dạng toán khác
n 20
1) Biết tổng các he äsố của khai triển (a+ 2b) = 3 .Tìm GTLN của các he äsố.
Giải
( ) ( ) ( )
( )
Û
å å
å
å
n n
n n-k k
k k k n-k k

n n
k=0 k=0
n
20 k k 20
n
k=0
n
n k k 20
n
k=0
Ta co ù: a+ 2b = C a 2b = C 2 a b (1)
Tổng các he äsố bằng 3 , nghóa là : C 2 = 3
Mặt khác, chọn a = 1, b = 1, thì (1) thành : 3 = C 2 = 3 n = 20
Tìm MAX các he äsố
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
> Û Û Û £
k+1 k+1
20
k+1
k k
k 20
k+1 k
o 1 2 13
:
20!
k +1 ! 19 - k ! 2k! 20 - k ! 2. 20 - k

C 2 a
40 -2k
Ta lập tỉ số : = = .2 = = =
20!
a C 2 k +1 ! 19 -k ! k +1 k +1
k! 20 - k !
40 -2k
- Muốn co ù a > a thì 1 40 -2k > k +1 k < 13 k 12
k +1
Vậy ta được a < a < a < < a
- Û ³
k+1 k
14 15 16 20
13 13 14 14
13 20 14 20
13 14 13 14
Muốn co ù a < a thì k > 13 k 14
Vậy ta được a > a > a > > a
Ta tính a = C 2 ; a = C 2
Nhận thấy a = a nên MAX các he äsố là a = a = 635043840
ỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư
ỉ ư ỉ ư ỉ ư
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
è ø è ø è ø è ø
2) Cho khai triển nhò thức :

n n n-1
n-1 n
-x -x -x -x
x-1 x-1 x-1 x-1
0 1 n-1 n
3 3 3 3
2 2 2 2
2 + 2 = C 2 + C 2 2 + + C 2 2 + C 2
n n n n
(n là số nguyên dương). Biết rằng
3 1
trong khai triển đo ùC = 5C và số hạng thư ùtư bằng 20n.
n n
Tìm n và x (Đại học khối A - 2002)
Giải
( ) ( ) ( )( )

é
Û Û Û Û
ê
ë
ỉ ư
ỉ ư
ç ÷
ç ÷
è ø è ø
ỉ ư ỉ ư
Þ Û
ç ÷ ç ÷
è ø

è ø
3 1 2
n n
3
n-3
-x x-1
3
3
2
n
3 4
-x
x-1
3
3 2
7
n = 7 (nhận)
n! 5n! 1 5
- Ta co ù: C = 5C = = n -3n - 28 = 0
3! n -3 ! n -1 ! 6 n -2 n -1 n = -4 (loại)
Trong khai triển trên, số hạng thư ùtư là C 2 2 = 20n
C 2 2 = 20.7 2 Û Û Û
2x-2 -x x-2 2
.2 = 4 2 = 2 x -2 = 2 x = 4
ĐS : n = 7, x = 4
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy
12
( )
n
n

3) Cho 1+ x = a + a x + + a x .Tìm k biết 36a =8a = 3a . Tìm n.
n
0 1
k-1 k k+1
Giải
( )
Û
³ ³
å
n
n
k k
n
k=0
k
k
k k
n
k-1 k k+1
n n n
Ta co ù: 1+ x = C x (1)
Trong khai triển đe àbài, he äsố của x là a .
Trong (1), he äsố của x là C
Vậy pt đe àbài 36C = 8C = 3C
ĐK : n nguyên dương, k nguyên, k 1, n k +1.
Vậy p
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ì
ì

ï
ï
ì
ï ï ï
Û Û Û
í í í
ï
ï ï
ỵ
ï
ï
ỵ
ỵ
ì ì ì
Û Û Û
í í í
ỵ ỵ ỵ
k-1 k
n n
k k+1
n n
9n! 2n!
9 2
=
=
k -1 ! n -k +1 ! k! n - k !
9C = 2C
n - k +1 k
t
8n! 3n! 8 3

8C = 3C
= =
k! n - k ! k +1 ! n - k -1 ! n - k k +1
9k = 2n -2k +1 11k -2n = 2 k = 2
8k + 8 = 3n -3k 11k -3n = -8 n = 10