ĐỘNG LỰC HỌC CỦA HỆ TRUYỀN ĐỘNG THỦY LỰC

Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
động lực học của hệ truyền động thủy lực
2.1. Quy luật thay đổi áp suất
2.1.1. Tính lu lợng khi biết quy luật thay đổi áp suất
Nghiên cứu mạch thủy lực ở H. 2-1, trên đó có hai yếu tố chính là lu lợng tính đến
độ đàn hồi của dầu qua C và lu lợng thực hiện chảy tầng qua R
L
H.2-1. Mạch thủy lực R
L
C
Phơng trình cân bằng lu lợng (H.2-1) là :
Q
T
= Q
C
+ Q
L

Q
C
= C.
dt
dp
và Q
L
= p/ R
L

hay: Q
T
= C.

dt
dp
+ p/ R
L
(2-1)
Nh vậy, theo công thức (2-1), nếu biết quy luật thay đổi của áp suất p thì ta có thể
xác định đợc Q
T
.
Giả sử quy luật thay đổi áp suất nh ở H.2-2a, thì lu lợng Q
L
sẽ thay đổi đồng dạng
với áp suất p (H.2-2b), vì Q
L
= p/ R
L
và Q
C
sẽ nh ở H.2-2c vì Q
C
= C.d
p
/dt.
Lu lợng tổng cộng Q
T
là tổng của Q
L
và Q
C
theo phép cộng đồ thị (H2-2d).

31
Q
T
p
Q
C
Q
L
C
R
L
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí

H.2-2. Đồ thị xác định lu lợng theo đặc tính áp suất
a- Quy luật thay đổi áp suất ; b- Lu lợng của dòng chảy tầng; c- Lu lợng do biến dạng
đàn hồi của dầu; d- Lu lợng tổng cộng.
32
tp tp t
p
t
Q
L
t
t
Q
T
t
0
0
0

0
p
1
p
2
p
3
T
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
Q
C
(p
1
/ R
L
)
(p
2
/ R
L

)
(p
3
/ R
L
)
C(p
1
/ T
1
)
C(p
3
p
2
)/
T
5
)
C[(p
2
p
1
)/ T
3
]
a)
b)
c)
d)

phóng
nạp
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
2.1.2. Xác định quy luật thay đổi áp suất khi biết lu lợng cung cấp trong mạch R
L
-
C.
Khi biết trớc nguồn lu lợng cung cấp Q
I
, có thể xác định đợc quy luật thay đổi áp suất
p(t).
Giả sử có mạch thủy lực nh H.2-3a, trong đó nguồn cung cấp lu lợng từ máy bơm bằng
Q
I
(ký hiệu I cho bơm không có tổn thất lu lợng) và một van điều khiển 2 vị trí. Khi van
đóng thì toàn bộ dầu từ máy bơm sẽ về hệ thống và khi mở thì dầu sẽ về bể dầu.

a) b)
H.2-3. Mô hình nghiên cứu quy luật thay đổi áp suất
a- Sơ đồ mạch thủy lực RL-C; b- Quy luật thay đổi áp suất
Khi van mở, toàn bộ dầu từ máy bơm cung cấp sẽ về bể dầu. Lúc đó, áp suất của hệ
thống p(t) = 0, nên tổn thất lu lợng qua R
L
bằng 0, đồng thời cha có dầu tích lũy trong C.
Khi van đóng đột ngột (t

0), thì tất cả lu lợng dầu cung cấp của máy bơm vào hệ
thống. Ban đầu áp suất còn thấp, nên cha có chất lỏng rò qua R
L
và dầu tích lũy vào C còn

rất ít. Sau một thời gian áp suất tăng lên, dầu tích lũy vào C nhiều hơn và chất lỏng rò qua
R
L
tăng dần. Kết quả này chất lỏng rò qua R
L
sẽ làm cho áp suất chỉ tăng đến mức nào đó
rồi dừng lại và không tích thêm vào C đợc nữa (P dừng). Điều này sẽ dẫn tới toàn bộ lu
lợng của máy bơm tràn qua R
L
. Khi áp suất không tăng nữa gọi là thời điểm bắt đầu dừng
và đồ thị đặc tính của áp suất thể hiện nh trên H. 2-3b.
Ta có thể liên hệ mạch thủy lực với mạch điện: Coi R
L
nh điện trở R và C nh tụ điện
trong mạch điện. Quan hệ giữa áp suất và lu lợng là tuyến tính (dòng chảy tầng- dòng điện
một chiều) hoặc là bậc 2 (dòng chảy rối - dòng xoay chiều).
33
p(t)
I
Q
I
Q
L
Q
C
R
L
C
0
p(t)

t
Vùng chuyển biến nhanh
Vùng áp suất dừng
t 0
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
Khi đóng van, phơng trình lu lợng sẽ là:
Q
I
= Q
L
+ Q
C
=
dt
dp
C
R
p
L
+
(2-2)
Giả sử p(t) tăng theo quy luật hàm mũ và có dạng tổng quát là:
p(t) = p
S
+ p
o
.
St
e
(2-3)

trong đó: p
o
, p
S
- tơng ứng là áp suất ở thòi điểm ban đầu (t

0) và ở trạng thái
dừng (áp suất làm việc ổn định).
Thay (2-3) vào (2-2), ta đợc :
Q
I
=
)(
0
L
St
L
S
R
ep
R
p
+
+ C.
dt
eppd
St
S
).(
0

+

Hay:
Q
I
=
)(
0
L
St
L
S
R
ep
R
p
+
+ C.S.
St
ep .
0
(2-4)
Theo lý thuyết về phơng trình vi phân tuyến tính, có thể tách phơng trình (2-4) thành
hai phơng trình độc lập. Các số hạng không đổi cân bằng nhau và các số hạng tồn tại trong
thời gian ngắn cân bằng nhau. Vì vậy, phơng trình (2-4) có thể viết lại nh sau:
Q
I
=
L
S

R
p
(2-5)
Và:

L
St
R
ep
0
+ C.S.
St
ep .
0
= 0 (2-6)
Do
St
e
0, suy ra:

L
R
p
0
+ C.S.p
0
= 0 (2-7)
Hoặc:

L

R
1
+ S.C = 0 , nên: S = - 1/( R
L
.C) ; (2-8)
Thay (2-5) và (2-8) vào (2-3), ta đợc :
p(t) = Q
I
R
L
+ p
o
.
CR
t
L
e

(2-9)
34
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
Tại thời điểm t = 0 van bắt đầu đóng thì p(0) = 0, nên:
p(0) = Q
I
R
L
+ p
o
.
0

e
= 0 (2-10)
Do:
0
e
= 1 nên: p
0
= - Q
I
R
L
Vậy:
p(t) = Q
I
R
L
.[1 -
CR
t
L
e

] (2-11)
Trờng hợp van mở hoàn toàn (t = 0) mà áp suất p(0) 0 thì:
p(0) = Q
I
R
L
+ p
o

.
0
e
(2-12)
Suy ra:
p
0
= p(0) - Q
I
R
L
(2-13)
Thay (2-13) vào (2-9), ta đợc:
p(t) = Q
I
R
L
+ [ p(0) Q
I
R
L
]
CR
t
L
e

Hay: p(t) = p
S
+ [ p(0) p

S
]

t
e

(2-14)

trong đó:

= R
L
.C (2-15)


đợc gọi là hằng số thời gian của đặc tính áp suất .
2.1.3. Quá trình phóng nạp dầu trong mạch R-C thủy lực
Nghiên cứu sơ đồ H.2-4, trên đó có máy bơm dầu, van trợt hai vị trí, bộ tạo tổn thất lu
lợng R
L
và bình chứa dầu C tạo khả năng tích lũy đàn hồi của dầu.
Khi đóng van, dầu đợc nạp vào bình chứa C, đặc tính của áp suất tăng theo quy luật
hàm mũ (xem mục 2.2).
Khi mở van, dầu từ máy bơm hoàn toàn trở về bể dầu đồng thời dầu đã tích lũy trong
bình C cũng đợc xả (phóng). Khi phóng R-C, áp suất cũng giảm dần theo quy luật hàm
mũ.
35
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
H.2-4. Mô hình nghiên cứu quá trình phóng, nạp dầu R-C

Chu kỳ phóng và nạp R-C thủy lực phụ thuộc vào thời gian đóng mở van. Thời gian
càng ngắn thì p
max
càng giảm và p
min
càng tăng (xem H.2-4b).
2.2. Quá trình ma sát
Ma sát là một hiện tợng tự nhiên phức tạp, có thể có lợi hoặc hại tùy thuộc vào mục
đích sử dụng của thiết bị. Đối với những hệ có dao động ngoài mong muốn thì do nhờ ma
sát sẽ cản trở hoặc hạn chế đợc dao động đó.
Lực ma sát quan hệ đến vận tốc chuyển động tuân theo đặc tính H. 2-5a. Trong đó F
0
là
lực ma sát cần thiết để vật thoát khỏi trạng thái tĩnh do hiện tợng trợt dính và F
v
là lực ma
sát nhớt khi vật chuyển động với vận tốc v. Giá trị của F
v
sẽ liên quan đến hiện tợng tắt
dần dao động trong các dao động. F
R
là lực ma sát có giá trị không đổi.
Vận tốc thực tế để lực dính kết F
0
giảm xuống F
R
là rất nhỏ (v 0) nên có thể coi Fv
sẽ xuất hiện tại v 0.
Các thành phần lực trên đợc xác định nh sau:
F

0
=
0
à
F
N
(2-16)
F
R
=
R
à
F
N
(2-17)
trong đó: F
N
lực pháp tuyến trên bề mặt trợt;

0
à
,
R
à
- tơng ứng là hệ số ma sát nhớt liên quan đến sự dính kết và trợt của các
cặp ma sát.
36
p(t)
I
Q

I
Q
L
Q
C
R
L
C
a)
0
p(t)
t
Nạp R-C Phóng R-C
Mở van
Đóng van
b)
p
min
p
ma
x
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
a) b)
H.2-5. Đồ thị quan hệ lực ma sát và vận tốc
a- Đồ thị F
ms
v thực tế; b- Đồ thị F
ms
v đã tuyến tính hóa
Nếu đờng cong ma sát nhớt F

v
chia ra thành từng đoạn nhỏ tuyến tính thì ta viết đợc :
F
v
= f
1
.v
(1)
+ f
2
.v
(2)
+ f
3
.v
(3)
+ + f
n
.v
(n)
; (2-18)

trong đó: f
i
, v
(i)

- tơng ứng là hệ số ma sát nhớt và vận tốc ứng với các đoạn chia nhỏ trên
đờng cong.
Để đơn giản cho quá trình tính toán, có thể tuyến tính hóa đờng cong F

v
. Tuy nhiên, sai
số tuyến tính nhỏ và nằm trong phạm vi cho phép ứng dụng của kỹ thuật (xem H.2-5b)
Lực ma sát nhớt đợc viết lại nh sau:
F
v
= f
v
.v (2-19)
trong đó: f
v
và v là hệ số ma sát nhớt và vận tốc chuyển động.
Thực tế, F
R
rất nhỏ và có thể bỏ qua, F
0
là lực liên kết khi vật cha chuyển động. Vì
vậy, trong quá trình thiết lập các phơng trình lực thì lực ma sát đợc tính theo công thức (2-
19)
Cũng phân tích tơng tự nh trên đối với hệ chuyển động quay, mômen ma sát đợc xác
định theo công thức;



.fM =
(2-20)
trong đó:

M
,

f
- mô men ma sát và hệ số ma sát nhớt;


- vận tốc góc của hệ chuyển động quay
37
-v
-F
ms
F
ms
F
0
-F
0
v
0
F
R
-F
R
F
v
-F
v
v
F
ms
F

0
0
F
R
Thực tế
Đã tuyến
tính hóa
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
2.3. Vận tốc chuyển động của pittông khi tính đến ma sát nhớt
a) b)
c)
H.2-6. Mô hình tính toán vận tốc chuyển động của pittông
Khi pittông của xy lanh mang khối lợng m chuyển động với vận tốc v(t), H.2-6a và sơ
đồ phân tích lực nh sơ đồ H.2-6b, ta có thể viết phơng trình cân bằng lực nh sau:
p.A
p
F
ms
F
L
= m
dt
d

(2-21)
trong đó: F
ms
= f.v là lực ma sát nhớt; f hệ số ma sát nhớt.
Nếu vận tốc chuyển động của pittông v(t) biến đổi theo quy luật hàm mũ (H. 2-6c) và
đợc xác định theo công thức:

v(t) = v
S
+ v
0
.
St
e
(2-22)
38
m
Q
p
A
R
A
p
F
L
v
m
A
p
F
L
v
p
F
ms
F
qt

v
t
v
S
v(t)
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
thì phơng trình (2-21) đợc viết lại bằng cách thay (2-22) vào (2-21), ta đợc:
p.A
p
f.v
S
f.v
0
.
St
e
F
L
= mS v
0
.
St
e
(2-23)
Tách phơng trình (2-23) thành hai phơng trình độc lập theo tính chất của phơng trình vi
phân tuyến tính, ta có:
p.A
p
f.v
S

F
L
= 0 (2-24)
f.v
0
.
St
e
= -mS v
0
.
St
e
(2-25)
Suy ra: v
S
=
f
FAp
Lp
.
(2-26)
Công thức (2-25) có
St
e
0, nên: f + Sm = 0 hay: S = -f/ m (2-27)
Tại thời điểm t = 0, thì v(0) = v
S
+ v
0

. e
0
hay: v
0
= v(0) v
S
(2-28)
Nh vậy:
v(t) = v
S
+ [v(0)- v
S
]

t
e

(2-29)
với:

= m/ s, và

đợc gọi là hằng số thời gian của đặc tính vận tốc.
2.4. Đặc tính áp suất của hệ truyền động thủy lực chuyển động tinh tiến
2.4.1. Khi xét đến các yếu tố là khối lợng chuyển động, độ đàn hồi của dầu và tính
toán lu lợng (bỏ qua ma sát nhớt)
Nh đã nói ở mục 2.1 và 2.2, R
L
thể hiện sức cản chống lại khả năng rò dầu trong hệ
thủy lực. Năng lợng p.Q

L
đi qua R
L
biến thành nhiệt năng. Cùng với ma sát F
ms
, hệ số cản
R
L
sẽ làm cản trở dao động của quá trình quá độ. nếu ma sát lớn, tổn thất lu lợng lớn thì
thời gian đáp ứng sẽ nhanh. Nh vậy, trong một số trờng hợp thì đây là yếu tố có lợi.
Phần này sẽ nghiên cứu sơ đồ thủy lực ở H.2-7a, trong đó các ký hiệu về phần tử và
thông số của hệ thủy lực giống nh đã ký hiệu ở các phần trên.
39
§iÒu khiÓn tù ®éng truyÒn ®éng thñy-khÝ


a
)
b)
H. 2-7. M« h×nh kh¶o s¸t ®Æc tÝnh p(t) khi bá qua ma s¸t nhít
Ph¬ng tr×nh c©n b»ng lu lîng:
Q
I
= Q
L
+ Q
C
+ Q
V
=

L
R
p
+
dt
dp
C
+ vA
p
; (2-30)
Ph¬ng tr×nh c©n b»ng lùc:
p.A
p
– F
L
= ma = m
dt
d
υ
(2-31)
Hay: a =
dt
d
υ
=
m
pA
p
-
m

F
L
(2-32)
40
p(t)
I
Q
I
Q
L
Q
C
R
L
C
m
Q
V
A
R
A
p
F
L
v
t = 0
v(t) p(t)

p(t)

v(t)


t


0


p
S



F
ms
= f.v
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
Tích phân hai vế phơng trình (2-32):


t
adt
0
=
dt
dt
d
t

0

= v =
m
A
p

t
pdt
0
-
m
1
dtF
t
L

0
(2-33)
Thay (2-33) vào (2-30), ta có:
Q
I
=
L
R
p
+
dt
dp
C

+
m
A
p
2

t
pdt
0
-
m
A
p
dtF
t
L

0
(2-34)
Do Q
I
không đổi nên
dt
dQ
I
= 0. Ta có thể viết:

dt
dQ
I

=
L
R
1
dt
dp
+
2
2
dt
pd
C
+
m
A
p
2
p -
m
A
p
F
L
= 0 (2-35)
Mặt khác do p(t) = p
S
+ p
0
.
St

e
nên:

dt
dp
= S.p
0
.
St
e
và
2
2
dt
pd
= S
2
.p
0
.
St
e
(2-36)
Thay (2-36) vào (2-35), ta đợc:
S
L
R
p
0
St

e
+ S
2
C.p
0
.
St
e
+
m
A
p
2
p
S
+
m
A
p
2
p
0
.
St
e
-
m
A
p
F

L
= 0 ; (2-37)
Theo tính chất của phơng trình vi phân thể tuyến tính thì (2-37) có thể tách ra thành
hai phơng trình nh sau:

m
A
p
2
p
S
-
m
A
p
F
L
= 0 ; (2-38)
và:
(
L
R
s
+ S
2
C +
m
A
p
2

) p
0
.
St
e
= 0 (2-39)
Từ biểu thức (2-38), ta rút ra đợc áp suất ở trạng thái ổn định là:
p
S =
F
L
/ A
p
(2-40)
Từ biểu thức (2-39), có p
0
0 và
St
e
0, nên:
41
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí

L
R
s
+ S
2
C +
m

A
p
2
= 0
Hay:
S
2
+
CR
s
L
.
+
Cm
A
p
.
2
= 0 (2-41)
Phơng trình (2-41) là phơng trình bậc 2 của S nên nghiệm của nó là:
S =
CR
L
.2
1

mC
A
CR
p

L
2
22
4
.
1
2
1

; (2-42)
và có 3 khả năng sau đây có thể sẩy ra:
1- Khả năng th nhất: Đại lợng S có 2 nghiệm thực không trùng nhau khi:


22
1
CR
L


4
Cm
A
p
.
2
(2-43)
và nếu đặt: S
1
= - 1/

1

và S
2
= - 1/
2

, thì:

1/
1

= -
CR
L
.2
1
-
mC
A
CR
p
L
2
22
4
.
1
2
1

; (2-44)

1/
2

= -
CR
L
.2
1
+
mC
A
CR
p
L
2
22
4
.
1
2
1

; (2-45)
Thay S
1
và S
2

vào biểu thức p(t) = p
S
+ p
0
.
St
e
, ta đợc:
p(t) = p
S
+ p
01
.
1
/

t
e

+ p
02
.
2
/

t
e

(2-46)
ở đây: p

01
va p
02
đợc xác định theo điều kiện đầu.
2- Khả năng thứ 2: S có 2 nghiệm kép là:
S
1
= S
2
= -1/
2

=
CR
L
.2
1
(2-47)
nên: p(t) = p
S
+(p
01
+ p
02
).

/t
e

(2-48)

42
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
Đây là là trờng hợp áp suất tắt dần tới hạn, điều này không phù hợp với thực tế.

3- Khả năng thứ 3: S có hai nghiệm phức, phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau về
độ lớn nhng trái dấu:
S
1
= -

+ j

; S
2
= -

- j

(2-49)
trong đó :

=
CR
L
.2
1
;

=
22

2
.
1
4
2
1
CR
mC
A
L
p

; (2-50)
áp suất p(t) đợc xác định theo công thức
p(t) = p
S
+p
01
.
t
e


.
tj
e

+ p
02
.

t
e


.
tj
e

(2-51)
Khi có nghiệm phức, hệ sẽ dao động tắt dần. Đây là trờng hợp thờng gặp thực tế .
Theo lý thuyết của Euler thì các hàm mũ phức có thể chuyển sang hàm sin hoặc cosin
nh sau:
p(t) = p
S
+A
t
e


.cos
t

+ B
t
e


.sin
t

(2-52)
Ta có thể biểu diễn đặc tính p(t) dao động tắt dần, trên tắt dần và tắt dần giới hạn nh
H.2-8.



H.2-8. Đặc tính áp suất p(t) của hệ TĐTL thủy lực ở H. 2-7a
2.4.2. Khi xét đến các yếu tố là khối lợng chuyển động, độ đàn hồi của dầu, tổn thất
lu lợng và ma sát nhớt
43
p(t)
t
0
Tắt dần giới hạn
Trên tắt dần
p
S
100%
200%
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
Bài toán này đề cập đến cả hai yếu tố tắt dần là tổn thất lu lợng và ma sát nhớt. Mô
hình khảo sát của bài toán này tơng tự nh ở H.2-7a.
Trờng hợp này cần thêm vào phơng trình cân bằng lực (2-31) một lực ma sát nhớt
(F
ms
), còn phơng trình cân bằng lu lợng (2-30) vẫn giữ nguyên. Vì vây, ta có thể viết:
Q
I
= Q
L

+ Q
C
+ Q
V
=
L
R
p
+
dt
dp
C
+ vA
p
; (2-53)
p.A
p
F
L
- fv = ma = m
dt
d

(2-54)
trong đó: fv = F
ms
- lực ma sát nhớt;
f - hệ số ma sát nhớt
Giải các phơng trình (2-53) và (2-54) bằng cách lấy đạo hàm bậc nhất của (2-53) và
lấy đạo hàm bậc nhất, bậc 2 của phơng trình p(t) = pS + p

0
St
e
để thay thế, sau đó biến đổi
và cân bằng các số hạng không đổi với nhau và các số hạng biến đổi theo thời gian với
nhau, kết quả nhận đợc:
p
S
=
L
p
pLI
R
f
A
AFfQ
+
+
2
(2-55)
và:
S
2
+

+
CRm
f
L
1
S +








+
mC
A
CmR
f
p
L
2
= 0 (2-56)
Phơng trình (2-56) là phơng trình tổng hợp, vì nó đồng thời xét đến cả ba yếu tố là độ
dàn hồi của dầu, sự rò dầu và tổn thất năng lợng do ma sát nhớt. Tùy theo mức độ ảnh h-
ởng của các yếu tố trong từng bài toán cụ thể mà có thể bỏ qua yếu tố này hay yếu tố
khác.
Lập luận để giải bài toán của phơng trình (2-56) cũng giống nh ở mục 2.4.1.

Nếu bỏ qua yếu tố ma sát (f) ở công thức (2-55) và (2-56) thì sẽ giống các công thức
(2-40) và (2-41).
Công thức xác định p
S
ở trang thái ổn định rút ra từ bài toán tổng quát (2-40) và (2-41)
tơng tự nh khi thiết lập phơng trình cân bằng lực của pittông ở trạng thái cân bằng tĩnh.
2.5. Vận tốc chuyển động của pittông khi xét đến các yếu tố là khối lợng chuyển
động, độ đàn hồi của dầu, ma sát nhớt và bỏ qua sự rò dầu

44
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
Khi không kể đến sự rò dầu (tổn thất lu lợng) thì mô hình khảo sát sẽ nh H.2-9.
H. 2-9. Mô hình khảo sát vận tốc của pittông khi bỏ qua tổn thất lu lợng
Khi đóng van (t

0), phơng trình cân bằng lu lợng và phơng trình cân bằng lực nh
sau:
Q
I
= Q
C
+ Q
V
=
dt
dp
C
+ vA
p
; (2-57)

p.A
p
fv = ma = m
dt
d

(2-58)
Rút
dt
dp
từ phơng trình (2-57) rồi thế vào phơng trình (2-58) và biến đổi, ta đợc:

dt
dp
A
p
- f
dt
d

= m
2
2
dt
d

(2-59)

C
A
C
Q
p
I
A
p
- f
dt
d

= m
2
2
dt
d

(2-60)
hay:

2

2
dt
d

+
dt
d
m
f

+

mC
A
p
2
=
mC
A
p
Q
I
(2-61)
Nghiệm của phơng trình vi phân cấp hai theo v(t) sẽ có dạng hàm mũ (phơng trình 2-
22):
v(t) = v
S
+ v
0
.

St
e

và
dt
d

= Sv
0
.
St
e
và
2
2
dt
d

= S
2
v
0
.
St
e
45
p(t)
I
Q
I

Q
C
C
m
Q
V
A
R
A
p
v
t 0
F
ms
= f.v
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
thì phơng trình (2-61) đợc viết lại nh sau:
S
2
v
0
.
St
e
+ Sv
0
m
f
St
e

+
mC
A
p
2
v
S
+
mC
A
p
2
v
0
.
St
e
=
mC
A
p
Q
I
; (2-62)
Phơng trình (2-62) có thể tách thành hai phơng trình độc lập (theo tính chất của phơng
trình vi phân tuyến tính), các số hạng không đổi bằng nhau và các số hạng phụ thuộc thời
gian bằng nahu, nghĩa là:

mC
A

p
2
v
S
=


mC
A
p
Q
I
; (2-63)

(S
2
+ S
m
f
+
mC
A
p
2
) v
0
.
St
e
= 0 (2-64)

Từ phơng trình (2-63) rút ra đợc vận tốc của pittông ở trạng thái ổn định là:
v
S
= Q
I
/ A
p
(2-65)
và nó phù hợp với hệ không có tổn thất lu lợng.
Phơng trình (2-64) có các số hạng phụ thuộc vào thời gian và có giá trị
St
e
0; vận
tốc ban đầu (ở thời điểm t = 0) là v
0
= 0 . Tuy nhiên, ở đây ta quan tâm đến trờng hợp :
S
2
+ S
m
f
+
mC
A
p
2
= 0 (2-66)

Phơng trình (2-66) có dạng nh phơng trình (2-41) khi chỉ tính đến lu lợng mà không
tính đến ma sát nhớt. Nghiệm của nó cũng đợc lý luận nh ở mục 3-4.

2.6. Tần số dao động riêng của hệ truyền động thủy lực chuyển động tịnh tiến
Các phơng trình (2-41), (2-56) và (2-66) là các phơng trình đặc trng của khâu dao
động. Chúng có thể thể viết dới dạng nh sau:
S
2
+ 2
n

S +
2
n

= 0 (2-67)
46
Điều khiển tự động truyền động thủy-khí
trong đó :

- hệ số tắt dần;

n

- tần số dao động riêng (rad/ s)
Nếu so sánh (2-67) với (2-41), (2-56) và (2-66) thì có thể tìm đợc tần số riêng
n

và hệ
số tắt dần nh sau:

2
n

=
L
mCR
f
+
mC
A
p
2
(2-68)
hay:
n

=








+
C
A
CR
f
m
p

L
2
1
=
m
C
H
(2-69)
f
n
=


2
n
, (HZ) (2-70)
trong đó : C
H
=
L
CR
f
+
C
A
p
2
(2-71)
đợc gọi là độ cứng thủy lực.
2

n

=
m
f
+
CR
L
1

hay:


=
n

2
1








+
CRm
f
L

1
(2-72 )
Trong đa số các trờng hợp, hệ số ma sát f << so với hệ số cản rò dầu R
L
, nên có thể
lấy gần đúng:
C
H

C
A
p
2
=

2
.
p
AB
(2-73)
và : f
n
=

2
1
m
BA
p
1

2

(2-74 )
Các bài toán xét ở các mục 2.4; 2.5 và 2.6 chỉ xét cho trờng hợp pittông chỉ làm việc
một chiều và chỉ một buồng dầu có áp suất. Thực tế, hầu hết các xy lanh trong công
nghiệp làm việc hai chiều và cả hai buồng đều có áp suất. Khi pittông thay đổi , thể tích
hai buồng dầu đều thay đổi nên độ cứng thủy lực cũng thay đổi, điều đó dẫn đến tần số
riêng của hệ cũng thay đổi theo.
Bằng thực nghiệm, ngời ta đã xác định đợc

thay đổi trong khoảng 0,03
ữ
0,15,
xem [3]
47
§iÒu khiÓn tù ®éng truyÒn ®éng thñy-khÝ

48
p