quy hoạch phát triển hệ thống điện, chương 5 potx

Chương 5: Phương pháp qui hoạch
xấp xỉ giải qui hoạch phi tuyến
Bài toán qui hoạch tổng quát thường là bài toán qui hoạch phi
tuyến. Chỉ cần một trong các hàm { f(X) → min (max) } hoặc {
g
i
(X) (≤,=,≥) b
i
(i = 1,2,…,m) } là các hàm phi tuyến thì bài toán
qui ho
ạch tổng quát sẽ là bài toán qui hoạch phi tuyến. Để giải bài
toán qui ho
ạch phi tuyến người ta thường áp dụng một trong các
phương pháp là: tuyến tính hóa, đưa về b
ài toán qui hoạch phi
tuyến không ràng buộc, giải trực tiếp, qui hoạch động v.v…
Phương pháp tuyến tính hoá ( qui hoạch xấp xỉ )
Xác định tập giá trị các biến: X = {x
1
, x
2
,… x
n
}
Sao cho hàm
f(x
j
) → max (min)
j = 1,2,…,n
Đồng thời thỏa mãn các điều kiện:
h

i
(X) = 0 (i = 1,2,…,m
1
)
g
i
(X) ≥ 0 (i = 1,2,…,m
2
)
trong đó, trong trường hợp tổng quát, các hàm f(x), h
i
(x), g
i
(x) đều
là hàm phi tuyến.
x
j

X

R
n
.
Ta khai tri
ển các hàm trên theo chuỗi Taylor và chỉ lấy đến hàm
b
ậc nhất. Như vậy, ở bước lặp thứ k ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

( ) ( ) '( )( ) min
( ) ( ) ' ( )( ) 0
( ) ( ) ' ( )( ) 0
k k k
i
i
k k k
i i xi i
i
k k k
i i xi i
i
f X f X f X x x
h X h X h X x x
g X g X g X x x

   


   


   





(1)
trong đó x

i
(k)
là giá trị x
i
tại bước lặp thứ k. Còn X
(k)
là vectơ X tại
bước lặp thứ k.
Như vậy ta đ
ã đưa bài toán qui hoạch phi tuyến thành bài toán qui
ho
ạch tuyến tính. Giải hệ phương trình (1) bằng phương pháp lặp
như sau:
Bước 1:
+ Chọn tập nghiệm ban đầu X
(0)
.
+ Tính các giá tr
ị f(X
(0)
), h
i
(X
(0)
), g
i
(X
(0)
).
+ L

ấy các đạo hàm f’(X), h
i
’(X), g
i
’(X) và tính giá trị của
chúng theo X
(0)
:
f’(X
(0)
), h
i
’(X
(0)
), g
i
’(X
(0)
).
+ L
ập bài toán qui hoạch tuyến tính (1).
Bước 2:
+ Giải bài toán qui hoạch tuyến tính (1) được X
(1)
.
+ Ch
ọn vectơ δ tùy ý
+ so sánh gi
ữa các thành phần thứ i của hai vectơ (X
(0)

) và
(X
(1)
).
- n
ếu x
i
(1)
> x
i
(0)
thì xác định được x
i
(1)
= x
i
(0)
+ δ
(1)
.
- n
ếu x
i
(1)
< x
i
(0)
thì xác định được x
i
(1)

= x
i
(0)
- δ
(1)
.
Trong đó δ
(1)
là độ dài bước lặp thứ 1 (0 < δ
(1)
< 1)
Ở những bước lặp khác ta có: δ
(k+1)
= μ δ
(k)
(0 < μ < 1)
Điều kiện tối ưu là khi nào δ ≤ ε th
ì coi như bài toán hội tụ theo
tiêu chuẩn đã đề ra.
(lý thuyết thế này là đủ nhưng có thể tham khảo thêm ví dụ trang
112 sách Quy Hoạch Phát Triển HTĐ của thầy Tráng)
Sơ đồ khối:
Ưu điểm:
- Thuật toán đơn giản, giải đơn giản (vì có chương trình mẫu)
- Nói chung là hội tụ
Nhược điểm:
- Tốc độ tính toán chậm, không dùng cho hệ thống điện lớn
Vào f(X), h(X), g(X)
Chọn X
(0)

, δ
(1)
và μ
Tính f(X
(k)
), h
i
(X
(k)
), g
i
(X
(k)
)
f’(X
(k)
), h
i
’(X
(k)
), g
i
’(X
(k)
)
Lập ptr (1)
Giải (1) để tìm X
(
k+1)
x

i
(k+1)
> x
i
(k)
i = 1,2,…n
x
i
(k+1)
= x
i
(k)
+ δ
(
k+
1)
x
i
(k+1)
= x
i
(k)
-
δ
(
k+
1)
δ ≤ ε
In gtrị của X; STOP
δ = μδ

Chương 6: Phương pháp Lagrange và định lý Kuhn –
Tucker gi
ải quy hoạch phi tuyến.
1, Bài toán Lagrange dạng chính tắc:
Phương pháp Lagrange là phương pháp kinh điển giải b
ài
toán quy ho
ạch phi tuyến khi có ràng buộc dạng đẳng thức và bất
đẳng thức để xác định cực trị có điều kiện (cực trị vướng )của h
àm
có nhi
ều biến và khi hàm đó liên tục cùng đạo hàm riêng bậc nhất
của nó.
+ Xét bài toán dạng chính tắc:
Xác định
1 2 n
X {x ,x , ,x }

sao cho:
1 2 n
f(x ,x , ,x ) min

với các ràng buộc :


i
h (X) 0 i 1,2, ,m
 
Áp dụng phương pháp đối ngẫu Lagrange: từ bài toán tối ưu đang
xét (bài toán gốc) xây dựng một bài toán tối ưu khác (bài toán đối

ngẫu) sao cho giữa các bài toán này có liên quan chặt chẽ (VD:từ
nghiệm của bài toán này có thể suy ra nghiệm của bài toán kia). Cụ
thể:
Xác định
1 2 n
X {x ,x , ,x }

sao cho:
m
1 2 n 1 1 m 1 2 n 1 i 1 2 n
i 1
L(x ,x , ,x ; , , , ) f(x ,x , ,x ) .h (x ,x ,
.,x ) min

      

Trong đó: L – hàm Lagrange.

- nhân tử Lagrange.
Lấy đạo hàm riêng của L theo xj và
i

rồi cho bằng 0 ta được hệ
phươn
g trình Lagrange:




m

i
i
i 1
j j j
f X h X
L
0
x x x

 

   
  




j 1,2, ,n

 
i 1 1 n
i
L
h x ,x , ,x 0

 





i 1,2, ,m

 xác định hệ (1)
Nếu ở điểm
* * * *
1 2 n
X {x ,x , ,x }

hàm
* * *
1 2 n
f{x ,x , ,x }
đạt cực trị thì tồn tại
vectơ
* * * *
1 2 m
{ , , , }
    
sao cho điểm
* * * * * *
1 2 n 1 2 m
{x ,x , ,x ; , , , }
  
là lời
giải của hệ trên. Hệ có (n+m) phương trình, giải ra được n ẩn xj và
m
ẩn
i

.

Để xác định cực đại hoặc cực tiểu phải khảo sát giá trị hàm bậc 2
c
ủa L(X) hoặc f(X).
1, Bài toán Lagrange dạng mở rộng:
Là bài toán mà trong hệ ràng buộc có tồn tại cả các bất
phương tr
ình được giải theo phương pháp dựa trên định lý Kuhn-
Tucker (định lý về điểm yên ngựa).
Giả thiết cần xác định
1 2 n
X {x ,x , ,x }

sao cho:
1 2 n
f(x ,x , ,x ) min

và thỏa mãn các ràng buộc
i 1 2 n 1
h (x ,x , ,x ) 0;i 1,2, ,m
 
i 1 2 n 1
g (x ,x , ,x ) 0;i m 1, ,m
  
xj
0; j 1,2, ,n
 
 xác định hệ (2)
Chú ý: Trường hợp cần làm max hàm f(X) thì nhân f(X) với (-1)
để thành (-f(X))min hoặc khi có
i

g (X) 0

thì nhân
i
g (X)
với ( -1)
để có ràng buộc
i
g (X) 0

Hàm Lagrange có dạng:
 
1
1
m m
1 2 n i i 1 2 n i i 1 2 n
i 1 i m 1
L X, f(x ,x , ,x ) .h (x ,x , ,x ) .g (x ,x , ,x
) min
  
      
 
Vì
i
g (X)
không đồng nhất bằng không nên không thể lấy đạo
hàm hàm


L X,


và cho bằng không như trước đây.
Giả thiết f(X) và
i
g (X)
liên tục, khả vi và tạo thành tập hợp
lồi thì ta có thể sử dụng định lý Kuhn-Tucker để giải bài toán này.
N
ội dung: Điểm L trên mặt cong


L X,

là min theo X và max
theo




x

m(
x

,


L(
x
,




x
L
Định lý: Vectơ
*
X
chỉ là lời giải tối ưu của bài toán (2) khi tồn tại
véctơ
*

sao cho:
Giá tr
ị của điểm






* * * *
L X , L X , L X ,
    



* *
L X ,


là điểm yên ngựa của hàm


L X,

.