SKKN: Một số phương pháp tìm GTLN, GTNN

Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************

PHẦN I:
ĐẶT VẤN ĐỀ
A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ :
1/ Lý do chọn đề tài :
Trong chương trình Đại số lớp 7, 8, 9 dạng toán Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất
của một biểu thức là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải
các bài tập . Dạng toán này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình
luyện tập như : Chứng minh các biểu thức luôn âm, luôn dương, chứng minh phương
trình vô nghiệm … không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình THCS mà
còn vận dụng giải các bài tập của các lớp sau này.
Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy học
sinh sau khi học vẫn còn lúng túng khi tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất và thường mắc
phải những sai sót khi làm bài tập .
Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và đònh hướng được
một số cách giải khi gặp các bài toán phải dùng đến tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất do
đó tôi chọn viết đề tài: “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất và
nhỏ nhất” để dạy cho học sinh .
Đề tài gồm 3 phần: Phần I là Đặt vấn đề, Phần II là Giải quyết vấn đề Phần III
là Kết thúc vấn đề Trong phần Giải quyết vấn đề chủ yếu là chỉ ra các dạng toán tìm
giá trò lớn nhất , nhỏ nhất trong mỗi dạng đều có phương pháp giải các ví dụ cụ thể, bài
tập tự luyện và có hướng dẫn giải bài tập tự luyện. Một số ví dụ nhận đònh, một số sai
sót khi làm bài tập và hướng khắc phục cho học sinh.
2/ Thực trạng vấn đề:
Thực tế học sinh ở trường THCS Tiến Thành tiếp thu bài còn chậm và vận dụng
kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Các em còn nhầm lẫn và chưa
thành
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất

1
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
thạo sử dụng những cách giải để tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức, do
thời lượng làm bài tập còn ít nên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao .
Trong quá trình giải bài tập, đa số học sinh thường mắc các lỗi như :
• Chưa biết cách tách hạng tử, thêm bớt các hạng tử để đưa trở về dạng tổng quát.
• Chưa vận dụng thành thạo cách hằng đẳng thức đáng nhớ vào làm bài tập .
• Khi sử dụng phương pháp so sánh hai phân thức cùng tử chưa chú ý đến điều
kiện là các mẫu đã cùng dấu hay chưa?
• Khi gặp các biểu thức là các phân thức đại số thì chưa chú ý đến tập xác đònh
của nó.
Nguyên nhân học sinh còn tồn tại các khuyết điểm trên là :
+ Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian
để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều .
+ Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu , một số chỉ học máy móc,hiểu một
cách đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quá
trình làm bài tập .
B/ PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
1/ Công tác chuẩn bò dạy :
- Đòa điểm : Trường THCS Tiến Thành .
- Giáo trình : SGK, sách bài tập, một số tài liệu tham khảo khác như sách phát triển
Toán 8 …
2/ Đối tượng học :
Học sinh lớp 8A
2
học chính khóa, ôn tập cuối chương, ngoài ra dạy bồi dưỡng học sinh
khá giỏi theo chủ đề nâng cao .
3/ Lập kế hoạch tổ chức thực hiện :
Ngoài thời gian dạy giờ chính khóa ở trường tôi bố trí lòch học cho học sinh khá giỏi

đối với các năm học 2006 - 2007; 2007 – 2008 là vào chiều thứ 7 và chiều Chủ nhật.
Riêng năm học 2008 – 2009 tôi bố trí lòch học như sau :
Ngày Thứ Buổi Nội dung dạy học Số
tiết
Đòa điểm
4/10/08 7 Chiều Tìm giá trò lớn nhất và
nhỏ nhất của đa thức và
luyện tập .
4 Trường Tiến Thành
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
2
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
5/10/08
CN Chiều Tìm giá trò lớn nhất và
nhỏ nhất của đa thức
bậc cao và luyện tập.
4
”
11/10/08
7 Chiều Tìm giá trò lớn nhất và
nhỏ nhất của đa thức có
dấu giá trò tuyệt đối và
luyện tập.
4
”
12/10/08
CN Chiều Tìm giá trò lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức

chứa biến dưới dấu căn
và luyện tập.
4
”
18/10/08
7 Chiều
Tìm giá trò lớn nhất và
nhỏ nhất của phân thức
2
2
ax bx c
y
dx ex g
+ +
=
+ +
(trong đó x là biến và
các giá trò của y được
xác đònh) và luyện tập.
4
”
19/10/08
CN Chiều Tìm giá trò lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức
có quan hệ ràng buộc
giữa các biến .
4
”
25/10/08
7 Chiều Áp dụng giá trò lớn nhất

và nhỏ nhất vào giải
phương trình.
4
”
. Tổ chức thực hiện:
- Giáo viên dạy theo lòch .
- Học sinh học tập, thực hiện theo nội quy đã quy đònh .
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
3
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
PHẦN II :
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT VÀ NHỎ NHẤT


TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA ĐA
THỨC .
* Trường hợp đa thức là tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c:

Cách giải chung của dạng toán trên là :
Dựa vào lũy thừa bậc chẵn biến đổi đa thức đã cho về dạng :
* y = M – [g(x)]
2

( M là hằng số )
Khi đó y
≤
M . Vậy GTLN của đa thức đã cho là M đạt đươc khi và chỉ khi g(x) = 0.
* y = m + [h(x)]
2
(m là hằng số )
Khi đó y
≥
m. Vậy GTNN của đa thức đã cho là m đạt đươc khi và chỉ khi h(x) = 0.
Chú ý : Với tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c, khi a > 0 thì cho ta bài tốn tìm GTNN,
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
4
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
khi a < 0 thì bài tốn đi tìm GTLN .
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 : Tìm GTNN của biểu thức sau:
a/ A = x
2
– 4x + 2.
Giải :
Ta có : x
2
– 4x + 2 = x
2
– 2.2.x + 2

2
– 2
= -2 + (x – 2 )
2

Vì (x – 2 )
2

≥
0 nên -2 + (x – 2 )
2

≥
-2
Vậy GTNN của biểu thức A là -2 đạt được khi (x – 2)
2
= 0
⇔
x = 2.
•
Nhận xét : Ở đây ta thấy ngay hằng đẳng thức cần áp dụng là bình phương của một
hiệu với số thứ nhất là x, số thứ hai là 2 như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác đònh
được dạng của hằng đẳng thức cần áp dụng, biết cách xác đònh được số thứ nhất và số
thứ hai trong hằng đẳng thức đó.
Sau ví dụ 1 và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực hiện ví dụ 2
Ví dụ2 : Tìm GTNN của biểu thức sau
2
/ 3 3b B x x
= + +
Gi ả i :

Ta có :
2
2 2
3 9 3 3 3
3 3 2
2 4 4 2 4
x x x x x
 
+ + = + + + = + +
 ÷
 
Ta có
,0
2
3
2
≥






+x
nên
4
3
4
3
2

3
2
≥+






+x
Vậy: A đạt GTNN bằng
4
3
khi
2
3 3
0
2 2
x x
 
+ = ⇔ = −
 ÷
 
•
Nhận xét : Ở ví dụ này nhiều em sẽ không biết cách tách hạng tử để xuất hiện hằng
đẳng thức .Đây ta thấy ngay hằng đẳng thức cần áp dụng là bình phương của một tổng
với số thứ nhất là x, số thứ hai gv hướng dẫn học sinh xác đònh như sau : 3x = 2.x.?
⇒
? =
3

2
. Như vậy số thứ hai sẽ là
3
2
Ví dụ3 : Tìm GTLN của biểu thức sau
C = 1 – 6x – x
2
Gi ả i :
Ta có : C = 1 – 6x – x
2
= - x
2
– 6x + 1
= - (x
2
+ 6x + 9) + 10
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
5
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
= 10 – (x + 3 )
2
Ta có -(x + 3 )
2

≤
0 nên 10 – (x + 3 )
2

≤
10
Vậy GTLN của C bằng 10 đạt được khi x = -3.
•
Nhận xét : Ở ví dụ này nhiều em sẽ nhầm dấu khi áp dụng hằng đẳng thức.Hạng tử
đầu tiên đã xuất hiện bình phương nhưng lại có dấu trừ ở đằng trước nên để áp dụng được
hằng đẳng thức chúng ta phải nhóm các hạng tử với nhau và đặt dấu trừ ở đằng trước dấu
ngoặc .
Ví dụ4 : Tìm GTLN của biểu thức sau
D = -2x
2
+

5x +1.
Gi ả i :
Ta có : D = -2x
2
+

5x +1 = -2(x
2
-
5
2
x ) + 1
= -2(x
2
– 2. x.
5
4

+
25
16
) +
33
8

2
33 5
2
8 4
x
 
= − −
 ÷
 
Ta có
2
5
0,
4
x
 
− − ≤
 ÷
 
nên
2
33 5 33
2

8 4 8
x
 
− − ≤
 ÷
 
Vậy: B đạt GTLN bằng
33
8
khi
2
5 5
0
4 4
x x
 
− = ⇔ =
 ÷
 
•
Nhận xét : Ở ví dụ 4 u cầu cao hơn, học sinh phải chú ý đến hạng tử đầu tiên -2x
2
chưa được viết dưới dạng a
2
. Học sinh sẽ nhầm lẫn rất nhiều, để tránh được sự nhầm lẫn
đó giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh đặt -2 làm nhân tử chung của hai hạng tử đầu
tiên sau đó sử dụng phương pháp thêm bớt để đưa về dạng tổng qt .
b/ Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm GTLN , GTNN ( nếu có) của các biểu thức sau:
a) A = x

2
– 4x + 2
b) B = -x
2
+10 x + 3
c) C = 3x
2
– x + 4
d) D = -5x
2
– 4x + 1
Bài 2: Tìm GTLN , GTNN của các biểu thức sau :
a) A =
2
1
4
4 3
x
x − −
b) B =
2
1
2
3 6
x
x− − +
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
6
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan

******************************************************************************
c) C = ax
2
+ bx + c ( a
≠
0)
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện :
Các bước giải và kết qủa như sau :
Bài 1:
a) A = x
2
– 4x + 2
= ( x – 2)
2
– 2
≥
-2
GTNN của A là -2 đạt được khi x = 2.
b) B = -x
2
+10 x + 3
= -( x – 5)
2
+ 28
≤
28 .
GTLN của B là 28 đạt được khi x = 5 .
c) C = 3x
2
– x + 4

=
2
1 47 47
3
6 12 12
x
 
− + ≥
 ÷
 
GTNN của C là
47
12
đạt được khi x =
1
6
.
d) D = -5x
2
– 4x + 1
=
2
2 9 9
5
5 5 5
x
 
− + + ≤
 ÷
 

GTLN của D bằng
9
5
khi x =
2
5
−
Bài 2:
a) A =
2
1
4
4 3
x
x − −
=
2
1 1 37 37
2 3 9 9
x
 
− − ≥ −
 ÷
 
GTNN là
37
9
−
khi x =
2

3
.
b) B =
2
1
2
3 6
x
x− − +
=
2
1 1 97 97
3 4 48 48
x
 
− + + ≤
 ÷
 
GTLN là
97
48
khi x =
1
4
−
.
c) C = ax
2
+ bx + c ( a
≠

0) .
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
7
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************

2
2 2
2
2
2
2
2. .
2 4 4
4
2 4
b
a x x c
a
b b b
a x x c
a a a
b ac b
a x
a a
 
= + +
 ÷
 

 
= + + + −
 ÷
 
−
 
= + +
 ÷
 
Xét các giá trị của a , a > 0, a < 0 .
* Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c ( a
≠
0) ta biến đổi
ax
2
+ bx + c
2
b
a x x c
a
 
= + +
 ÷
 


2 2
2

2
2
2
2. .
2 4 4
4
2 4
b b b
a x x c
a a a
b ac b
a x
a a
 
= + + + −
 ÷
 
−
 
= + +
 ÷
 
Tùy theo giá trò của a mà bài toán yêu cầu tìm GTNN hay GTLN .
* Trường hợp đa thức gồm nhiều biến số :
Ví dụ1 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc:
A = 15- 10x- 10x
2
+ 24 xy- 16y
2

Gi¶i:
A = - (x
2
+ 10x + 25) - (9x
2
- 24xy + 16y
2
) + 40
= 40- (x + 5)
2
- (3x- 4y)
2

≤
40
VËy GTLN của A là 40
5
15
4
x
y
= −


⇔

= −



•
Nhận xét : §èi víi ®a thøc nhiỊu biÕn ta cã thĨ chän mét biÕn lµm biÕn chÝnh råi thªm
bít cïng mét h¹ng tư ®Ĩ trë thµnh h»ng ®¼ng thøc b×nh ph¬ng mét tỉng hc b×nh ph¬ng
mét hiƯu
(a
1
+ a
2
+ + a
n
)
2
= a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
+ 2a
1
a
2
+ + 2a
n-1
a
n
+ 2a

n
a
1
Ví dụ2 :
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa ®a thøc
B = 2x
2
+ 2xy + y
2
– 2x + 2y + 2
Gi¶i:
B = 2x
2
+ 2xy + y
2
– 2x + 2y + 2
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
8
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
= x
2
+ 2xy + y
2
+ 2x + 2x + 1 + x
2
– 4x + 4 – 3
= (x + y + 1)
2

+ ( x – 2 )
2
– 3
≥
-3
VËy GTNN của B là -3
1 0 2
2 3
x y x
x y
+ + = =
 
⇔ ⇔
 
= = −
 

Ví dụ3 :
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa ®a thøc
C = x
2
- 4xy + 5y
2
+ 10x- 22y + 28
Gi¶i:
C = x
2
- 4xy + 5y
2
+ 10x- 22y + 28

= ( x
2
+ 4y
2
+ 25- 4xy + 10x- 20y) + (y
2
- 2y + 1) + 2
= (x- 2y + 5)
2
+ (y-1)
2
+ 2
V× (x- 2y +5 )
2

≥
0 ; (y-1)
2

≥
0
∀
x, y
∈
R

⇒
C
≥
2

⇒
min C = 2
⇔
1 0 1
2 5 0 3
y y
x y x
− = =
 
⇔
 
− + = = −
 

•
NhËn xÐt:
+ Ta vËn dơng kiÕn thøc cho F = F
1
+ F
2
th× maxF = maxF
1
+ maxF
2
hay (min F =
min F
1
+ min F
2
)

Trong ®ã F
1
,F
2
lµ c¸c biĨu thøc chøa biÕn ®èi lËp víi nhau hc cã chøa cïng mét
biÕn th× cïng ®¹t max (min) t¹i mét bé gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cđa biÕn (Víi ®a thøc nhiỊu biÕn)
+ Trong qu¸ tr×nh gi¶i ta cã thĨ dïng c¸ch ®ỉi biÕn
C¸ch 2:
C = x
2
- 4xy + 5y
2
+ 10x- 22y + 28
= (x
2
- 4xy + 4y
2
) + (y
2
- 2y + 1) + 27 + 10x - 20y
= (x- 2y)
2
+ (y- 1)
2
+ 27 + 10 (x- 2y)
§Ỉt x- 2y = t ta ®ỵc
C = t
2
+ (y- 1)
2

+ 27 + 10t
= (t + 5)
2
+ (y- 1)
2
+ 2
≥
2
Dấu “=” x¶y ra khi :
5 0 2 5 0 3
1 0 1 0 1
t x y x
y y y
+ = − + = = −
  
⇔ ⇔
  
− = − = =
  
VËy GTNN của C là 2
⇔
y = 1; x = -3
Ví dụ4 :

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc
D = ax
2
+ by
2
+ cx + dy + e (a, b, c, d, e = const ; a, b > 0)

Gi¶i:
D = ax
2
+ by
2
+ cx + dy + e
= a(x
2
+
a
c
2
2
x +
2
2
4a
c
) + b(y
2
+
b
d
2
2
y +
2
2
4b
d

)-
a
c
4
2
-
b
d
4
2
+ e
= a(x +
a
c
2
)
2
+ b (y +
b
d
2
)
2
+
ab
abeadbc
4
4
22
+−−

V× a, b > 0 ; (x +
a
c
2
)
2

≥
0; (y +
b
d
2
)
2

≥
0
∀
x, y
∈
R
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
9
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************

⇒
D
≥

ab
abeadbc
4
4
22
+−−

⇒
D
min
=
ab
abeadbc
4
4
22
+−−

x +
a
c
2
= 0 x =
a
c
2
−

⇔

⇔

y +
b
d
2
= 0 y =
b
d
2
−
Ví dụ5 :
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa ®a thøc
P = 19x
2
+ 54y
2
+ 16z
2
- 16xz- 24yz + 36x + 5
Gi¶i:
P = (9x
2
+ 36xy + 36y
2
) + (18y
2
- 24yz + 8z
2

) + (8x
2
-16xz + 8z
2
) + 2x
2
+ 5
= 9 (x + 2y)
2
+ 2 (3y- 2z)
2
+ 8 (x- y)
2
+ 2x
2
+ 5
≥
5
Do ®ã P
min
= 5 khi x = y = z = 0
b/ Bài tập tự luyện:
Tìm GTLN , GTNN ( nếu có) của các biểu thức sau
: a) A = 10x
2
+ 12xy + 4y
2
+ 6x + 7
b) B = 2x
2

+ 9y
2
- 6xy- 6x- 12y + 2004
c) C = x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
- 2xy + 2xz- 2x- 2y- 8z + 2000
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện :
Các bước giải và kết qủa như sau :

a) A = 10x
2
+ 12xy + 4y
2
+ 6x + 7
= ( 9x
2
+ 12xy + 4y
2
) + ( x
2
+ 6x + 9 ) – 2
= (3x + 2y )
2
+ ( x + 3 )
2
– 2

≥
-2 .
b) B = 2x
2
+ 9y
2
- 6xy - 6x - 12y + 2004
= ( x
2
+ 9y
2
+ 4 – 6xy – 12y + 4x ) + (x
2
– 10x + 25) + 175
= (x - 3y + 2 )
2
+ ( x – 5 )
2
+ 175
≥
175 .
c) C = x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
- 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2000
2C = 2x
2

+ 4y
2
+ 6z
2
- 4xy + 4xz - 4x - 4y - 16z + 4000
= (x
2
+ 4y
2
+ 1 - 4xy - 4y + 2x ) + (x
2
+ 4z
2
+ 9 + 4xz - 12z - 6x) +
2(z
2
– 2z + 1) + 3988.
= (x - 2y + 1 )
2
+ ( x + 2z - 3 )
2
+ 3988
≥
3988
C
≥
1944 .
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
10

Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA ĐA
THỨC BẬC CAO .
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 : Tìm GTNN của biểu thức sau:
a/ A = (x
2
+ x + 2)
2
.
Giải : Ta thấy ngay A
≥
0 nhưng GTNN của A không phải bằng 0 vì x
2
– x + 2
≠
0.
Ta có : x
2
+ x + 2 = x
2
+ 2.
1
2
.x +
1 7
4 4
+
=

2
1 7 7
2 4 4
x
 
+ + ≥
 ÷
 
Do đó A
min
⇔
(x
2
+ x + 2)
min
GTNN của A bằng
2
7 49
4 16
 
=
 ÷
 
⇔
x =
1
2
−
.
•

Nhận xét : Ở ví dụ trên nếu chúng ta khai triển đa thức trên theo hằng đẳng thức thì
ta được đa thức bậc 4.Việc tìm giá trò nhỏ nhất của đa thức bậc 4 rất phức tạp do đó ta
chỉ cần đi tìm GTNN của đa thức x
2
+ x + 2 như ở dạng 1.
* Tìm GTLN, GTNN đôi khi ta phải dùng cách đổi biến (đặt biến phụ) để cho việc tìm
được dễ dàng hơn.
Ví dụ2 : Tìm GTNN của biểu thức sau:
A = (x - 1)( x + 2)(x + 3)( x + 6 ) .
Giải :
Ta có : A = (x - 1)( x + 2)(x + 3)( x + 6 )
= (x
2
+ 5x - 6 )(x
2
+ 5x + 6 )
Đặt x
2
+ 5x = t
Ta có : A = ( t – 6) ( t + 6) = t
2
– 36
≥
-36.
GTNN của A là -36. Đạt được khi t = 0
⇔
x
2
+ 5x = 0
⇔

x = 0, x = -5.
•
Nhận xét : Ví dụ trên nếu chúng ta khai triển đa thức trên bằng cách nhân các đa
thức với nhau thì ta được đa thức bậc 4.Việc tìm giá trò nhỏ nhất của đa thức bậc 4 không
mấy dễ dàng ,rất khó khăn do đó để giảm bớt đi bậc của nó ta tìm cách đi cách đi đổi
biến.
Ví dụ3 : Tìm GTNN của biểu thức sau :
C = x
4
– 6x
3
+ 10x
2
– 6x + 19 .
Giải :
Ta có : C = x
4
– 6x
3
+ 10x
2
– 6x + 9 = x
4
– 6x
3
+ 9x
2
+ x
2
– 6x + 9 + 10

***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
11
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
= (x
2
– 3x )
2
+ (x – 3)
2
+ 10
≥
10 .
Vậy GTNN của C bằng 10 đạt được khi x
2
– 3x = 0 và x – 3 = 0
⇔
x = 3.
•
Nhận xét : Ví dụ 3 nếu chúng ta tìm cách đi đổi biến như ví dụ 1, 2 thì rất khó .
Vậy ta tìm cách đi biến đổi để đưa về dạng tổng quát .
Ví dụ4 : Tìm GTLN của biểu thức sau:
D = -x(x +1)( x + 2)(x + 3) + 7
Giải :
Ta có : D = - x(x +1)( x + 2)(x + 3) + 7 = - (x
2
+ 3x )(x
2
+ 3x + 2 ) + 7.

Đặt x
2
+ 3x = t
Ta có : D = -t ( t + 2) + 7 = -t
2
– 2t +7 = -( t + 1 )
2
+ 8
≤
8 .
GTLN của D là 8 . Đạt được khi t = -1
⇔
x
2
+ 3x = -1
⇔
x =
3 5
2
− ±
.
b/ Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm GTLN , GTNN (nếu có ) của các biểu thức sau:
a) A = (x + 1 ) ( x + 2 ) (x + 3 ) (x + 4 ) -3 .
b) B = -(x + 2 )( x -2)(x
2
-10 ) + 16
Bài 2: Tìm GTLN , GTNN của các biểu thức sau:
a) A = x
6

– 2x
3
+ x
2
– 2x + 2 .
b) B = -x
4
+ 2x
3
– 3x
2
+ 4x +
5
2
.
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện :
Các bước giải và kết qủa như sau :
Bài 1:
a) A = (x + 1 ) ( x + 2 ) (x + 3 ) (x + 4 ) -3
= ( x
2
+ 5x + 4 ) (x
2
+ 5x + 6 ) – 3 .
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t .
Ta có : A = t(t + 2 ) – 3 = t
2
+ 2t – 3

= ( t + 1 )
2
– 4
≥
-4
Vậy GTNN của A bằng -4 đạt được khi t = -1
⇔
x
2
+ 5x + 4 = -1
⇔
x =
5 5
2
− ±
b) B = -(x + 2 )( x -2)(x
2
-10 ) + 16
= - (x
2
– 4 )(x
2
– 10 ) + 16
Đặt x
2
– 4 = t .
Ta có : B = -t(t – 6 ) + 16 = -t
2
+ 6t – 9 + 25 .
= 25 - ( t – 3 )

2

≤
25
Vậy GTLN của A bằng 25 đạt được khi t = 3
⇔
x
2
- 4 = 3
⇔
x =
7±
Bài 2:
a) A = x
6
– 2x
3
+ x
2
– 2x + 2 = x
6
– 2x
3
+ 1 + x
2
– 2x + 1
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
12
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan

******************************************************************************
= (x
3
– 1 )
2
+ ( x – 1 )
2

≥
0
Vậy GTNN của A bằng 0 khi x = 1 .
b) B = -x
4
+ 2x
3
– 3x
2
+ 4x +
5
2
= - ( x
4
- 2x
3
+ x
2
) –(2x
2
– 4x + 2 ) +
9

2
= - (x
2
– x)
2
– 2(x – 1 )
2
+
9
2

≤

9
2
Vậy GTLN của B bằng
9
2
khi x = 1.
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA ĐA
THỨC CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
KiÕn thøc cÇn thiÕt:
a, f (x) = f (x) nÕu f (x)
≥
0
f (x) = - f (x) nÕu f (x)
≤
0
b, f (x) + g (x)
≥

 f (x) + g (x) dÊu “ = ” x¶y ra
⇔
f (x). g (x)
≥
0
c, f (x) - g (x)
≤
 f (x) - g (x) dÊu “ = ” x¶y ra
⇔
f (x). g (x)
≥
0
f (x)
≤
g (x)
d, Gi¶ sư ta cã
max ( )
min ( )
f x A
f x a
=


=

víi f (x) xÐt trªn
[ ]
1 1
;a b
NÕu f (x)

≥
0 ta cã: max f (x) = max f (x) = A trªn
[ ]
1 1
;a b
min f (x) = min f (x) = a trªn
[ ]
1 1
;a b
NÕu max f (x)
≥
0 cßn min f (x)
≤
0 trªn
[ ]
1 1
;a b
Ta cã: max f (x) = max (A; a )
min f (x) = 0
NÕu f (x) < 0 ta cã: max f (x) = - min f (x) trªn
[ ]
1 1
;a b
min f (x) = - max f (x) trªn
[ ]
1 1
;a b
Chøng minh:
a, Lu«n ®óng theo ®Þnh nghÜa
b, Víi mäi f (x), g (x) ta lu«n cã

* f (x)
≤
f (x)
≤
f (x)
* g (x)
≤
g (x)
≤
g (x)
Céng tõng vÕ hai bÊt ®¼ng thøc kÐp ta cã
* (f (x) + g (x))
≤
f (x) + g (x)
≤
f (x) + g (x)

⇒
 f (x) + g (x)
≤
f (x) + g (x)
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra
⇔
f (x) vµ g (x) cïng dÊu
⇔
f (x).g (x)
≥
0

⇒

f (x) = (f (x) - g (x)) + g (x)
≤
f (x) -g (x) + g (x)
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
13
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************

⇒
f (x) -g (x)
≤
f (x) - g (x)
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra
⇔
f (x) . g (x)
≥
0
d, ViƯc chøng minh c©u d lµ hiĨn nhiªn
NhËn xÐt: ViƯc chøng minh c©u b,c cã thĨ b×nh ph¬ng hai vÕ
( XÐt c¸c trêng hỵp cã thĨ x¶y ra)
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 : Tìm GTNN của biểu thức sau:
A = | x – 2 | + | x – 5 |
Giải : p dụng bất đẳng thức |x| + |y|
≥
| x + y | dấu “ = ” xảy ra khi x .y
≥
0
Ta có : A = | x – 2 | + | x – 5 |

= | x – 2 | + | 5 – x |
≥
| x + 2 + 5 – x| = 3.
Vậy A
≥
3
⇔
(x + 2) (5 – x)
≥
0 .
Lập bảng xét dấu :
x 2 5
x – 2 - 0 + +
5 - x + + 0 -
(x + 2) (5 –
x)
- 0 + 0 -
(x + 2) (5 – x)
≥
0
⇔
2
≤
x
≤
5
Vậy GTNN của A bằng 3
⇔
2
≤

x
≤
5 .
Ví dụ2 : Tìm GTNN của biểu thức sau:
B = x +1 + 2x + 5 + 3x- 18
•
NhËn xÐt: Tõ bÊt ®¼ng thøc

f (x)

+

g (x)


≥


f (x) + g (x)

Ta më réng ®ỵc:

f (x)

+

g (x)

+ +


h(x)


≥


f (x) + g (x) + + h(x)

DÊu ®¼ng thøc x¶y ra
⇔
f (x), g (x), , h(x) cïng dÊu.
(ViƯc chøng minh ®¬n gi¶n)
Gi¶i:
Ta có : B = x +1 + 2x + 5 + 3x- 18

⇔
B = x +1 + 2x + 5 + 18 - 3x
Áp dơng bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:
B
≥
x +1 + 2x + 5 + 18 - 3x = 24 = 24
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra
⇔
x +1 ; 2x + 5 ; 18 - 3x cùng dấu

x -5/2 -1 6
x + 1 - - 0 + +
2x + 5 - 0 + + +
18 – 3x + + + 0 -
x +1 ; 2x + 5 ; 18 - 3x cùng dấu

⇔
- 1
≤
x
≤
6 .
Ví dụ3 : Tìm GTNN của biểu thức sau:
B = x - 1 + x – 3 + x – 6 
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
14
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
Áp dụng ví dụ 1. Trước hết ta tìm GTNN của biểu thức B’ = x - 1 + x – 6
Ta có B’ = x - 1 + x – 6 = x - 1 + 6 – x
≥
x – 1 + 6 – x= 5
Vậy GTNN của B’ bằng 5 khi 1
≤
x
≤
6 .
Ta có B = B’ + x – 3 mà B’
≥
5
x – 3
≥
0
Do đó GTNN của B bằng 5 khi 1
≤

x
≤
6 .
VÝ dơ 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau:
C = x- x
2
-
4
3
-2
Gi¶i: Ta cã C ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khix- x
2
-
4
3
 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
§Ỉt f(x) = x- x
2
-
4
3
ta cã f(x) < 0
∀
x
R/
∈
f(x) = - (x
2
- x +
4

1
+
2
1
) = - (x-
2
1
)
2
-
2
1

≤
-
2
1
DÊu “ = ” x¶y ra
⇔
x =
2
1
VËy max f(x) =
1
2
−

⇔
x =
2

1
Theo ý (d) v× max f(x) = -
2
1

⇔
x =
2
1
min f(x) =
2
1
khi x =
2
1
min C =
2
1
- 2 = -
2
3
khi x =
2
1
.
* Nhận xét :Với biểu thức có dấu giá trò tuyệt đối, đôi khi ta cò có thể lập chia khoảng
để bỏ dấu giá trò tuyệt đối hoặc có thể dùng đồ thò để tìm GTLN, GTNN ( Lớp 9 ).
VÝ dơ5 : Tìm GTLN , GTNN của biểu thức sau :
y = | x – 1 | + | x – 3 | - | 2x + 2 | với -2
≤

x
≤
4
Lập bảng xét dấu :
x -2 -1 1 3 4
|x – 1| -x + 1
-x + 1 0 x – 1
x – 1
|x – 3| -x + 3 -x + 3
-x + 3 0 x – 3
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
15
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
|2x + 2|
-2x – 2 0 2x + 2
2x + 2 2x + 2
y
6 6 -4x +2 6 -2x -6 6
Đồ thò của hàm số y = | x – 1 | + | x – 3 | - | 2x + 2 |
với -2
≤
x
≤
4 là đường nét liền ở hình vẽ bên .
Dựa vào đồ thò ta thấy :
GTNN của y bằng -6
⇔
3

≤
x
≤
4
GTLN của y bằng 6
⇔
-2
≤
x
≤
-1
b/ Bài tập tự luyện:
Tìm GTLN , GTNN (nếu có ) của các biểu
thức sau:
a) A = | x – 1999 | + | x – 2000 |
b) B = | x – 1 | + | x – 7 | + | x – 9 |
c) Y = | x – 1 | + |x – 2 | + |x – 3 | - |x - 4 |
Với -1
≤
x
≤
4.5
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện :
Các bước giải và kết qủa như sau :
a) A = | x – 1999 | + | x – 2000|
Ta có : A = | x – 1999 | + | 2000 – x|
=> A
≥
| x – 1999 + 2000 – x | = 1
Vậy GTNN của A bằng 1 đạt được khi 199

≤
x
≤
2000
b) B = | x – 1 | + | x – 7 | + | x – 9 |
Ta có B’ = x - 1 + x – 9 = x - 1 + 9 – x
≥
x – 1 + 9 – x= 8
Vậy GTNN của B’ bằng 8 khi 1
≤
x
≤
9 .
Ta có B = B’ + x – 7 mà B’
≥
8
x – 7
≥
0
Do đó GTNN của B bằng 8 khi 1
≤
x
≤
9.
b) y = | x – 1 | + |x – 2 | + |x – 3 | - |x - 4 | với -1
≤
x
≤
4.5
Lập bảng xét dấu :

x
1 2 3 4
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
16
y = - 4x + 2
y = -2x
y = 6
y = - 6
- 1
- 2
y
2
^
>
x
6
4
3
1
- 6
-2
O
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
|x – 1 | -x + 1 0 x – 1 x – 1 x – 1 x – 1
| x – 2 |
-x + 2
-x + 2 0 x – 2
x – 2 x – 2

| x – 3 |
-x + 3 -x + 3
-x + 3 0 x - 3
x - 3
| x – 4 |
-x + 4 -x + 4 -x + 4
-x + 4 0 x – 4
y
-2x + 2 0 0 0 2x - 4 2 4x - 10 6 2x – 2
Đồ thò của hàm số
y = | x – 1 | + |x – 2 | + |x – 3 | - |x - 4 |
với -1
≤
x
≤
4.5 là đường nét liền ở hình vẽ bên
Dựa vào đồ thò ta thấy :
GTNN của y bằng 0
⇔
1
≤
x
≤
2
GTLN của y bằng 7
⇔
x = 4,5.
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA
BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC .
Với dạng toán này ta cần chú ý điều kiện để cho các căn thức có nghóa ,sau đó tìm

điều kiện để biểu thức [f(x)]
2
đạt GTNN. Điều kiện đó cũng chính là điều kiện để biểu
thức f(x) đạt GTNN.
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 : Tìm GTNN của biểu thức sau:
A=
2 2
1
4 4
4
x x x x− + + − +
Giải : Tập xác đònh
x R∀ ∈
.
Ta có : A =
2 2
1
4 4
4
x x x x− + + − +
=
( )
2
2
1
2
2
x x
 

− + −
 ÷
 
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
17
-10
-4
-2
y = 2x - 4
y
2
4
4
-1
6
7
y = 2x - 2
y = 4x -10
>
^
1
2
y = -2x + 2
3
x
O
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
= |2 – x | + | x –

1
2
|
p dụng dạng 3 ta dễ dàng tìm được giá trò nhỏ nhất của A là
3
2
đạt được khi
1
2
≤
x
≤
2.
Nhận xét :Ở ví dụ 1 ta thấy biểu thức trong căn xuất hiện các hằng đẳng thức nên ta áp
dụng các hằng đẳng thức để khai căn và đưa về dạng 3 .Nhưng với những biểu thức mà
trong căn không có dạng của hằng đẳng thức thì chúng ta giải quyết như thế nào đây ?
Ta xét tiếp :
Ví dụ2: Cho biểu thức:
xxxf +−−= 12)(
. Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTLN
Giải :
Cách 1: Biểu thức f(x) có nghĩa khi:
21
01
02
≤≤−⇔



≥+

≥−
x
x
x
Trong điều kiện này ta có f(x)
0≥
nên f(x) đạt GTLN khi và chỉ khi
( )
[ ]
2
xf
đạt
GTLN.
Ta có:
( )
[ ]
( )( )
2
2
22312212 xxxxxxxf −++=+−+++−=

2
2
2
1
4
9
23
4
1

4
9
23






−−+=++−+= xxx
Do đó
( )
[ ]
2
xf
đạt GTLN khi và chỉ khi
2
1
0
2
1
=⇔=− xx
Vậy khi
2
1
=x
thì GTLN của biểu thức
)(xf
=
1 1

2 1 3
2 2
− + + =
.
Cách 2: f(x) =
2 x−
+
1 x+
§iỊu kiƯn ®Ĩ f(x)x¸c ®Þnh
1 0
1 2
2 0
x
x
x
+ ≥

⇔ − ≤ ≤

− ≥

(*)
Víi ®iỊu kiƯn (*) f(x)
≥
0 b×nh ph¬ng 2 vÕ ®ỵc

( )
[ ]
2
xf

= x + 1 + 2 - x + 2
( 1)(2 )x x+ −
= 3 + 2
( 1)(2 )x x+ −
p dơng bÊt ®¼ng thøc Cauchy víi 2 sè kh«ng ©m (x + 1) vµ (2 - x) ta cã
3 = (x + 1) + (2 – x )
≥
2
( 1)(2 )x x+ −
DÊu “=” x¶y ra
⇔
x + 1 = 4 - x
⇒
x =
1
2
Suy ra:
( )
[ ]
2
xf

≤
4 v× f(x)
≥
0 nªn ta ®ỵc
Max f(x) = 3 khi x=
1
2
.

***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
18
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
Ví dụ3 : Cho biểu thức:
21
3
)(
−−
−
=
x
x
xf
. Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTNN.
Giải
Biểu thức f(x) có nghĩa khi:



≠
≥
⇔



≠−−
≥−
3

1
021
01
x
x
x
x
Ta biến đổi:
( 1 2)( 1 2)
3 1 2
( ) 1 2
1 2 1 2 1 2
x x
x x
f x x
x x x
− − − +
− − −
= = = = − +
− − − − − −
Do đó:
21)( +−= xxf
nên
( )
xf
đạt GTNN khi và chỉ khi
1−x
đạt GTNN mà
01 ≥−x
nên

1−x
đạt GTNN bằng 0 khi
1=x
Vậy f(x) đạt GTNN bằng
2
khi
1=x
Nhận xét :Ta cần xác đònh điều kiện để biểu thức có nghóa, sau đó đi phân tích đa thức
trên tử thành nhân tử rồi đi rút gọn biểu thức đã cho .
Ví dụ4 : Cho biểu thức:
2 2
1 2 5A x x x= + + − +
. Tìm giá trị của x để A đạt GTNN.
Ta áp dụng bất đẳng thức
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
.
Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra khi
a c
b d
=
.
Chứng minh :
Thật vậy :Từ
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
, bình phương hai vế ta có
a
2
+ b

2
+ c
2
+ d
2
+ 2
2 2 2 2
( )( )a b c d+ +

2 2 2 2
2 2a c ac b d bd≥ + + + + +
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )( )
2
a b c d ac bd
a c a d b c b d a c b d abcd
⇔ + + ≥ +
⇔ + + + ≥ + +
2 2 2 2
2
2 0
( ) 0
a d abcd b c
ad bc
⇔ − + ≥
⇔ − ≥
luôn đúng .
Giải :
p dụng bất đẳng thức vừa chứng minh ta có :

2 2
1 2 5A x x x= + + − +
=
2 2 2 2 2 2
1 (1 ) 2 ( 1 ) (1 2)x x x x+ + − + ≥ + − + +
=
10
Vậy giá trò nhỏ nhất của A bằng
10
đạt được khi
1 1
2 1
1 2 3
x
x x x
x
= ⇒ = − ⇔ =
−
.
b/ Bài tập tự luyện:
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
19
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
Tìm GTLN , GTNN (nếu có ) của các biểu
thức sau:
a) A =
8 16 8 16x x x x+ − + − −

b) B =
8 2 2 3x x− + −
c) C =
2 2
8 17 16x x x− + + +
.
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện :
Các bước giải và kết qủa như sau :
a) A =
8 16 8 16x x x x+ − + − −
§iỊu kiƯn ®Ĩ A x¸c ®Þnh : x
≥
16.
Ta có:
A =
8 16 8 16x x x x+ − + − −
=
16 2.4 16 16 16 2.4 16 16x x x x− + − + + − − − +
A =
2 2
( 16 4) (4 16 )x x− + + − −
=
16 4 | 4 16 |x x− + + − −
* Nếu
4 16 0 16 32x x− − ≥ ⇒ ≤ ≤
thì A =
16 4 4 16 8x x− + + − − =
* Nếu
4 16 0 32x x− − < ⇒ >
thì A =

16 4 16 4 2 16 8x x x− + + − − = − >
Vậy GTNN của A bằng 8 khi
16 32x
≤ ≤
.
b) B =
8 2 2 3x x− + −
§iỊu kiƯn ®Ĩ B x¸c ®Þnh :
3
4
2
x≤ ≤
.
c) Ta có : B =
8 2 2 3x x− + −
=>
2
8 2 2 3 2 (8 2 )(2 3)B x x x x= − + − + − −
= 5 + 2
2
25 11
2
4 2
x
 
− −
 ÷
 

5

5 2. 10
2
≤ + =
Vậy GTNN của B bằng
10
khi x =
11
4
.
d) C =
2 2
8 17 16x x x− + + +
.
Tacó :
C =
2 2
8 17 16x x x− + + +
=
2 2 2 2 2 2
(4 ) 1 4 (4 ) (1 4) 41x x x x− + + + ≥ − + + + =
.
GTNN của C bằng
41
đạt được khi
4 1 16
16 4
4 5
x
x x x
x

−
= ⇒ − = ⇔ =
.
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
20
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA
PHÂN THỨC
2
2
ax bx c
y
dx ex g
+ +
=
+ +
trong đó x là biến, và
các giá trò của y được xác đònh .
• TRƯỜNG HP a = b = 0
• Phương pháp giải :
Viết mẫu thức dưới dạng d(x + m )
2
+ n, để từ đó chứng tỏ được
m y M≤ ≤
(m, M
là hằng số )
* Chỉ ra các giá trò của x để y = m ta có giá trò nhỏ nhất của y là m .
* Chỉ ra các giá trò của x để y = M ta có giá trò lớn nhất của y là M.

a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 : Tìm GTLN của biểu thức sau:
2
2
6 17
A
x x
=
− +
Giải : Tập xác đònh
x R∀ ∈
.
Ta có : x
2
– 6x + 17 = (x
2
– 6x + 9 ) + 8 = (x – 3 )
2
+ 8
≥
8 > 0.
Do đó :
3
1 1
.
( 3) 8 8x
≤
− +
Nên
3

2 2 1
.
( 3) 8 8 4
A
x
= ≤ =
− +
Dấu “=” xảy ra
⇔
x – 3 = 0
⇔
x = 3 .
Vậy GTLN của biểu thức A bằng
1
4
đạt được khi x = 3 .
*Nhận xét : Đối với bài này ta theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử với tử và mẫu
đều dương hoặc âm .

1 1
1 1
a b
a b
a b
a b
> ⇒ <
< ⇒ >
Ví dụ 2 : Tìm GTNN của biểu thức sau:
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất

21
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
2
2
2 6
B
x x
=
− −
Giải : Tập xác đònh
x R
∀ ∈
.
Ta có :
2 2 2
5 5 5
2 6 2 1 5 5 ( 1)
B
x x x x x
= = =
− − − + − − − − −
Vì (x – 1 )
2

≥
0 nên -5 – ( x – 1 )
2

≤

-5 < 0
Nên
2
5 5
1
5 ( 1) 5x
≥ = −
− − − −
Dấu “=” xảy ra
⇔
x – 1 = 0
⇔
x = 1
Vậy GTNN của biểu thức B bằng -1 đạt dược khi x = 1.
b/ Bài tập tự luyện:
Tìm GTLN , GTNN (nếu có ) của các biểu
thức sau:
2 2
3 5
) ; )
4 4 5 6 10
a A b B
x x x x
= =
− + − −
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện :
Các bước giải và kết qủa như sau :
2 2
3 3 3
)

4 4 5 (2 1) 4 4
a A
x x x
= = ≤
− + − +

2 2
5 5
) 5
6 10 1 ( 3)
b B
x x x
= = ≥ −
− − − − −
Vậy GTLN của A bằng
3
4
khi x =
1
2
Vậy GTNN của B bằng-5 khi x = 3
• Trường hợp dx
2
+ ex + g = (ux + v)
2

• Phương pháp giải :
Viết tử thức dưới dạng a(ux + v )
2
+ p(ux + v ) + q ( p, q là hằng số )

* Do vậy ta có :
2
2
2
1 1
.
ax bx c
a p q
dx ex g ux v ux v
+ +
 
= + +
 ÷
+ + + +
 
Và nếu xem X =
1
ux v+
, bài toán đưa về dạng quen thuộc, tìm giá trò nhỏ nhất,
lớn nhất của qx
2
+ px + a
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 : Tìm GTLN của biểu thức sau:
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
22
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
A =

12
1
2
2
+−
+−
xx
xx

Gi¶i: Tập xác đònh của biểu thức trên là x
≠
1
A =
12
1
2
2
+−
+−
xx
xx
=
2
2
)1(
1112
−
+−++−
x
xxx

= 1 +
1
1
−x
+
2
)1(
1
−x
=
2
)1(
1
−x
+ 2.
1
1
−x
.
1
2
+
1
4
+
4
3
=
2
1 1 3 3

1 2 4 4x
 
+ + ≥
 ÷
−
 
Dấu “=” xảy ra
⇔
1 1 1 1
0
1 2 1 2x x
−
+ = ⇔ =
− −
⇔
x – 1 = -2
⇔
x = -1
Vậy GTNN của biểu thức B bằng -1 đạt dược khi x = 1.
Ví dụ 2 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau:
B =
2
2
3 14 15
4 4
x x
x x
+ +
+ +

Gi¶i: Tập xác đònh của biểu thức trên là x
≠
-2
B =
2 2
2 2
3 14 15 3( 4 4) 2( 2) 1
4 4 ( 2)
x x x x x
x x x
+ + + + + + −
=
+ + +
=
2
1 1
3 2.
( 2) 2x x
 
+ −
 ÷
+ +
 
=
2
1 1
2. .1 1 4
( 1) 2x x
− + − +
+ +

=
2
1
1 4 4
2x
 
− − + ≤
 ÷
+
 
Dấu “=” xảy ra
⇔
1 1
1 0 1 1
2 2
x
x x
− = ⇔ = ⇔ = −
+ +
.
Vậy GTNN của biểu thức B bằng 4 đạt dược khi x = -1.
Cách khác :
2 2 2
2 2
3 14 15 4( 4 4) ( 2 1)
4 4 ( 2)
x x x x x x
x x x
+ + + + − + +
=

+ + +

2
2 2
2
4( 2) ( 1) 1
4 4
( 2) 2
x x x
x x
+ − + +
 
= = − ≤
 ÷
+ +
 
Dấu “=” xảy ra
⇔
1 0 1x x
+ = ⇔ = −
Vậy GTNN của biểu thức B bằng 4 đạt dược khi x = -1.
b/ Bài tập tự luyện:
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
23
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
Tìm GTNN của các biểu thức sau:
2
2

2
2
8 50 79
)
6 9
3 8 6
)
2 1
x x
a A
x x
x x
b B
x x
− +
=
− +
− +
=
− −
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện :
Các bước giải và kết qủa như sau :
a)
2
2
8 50 79
6 9
x x
A
x x

− +
=
− +
.
Tập xác đònh của biểu thức trên là x
≠
3
A =
2 2
2 2
8 50 79 8( 6 9) 2( 3) 1
6 9 ( 3)
x x x x x
x x x
− + − + − − +
=
− + −
=
2
1 1
8 2.
( 3) 3x x
 
− +
 ÷
− −
 
=
2
1 1

2. .1 1 7
( 3) 3x x
− + +
− −
=
2
1
1 7 7
3x
 
− + ≥
 ÷
−
 
Dấu “=” xảy ra
⇔
1 1
1 0 1 4
3 3
x
x x
− = ⇔ = ⇔ =
− −
.
Vậy GTNN của biểu thức B bằng 7 đạt dược khi x = 4.
b)
2
2
3 8 6
2 1

x x
B
x x
− +
=
− −
.
Tập xác đònh của biểu thức trên là x
≠
1
B =
2 2
2 2
3 8 6 3( 2 1) 2( 1) 1
2 1 ( 1)
x x x x x
x x x
− + − + − − +
=
− + − − −
=
2
1 1
3 2.
( 1) 1x x
 
− + −
 ÷
− −
 

=
2
1 1
2. .1 1 2
( 1) 3x x
− + − −
− −
=
2
1
1 2 2
1x
 
− − − ≤ −
 ÷
−
 
Dấu “=” xảy ra
⇔
1 1
1 0 1 2
1 1
x
x x
− = ⇔ = ⇔ =
− −
.
Vậy GTLN của biểu thức B bằng -2 đạt dược khi x = 2
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất

24
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trònh Thò Lan
******************************************************************************
• Trường hợp chung: Dự đoán giá trò lớn nhất ,
nhỏ nhất của
2
2
ax bx c
y
dx ex g
+ +
=
+ +
.
• Phương pháp giải :
Ta dự đoán giá trò lớn nhất , nhỏ nhất của
2
2
ax bx c
y
dx ex g
+ +
=
+ +
bằng cách :
2
2 2
2
2
( )

( ) ( ) 0
ax bx c
y y dx ex g ax bx c
dx ex g
yd a x ye b x yg c
+ +
= ⇔ + + = + +
+ +
⇔ − + − + − =
Gía trò của y cần tìm thỏa mãn : (ye – b )
2
– 4 (yd – a )(yg – c ) = 0.
a/ Các ví dụ:
Ví dụ 1 : Tìm GTNN, GTLN của biểu thức:
2
8 3
4 1
x
A
x
+
=
+
Dự đoán :

2
2
2
8 3
(4 1) 8 3

4 1
4 8 3 0
x
A A x x
x
Ax x A
+
= ⇔ + = +
+
⇔ − + − =

Ta có : 8
2
– 4 .4.A(A – 3 ) = 0
⇔
64 – 16A
2
+ 48 A = 0

⇔
A
2
– 3A – 4 = 0

⇔
(A – 4 )(A + 1 ) = 0 .

⇔
A = -1 ; A = 4 .
Vậy GTNN bằng -1

GTLN bằng 4.
Giải :
2 2 2
2 2 2
8 3 4(4 1) ( 16 8 1) (4 1)
4 4
4 1 4 1 4 1
x x x x x
A
x x x
+ + + − + − − −
= = = + ≤
+ + +

Dấu “=” xảy ra
⇔
1
4 1 0
4
x x− = ⇔ =
.
***************************************************************
Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất
25