Đề thi HSG Toán 9 tỉnh

sở giáo dục và đào tạo
TUYấN QUANG
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thCS
năm học 2009 - 2010
*
môn: toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)

Câu 1 (4 điểm). Rỳt gn cỏc biu thc sau:
1)
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
P
a b a c b c b a c a c b
= + +

, trong ú
, ,a b c
l cỏc s ụi mt khỏc
nhau.
2)
2 1 2 1
2 1 2 1
x x x x
Q
x x x x
+ +
=
+
, trong ú

2x

.
Câu 2 (4 điểm). Tỡm x, y, z tha món h sau:





=
=
=
xzz
zyy
yxx
3623
2423
223
3
3
3
.
Câu 3 (4 điểm).
1) Chng minh ch s tn cựng (ch s hng n v) ca cỏc s t nhiờn
n
v
5
n
l
nh nhau.

2) Tỡm s nguyờn t
p

2
5 1p +
l s nguyờn t.
Câu 4 (6 điểm). Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R > 0 khụng i v hai ng kớnh c
nh AB, CD vuụng gúc vi nhau. Ly im I bt k trờn on OC (I khụng trựng vi O v
C); dng ng trũn tõm I bỏn kớnh IA, ng trũn ny ct tia AD v AC ln lt ti M v
N (khỏc im A).
1) Chng minh rng ba im I, M, N thng hng.
2) T M k ng thng song song vi AC, ng thng ny ct CD ti K. Chng minh
rng: DM.DA = DK.DO.
3) Tớnh tng MA + NA theo R.
Câu 5 (2 điểm). Cho ba s thc a, b, c tha món a + b + c = 3. Chng minh rng:
4 4 4 3 3 3
a b c a b c
+ + + +
.HT
sở giáo dục và đào tạo
tuyên quang
đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs
Năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán
đề chính thức
C©u 1 (4 ®iÓm). Rút gọn các biểu thức sau:
1)
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
P

a b a c b c b a c a c b
= + +
− − − − − −
, trong đó
, ,a b c
là các số đôi một khác nhau.
§¸p ¸n 2 §iÓm
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
P
a b a c b c b a c a c b
= + +
− − − − − −

( ) ( ) ( )
( )( )( )
a c b b a c c b a
a b b c c a
− + − + −
=
− − −
1 ®
0
( )( )( )
ac ab ba bc cb ca
a b b c c a
− + − + −
= =
− − −
1 ®

2)
2 1 2 1
2 1 2 1
x x x x
Q
x x x x
+ − + − −
=
+ − − − −
, trong đó
2x
≥
.
§¸p ¸n 2 §iÓm
2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1
1 1
2 1 2 1
[(2 1) 2 2 1 1] [(2x-1)-2 2x-1 1]
2 2
x x x x x x x x
Q
x x x x
x x
+ − + − − − + − + + − − − +
= =
+ − − − −
− + − + − +
=
0,5 ®
=

2 2
2 2
( 1 1) ( 1 1)
1 1 | 1 1|
1
1 1
( 2 1 1 | 2 1 1|)
( 2 1 1) ( 2 1 1)
2
2 2
x x
x x
x x
x x
− + + − −
− + + − −
=
− + − − −
− + − − −
=
0,5 ®
1 1 1 1
1
( 2 1 1 2 1 1)
2
x x
x x
− + + − −
=
− + − − +

(vì
2x ≥
nên
x 1 1− ≥
và
2x 1−
≥ 1)
0,5 ®
=
2( 1)x −
. 0,5 đ
C©u 2 (4 ®iÓm). Tìm x, y, z thỏa mãn hệ sau:





−=−−
−=−−
−=−−
xzz
zyy
yxx
3623
2423
223
3
3
3
.

§¸p ¸n 2 §iÓm
Biến đổi tương đương hệ ta có:
2
3
3 2
3
2
( 2)( 1) 2
3 2 2
3 2 4 2 ( 2)( 1) 2(2 )
3 2 6 3
( 2)( 1) 3(2 )
x x y
x x y
y y z y y z
z z x
z z x

− + = −

− − = −


− − = − ⇔ − + = −
 
 
− − = −
− + = −



1 ®
Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)
2
(y+1)
2
(z+1)
2
= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
1 đ
⇔
(x - 2)(y - 2) (z - 2)
[ ]
6)1()1()1(
222
++++ zyx
= 0
0,5 ®
⇔
(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0.
⇔
x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
0,5 đ
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta được x = y = z = 2.
0,5 ®
Vậy: với x = y = z = 2 thỏa mãn hệ đã cho. 0,5 đ
C©u 3 (4 ®iÓm). 1) Chứng minh chữ số tận cùng (chữ số hàng đơn vị) của các số tự nhiên
n
và
5

n
là như nhau.
§¸p ¸n 2 §iÓm
Ta có:
5 4 2 2 2
( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)n n n n n n n n n n n
− = − = − + = − + + =
0,5 ®
2 2
( 1)( 1)( 4 5) ( 1)( 1)( 4) 5 ( 1)( 1)
( 2)( 1) ( 1)( 2) 5 ( 1)( 1).
n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n
− + − + = − + − + − + =
= − − + + + − +

0,5 ®
Ta có (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) và 5n(n – 1)(n + 1) đều chia hết cho 10
0,5 ®
Do đó
5
n n
−
chia hết cho 10, suy ra điều phải chứng minh.
0,5 đ
2) Tìm số nguyên tố
p
để
2
5 1p +

là số nguyên tố.
§¸p ¸n 2 §iÓm
+ Nếu p = 2 thì
2
5 1 21p + =
không phải là số nguyên tố.
0,5 ®
+ Nếu p > 2 thì p phải là số lẻ (vì p là số nguyên tố).
0,5 ®
Do đó
2
5 1p +
là số chẵn lớn hơn 2, suy ra
2
5 1p +
không phải là số nguyên tố.
0,5 đ
Vậy: không có số nguyên tố p nào thỏa mãn đề bài. 0,5 đ
Câu 4 (6 điểm). Cho đường tròn tâm O, bán kính R > 0 không đổi và hai đường kính cố
định AB, CD vuông góc với nhau. Lấy điểm I bất kỳ trên đoạn OC (I không trùng với O và
C); dựng đường tròn tâm I bán kính IA, đường tròn này cắt tia AD và tia AC lần lượt tại M
và N (khác điểm A).
1) Chứng minh rằng ba điểm I, M, N thẳng hàng.
§¸p ¸n 2 §iÓm
K
O
I
M
N
D

C

B
A
0,5 ®
Vì góc
0
ˆ
90NAM =
nên MN là đường kính của đường tròn (I, IA).
1 ®
⇒ ba điểm I, M, N thẳng hàng.
0,5 đ
2) Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại K. Chứng minh
rằng: DM.DA = DK.DO.
§¸p ¸n 2 §iÓm
Xét 2 tam giác KMD và AOD có:Vì góc
0
ˆ
90NAM =
và MK // AC nên ta có:
0
ˆ
ˆ
90KMD AOD= =
(Vì góc
0
ˆ
90NAM =
và MK // AC)

Góc
ˆ
MDK
chung.
0,5 ®
Suy ra hai tam giác vuông KMD và AOD đồng dạng.
0,5 ®
Từ đó suy ra:
DK DA
DM DO
=
.
0,5 ®
. .DM DA DK DO⇒ =
0,5 đ
3) Tính tổng MA + NA theo R.
§¸p ¸n 2 §iÓm
Từ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
INC IMK
IM IN ICN IKM
MIK NIC

=

= ⇒ ∆ = ∆


=



0,5 ®
⇒ CN = MK.
0,5 ®
Vì ∆MKD vuông cân nên CN = MK = MD.
0,5 ®
Vậy AM + AN = AM + CN + AC = AM + MD + AC = AD + AC =
2 2.R
.
0,5 ®
C©u 5 (2 ®iÓm). Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
4 4 4 3 3 3
a b c a b c
+ + ≥ + +
§¸p ¸n 2 §iÓm
Víi mäi sè thùc x ta cã :

2
3 2 2 2
1 3
( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0
2 4
x x x x x x x
 
 
− − = − + + = − + + ≥
 
 ÷
 

 
 
0,5 ®
Do ®ã:
4 4 4 3 3 3 3 3 3
( ) ( 1) ( 1) ( 1)a b c a b c a a b b c c+ + − + + = − + − + −

0,5 đ
3 3 3
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)a a b b c c a b c= − + − + − − − − − − −

0,5 ®
3 3 3
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 0a a b b c c= − − + − − + − − ≥
Suy ra :
4 4 4 3 3 3
a b c a b c+ + ≥ + +
0,5 đ
Ghi chó: ThÝ sinh lµm bµi theo c¸ch kh¸c (nếu đúng) vẫn được điểm theo quy định.