Đề thi HSG cấp trường 2009-2010

PHÒNG GD&ĐT MỘC HOÁ
TRƯỜNG THCS BÌNH TÂN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN
Ngày thi: 3/3/2010
Thời gian làm bài: 30 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHẦN THI TRẮC NGHIỆM (gồm 20 câu)
Họ, tên học sinh:
Số báo danh:
Học sinh làm bài trên phiếu thi trắc nghiệm
Câu 1: Giá trị của biểu thức
1 1
1
2 1 2 1
− +
− +
là
A. 2 B. 3 C. 4 D.
2
Câu 2: Giá trị của biểu thức
9 6 2 6
3
− −
là
A.
3 7 2−
B.
6 6−
C. -1 D. 1
Câu 3: Khi a + b = 2 và a - 3b = 6 thì giá trị của biểu thức a

5
- b
5
là
A. -10 B. 10 C. 32 D. -32
Câu 4: Đa thức x
4
+ 4x
2
- 5 được phân tích thành nhân tử là
A. (x + 1).(x - 1).(x
2
+ 5) B. (x
2
- 1).(x
2
+ 5)
C. (x - 1)
2
.(x
2
+ 5) D. x
2
+ 5
Câu 5: Phân tích đa thức 2x
2
+ 8x + 8 - 18y
2
thành nhân tử được
A. (x + 3y + y)

2
B. (x - 3y + 2)
2
C. 2(x + 3y + 2)(x + 3y -2) D. 2(x + 3y + 2)(x - 3y +2)
Câu 6: Cho hai đường thẳng:
2
1
2
( ) : ( 2) 2 3
( ) : 4 1
y m x m
y mx m
∆ = − + −
∆ = − +
Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ấy song song?
A. m = -1 B. m = 2 C. m = -1 hoặc m = 2 D. m =
3
2
Câu 7: Cho x + y = 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thữ A = x
3
+ y
3
là
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x
2
- 2x + 5 là
A. -1 B. 1 C. 4 D. -4
Câu 9: Nếu x < 0 thì
2

( 1)x x− −
bằng
A. 1 B. 1 - 2x C. 2x - 1 D. 2x +1
Câu 10: Giá trị của biểu thức
3 2 2 3 2 2+ − −
bằng
A. 2 B. 2
2
C. 4
2
D. 6
Trang 1/6 - Mã đề thi T9(09-10)
Câu 11: Với giá trị nào của a thì đồ thị hàm số y = ax + 5 đi qua điểm A(-1;3)
A. -2 B.
3
5
−
C.
3
5
D. 2
Câu 12: Hiện nay tuổi hai anh em cộng lại bằng 24. Cách đây 4 năm tuổi anh gấp 3 lần
tuổi em. Vậy tuổi của mỗi người hiện nay là
A. 14 tuổi và 10 tuổiB. 20 tuổi và 4 tuổi C. 16 tuổi và 8 tuổi D. 18 tuổi và 6 tuổi
Câu 13: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có
độ dài là 3cm và 4cm. Hai canh góc vuông của tam giác này là
A. 7 cm và 12 cm. B. 21 cm và 28 cm C.
21
cm và
28

D. 9cm và 16 cm
Câu 14: Với giá trị nào của x thì biểu thức
2
4 4 4 2x x x− + + −
xác định?
A. -2 < x < 2 B. x = 2 C. x
2≥
D. x
2≤
Câu 15: Đường thẳng (d) y = ax + b đi qua điểm A(2;1) và song song với đường thẳng
(d’) y = 2x + 1 thì a + b bằng:
A. -1 B. 5 C. 1 D. số khác
Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại
A. Hệ thức nào sai?
A. sin
2
B + cos
2
B = 1 B. sin
2
B + cos
2
C = 1 C. sin B = cos C
D. tg B = cotg C
Câu 17: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3 và AC = 4 thì sinB bằng:
A.
4
5
B.
3

5
C.
3
4
D. số khác
Câu 18: Nếu tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính 6cm thì cạnh của
tam giác ABC bằng
A.
3 3
cm B.
6 3
C.
2 3
D. 3 cm
Câu 19: Cho đường tròn tâm O và dây AB = 8. Nếu khoảng cách từ O đến AB bằng 3
thì bán kính đường tròn (O) là
3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 20: Nếu a là nghiệm khác 0 của phương trình
2 1 1x x− + =
thì a +
a
bằng
A. 4 B. 6 C. 8 D. 2

HẾT
Trang 2/6 - Mã đề thi T9(09-10)

PHÒNG GD&ĐT MỘC HOÁ
TRƯỜNG THCS BÌNH TÂN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HỌC 2009-2010

MÔN TOÁN
Ngày thi: 3/3/2010
Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHẦN THI TỰ LUẬN (7 điểm)
Bài 1 ( 2 điểm) : Rút gọn biểu thức sau:
A =
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 1n n
+ + +×××+
+ + + − +
(với
1n ≥
)
B =
2 2 2 2
2( )
a a b a a b
a b
+ − − − −
−
(khi
0a b> >
)
Bài 2 ( 2 điểm):
1/ Giải phương trình
2 1 2x x+ − =
2/ Giải hệ phương trình
4
5

20 2( 20)
x
y
x y

=



+ = −

Bài 3 (3 điểm):
Cho điểm A di động trên đường tròn đường kính BC = 2R. Kẻ AH vuông góc
với BC tại H, kẻ HD vuông góc với AB tại D và HE vuông góc với AC tại E.
1) Tứ giác ADHE là hình gì? Xác định vị trí của A để độ dài DE lớn nhất.
2) Xác định vị trí tương đối vủa hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác BDH và
CEH. Chứng minh AD.AB = AE.AC.
3) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (BDH) và (CEH).
Hết
Trang 3/6 - Mã đề thi T9(09-10)
PHÒNG GD&ĐT MỘC HOÁ
TRƯỜNG THCS BÌNH TÂN
THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HỌC 2009-2010
ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN
Ngày thi: 3/3/2010
Thời gian làm bài: 30 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHẦN THI TRẮC NGHIỆM (3 điểm)
Câu hỏi Đáp án Câu hỏi Đáp án
1. B 11. D

2. C 12. C
3. D 13. C
4. D 14. D
5. D 15. A
6. C 16. B
7. B 17. A
8. C 18. B
9. B 19. C
10. A 20. B
Mỗi câu trả lời đúng đạt 0,15 điểm.
Tổng số điểm phần trắc nghiệm: 20 x 0,15 = 3 điểm.
PHẦN THI TỰ LUẬN (3 điểm)
Bài 1 ( 2điểm) : Rút gọn biểu thức sau:
A =
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 1n n
+ + +×××+
+ + + − +
(với
1n ≥
)
2 1 3 2 4 3 1
2 1 3 2 4 3 ( 1)
1
n n
n n
n
− − − − −
= + + +×××+
− − − − −

= −
(0,5 điểm)
(0, 5 điểm)
B =
2 2 2 2
2( )
a a b a a b
a b
+ − − − −
−
(khi
0a b
> >
)
Ta thấy a>b>0 thì
2 2 2 2
a a b a a b+ − > − −
nên B > 0
Ta có:

2 2 2 2 2 2 2
2
2 ( )
2( )
1
1
a a b a a b a a b
B
a b
B

+ − + − − − − −
=
−
=
⇒ =
Nếu HS không biện luận B > 0 để trình bày lời giải theo cách này thì trừ 0, 25 điểm.
Trang 4/6 - Mã đề thi T9(09-10)
( 0,5 điểm)
( 0,5 điểm )
Bài 2 (2 điểm):
1/ Giải phương trình
2 1 2x x+ − =
Giải:
Điều kiện:
1x ≥
2
2 1 2
1 2 1 1 2
( 1 1) 2
1 1 2
1 1
1 1
2
x x
x x
x
x
x
x
x

+ − =
⇔ − + − + =
⇔ − + =
⇔ − + =
⇔ − =
⇔ − =
⇔ =
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 2.
Nếu HS không đặt điều kiện
1x ≥
thì trừ 0, 25 điểm.
2/ Giải hệ phương trình
4
5 4 0 5 4 0 3 120
5
2 60 2 4 120 2 60
20 2( 20)
40 40 40
2 60 40 2 60 50
x
x y x y x
y
x y x y x y
x y
x x x
x y y y

=
− = − = =
  


⇔ ⇔ ⇔
   
− =− − =− − =−
  

+ = −

= = =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
− =− − =− =
  
- Học sinh biến đổi đúng và tìm được x = 40 đạt 0, 5 điểm; y = 50 đạt 0, 5 điểm.
- Nếu HS chỉ đưa được về hệ phương trình
5 4 0
2 60
x y
x y
− =


− = −

thì đạt 0, 5 điểm.
Bài 3 (3 điểm):
Cho điểm A di động trên đường tròn đường kính BC = 2R. Kẻ AH vuông góc với BC tại H,
kẻ HD vuông góc với AB tại D và HE vuông góc với AC tại E.
1. (1 điểm) Tứ giác ADHE là hình gì? Xác định vị trí của A để độ dài DE lớn nhất.

2. ( 1 điểm) Xác định vị trí tương đối vủa hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác BDH và
CEH. Chứng minh AD.AB = AE.AC.
3. (1 điểm) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (BDH) và (CEH).
Hướng dẫn:
Hình vẽ (0, 25 điểm-HS phải vẽ đầy đủ theo điều kiện của đề bài mới đạt điểm):
Trang 5/6 - Mã đề thi T9(09-10)
( 0,5 điểm)
( 0,5 điểm)
D
A
C
B
E
J
I
O
H
1. Tứ giác AHDE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông
µ
µ
µ
90
o
A D E= = =
(0, 25 điểm)
Do đó DE = AH (Hai đường chéo hình chữ nhật)
Mà AH
≤
OA vì tam giác AHO vuông tại H, nên AH lớn nhất khi AH = OA hay điểm H trùng
với điểm O.

Vậy độ dài DE lớn nhất khi H trùng với O nghĩa là OA vuông góc với BC, hay A là trung điểm
của BC. (0, 5 điểm).
2. Hai tam giác BDH và CEH là hai tam giác vuông nên đường tròn ngoại tiếp của các tam giác
này lần lượt có đường kính là BH và CH.
Vậy hai đường tròn này tiếp xúc ngoài tại H vì đường nối tâm qua điểm chung H.(0,5điểm) (Hoặc
HS giải thích được vì IH + HJ = IJ)
* Nếu HS chỉ kết luận hai đường tròn trên tiếp xúc ngoài mà không giải thích thì không cho
điểm phần này.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB có đường cao HD cho: AH
2
= AD.AB (1)
Hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC có đường cao HD cho: AH
2
= AE.AC (2)
Từ (1) và (2) cho: AD.AB = AE.AC (0, 5 điểm).
3. Gọi I và J lần lượt là tâm các đường tròn (BDH) à (CEH).
Ta có:
·
·
IDH IHD=
(vì ID = IH)
·
·
HDE DHA=
(vì ADHE là hình chữ nhật)
Mà
·
·
90
o

IHD DHA+ =
Do đó
·
·
90
o
IDH HDE+ =
Suy ra
·
90
o
IDE =
.
⇒
ID
⊥
DE tại D
+ Điểm D thuộc đường tròn (I) (vì
·
90
o
HDB =
) và ID
⊥
DE tại D nên DE là tiếp tuyến của đường
tròn (I). (0, 5 điểm)
Tương tự:
·
90
o

DEJ =

⇒
JE
⊥
DE tại E
+ Điểm E thuộc đường tròn (J) (vì
·
90
o
HEC =
) và JE
⊥
DE tại E nên JE là tiếp tuyến của đường tròn
(J). (0, 5 điểm).
- Nếu HS chỉ chứng được
·
90
o
IDE =
và
·
90
o
DEJ =
thì đạt 0, 5 điểm
Hết
Trang 6/6 - Mã đề thi T9(09-10)