Dãy số 11

Lúâi nối àêìu
Trong chûúng trònh 11, cố thïí nối Dậy sưë - Cêëp sưë cưång vâ cêëp
sưë nhên cng lâ mưåt nưåi dung quan trổng trong chûúng trònh 11. Chûúng
nây gip chng ta lâm quen vúái nhûäng dậy sưë, nhûäng phûúng phấp
chûáng minh khùèng àõnh toấn hổc.
Chûúng nây gip chng ta rên luån kơ nùng tđnh toấn, têåp vâ lâm
quen vúái phûúng phấp chûáng minh quy nẩp àêìy th võ. Àêy lâ mưåt phûúng
phấp chûáng minh quan trổng vâ hûäu hiïåu trong Toấn hổc.
2010
Đỗ Đức Thành
Trường THPT TP Cao Lãnh
Chun đề về dãy số
Tuy khưng nùçm nhiïìu trong chûúng trònh thi àẩi hổc nhûng Dậy sưë -
Cêëp sưë cưång vâ cêëp sưë nhên sệ lâ lâ bûúác cú súã àïí ta dêìn tiïëp cêån
vúái toấn cao cêëp (Sệ àûúåc hổc úã Àẩi Hổc).
Mònh giúái thiïåu vúái cấc bẩn chun àïì vê Dậy sưë - Cêëp sưë cưång
vâ cêëp sưë nhên Àố lâ cưng sûác trong quấ trònh hổc têåp sấch giấo
khoa cng nhû sấch bâi têåp, mònh àậ thu nhùåt àûúåc vâ phên loẩi chng,
biïën chng thânh nhûäng thûá rêët cêìn thiïët.
Chun àïì giúái thiïåu mưåt sưë bâi toấn theo ch àïì. Gip cấc bẩn dïỵ
dâng tiïëp thu vúái Dậy sưë - Cêëp sưë cưång vâ cêëp sưë nhên. Cấc bâi
têåp àûúåc sùỉp xïëp tûâ dïỵ àïën khố, tûâ ban cú bẫn àïën ban nêng cao.
Mong rùçng sệ àûúåc cấc bẩn àốn nhêån. Trong quấ trònh lâm sệ
khưng trấnh thiïëu xốt, mong cấc bẩn cố nhiïìu gốp gip mònh hoân
thiïån chun àïì hún.
Àưìng Thấp, ngây
7 thấng 10 nùm 2010
Àưỵ Àûác Thânh
Chun àïì vïì dậy sưë
I - Dãy Số:
 Nhắc lại một số khái niệm về dãy số:

- Một hàm số u xác đònh trên tập hợp các số nguyên dương
¥ *
được gọi là một dãy
số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số).
- Có 3 cách cho một dãy số:
• Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
• Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi.
• Diễn đạt bằng lời cách xác đònh mỗi số hạng của dãy số.
Chuyên đề dãy số Trang 2
- Dãy số
( )
n
u
được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có
+
<
1n n
u u
.
- Dãy số
( )
n
u
được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có
+
>
1n n
u u
.
- Dãy số bò chặn:

• Dãy số
( )
n
u
được gọi là dãy số bò chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
∀ ∈ ≤¥*, .
n
n u M
• Dãy số
( )
n
u
được gọi là dãy số bò chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
∀ ∈ ≥¥*, .
n
n u m
• Dãy số
( )
n
u
được gọi là dạy số bò chặn nếu nó vừa bò chặn trên, vừa bò chặn dưới;
nghóa là, tồn tại một số M và một số m sao cho
( )
∀ ∈ ≤ ≤ < <¥*, hoặc .
n
n m u M m u M
Vấn đề 1: Xét tính tăng – giảm của các dãy số (hay tính đơn điệu).
Bài 1: Hãy xét tính tăng – giảm của các dãy số sau:
a) Dãy số
( )

n
u
với
= − + −
3 2
3 5 7;
n
u n n n
b) Dãy số
( )
n
x
với
+
=
1
;
3
n
n
n
x
c) Dãy số
( )
n
a
với
= + −1 .
n
a n n

Bài Làm
a) Ta có:
•
= − + −
3 2
3 5 7;
n
u n n n
•
( ) ( ) ( )
+
= + − + + + − = + −
3 2
3
1
1 3 1 5 1 7 2 4;
n
u n n n n n
Xét:
+
 
− = − + = − + > ∀ ≥
 ÷
 
2
2
1
1 9
3 3 3 3 0, 1.
2 4

n n
u u n n n n
( )
+
→ > →
1
dãy số u là dãy số tăng.
n n
n
u u
b) Ta có:
•
+
=
1
;
3
n
n
n
x
•
+
+
+
=
1
1
2
;

3
n
n
n
x
Chuyên đề dãy số Trang 3
Xét:
+
+
+ +
= = < ∀ ≥
+ +
1
1
1 3 1
. 1, 1
2 2
3
n
n
n
n
x
n n
n
x n n
.
( )
+
→ > →

1
dãy số la dãy số tăng.
n n
n
x x x ø
c) Ta có:
•
= + − =
+ +
1
1 ;
1
n
a n n
n n
•
+
= + − + =
+ + +
1
1
2 1 ;
2 1
n
a n n
n n
Xét:
+
+ + +
= > ∀ ≥

+ +
1
2 1
1, 1
1
n
n
a
n n
n
a
n n
.
+
→ < →
1
dãy số là dãy số giảm.
n n n
a a a
Bài 2: Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) Dãy số
( )
n
a
với
2
3 2 1
;
1
n

n n
a
n
− +
=
+
b) Dãy số
( )
n
b
với
2
2
1
.
2 1
n
n n
b
n
+ +
=
+
Bài Làm
a) Ta có:
•
2
3 2 1 6
3 1
1 1

n
n n
a n
n n
− +
= = − +
+ +
;
•
1
6
3 2 .
2
n
a n
n
+
= − +
+
Xét:
( )
( ) ( )
1
3 3
1 1
3 6 0, 1.
2 1
1 2
n n
n n

a a n
n n
n n
+
+
 
− = + − = > ∀ ≥
 ÷
+ +
+ +
 

( )
1
dãy số là dãy số tăng.
n n n
a a a
+
→ > →
b) Ta có:
•
2
2 2
1 1 2 1
;
2
2 1 2(2 1)
n
n n n
b

n n
+ + +
= = +
+ +
•
1
2
1 1 2 3
.
2 2
4 8 6
n
n
b
n n
+
+
= +
+ +
Chuyên đề dãy số Trang 4
Xét:
( )
( )
( )
2
1
2 2
2
2
2 2 1

2 3 2 1
0, 1.
4 8 6 2 2
4 1 2 2 1
n n
n
n n
b b n
n n n
n n
+
− +
+ +
− = − = < ∀ ≥
 
+ + +
+ + +
 
 
( )
1
dãy số là dãy số giảm.
n n n
b b b
+
→ > →
Bài 3: Hãy xét tính tăng – giảm của các dãy số sau:
a) Dãy số
( )
n

a
với
3
2 5 1;
n
a n n= − +
b) Dãy số
( )
n
b
với
3 ;
n
n
b n= −
c) Dãy số
( )
2
.
1
n
n
c
n
=
+
Bài làm:
a) Ta có:
•
3

2 5 1;
n
a n n= − +
•
( ) ( )
3
3 2
1
2 1 5 1 1 2 6 2.
n
a n n n n n
+
= + − + + = + + −
Xét:
2
1
6 6 3 0, 1.
n n
a a n n n
+
− = + − ≥ ∀ ≥
( )
1
dãy số là dãy số tăng.
n n n
a a a
+
→ > →
b) Ta có:
•

3 ;
n
n
b n= −
•
1
1
3 .
n
n
b n
+
+
= −
Xét:
1
1
3 3 2.3 0, 1.
n n n
n n
b b n
+
+
− = − = > ∀ ≥
( )
1
dãy số là dãy số tăng.
n n n
b b b
+

→ > →
c) Ta có:
•
2
;
1
n
n
c
n
=
+
•
1
2
1
.
2 2
n
n
c
n n
+
+
=
+ +
Chuyên đề dãy số Trang 5
Xét:
( )
( )

( )
2
1
2
2
1
0, 1.
1 1 1
n n
n n
c c n
n n
+
− + −
− = < ∀ ≥
 
+ + +
 
 
( )
1
dãy số la dãy số giảm.
n n n
c c c ø
+
→ < →
Bài 4: Hãy xác đònh số thực a để dãy số
( )
n
u

với
2
2
1
,
2 3
n
an
u
n
+
=
+
là:
a) Một dãy số giảm;
b) Một dãy số tăng.
Bài Làm
Ta có:
( )
2
2 2
1
2
1 3 2
2
2 3 2 3
.
3 2
2
2 2 3 8 4

n
n
an a a
u
n n
a a
u
n n
+

+ −
= = −

+ +


−

= −

+ + +

a) Để
( )
n
u
là dãy số giảm thì:
( )
( )
1 1

2
2
1 1 2
0 3 2 0 .
3
2 3
2 2 3 8 4
n n n n
u u u u a a
n
n n
+ +
 
 ÷
< ↔ − < ↔ − − < ↔ <
 ÷
+
+ + +
 
b) Để
( )
n
u
là dãy số tăng thì:
1 1
2
0 .
3
n n n n
u u u u a

+ +
> ↔ − > ↔ >
Vấn đề 2: Dãy số bò chặn.
Bài 5: Trong các dãy số
( )
n
u
sau, dãy số nào bò chặn dưới, bò chặn trên và bò chặn?
a)
2
2 1;
n
u n= −
b)
2
1
;
2 1
n
u
n
=
−
c)
( )
1
;
2
n
u

n n
=
+
d)
sin cos .
n
u n n= +
Bài Làm
a) Ta có:
2
1 2 1 1 1;
n
n n u≥ ↔ − ≥ → ≥
Chuyên đề dãy số Trang 6
( )
là dãy số bò chặn dưới.
n
u→
b) Ta có:
2
1
1 0 1 0 1.
2 1
n
n u
n
≥ ↔ < ≤ → < ≤
−
( )
là dãy số bò chặn.

n
u→
c) Ta có:
( )
( )
1
0; 1; 1 .
2
n
u n
n n
= > ∀ ≥
+
Xét:
( ) ( )
( )
1
1 3
1, 1.
2
n
n
n n
u
n
u
n n
+
+ +
= > ∀ ≥

+
( )
1 1 2 3
là dãy số giảm u .
n n n n
u u u u u u
+
→ > → → > > > >
( )
1
1
; 1; 2 .
3
n
u u n→ ≤ = ∀ ≥
Từ
( ) ( ) ( )
1
1 ; 2 0 là dãy số bò chặn.
3
n n
u u→ < ≤ →
d) Ta có:
1 sin 1 2 2 sin 2 2 sin cos 2
4 4
n n n n
π π
   
− ≤ + ≤ ↔ − ≤ + ≤ ↔ − ≤ + ≤
 ÷  ÷

   
( )
2 2 la dãy số bò chặn.
n n
u u ø→ − ≤ ≤ →
Bài 6: Chứng minh rằng dãy số
( )
n
u
với:
2 3
3 2
n
n
u
n
+
=
+
là một dãy số giảm và bò chặn.
Bài Làm
Ta có:
( )
( )
2 3 2 5 2
; 1; 1 .
3 2 3 3
3 3 2
n
n

u n
n
n
+
= = + > ∀ ≥
+
+
Xét:
( ) ( )
1
2 5 2 3 5
0, 1.
3 5 3 2
3 5 3 2
n n
n n
u u n
n n
n n
+
+ + −
− = − = < ∀ ≥
+ +
+ +
( )
1 1 2 3 .
là dãy số giảm
n n n n
u u u u u u u
+

→ < → → > > > >
( )
1
1; 1; 2 .
n
u u n→ ≤ = ∀ ≥
Từ
( ) ( ) ( )
2
1 và 2 1 là dãy số bò chặn.
3
n n
u u→ < ≤ →
Chuyên đề dãy số Trang 7
Bài 7: Chứng minh rằng dãy số
( )
n
v
, với
2
2
1
2 3
n
n
v
n
+
=
−

, là dãy số bò chặn.
Bài Làm
Ta có:
( )
( )
2
2
2
1 1 5
2; 1; 1 .
2
2 3
2 2 3
n
n
v n
n
n
+
= = + ≥ − ∀ ≥
−
−
Xét:
( )
( )
( )
1
2
2
5 4 2

0, 2.
2 2 1 3 2 3
n n
n
v v n
n n
+
− +
− = < ∀ ≥
 
+ − −
 
 
( ) ( )
1 2 3
là dãy số giảm . 2
n n n n
v v v v v v n
+
→ < → → < < < ≥
( )
1
1; 2; 2 .
n
v v n→ ≤ = ∀ ≥
Từ
( ) ( ) ( )
1 và 2 2 1 là dãy số bò chặn.
n n
v v→ − ≤ ≤ →

Bài 8: Chứng minh rằng dãy số
( )
n
u
, với
7 5
5 7
n
n
u
n
+
=
+
, là một dãy số tăng và bò chặn.
Bài Làm
Ta có:
( )
( )
7 24 7
; 1; 1 .
5 5
5 5 7
n
u n
n
= − < ∀ ≥
+
Xét:
( ) ( )

1
24 1 1 24
0, 1.
5 5 7 5 12
5 7 5 12
n n
u u n
n n
n n
+
 
− = − = > ∀ ≥
 
+ +
+ +
 
( )
1 1 2 3
là dãy số tăng .
n n n n
u u u u u u u
+
→ > → → < < < <
( )
1
1; 1; 2 .
n
u u n→ ≥ = ∀ ≥
Từ
( ) ( ) ( )

7
1 và 2 1 là dãy số bò chặn.
5
n n
u u→ ≤ < →
Vấn đề 3: Chứng minh các yếu tố trong dãy số.
Bài 9: Cho dãy số
( )
n
u
xác đònh bởi:
1 1
và 2 3 với mọi 2.
n n
u u u n
−
= + ≥
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi
1n ≥
ta có
1
2 3
n
n
u
+
= −
.
Chuyên đề dãy số Trang 8
Bài Làm

Ta có:
( )
1
2 3; 1; * .
n
n
u
+
= − ∀ ≥
• Với
1n =
, rõ ràng:
2 1
3
2
2 3 5
: đúng.
2 3 5
u u
u

= + =


= − =


• Giả sử (*) đúng với
, 2n k k= ≥
, tức là:

1
2 3.
k
k
u
+
= −
• Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với
1n k= +
, nghóa là:
2
1
2 3
k
k
u
+
+
= −
.
• Thật vậy, theo giả thiết:
( )
1 2
1
2 3 2.2 3 2 3; đpcm .
k k
k k
u u
+ +
+

= + = − = −
Bài 10: Cho dãy số
( )
n
u
với
1
5.4 3
n
n
u
−
= +
.
Chứng minh rằng
1
4 9
n n
u u
+
= −
với mọi
1.n ≥

Bài Làm
Ta có:
( )
( )
1 1
1

5.4 3 5.4 .4 12 9 4 5.4 3 9 4 9; đpcm .
n n n
n n
u u
− −
+
= + = + − = + − = −
Bài 11: Cho các dãy số
( )
n
u
và
( )
n
v
, với
n
u n=
và
2 .
n
n
v n= +
Chứng minh rằng với mọi
1n
≥
, ta luôn có
1 1
2 1 và 2 1.
n n n n

u u n v v n
+ +
= − + = − +
Bài Làm
Ta có:
•
1
1 2 1 2 1;
n n
u n n n u n
+
= + = − + = − +
•
( )
1
1
2 1 2 .2 2 1 2 2 1 2 1.
k k k
n k
v k k k k k u k
+
+
= + + = + − + = + − + = − +
đpcm.→
Bài 12: Cho dãy số
( )
n
u
với
sin cos .

3 6
n
n n
u
π π
= +
Chứng minh rằng
12n n
u u
+
=
với mọi
1.n ≥
Bài Làm
Chuyên đề dãy số Trang 9
Ta có:
•
sin cos ;
3 6
n
n n
u
π π
= +
•
( ) ( )
12
12 12
sin cos sin 4 cos 2 sin cos .
3 6 3 6 3 6

n
n n
n n n n
u
π π
π π π π
π π
+
+ +
   
= + = + + + = +
 ÷  ÷
   
( )
12
; đpcm .
n n
u u
+
→ =
Bài 13: Cho dãy số
( )
n
v
xác đònh bởi:
1
2
1
1
3 5

1; 1.
2 2
n n n
v
v v v n
+

=


= − + + ∀ ≥


Chứng minh rằng
2n n
v v
+
=
với mọi
1.n
≥
Bài Làm
Ta có:
( )
3
; *
n n
v v
+
=

• Với
1n =
, rõ ràng
( )
1
2
2 1 1
1 4
2
3 2 2
2
4 3 3
1
3 5
1 2
2 2
; đúng .
3 5
1 0
2 2
3 5
1 1
2 2
v
v v v
v v
v v v
v v v

=



= − + + =


→ =

−
= + + =


−

= + + =


• Giả sử (*) đúng với
( )
; 1n k k= ≥
, tức là:
3k k
v v
+
=
.
• Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với
1n k= +
, nghóa là:
1 4k k
v v

+ +
=
Chuyên đề dãy số Trang 10
• Thật vậy, theo giả thiết:
( )
2 2
1 3 3
1 4
2
4 3 3
3 5 3 5
1 1
2 2 2 2
; đpcm .
3 5
1
2 2
k k k k k
k k
k k k
v v v v v
v v
v v v
+ + +
+ +
+ + +

− −
= + + = + +



→ =

−

= + +


Bài 14: Cho dãy số
( )
n
u
xác đònh bởi:
1
1
1
.
7; 1
n n
u
u u n
+

=


= + ∀ ≥


Chứng minh rằng

7 6
n
u n= −
với mọi
1.n ≥
Bài Làm
Ta có:
( )
7 6; 1; * .
n
u n n= − ∀ ≥
• Với
1n
=
, rõ ràng:
2 1
2
7 8
: đúng.
7.2 6 8
u u
u

= + =


= − =


• Giả sử (*) đúng với

, 1n k k= ≥
, tức là:
7 6.
k
u k= −
• Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với
1n k
= +
, nghóa là:
( )
1
7 1 6 7 1
k
u k k
+
= + − = +
.
• Thật vậy, theo giả thiết:
( )
1
7 7 6 7 7 1; đpcm .
k k
u u k k
+
= + = − + = +
Bài 15: Cho dãy số
( )
n
u
xác đònh bởi

1
1
2
5 ; 1
n n
u
u u n
+

=


= ∀ ≥


.
Chứng minh rằng
1
2.5 ; 1.
n
n
u n
−
= ∀ ≥
Bài Làm
Ta có:
( )
1
2.5 ; 1; * .
n

n
u n
−
= ∀ ≥
• Với
1n =
, rõ ràng:
2 1
2 1
2
5 10
: đúng.
2.5 10
u u
u
−

= =


= =


• Giả sử (*) đúng với
, 1n k k= ≥
, tức là:
1
2.5
k
k

u
−
=
Chuyên đề dãy số Trang 11
• Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với
1n k
= +
, nghóa là:
1
2.5
k
k
u
+
=
.1
• Thật vậy, theo giả thiết:
( )
1
1
5 5.2.5 2.5 ; đpcm
k k
k k
u u
−
+
= = =
Bài 16: Cho dãy số
( )
n

u
xác đònh bởi:
1
2
1
2
.
4
, 1
4
n
n
u
u
u n
+

=


+
= ∀ ≥


Chứng minh rằng
( )
n
u
là một dãy số không đổi.
Bài Làm

Ta có:
( )
1
; 1; * .
n n
u u
+
= ∀ ≥
• Với
1n =
, rõ ràng:
1
2
1
2
2
: đúng.
4
2
4
u
u
u

=


+
= =



• Giả sử (*) đúng với
, 1n k k= ≥
, tức là:
1 1
2
k k
u u u
+
= = =
.
• Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với
1n k= +
, nghóa là:
1 2
.
k k
u u
+ +
=
.
• Thật vậy, theo giả thiết:
( )
1
2
1 2
1
2
2
; đpcm

4
2
4
k
k k
k
k
u
u u
u
u
+
+ +
+
+

=

→ =

+
= =


Vấn đề 3: Tính tổng của dãy số.
Bài 17: Cho dãy số
( )
n
u
với

( )
sin 2 1 ; 1.
3
n
u n n
π
= − ∀ ≥
Tính tổng 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Bài Làm
 Nhận xét:
3
; 1
n n
u u n
+
= ∀ ≥
.
Thật vậy, ta có:
( )
( ) ( ) ( )
3
3
sin 2 1
3
sin 2 3 1 sin 2 1 2 sin 2 1
3 3 3
n
n n
n
u n

u u
u n n n
π
π π π
π
+
+

= −


↔ =

 

 
= + − = − + = −
 
 

 

.
Chuyên đề dãy số Trang 12
Gọi
n
S
là tổng 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho thì:
( )
1 2 3 17 1 2 3 1 2 3 3

3
6 6 5 6
2
n
S u u u u u u u u u u u= + + + + = + + = + + − =
.
Bài 18: Cho dãy số
( )
n
s
với
( )
sin 4 1
6
n
s n
π
= −
Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Bài Làm
 Nhận xét:
3
; 1
s s
u u n
+
= ∀ ≥
.
Thật vậy, ta có:
( )

( ) ( ) ( )
3
3
sin 4 1
6
sin 4 3 1 sin 4 1 2 sin 4 1
6 6 6
s
s s
s
u n
u u
u n n n
π
π π π
π
+
+

= −


↔ =

 

 
= + − = − + = −
 
 


 

.
Gọi
n
S
là tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho thì:
( )
1 2 3 15 1 2 3 1 2 3
5 5 5 5 0
n
S s s s s s s s s s s= + + + + = + + = + + =
.
Bài 19: Cho dãy số
( )
n
u
với
( )
cos 3 1 .
6
n
u n
π
= +
Hãy tính tổng 27 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Bài Làm
 Nhận xét:
4

; 1
n n
u u n
+
= ∀ ≥
.
Thật vậy, ta có:
( )
( ) ( ) ( )
4
4
cos 3 1
6
.
cos 3 4 1 cos 3 1 2 cos 3 1
6 6 6
n
n n
n
u n
u u
u n n n
π
π π π
π
+
+

= +



↔ =

 

 
= + + = + + = +
 
 

 

Gọi
n
S
là tổng 27 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho thì:
( )
1 2 3 27 1 2 3 4 1 2 3 4 4
3
7 7 7 6 7
2
n
S u u u u u u u u u u u u u
−
= + + + + = + + + = + + + − =
.
Chuyên đề dãy số Trang 13
III – Cấp số cộng:
 Nhắc lại một số kiến thức về cấp số cộng:
- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai,

mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi,
nghóa là
( )
1
la cấp số cộng 2, .
n n n
u ø n u u d
−
↔ ∀ ≥ = +
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
- Nếu
( )
n
u
là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng
cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó
trong dãy, tức là
1 1
.
2
k k
k
u u
u
− +
+
=
- Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu
1
u

và công sai d thì số hạng tổng quát
n
u
của
nó được xác đònh theo công thức sau:
( )
1
1 .
n
u u n d= + −
- Giả sử
( )
n
u
là một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi
n
S
là tổng n số hạng
đầu tiên của nó
( )
1 2
.
n n
S u u u= + + +
Khi đó, ta có:
( )
1
.
2
n

n
u u n
S
+
=
Vấn đề 1: Chứng minh một số đẳng thức trong cấp số cộng.
Chuyên đề dãy số Trang 14
Bài 20: Cho cấp số cộng
( )
n
u
với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với
m k
≥
. Chứng minh rằng
( )
.
m k
u u m k d= + −
Bài Làm
Vì
( )
n
u
là một cấp số cộng nên:
( )
( )
1
1
1

1
m
k
u u m d
u u k d

= + −


= + −


( ) ( )
( ) ( )
1
1
1 ; 1
1 ; 2
k
m
u u k d
u u m d

= − −

→

= + −



.
Thế (1) vào (2) ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 ; đpcm .
m k k
u u k d m d u m k d= − − + − = + −
Bài 21: Cho cấp số cộng
( )
n
u
và cho các số nguyên dương m, k với
m k<
. Chứng minh
rằng:
.
2
k m k m
k
u u
u
− +
+
=
Bài Làm
Vì
( )
n
u
là một cấp số cộng nên:
( )

( )
1
1
1
1
k m
k m
u u k m d
u u k m d
−
+

= + − −


= + + −


( ) ( )
1
1 ; đpcm .
2
k m k m
k
u u
u k d u
− +
+
→ = + − =
Vấn đề 2: Một số bài toán tìm yếu tố bò thiếu (công sai, số hạng đầu, số hạng tổng

quát,…) của cấp số cộng.
Bài 22: Một cấp số cộng có tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số
hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 40. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Bài Làm
Gọi cấp số cộng đó được xác đònh bởi:
( )
1
( 1) ; với 1 n
n
u u n d= + − ≤
thì:
3 1
5 1
2
.
4
u u d
u u d

= +


= +


Theo đề bài ta có hệ sau:
1 3
1
1
3 5 1

28
2 2 28
11
.
40 2 6 40
3
u u
u d
u
u u u d
d


+ =
+ = 
=
  
↔ ↔
  
+ = + =
=






( )
11 1
n

u n d→ = + −
.
Chuyên đề dãy số Trang 15
Bài 23: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
20
52u = −
và
51
145u = −
. Hãy tìm số hạng tổng quát của
cấp số cộng đó.
Bài Làm
Vì
( )
n
u
là một cấp số cộng nên:
20 1
51 1
19
.
50
u u d
u u d

= +



= +


Theo đề bài ta có hệ sau:
1
1
1
19 52
5
50 145
3
u d
u
u d
d

+ = − 
=
 
↔
 
+ = −
= −




.

5 3 .
n
u d→ = −
Bài 24: Cho một cấp số cộng. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 7.
Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Bài Làm
Gọi cấp số cộng đó được xác đònh bởi:
( ) ( )
1
1 ; 1
n
u u n d n= + − ∀ ≥
thì:
2 1
4 1
.
3
u u d
u u d

= +


= +



Theo đề bài ta có hệ sau :
1
1

1
3
1
.
3 7
3
u d
u
u d
d

+ = 
=
 
↔
 
+ =
=




1 3 .
n
u d→ = +
Bài 25: Cho một cấp số cộng với công sai dương và số hạng thứ tư bằng 11. Hãy tìm số
hạng tổng quát của cấp số cộng đó, biết rằng hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm
bằng 6.
Bài Làm
Gọi cấp số cộng đó được xác đònh bởi:

( ) ( )
1
1 ; 1, 0
n
u u n d n d= + − ∀ ≥ >
thì:
4 1
3 1
5 1
3
2 .
4
u u d
u u d
u u d

= +

= +


= +

Theo đề bài ta có hệ sau:
( )
4
1
1
5 3
11

3 11 3
.
2
6; do d 0
2 6
u
u d d
u
u u
d

=
 
+ = =
  
↔ ↔
  
=
− = >
=
 
 


Chuyên đề dãy số Trang 16
( )
2 1 3.
n
u n→ = + −
Bài 26: Cấp số cộng

( )
n
u
có
17 20
2 2
17 20
9
153
u u
u u

− =


+ =


. Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số
cộng đó.
Bài Làm
Vì
( )
n
u
là một cấp số cộng nên:
17 1
20 1
16
.

19
u u d
u u d

= +


= +


Theo đề bài ta có hệ sau:
( ) ( )
17 20
2 2
1
2
2 2
1 1
17 20
1 1
1
3
3 9
9
3
60
2 210 5400 0
153
16 19 153
45

d
d
u u
d
u
u u
u u
u d u d
u

= −

− =

− =

= −

  

=
↔ ↔ ↔
   
− + =
+ =
+ + + =



 




=



Bài 27: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có công sai
0d
>
,
( ) ( )
31 34
2 2
31 34
11
101
u u
u u

+ =


+ =



. Hãy tìm số hạng
tổng quát của cấp số cộng đó.
Bài Làm
Vì
( )
n
u
là một cấp số cộng nên :
31 1
34 1
30
.
33
u u d
u u d

= +


= +


Vì
0d >
nên :
1 1 31 34
30 33 .u d u d u u+ < + ↔ <
Theo đề bài ta có hệ sau :
( ) ( ) ( )
31 34 31 34

2 2 2
31 34 31 34 31 34
11 11
.
101 2 101
u u u u
u u u u u u
 
+ = + =
 
↔
 
+ = + − =
 
 
Đặt :
( )
2
31 34
31 34
; 4
S u u
S P
P u u

= +

≥

=



thì hệ trở thành :
2
2
11
11
.
101
2 101
10
2
S
S
S
S P
P

=

=
 
↔
 
−
− =
= =





2
31 34
; là nghiệm của phương trình 11 10 0u u X X→ − + =
( )
31
34
31
34
1
10
.
10
loại
1
u
u
u
u


=



=


→



=




=



Chuyên đề dãy số Trang 17
( )
1
1
1
30 1
89
89 1 3
33 10
3
n
u d
u
u n
u d
d

+ = 
= −
 

→ ↔ → = − + −
 
+ =
=




.
Bài 28 : Xét dãy số
( )
n
u
xác đònh bởi
( )
1
1
5 ; 1
n n
u a
u u n
+

=


= − ∀ ≥


, trong đó a là một số thực.

Hãy xác đònh tất cả các giá trò của a để dãy số
( )
n
u
là một cấp số cộng đó.
Bài Làm
Vì
( )
n
u
là một số cộng nên :
( )
1 1 1
1 ;
n n
u u u nd u n d d
+
− = + − − − =

Ta có :
( )
1 1
5
5 5 2 5 2 ; không đổi
2
n n n n n n n
d
u u u u u d u u
+ +
−

+ = ↔ − = − ↔ = − ↔ =
.
1 1
1 1
5
.
2
5
Mà: 5 2 5 2 5 .
2
n n
n n
d
u u u
u u u a a
+
+
−
→ = = =
+ = ↔ = ↔ = ↔ =
Vấn đề 3: Tính tổng của một cấp số cộng
Bài 29: Hãy tính các tổng sau đây :
a) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số hạng thứ
thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng 999.
b) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số hạng thứ
hai bằng
1
3
−
và số hạng cuối bằng -2007

Bài Làm
a) Theo đề bài ta có:
( )
1
2 1
2
1
102
3
3
105 .
1 998
300
998
n
n
u
d u u
d
u
u u n d
n
u

=

= − =


=


= ↔ ↔
  
= + − =
=




=

( )
1 300
300
165150
2
u u
S
+
→ = =
.
Chuyên đề dãy số Trang 18
b) Theo đề bài tao có:
( )
1
2 1
2
1
1
3

2
2
1
3
.
3
3
1 2007
3012
2007
n
n
u
d u u
d
u
u u n d
n
u

=



−

−
= − =
=
−

  
= ↔ ↔
  
  
= + − = −
=


= −



( )
1 3012
.3012
3022040
2
u u
S
+
→ = = −
.
Bài 30: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
5 19
90u u+ =
. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của

( )
n
u
.
Bài Làm
Vì
( )
n
u
là một cấp số cộng nên:
5 19 1 1 1
90 4 18 90 2 22 90.u u u d u d u d+ = ↔ + + + = ↔ + =
Ta có:
( ) ( )
1 23 1
23
23 2 22 23
1035.
2 2
u u u d
S
+ +
= = =
Bài 31: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
2 5
4 9

42
.
66
u u
u u

+ =


+ =


Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của cấp
số cộng đó.
Bài Làm
Vì
( )
n
u
là một cấp số cộng nên:
2 5 1 1 1
1
4 9 1 1 1
42
4 42 2 5 42
11
.
66 3 8 66 2 11 66
4
u u

u d u d u d
u
u u u d u d u d
d

 
+ =
+ + + = + = 
=
   
↔ ↔ ↔
   
+ = + + + = + =
=

 


 

( ) ( ) ( )
1 346 1 1 1
346 345 346 2 345 346
242546
2 2 2
u u u u d u d
S
+ + + +
→ = = = =
.

Bài 32: Cho cấp số cộng tăng
( )
n
u
có
3 3
1 15
15
302094
.
585
u u
S

+ =


=


Hãy tìm số hạng đầu và công sai
của cấp số cộng đó sau đó tính tổng của 5 số hạng đầu tiên.
Bài Làm
Vì
( )
n
u
là một cấp số cộng tăng nên:
1
.

n n
u u
+
>
Chuyên đề dãy số Trang 19
Theo đề bài, ta có:
( ) ( )
( )
3
3 3
1 15 1 15 1 15
1 15
1 15
1 15
1 15
15
3 302094
78
302094
.
15
737
585
585
2
u u u u u u
u u
u u
u u
u u

S

+ − + =



+ =
+ =
  
↔ ↔
  
+
=
=





=


( )
( ) ( )
2
1 15
1
15
1 5 1
1

1
5
1
1
15
; là nghiệm của phương trình 78 737 0.
67
loại
11
5 2 4 5
11
11
95
2 2
14 67
4
11
67
u u X X
u
u
u u u d
u
u
S
u d
d
u
u
→ − + =



=



=
+ +

= 
=


 

→ → ↔ → = = =
 

+ =

=
=









=



Vấn đề 4: Một số bài toán tổng hợp.
Bài 33: Cho dãy số
( )
n
u
mà tổng n số hạng đầu tiên của nó, kí hiệu là
n
S
, được tính theo
công thức sau:
( )
7 3
2
n
n n
S
−
=
.
a) Hãy xác đònh số hạng tổng quát của dãy số
( )
n
u
.
b) Chứng minh rằng dãy số
( )

n
u
là một cấp số cộng. Hãy xác đònh công sai của cấp số
cộng đó.
Bài Làm
a) Xét:
( )
( ) ( )
1 2
1 1 2 1
7 3

2
.
1 7 3 1

2
k k
k k k
k k
S u u u
k k
S u u u u
+ +

−

= + + + =



 
+ − +

 
= + + + + =


1 1
1
3 2.
3 2.
k k k
k
S S u k
u k
+ +
+
→ − = = − +
→ = − +
b) Ta có:
•
( )
3 1 2 3 2;
k
u k k= − − + = − +
•
1
3 1.
k
u k

+
= − −
Chuyên đề dãy số Trang 20
( )
1 1
3 3.
là một cấp số cộng với 3.
k k k k
k
u u u u
u d
+ +
→ − = − ↔ = −
→ = −

Bài 34: Cho dãy số
( )
n
u
xác đònh bởi
( )
1
2
1
1
.
2; 1
n n
u
u u n

+

=


= + ∀ ≥


a) Chứng minh rằng dãy số
( )
n
v
, mà
( )
2
; 1 ,
n n
v u n= ∀ ≥
là một cấp số cộng. Hãy xác
đònh số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
b) Hãy xác đònh số hạng tổng quát của dãy số
( )
n
u
.
c) Tính tổng
2 2 2 2
1 2 3 1001
.S u u u u= + + + +

Bài Làm
a) Ta có:
•
2
n n
v u=
.
•
(
)
2
2 2 2
1 1
2 2 2.
n n n n n
v u u u v
+ +
= = + = + = +
( )
2
1 1
1
1
2 là một cấp số cộng.
2
n n n
v u
v v v
d
+


= =

→ = + → →

=


b) Vì
( )
n
v
là một cấp số cộng nên:
1 1
2 1 2 .
n
v v n n
+
= + = +
2
1 1 1
1 2 1 2
n n n
v u n u n
+ + +
→ = = + ↔ = +
.
c) Ta có:
( )
1 1001

2 2 2 2
1 2 3 1001 1 2 3 1001
1001
1002001
2
v v
S u u u u v v v v
+
= + + + + = + + + + = =
.
Bài 35: Cho dãy số
( )
n
u
xác đònh bởi
( )
1
1
1
.
; 1
n n
u
u u n n
+

=


= + ∀ ≥



Xét dãy số
( )
,
n
v
mà
1n n n
v u u
+
= −
với mọi
1.n
≥
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N, tổng N số hạng đầu tiên của dãy số
( )
n
v
bằng
1 1N
u u
+
−
.
Chuyên đề dãy số Trang 21
b) Chứng minh rằng dãy số
( )
n
v

là một cấp số cộng. Hãy xác đònh số hạng đầu và công
sai của cấp số cộng đó.
Bài Làm
a) Ta có:
1 2
v u=
1
2 3
;u
v u
−
=
2
u−
3 4
;
v u=
3
u− ;

1

N N
v u
−
=
1N
u
−
−

1
;
N N N
v u u
+
= −
( )
1 2 3 1 1
Cộng vế theo vế, ta được: ; đpcm .
.
N N
S v v v v u u
+






= + + + + = −







b) Xét:
•
1

;
n n n n n
v u u u n u n
+
= − = + − =
•
1 2 1 1 1
1 1.
n n n n n
v u u u n u n
+ + + + +
= − = + + − = +
( )
1
1 là một cấp số cộng với công sai là 1 .
n n n
v v v
+
→ = + →
Bài 36: Cho dãy số
( )
n
u
xác đònh bởi:
( )
1
1
1
.
2 1; 1

n n
u
u u n n
+

=


= + − ∀ ≥


Xét dãy số
( )
,
n
v
mà
( )
1
; 1 .
n n n
v u u n
+
= − ∀ ≥
a) Chứng minh rằng dãy số
( )
n
v
là một cấp số cộng. Hãy xác đònh số hạng đầu và công
sai của cấp số cộng đó.

b) Cho số nguyên dương N, hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số
( )
n
v
theo N.
Từ đó, suy ra số hạng tổng quát của dãy số
( )
n
u
.
Bài Làm
a) Ta có:
•
1
2 1 2 1;
n n n n n
v u u u n u n
+
= − = + − − = −
•
( )
1 2 1 1 1
2 1 1 2 1 2 2.
n n n n n n
v v u u n u n u
+ + + + +
= − = + + − − = − + = +
Chuyên đề dãy số Trang 22
( )
1 1

2 là một cấp số cộng với công sai 2 và 1.
n n n
v v v d v
+
→ = + → = =
b) Vì
( )
n
v
là một cấp số cộng nên:
( ) ( )
1
2
1 1
1 2 1
2 2
N
N n
v v N N N
S N u u
+
+ + −
= = = = −
.
2
1
1
N
u N
+

→ = +
.
IV – Cấp số nhân:
 Nhắc lại một số kiến thức về cấp số nhân:
- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ
hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không
đổi, nghóa là:
( )
1
là cấp số nhân 2, . .
n n n
u n u u q
−
↔ ∀ ≥ =
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
- Nếu
( )
n
u
là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số
hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng
kề nó trong dãy, tức là:
2
1 1
. .
k k k
u u u
− +
=
- Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu

1
u
và công bội
0q ≠
thì số hạng tổng quát
n
u
của nó xác đònh bởi công thức
1
1
. .
n
n
u u q
−
=
- Nếu
( )
n
u
là một cấp số nhân với công bội
1q ≠
thì
n
S
được tính theo công thức
( )
1
1
.

1
n
n
u q
S
q
−
=
−
Vấn đề 1: Chứng minh một số đẳng thức trong cấp số nhân.
Bài 37: Cho cấp số nhân
( )
n
u
với công bội
0q ≠
và
1
0u ≠
. Cho các số nguyên dương m và
k, với
m k≥
. Chứng minh rằng
. .
m k
m k
u u q
−
=
Bài Làm

Chuyên đề dãy số Trang 23
Ta có:
( )
1
1
1
1
1
1
.
; đpcm .
.
m
m
m k
m
m
k
k
k
k
u u q
u
q
q
u
q
u u q
−
−

−
−
−

=

→ = =

=


Bài 38: Cho cấp số nhân
( )
n
u
và cho các số nguyên dương m, k với
m k
<
. Chứng minh
rằng :
. .
k k m k m
u u u
− +
=
Bài Làm
Ta có:
( )
( )
( )

1
2
2
2 1
2 1
1
1 1
1
1
.
. . .
.
k m
k
k
k m
k m k m k
k m
k m
u u q
u u u q u q u
u u q
− −
−
−
−
− +
+ −
+


=

→ = = =

=


( )
. ; đpcm .
k k m k m
u u u
− +
→ =
Vấn đề 2: Một số bài toán tìm yếu tố bò thiếu (công bội, số hạng đầu, số hạng tổng
quát,…) của cấp số nhân.
Bài 39: Cho cấp số nhân
( )
n
u
có công bội
0q <
. Biết
2 4
4 và 9u u= =
, hãy tìm
1
u
.
Bài Làm
Vì

( )
n
u
là một số nhân nên ta có:
2 1
3
4 1
.
u u q
u u q

=


=


Theo đề bài ta có hệ sau:
( )
2
1
3
1
1
1
9
3
; do 0
4
4

2
.
4
8
9
3
q
q q
u q
u q
u
u
q


−
=
= <



=
  
↔ ↔
  
−
=

 


=
=
 


Bài 40: Một cấp số nhân mà hai số hạng đầu tiên là những số dương, tích của số hạng đầu
và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng
1
16
. Hãy tìm
số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
Bài Làm
Gọi cấp số nhân đó được xác đònh bởi:
( )
1
1
. ; 1
n
n
u u q q
−
= ≠
.
Chuyên đề dãy số Trang 24
Theo đề bài ta có hệ sau:
1
1
2
2 2
1

1 3
1
2 6
1
3 5
0
0
1
0
0
2
.
1
1
1
2
1
1
16
16
u
u
u q
q
u q
u u
u
q
u q
u u



>
>



> =
>



  
↔ ↔
  
=
=
  
= =
  

=
=
 


1
1
2. .
2

n
n
u
−
 
→ =
 ÷
 
Bài 41: Cho một cấp số nhân với công bội dương. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số
hạng thứ tư bằng 6. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
Bài Làm
Gọi cấp số nhân đó được xác đònh bởi:
( )
1
1
. ; 1
n
n
u u q q
−
= ≠
.
Theo đề bài ta có hệ sau:
2
2 1
3
1
4
1
1

0
0 0
2
3 3 2 .
3 2
3
6
6
2
q
q q
q
u u q q
u
u
u q
u
q




>

> >
=



 

= ↔ = ↔ = ↔
   
=
   
=
=




=


(
)
1
3 2
. 2 .
2
n
n
u
−
→ =
Bài 42: Một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội là các số âm. Biết rằng tích của số
hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 5184, tích của số hạng thứ năm và số hạng thứ bảy
bằng 746496. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó
Bài Làm
Gọi cấp số nhân đó được xác đònh bởi:
( )

1
1
. ; 1
n
n
u u q q
−
= ≠
.
Theo đề bài ta có hệ sau:
( )
1
1
1
4
2 6
3 5
1
1
2
2 10
1
5 7
6
1
1
0
0
0
0

12
0
0
.
144
1
. 5184
5184
24
5184
746496
746496
1
12 .
24
n
n
u
u
u
q
q
q
q
q
u u
u q
u
u
u u

u q
q
u
−

<

<

<



<

= −

<
<
   
↔ ↔ ↔
   
=
−
=
=
=
   

  

=
=
=




−
→ = −
Chuyên đề dãy số Trang 25