Vẽ đường phụ trong hình học

phơng pháp chứng minh bài toán hình học
thông qua cách vẽ đờng phụ
A.Lời nói đầu:
Học toán mà đặc biệt là môn hình học, mỗi học sinh đều cảm thấy có
những khó khăn riêng của mình
Nguyên nhân của những khó khăn đó là:
1. Nhiều học sinh cha nắm vững các khái niệm cơ bản các định lý tính chất
của các hình đã học.Một số chỉ"Học vẹt" mà không biết vận dụng vào giải các
bài tập.
2. Sách giáo khoa cung cấp cho học sinh một hệ thống các kiến thức cơ
bản nhng không thể có đầy đủ các bài tập mẫu cho các kiến thức đã học thuộc
các dạng khác nhau.
Do vậy cũng không có điều kiện hớng dẫn chi tiết cho học sinh cách vận
dụng các kiến thức đó vào giải các bài tập cụ thể mà các em sẽ gặp trong quá
trình học tập.
3. Đối với bộ môn hình học, ngoài các bài toán về chí thông minh hình học
còn có các bài toán về dựng hình và quỹ tích là những dạng toán đặc biệt khó mà
thời gian đểhọc các dạng toán này trên lớp lại không nhiều, học sinh ít đợc luyện
tập ở lớp cũng nh ở nhà nên gặp các loại bài tập này các em thờng rất lúng túng.
Để khắc phục những nguyên nhân trên và giúp học sinh có cơ sở học và giải
quyết tốt các bài tập về hình học, tôi xin đề cập đến một khía cạnh rất nhỏ về
một phơng pháp chứng minh bài toán hình học thông qua cách vẽ đờng phụ.
Đề tài nhằm giúp các em hiểu thấu đáo cách vận dụng kiến thức cơ bản để giải
quyết các bài toán chứng minh hình học.
Nội dung đề tài gồm 4 phần:
Phần I: Những điều cần chuẩn bị trớc khi chứng minh.
Phần II: Suy nghĩ tìm phơng pháp chứng minh.
Phần III: Những điều cần chú ý khi chứng minh.
Phần IV: Cách vẽ đờng phụ và vai trò của đờng phụ trong toán chứng
minh.
Với một số bài toán minh hoạ cho bài toán chứng minh hình học lời giải

chi tiết, chính xác chặt chẽ, hy vọng đề tài sẽ góp phần giúp các em học sinh
khắc phục đợc các nguyên nhân đã đề cập ở trên để có khả năng giải các bài toán
chứng minh hình học ngày một tốt hơn.
Tuy tôi đã cố gắng hết sức sự suy nghĩ và cân nhắc kỹ càng trong khi viết
đề tài song chắc chắn không tránh khỏi những sai sót do năng lực hạn chế. Tôi
rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp và chỉ bảo của quý đồng nghiệp.
B.Nội dung
I/Những điều cần chuẩn bị tr ớc khi chứng minh
Để giải đợc một bài toán chứng minh hình học ta cần phải làm những gì ?
Nắm vững lý thuyết đã đủ để đảm bảo cho ta giải đợc một bài toán chứng minh
hình cha ? Câu trả lời là: Cha. Đó mới chỉ là điều kiện cần nhng cha đủ cho việc
giải một bài toán chứng minh hình học.
Chuẩn bị trớc khi chứng minh:
1/ Đọc kỹ đề bài để hiểu hết ý của đề (gọi là nắm vững đề). Nên đọc nhiều
lần, có thể vừa đọc đề vừa vẽ hình sơ bộ ra vở nháp để hiểu rõ ý nghĩa của các từ
ngữ toán học dùng trong bài.
2/ Phân tích sơ bộ giả thiết ,kết luận của bài , dựa vào đề bài vẽ hình chính
xác vào vở. Hình vẽ chính xác giúp ta quan sát tốt, gợi ý cho ta suy diễn đúng và
tìm đợc cách chứng minh dễ dàng.Vẽ hình tuỳ tiện, không chính xác lại là điều
thờng sảy ra đối với những ngời mới học hình học. Vì vậy học hình học điều cần
thiết là phải rèn luyện kỹ năng vẽ hình, không đợc vẽ các hình ở dạng đặc biệt.Ví
dụ: Cho hai đờng thẳng cắt nhau thì không đợc vẽ chúng vuông góc. Cho một
góc thì không đợc vẽ tam giác vuông, cân hoặc đều
Đặt tên cho các yếu tố trong hình có liên quan đến bài giải, dùng ký hiệu
đánh dấu các yếu tố bằng nhau(cạnh, góc)
3/ Dựa vào đề bài và vẽ hình, dùng các ký hiệu toán học thay cho các ngôn
ngữ toán học thông thờng để tóm tắt thành giả thiết , kết luận của bài ghi bên
cạnh hình vẽ.
Sau khi đã làm xong ba bớc trên bạn nhìn vào hình vẽ và giả thiết kết luận
đọc lại đề bài một lợt theo ngôn ngữ và cách diễn đạt của bạn rồi bắt đầu tìm

cách chứng minh
II/ Suy nghĩ để tìm ph ơng pháp chứng minh
Muốn chứng minh một bài toán hình học ta phải nắm vững phơng pháp
suy xét vấn đề,tìm hiểu và suy đoán từng bớc một. Phơng pháp chủ yếu để tìm
lời giải của một bài toán chứng minh hình học thờng là phơng pháp bắt đầu từ
kết luận. Ta thừa nhận kết luận, dùng đó làm cơ sở suy xét. Giả sử là kết luận
ta thừa nhận Z .Nếu Z đúng thì dẫn đến mệnh đề y đúng, vì từ y suy ra đợc Z .
Nếu có y thì một mệnh đề tiếp theo X chẳng hạn cũng đúng, vì từ X suy ra đợc y
. Tiếp tục nếu có X thì lại có một mệnh đề X
1
khác cũng đúng vì từ X
1
suy ra đợc
X Cứ nh vậy suy ngợc cho đến cuối cùng ta đợc một mệnh đề A chẳng hạn
phù hợp với giả thiết , hoặc chính mệnh đề A là giả thiết thì thôi.
Phơng pháp suy luận trên gọi là phơng pháp phân tích đi lên và có thể tóm
tắt nh sau:
Z Y X X
1
A
Đây là phơng pháp bằng suy luận có lý ta đi ngợc từ kết luận lên giả thiết.
Nó không phải là một phơng pháp chứng minh. Vì xuất phát từ một mệnh đề cha
biết đúng sai , bằng suy luận có lý ta suy ra đợc một mệnh đề đúng thì cha thể có
kết luận gì về tính đúng sai của mệnh đềxuất phát(Z).Do vậy sau khi vận dụng
phơng pháp trên để tìm đợc cách chứng minh (Gọi là tìm đợc chìa khoá giải bài
toán) ta phải trình bày lời giải theo quá trình ngợc lại gọi là phơng pháp tổng hợp
Sơ đồ nh sau: A X
1
X Y Z
Với A là giả thiết của bài, mệnh đề này luôn luôn đúng. Bằng suy luận có

lý dựa vào các khái niệm cơ bản, các định lý và các tiên đề đã học ta khẳng định
tính đúng đắn của Z.
Phơng pháp chứng minh nh trên gọi là phơng pháp chứng minh trực tiếp.
III/ Những điều cần chú ý khi chứng minh
Chứng minh một bài toán hình học đòi hỏi việc suy luận chặt chẽ và chính
xác. Sau khi đã có phần chuẩn bị và suy nghĩ để tìm ra phơng pháp chứng minh
nh trên thì việc trình bày lời giải bài toán theo phơng pháp tổng hợp là rất quan
trọng. Để giúp ngời học làm tốt phần này tôi nêu thêm những điểm cần chú ý khi
diễn đạt lời giải bài toán chứng minh nh sau:
1/ Mỗi một câu, một mệnh đề, một hệ thức nào đó đợc nêu ra trong bài
chứng minh của mình đều phải có lý do, có căn cứ xác đáng, không mơ hồ,
không qua loa. Vì vậy khi trình bày lời giải bài toán chứng minh mặc nhiên hình
thành hai phần. Phần bên trái là những mệnh đề, những hệ thức toán học thờng
nên mở đầu bằng các từ:"Xét"; "Ta có"; "Mà"; "Nên"; Suy ra"; Rút
ra";"Vậy".Phần bên phải là những lý do ghi những cơ sở, những căn cứ để có đợc
những mệnh đề những hệ thức toán học đó.Không đợc bỏ qua phần này.
2/ Những lý do dùng làm căn cứ cho phần chứng minh hình học là: Giả
thiết, những định nghĩa đã học, những tiên đề đã học, những định lý đã học, cũng
có khi lấy từ kết quả câu chứng minh trớc của bài. Những điều cha học hay trong
phạm vi chơng trình không dạy thì không đợc dùng làm căn cứ. Càng không thể
tự đặt ra lý do để làm căn cứ.
3/ Khi chứng minh nếu phải vẽ thêm đờng phụ thì bắt đầu vào bài phải nói
ngay vẽ đờng phụ nào, vẽ nh thế nào và tên gọi của nó.
4/ Gặp những phần chứng minh giống nhau trong một bài ta không cần lặp
lại cả quá trình chứng minh đó mà chỉ ghi "chứng minh tơng tự" rồi ghi kết quả
chứng minh vào.
5/ Dùng ký hiệu đánh dấu trên hình vẽ những yếu tố bằng nhau.
6/ Lời lẽ diễn đạt phải ngắn gọn, không thiếu không thừa. Trong trờng hợp
có thể nên dùng ký hiệu, dùng hệ thức để diễn đạt thay cho lời nói để bài chứng
minh đợc rõ ràng, mạch lạc và không dài dòng.

Ngoài ra còn nhiều điều khác nữa phải chú ý nh tính cẩn thận, tính chính
xác trong vẽ hình Thực hiện tốt các điều đó các em học sinh sẽ tránh đợc các
sai sót và sau một thời gian luyện tập sẽ có tiến bộ rõ rệt.
IV. Cách vẽ đ ờng phụ và vai trò của đ ờng phụ trong
toán chứng minh
Khi giải một bài toán chứng minh hình học, trừ một số bài dễ còn lại phần
lớn các bài toán đều cần phải vẽ thêm đờng phụ mới chứng minh đợc. Vậy vẽ đ-
ờng phụ nh thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì ? Đó là điều mà ngời học cần
phải biết đợc đối với mỗi bài toán cụ thể. Không thể có mộtphơng pháp chung
nào cho việc vẽ đờng phụ trong bài toán chứng minh hình học. Ngay với một bài
toán cũng có thể có những cách vẽ đờng phụ khác nhau tuỳ thuộc vào cách giải
bài toán. Dới đây tôi chỉ xin nêu ra một số cách vẽ đờng phụ thông qua một bài
toán cụ thể để giúp phần nào cho bạn đọc làm quen.
1/Vẽ đờng phụ để tạo mối liên hệ
giữa các điều kiện đã cho hoặc giữa các
yếu tố trong kết luận của bài toán với
nhau.
VD1: Cho hình thang ABCD (BC //
AD) có góc A lớn hơn góc C.
Chứng minh rằng đờng chéo AC
< BD.
H ớng giải: Bình thờng 2 đờng chéo AC và BD không có mối liên hệ nào giúp ta
so sánh. Nếu đa hai đoạn thẳng ấy về chung một tam giác ta có thể vận dụng mối
liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác để so sánh.
Muốn vậy ta có nhiều cách vẽ đờng phụ. Có thể từ B hoặc C vẽ đờng thẳng
song song với AC hoặc BD. Cũng có thể ở giữa A và D ta chọn một điểm E sao
cho BE = AC (hoặc sao cho CE = AB, tuỳ cách vẽ của bạn) . Điều này hoàn toàn
có thể làm đợc bằng phơng pháp dựng hình. Và nh vậy ta đã làm xuất hiện
BDE có BE = AC. Việc so sánh AC với BD đợc chuyển thành so sánh BE với
BD trong BDE. Để so sánh BE với BD ta so sánh các góc đối diện chúng trong

BDE lấy A > D làm trung gian.
VD2: Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm M tuỳ ý trên CD. Vẽ phân giác của
góc BAM cắt cạnh BC tại E. Chứng minh: DM + BE = AM.
H ớng giải:
Từ kết luận cần chứng minh của bài toán, gợi ý cho ta cách vẽ thêm đờng
phụ sao cho hai đoạn thẳng BE và DM về cùng một đờng thẳng tạo ra một đoạn
thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng liên tiếp có độ dài bằng BE + DM.
Trên tia MD ta đặt đoạn DF liên
tiếp với MD sao cho DF = BE để
có FD + DM = BE + DM = MF.
Hoặc đặt BF liên tiếp với EB sao
cho BF = DM để có BE + BF =
BE + DM = EF. Với cách vẽ đ-
ờng phụ ở hình trên ta chuyển từ
chứng minh AM = DM + BE
thành chứng minh AM = MF.
a
b
d
e
c
a b
e
c
m
df
C
Còn với cách vẽ đờng phụ ở hình dới ta phải thêm một bớc chứng minh AM
= AF sau đó mới chứng minh AF = FE.
2/Vẽ thêm đờng phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa

các yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau.
VD3: Cho hình bình hành ABCD. Trên AB và BC lấy 2 điểm E, F sao cho AE
bằng CF (E thuộc AB, F thuộc BC) Kẻ DH AF và DK CE. Chứng minh
rằng DH = DK.
H ớng giải: Ta thừa nhận ngay
việc chứng minh cho DH =
DK thực chất là chứng minh
cho AFD = CED có diện
tích bằng nhau. Vì 2 tam giác
này đã có hai cạnh đáy AF và
CE bằng nhau. Nếu 2 tam giác
có hai cạnh đáy bằng nhau và
có đờng cao thuộc 2 cạnh đáy đó cũng bằng nhau thì diện tích bằng nhau. Vì vậy
nếu ta vẽ đờng chéo AC và lấy ACD làm trung gian để so sánh S
CED
và S
AFD
. Ta
thấy ngay S
AFD
= S
ACD
(cùng đáy AD, cùng chiều cao hạ từ F và C xuống AD).
S
CED
= S
ACD
(cùng đáy CD, cùng chiều cao hạ từ A, E xuống CD).
Suy ra S
AFD

= S
CED
hay
1
/
2
DH . AF =
1
/
2
DK .CE. Mà AF = CE suy ra DH = DK.
VD4: Chứng minh rằng đờng trung bình
của một hình thang cân thì nhỏ hơn
đờng chéo của nó.
H ớng giải:
Gọi hình thang cân ABCD có BC //
AD, AB = CD và BC < AD, MN là đờng trung bình của hình thang. Ta phải
chứng minh MN < BD nhng giữa MN và BD không có mối liên hệ nào giúp ta so
a
b
c
d
m
e
f
a
b c
d
e
f

h
k
a
b c
d
n
m
e
sánh đợc. Nếu từ M kẻ đờng song song với cạnh bên CD, cắt AD tại E và dùng
DE làm trung gian để so sánh MN với DE và DE với BD bằng cách chứng minh
MNDE là hình bình hành và BDE vuông tại E.
3/ Vẽ đờng phụ để tạo nên một hình mới, biến đổi bài toán để bài toán dễ
chứng minh hơn.
VD5: Cho ABC có AB > AC. Vẽ 2 đờng cao BE và CD. Chứng minh rằng
AB + CD > AC + CE.
H - ớng giải: ở bài này nếu ta biến đổi
để có một đoạn thẳng bằng AB +
CD và một đoạn thẳng khác bằng
AC + BE thì cũng chẳng giúp gì cho
việc chứng minh. Nhng nếu ta dựa
vào đề bài cho AB > AC để biến đổi
kết luận bằng cách chuyển vế AC và
CD trong bất đẳng thức của kết luận
ta có AB - AC > BE - CD. Nh vậy
bài toán có thể biến đổi thành một
bài toán mới tơng đơng "Cho ABC
có AB > AC. Chứng minh rằng hiệu hai cạnh AB và AC thì lớn hơn hiệu 2
đờng cao tơng ứng thuộc 2 cạnh đó".
-Biến đổi đề toán nh vậy sẽ gợi ý cho ta vẽ đờng phụ bằng cách đặt đoạn
AB chồng lên đoạn AC để làm xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC. Đó là

CB' = AB' - AC. Ta có ABB' cân tại A. Từ B' kẻ B'H AB và CFB'H. Đến đây
ta thấy việc giải bài toán trở lên rất dễ dàng. Ta chỉ cần chứng minh cho BE =
B'H và CDHF là hình chữ nhật, sẽ suy ra đợc B'F = BE - CD. Cuối cùng bài toán
đa về việc so sánh B'F và B'C trong B'FC.
4/Vẽ thêm những đại lợng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lợng
bằng nhau mà đề bài đã ra để tạo ra mối liên hệ giữa các đại lợng cần chứng
minh giúp cho việc chứng minh đợc dễ dàng.
VD6: Cho ABC. P là
một điểm bất kỳ thuộc
miền trong tam giác
sao cho góc PAC = góc
PBC. Và M, N là hình
b
a
c
b'
f
e
d
h
a
b
n
c
m
p
i
k
d
chiếu tơng ứng của P xuống AC và BC. Nối M, N với trung điểm D của AB.

Chứng minh MD = ND.
H ớng giải: Giữa MD và ND cha có mối liên hệ nào giúp ta so sánh. Nếu ta
xác định thêm hai trung điểm I và K của BP và AP rồi nối DK, MK, nối DI, NI ta
thấy xuất hiện 2 tam giác DMK và DNI. Gợi ý cho ta nghĩ đến việc tìm cách
chứng minh cho 2 tam giác đó bằng nhau để rút ra MD = ND. Mà DMK =
DNI là điều dễ thấy.
VD7: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền
thì bằng nửa cạnh ấy.
H ớng giải: Tam giác ABC có góc B = 1v, AM = MC =
AC
/
2
. Chứng minh rằng
BM =
AC
/
2
.
Tia AC và tia BM cắt nhau tại
M. Khai thác tính chất đờng
chéo của hình bình hành gợi ý
cho ta lấy trên tia BM một đoạn
MD = BM. Ta sẽ đợc tứ giác
ABCD là hình bình hành. Hình
bình hành ABCD lại có góc B =
1v nên là hình chữ nhật. Đến
đây suy ra BM =
AC
/
2

là quá dễ dàng (dựa vào tính chất hình chữ nhật)
5/Vẽ thêm đờng phụ để bài toán có thể áp dụng một định lý nào đó.
VD8: Cho ABC và một đờng thẳng xy không cắt tam giác. Chứng minh
rằng khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến đờng thẳng xy = 1/3 tổng
khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác tới đờng thẳng đó.
H ớng giải: ABC có G là
trọng tâm. Kẻ AA', BB', CC' và
GG' vuông góc với xy. Ta phải
chứng minh GG' =
1
/
3
(AA' + BB'
+ CC').
Dựa vào tính chất đờng
trung tuyến của tam giác ta nghĩ
ngay đến việc nối một đỉnh nào
đó của ABC với trọng tâm G thì
đờng thẳng nối 2 điểm đó phải đi qua trung điểm cạnh đối diện.
a
b
c
d
m
a
b
c
n
g
e

b
'
e
'
g'
a
'
n'
c
'
x y
Giả sử nối B với G thì BG sẽ đi qua trung điểm N của AC. Và lấy một
điểm E là trung điểm BG ta sẽ có BE = EG = GN =
1
/
3
BN. Khai thác tính chất
này và dựa vào định lý "hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba
thì song song với nhau". Ta tiếp tục vẽ các đờng EE' và NN' vuông góc với xy tạo
nên các hình thang AA'CC'; EE'NN' và BB'GG'. Vận dụng tính chất đờng trung
bình của hình thang để tính đờng trung bình của mỗi hình thang trên so với hai
đáy của nó rồi biến đổi dần ta sẽ đợc kết qủa cần tìm.
Những điểm cần chú ý khi vẽ đờng phụ:
a) Vẽ đờng phụ phải có mục đích, không vẽ tuỳ tiện. Phải nắm thật vững đề
bài, định hớng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đờng phụ nào phục vụ cho
mục đích chứng minh của mình.
b) Vẽ đờng phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dựng hình cơ
bản.
c) Với một bài toán nhng vẽ đờng phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng
khác nhau. Có khi với cùng một đờng phụ nhng cách vẽ khác nhau nh trong ví

dụ 7 nên không lấy MD = BM mà ta lại lấy D là trung điểm AB (hình bên) chẳng
hạn thì không vận dụng tính chất 2 đờng chéo của hình chữ nhật mà phải chứng
minh ADM = DBM. hoặc ở ví dụ 2 vẽ đờng phụ theo 2 cách ta cũng có 2 cách
chứng minh.
Thông qua một số ví dụ đã nêu, bạn đọc đợc hiểu
phần nào vai trò của việc vẽ đờng phụ trong chứng
minh hình học. Có nắm vững đợc kiến thức cơ bản
một cách chắc chắn, biết vận dụng linh hoạt mới
biết khai thác dữ kiện của bài ra mà tìm cách vẽ đ-
ờng phụ thích hợp để giaỉ toán. Nh vậy vẽ đờng phụ cũng là một số kỹ năng
trong giải toán hình học.
Một số loại đờng phụ thờng vẽ nh sau:
1) Kéo dài một đoạn bằng đoạn thẳng cho trớc hay đặt một đoạn thẳng bằng
đoạn thẳng cho trớc (VD2).
2) Vẽ một đờng thẳng song song với đoạn thẳng cho trớc từ một điểm cho trớc.
3) Từ một điểm cho trớc vẽ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng cho trớc
(VD8).
4) Nối 2 điểm cho trớc hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trớc.
5) Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc.
6) Dựng một góc bằng một góc cho trớc hay bằng nửa góc cho trớc.
7) Vẽ tiếp tuyến với một đờng tròn cho trớc từ một điểm cho trớc.
8) Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đờng nối tâm khi có 2 đờng tròn giao
nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau.
Một số bài toán tham khảo.
Bài 1: ở miền ngoài hình bình hành ABCD lấy một điểm P sao cho góc PAB =
góc PCB. Các đỉnh A và C nằm trong những nửa mặt phẳng khác nhau đối
với đờng thẳng PB. Chứng minh rằng góc APB = góc DPC.
Bài 2: Cho ABC cân tại A. Từ trung điểm H của BC kẻ HE AC (EAC). Gọi
O là trung điểm của HE. Chứng minh AO BE.
Bài 3: Giả sử AC là đờng chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C kẻ các đờng

thẳng CE, CF tơng ứng vuông góc với AB, AD. Chứng minh: AB.AE +
AD.AF = AC
2
.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Một đờng thẳng cắt AB tại E, AD tại F và đ-
ờng chéo AC tại G. Chứng minh
AG
AC
AF
AD
AE
AB
=+
Bài 5: Cho ABC có Â = 1v. Chọn trên AB một điểm D, kẻ Dx //AC nó cắt BC
tại E thoả mãn AECD tại K và cho
.
n
m
AE
CD
=
Tính
ADEC
BDE
S
S
C.Kết luận
Trong quá trình nghiên cứu về phơng pháp chứng minh một bài tập hình
học, tôi chỉ đa ra một phơng pháp cơ bản thờng dùng trong chơng trình phổ
thông cơ sở. Đề tài này đã hệ thống hoá các tình huống vẽ hình phụ trong bài tập

hình học. Bên cạnh đó là một số các ví dụ minh hoạ cho các tình huống đó, các
bài tham khảo. Tuy nhiên đề tài cũng có ít nhiều những hạn chế về thể loại, cha
đáp ứng đợc các đối tợng nhất là học sinh giỏi. Trong phơng pháp nêu trên cũng
còn hạn chế cả về nội dung và phơng pháp.
Tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến xây dựng đề tài của các đồng
chí đồng nghiệp để đề tài đợc củng cố, sửa chữa, đáp ứng yêu cầu của bạn đọc.
Tôi xin chân thành cám ơn !
Tài liệu tham khảo
1/ Sách giáo khoa, sách giáo viên hình 7, 8.
2/ Bài soạn hình 7, 8
3/ Để học tốt hình 7, 8
4/ Một số vấn đề phát triển hình 7, 8
5/ Phơng pháp dạy học toán học - Nguyễn Bá Kim, Vũ Dơng Thuỵ
6/ Phơng pháp chứng minh trong hình học - Nguyễn Phúc Trình
7/ Tuyển chọn các bài toán cấp 2 - Nguyễn Hải Châu