Gợi ý cách giải Đề thi vào 10 - Chuyên Toán - ĐH Sư phạm & ĐH KHTN - 2010 potx

Mathisthinking.tk
Math is thinking
Gợi ý cách giải đề thi chuyên toán SP & KHTN v2 năm 2010
và 1 số vấn đề liên quan
I. Đề thi
1.SP



Mathisthinking.tk
Math is thinking



2.KHTN


II.Gợi ý cách giải.
1.SP
Câu1.
1/
a.G/y:
Nhận thấy 1 cách dễ dàng
2222
(1)(1)()()
baababab
−−−=−=−+
. Do đó để đưa các biểu thức trong
căn xích lại gần nhau hơn với dấu – thì ta nhân liên hợp.
Mathisthinking.tk
Math is thinking

Ta có:

2222
22
()()
1111
11
abab
baababba
ba
−+
−−−==−⇔+=−+−
−+−

Đến đây ta sẽ tìm quan hệ giữa các cặp số đã biết tổng và hiệu
22
22
11
11
abba
abba

−=−−−


+=−+−



Giờ thì cộng hay trừ tùy bạn…

b.N/x:
!! Việc xử lý tổng(hiệu) của 2 căn thức với chúng ta đã khá quen thuộc:
1. Bình phương → các biểu thức trong căn xích lại gần nhau hơn với dấu nhân “x”.
2. Liên hợp → các biểu thức trong căn xích lại gần nhau hơn với dấu trừ “-”.
Hơn nữa liên hợp cũng đã từng được biết tới qua đề thi SP vòng 1 năm 2009.
!! Chú ý khi nhân liên hợp hay cùng chia 2 vế cho 1 biểu thức thì cần xét bt đó =0
!! Bài dạng này:
Câu 5
Các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức

Chứng minh x+y=0

2/
a.G/y:
Chắc hẳn chúng ta không ai choáng với 2009,2010 và kiểu hỏi lừa của đề bài. Bản chất bài toán
được phát biểu như sau : Đưa
2222
(1)(1)
nnnn
++++
về dạng bình phương.
Vậy thì ta phá tung rồi sử dụng pp khử được:
222243222
(1)(1)2321(1)
nnnnnnnnnn
++++=++++=++
.

b.N/x:

Đây là bài toán dễ trong đề nhưng khi trình bày bạn nên đặt n=2009 hoặc 2010 để quá trình biến
đổi đơn giản hơn



Câu2.
a.G/y:
Xử lý bài toán về pt bậc 2 với các biểu thức chứa hệ số thì ta không thể quên Vi-ét:

2(1)
5(2)
abc
abd
+=


=−

và
2(3)
5(4)
cda
cdb
+=


=−


Thế rồi từ (1) và (3) ta làm được câu a.

Mathisthinking.tk
Math is thinking
Câu b có vẻ hơi khó vì bỗng dưng đâu ra 30??? Nhưng trước hết ta đã biết
acbd
+=+
→ cần
15
acbd
+=+=
.Quả thực tới đây ta bí.Nhưn bạn phải nhận xét:
1. Ta chưa dùng hết giả thiết : Vi-ét mới dùng ½ và không phải chỉ có thể khai thác gt dưới cái
nhìn Vi-ét
2. Bậc 1 với các biến đã bó tay nên chăng tìm bậc cao hơn
Từ đó ta có thể nghĩ tới dùng (2) và (4) → ac=25
Thế các nghiệm vào bài
2
2
2
2
250
250
250
250
aacd
bbcd
ccab
ddab

−−=


−−=


−−=


−−=


Có ac nên ta nghĩ đến cái thứ 1 và 3.Bạn cộng trừ thêm bớt và nhớ lấy ta cần cần
15
acbd
+=+=


b.N/x:
Câu a là 1 câu dễ nhưng câu b lại đòi hỏi ta những cách nhìn và nhận xét tinh tế hơn.Và quả thật
mối quan hệ giữa 2 câu rất mờ nhạt đôi khi còn làm khó cho nhau.




Câu3.
a.G/y:
Bài này thuộc về kiểu BĐT số học nên lúc mới đầu ta có vẻ sợ và ngại nhưng chắc chắn khi đặt
bút vào làm thì mọi vấn đề dừng như rất trôi chảy.
222224
2432242
242324
(2)(44)

4444
44
mnnmnmnmn
mnnmnmnmn
mnmnnmn
−<−+<

++>++

⇔

+>+



Khi đã có câu a thì b trở nên rất dễ vì các cực cho pp kẹp đã định sẵn :
22
2
()()
mnSmn
n
−<<
Nhớ rằng n>1 mà tự hoàn thiện

b.N/x:
Bài toán thực sự không quá khó nhưng ta cần chú ý:
1.
1
xnxn
>↔≥+

2. pp kẹp với SCP
Đã 2 năm có BĐT số học
!! Bài dạng này:
Bài 3:
Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện sau
i)
Mathisthinking.tk
Math is thinking
ii)
Chứng minh





Câu4.










Mathisthinking.tk
Math is thinking

Câu5.
a.G/y:
Nếu bạn đã từng làm toán hình học tổ hợp và toán logic thì chắc chắn ta sẽ xác định đây là dạng
toán dùng pp “Bất biến”.Vậy thì giờ ta hãy tìm cái gì không biến đi.Thông thường nó là tổng hiệu
hoặc thương tích gì đó.Trong bài này ta cần tìm quan hệ của a,b với ,
22
ab
ab
−
+
.
Nếu tôi nói ngay lời giải thì sẽ mất hay nên các phép thử sau sẽ chỉ là định hướng
Chú ý: Cả 3 số trước và sau đều có dạng 2
n
mp
+
nên khả năng xét tính vô hữu tỉ là rất khó

1.Tổng hoặc hiệu

2
22
ab

ab
b
−
+
−= hoặc
2
22
ab
ab
a
−
+
+= → nếu chỉ dùng tổng hiệu bậc 1 thì ta không thể loại
bỏ
2


2.Tích
22
1
.()
2
22
ab
ab
ab
−
+
=−. Cái này có vẻ khả thi hơn nhưng bậc 2 lại khác loại (tức
ab

và
22
()
ab
− )

3.Từ nhận những nhận xét trên ta cần đưa biểu thức bất biến về cùng loại bậc 2
Mathisthinking.tk
Math is thinking
TH1: cùng ab ???????? → rất khó khử mất
22
,
ab

TH2:cùng
22
,
ab
→cần khử đi ab
Bạn hãy nghĩ tiếp k 20’ trước khi nhìn lời giải:
2222
()()
22
ab
ab
ab
−
+
+=+

Chú ý tìm ra cái bất biến này chưa xong bởi bài toán có 3 số nhưng có lẽ gợi ý sẽ chỉ viết thế này.

b.N/x:
Dạng toán này luôn rất khó với mọi đối tượng do chúng không chỉ đòi hỏi pp đúng đắn mà còn sự
nhanh lẹ trong tư duy.
!! Bài dạng này:
Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a.b) thuộc tập hợp
bằng cặp số trong đó cặp số (c,d)
cũng thuộc M
Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận được tập hợp các cặp
số hay không?


2.KHTN
Câu1.
1/
a.G/y:
Đây là câu dễ nhất trong lịch sử thi chuyên mình từng gặp.Bạn dùng máy tìm no hay giải ra nháp
tìm no cũng được rồi cm đó là no duy nhất

2/
a.G/y:
Không khó để có thể nhận ra đây là pt hoàn toàn không mẫu mực .Ta cứ phá tạm như sau
22
22
22
52226
52226
3(2)()11
2311

xyxy
xyxy
xxyxy
xyxyx

++=

++=

⇔

++−=
−−+=




Do cả 2 pt đều mang dáng dấp bậc 2 nên ta thử nhóm bậc 2 theo x rồi theo y sau đó thử:
1. Kẹp biến nhờ
∆

2. Đưa về dạng tích nếu có
∆
chính phương
Đó là suy nghĩ ban đầu và có vẻ khả thi nhưng chắc chắn là không ra.Khi đó ta quay lại nhìn:
22
2
52226
2(3)11
xxyy

xxyy

++=


−−−=


hay
22
22
22526
2311
yxyx
yyxxx

++=


−−++=



Sẽ thấy điều kì diệu khi nhóm theo y. Đó là hệ số. Bạn đã nhìn ra…?



Mathisthinking.tk
Math is thinking
Câu2.

1/
a.G/y:
Do bài cho là tìm n nên ta đừng chú ý tới những tính chất chia hết của SCP. Bởi nếu làm vậy ta sẽ
chỉ có thể tìm ra 1 dạng chung chung cho n thôi.Với 1 tư duy hết sức đơn giản là đưa cái cần tìm
vào phương trình ta có:

22
391()()391
nmmnmn+=⇔−+= .Đây đã là pt no nguyên quen thuộc nhưng chú ý 391=17.23

2/
a.G/y:
Với kinh nghiệm BĐT và cực trị thì ta sớm có thể nhận ra dấu bằng xảy ra
↔
x=y.
Hơn nữa khi thay x=y thì ta còn nhận ra rằng dấu bằng xảy ra
z
∀
.
Sau khi đã có trong tay dấu bằng thì ta tiếp theo là các phép biến đổi hay 1 BĐT nào đó.Trước tiên
hãy viết lại bài
22
2()1
xyzxyxy
+++≥+
Tận dụng gt ???? Chắc chắn gt được tận dụng ngay lập tức là
1(1)(1)
xyzxyxyxy
+=+−−=−−
Nếu làm như vậy là ta đã xóa z ra khỏi cuộc chơi và BĐT

cần cm với 0<x,y<1.Tuy nhiên con số 1 ở VP sẽ dừơng như không thể giải quyết.
Do đó ta cần suy nghĩ giữ lại z để cùng làm biến mất với 1.Lời giải sau của tôi có phần hơi ngẫu
hứng :
Ta có:
1(1)(1)()()( )
xyzxyxyxyyzxzzxyBCS
+=+−−=−−=++≥+ .Khi đó BĐT trở thành:
22
2()
xyxy
+≥+
.Bạn hãy lý giải hộ tôi cách nghĩ trên.



Câu3.





Mathisthinking.tk
Math is thinking




Câu 4.
Không khó có thể nhận ta con số 2010 chẳng có ý nghĩa gì. Trong tâm bài toán là ở số được đánh
dấu-số tm 1 trong các đk:

1. Số dương
2. Số bắt đầu của 1 tổng dương các số liên tiếp
Do yêu cầu cm tổng các số được đánh dấu dương nên ta hãy thử quan tâm tới số âm được đánh
dấu
i
a
.Chắc chắn
i
a
thỏa mãn đk 2. Ta g/s tổng đó là
1

iiik
aaa
++
+++ . Một điều có thể khẳng định
và ta cũng đang rất cần là từ
i
a
đến
ik
a
+
có các số dương để tổng các số dương đó với
i
a
> 0.Đến
đây lời giải gần như đã hé lộ phần nào. Nhưng cũng như bao bài toán lôgic khác để biến cách suy
nghĩ của mình thành lời giải khá khó khăn.

Mathisthinking.tk
Math is thinking
Gợi ý cách giải đề thi chuyên toán SP & KHTN v2 năm 2010
và 1 số vấn đề liên quan
I. Đề thi
1.SP



Mathisthinking.tk
Math is thinking



2.KHTN


II.Gợi ý cách giải.
1.SP
Câu1.
1/
a.G/y:
Nhận thấy 1 cách dễ dàng
2222
(1)(1)()()
baababab
−−−=−=−+
. Do đó để đưa các biểu thức trong
căn xích lại gần nhau hơn với dấu – thì ta nhân liên hợp.
Mathisthinking.tk

Math is thinking
Ta có:

2222
22
()()
1111
11
abab
baababba
ba
−+
−−−==−⇔+=−+−
−+−

Đến đây ta sẽ tìm quan hệ giữa các cặp số đã biết tổng và hiệu
22
22
11
11
abba
abba

−=−−−


+=−+−



Giờ thì cộng hay trừ tùy bạn…

b.N/x:
!! Việc xử lý tổng(hiệu) của 2 căn thức với chúng ta đã khá quen thuộc:
1. Bình phương → các biểu thức trong căn xích lại gần nhau hơn với dấu nhân “x”.
2. Liên hợp → các biểu thức trong căn xích lại gần nhau hơn với dấu trừ “-”.
Hơn nữa liên hợp cũng đã từng được biết tới qua đề thi SP vòng 1 năm 2009.
!! Chú ý khi nhân liên hợp hay cùng chia 2 vế cho 1 biểu thức thì cần xét bt đó =0
!! Bài dạng này:
Câu 5
Các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức

Chứng minh x+y=0

2/
a.G/y:
Chắc hẳn chúng ta không ai choáng với 2009,2010 và kiểu hỏi lừa của đề bài. Bản chất bài toán
được phát biểu như sau : Đưa
2222
(1)(1)
nnnn
++++
về dạng bình phương.
Vậy thì ta phá tung rồi sử dụng pp khử được:
222243222
(1)(1)2321(1)
nnnnnnnnnn
++++=++++=++
.

b.N/x:
Đây là bài toán dễ trong đề nhưng khi trình bày bạn nên đặt n=2009 hoặc 2010 để quá trình biến
đổi đơn giản hơn



Câu2.
a.G/y:
Xử lý bài toán về pt bậc 2 với các biểu thức chứa hệ số thì ta không thể quên Vi-ét:

2(1)
5(2)
abc
abd
+=


=−

và
2(3)
5(4)
cda
cdb
+=


=−


Thế rồi từ (1) và (3) ta làm được câu a.
Mathisthinking.tk
Math is thinking
Câu b có vẻ hơi khó vì bỗng dưng đâu ra 30??? Nhưng trước hết ta đã biết
acbd
+=+
→ cần
15
acbd
+=+=
.Quả thực tới đây ta bí.Nhưn bạn phải nhận xét:
1. Ta chưa dùng hết giả thiết : Vi-ét mới dùng ½ và không phải chỉ có thể khai thác gt dưới cái
nhìn Vi-ét
2. Bậc 1 với các biến đã bó tay nên chăng tìm bậc cao hơn
Từ đó ta có thể nghĩ tới dùng (2) và (4) → ac=25
Thế các nghiệm vào bài
2
2
2
2
250
250
250
250
aacd
bbcd
ccab
ddab

−−=


−−=


−−=


−−=


Có ac nên ta nghĩ đến cái thứ 1 và 3.Bạn cộng trừ thêm bớt và nhớ lấy ta cần cần
15
acbd
+=+=


b.N/x:
Câu a là 1 câu dễ nhưng câu b lại đòi hỏi ta những cách nhìn và nhận xét tinh tế hơn.Và quả thật
mối quan hệ giữa 2 câu rất mờ nhạt đôi khi còn làm khó cho nhau.




Câu3.
a.G/y:
Bài này thuộc về kiểu BĐT số học nên lúc mới đầu ta có vẻ sợ và ngại nhưng chắc chắn khi đặt
bút vào làm thì mọi vấn đề dừng như rất trôi chảy.
222224
2432242
242324

(2)(44)
4444
44
mnnmnmnmn
mnnmnmnmn
mnmnnmn
−<−+<

++>++

⇔

+>+



Khi đã có câu a thì b trở nên rất dễ vì các cực cho pp kẹp đã định sẵn :
22
2
()()
mnSmn
n
−<<
Nhớ rằng n>1 mà tự hoàn thiện

b.N/x:
Bài toán thực sự không quá khó nhưng ta cần chú ý:
1.
1
xnxn

>↔≥+

2. pp kẹp với SCP
Đã 2 năm có BĐT số học
!! Bài dạng này:
Bài 3:
Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện sau
i)
Mathisthinking.tk
Math is thinking
ii)
Chứng minh





Câu4.










Mathisthinking.tk
Math is thinking

Câu5.
a.G/y:
Nếu bạn đã từng làm toán hình học tổ hợp và toán logic thì chắc chắn ta sẽ xác định đây là dạng
toán dùng pp “Bất biến”.Vậy thì giờ ta hãy tìm cái gì không biến đi.Thông thường nó là tổng hiệu
hoặc thương tích gì đó.Trong bài này ta cần tìm quan hệ của a,b với ,
22
ab
ab
−
+
.
Nếu tôi nói ngay lời giải thì sẽ mất hay nên các phép thử sau sẽ chỉ là định hướng
Chú ý: Cả 3 số trước và sau đều có dạng 2
n
mp
+
nên khả năng xét tính vô hữu tỉ là rất khó

1.Tổng hoặc hiệu

2
22

ab
ab
b
−
+
−= hoặc
2
22
ab
ab
a
−
+
+= → nếu chỉ dùng tổng hiệu bậc 1 thì ta không thể loại
bỏ
2


2.Tích
22
1
.()
2
22
ab
ab
ab
−
+
=−. Cái này có vẻ khả thi hơn nhưng bậc 2 lại khác loại (tức

ab
và
22
()
ab
− )

3.Từ nhận những nhận xét trên ta cần đưa biểu thức bất biến về cùng loại bậc 2
Mathisthinking.tk
Math is thinking
TH1: cùng ab ???????? → rất khó khử mất
22
,
ab

TH2:cùng
22
,
ab
→cần khử đi ab
Bạn hãy nghĩ tiếp k 20’ trước khi nhìn lời giải:
2222
()()
22
ab
ab
ab
−
+
+=+

Chú ý tìm ra cái bất biến này chưa xong bởi bài toán có 3 số nhưng có lẽ gợi ý sẽ chỉ viết thế này.

b.N/x:
Dạng toán này luôn rất khó với mọi đối tượng do chúng không chỉ đòi hỏi pp đúng đắn mà còn sự
nhanh lẹ trong tư duy.
!! Bài dạng này:
Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a.b) thuộc tập hợp
bằng cặp số trong đó cặp số (c,d)
cũng thuộc M
Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận được tập hợp các cặp
số hay không?


2.KHTN
Câu1.
1/
a.G/y:
Đây là câu dễ nhất trong lịch sử thi chuyên mình từng gặp.Bạn dùng máy tìm no hay giải ra nháp
tìm no cũng được rồi cm đó là no duy nhất

2/
a.G/y:
Không khó để có thể nhận ra đây là pt hoàn toàn không mẫu mực .Ta cứ phá tạm như sau
22
22
22
52226
52226
3(2)()11

2311
xyxy
xyxy
xxyxy
xyxyx

++=

++=

⇔

++−=
−−+=




Do cả 2 pt đều mang dáng dấp bậc 2 nên ta thử nhóm bậc 2 theo x rồi theo y sau đó thử:
1. Kẹp biến nhờ
∆

2. Đưa về dạng tích nếu có
∆
chính phương
Đó là suy nghĩ ban đầu và có vẻ khả thi nhưng chắc chắn là không ra.Khi đó ta quay lại nhìn:
22
2
52226
2(3)11

xxyy
xxyy

++=


−−−=


hay
22
22
22526
2311
yxyx
yyxxx

++=


−−++=



Sẽ thấy điều kì diệu khi nhóm theo y. Đó là hệ số. Bạn đã nhìn ra…?



Mathisthinking.tk
Math is thinking

Câu2.
1/
a.G/y:
Do bài cho là tìm n nên ta đừng chú ý tới những tính chất chia hết của SCP. Bởi nếu làm vậy ta sẽ
chỉ có thể tìm ra 1 dạng chung chung cho n thôi.Với 1 tư duy hết sức đơn giản là đưa cái cần tìm
vào phương trình ta có:

22
391()()391
nmmnmn+=⇔−+= .Đây đã là pt no nguyên quen thuộc nhưng chú ý 391=17.23

2/
a.G/y:
Với kinh nghiệm BĐT và cực trị thì ta sớm có thể nhận ra dấu bằng xảy ra
↔
x=y.
Hơn nữa khi thay x=y thì ta còn nhận ra rằng dấu bằng xảy ra
z
∀
.
Sau khi đã có trong tay dấu bằng thì ta tiếp theo là các phép biến đổi hay 1 BĐT nào đó.Trước tiên
hãy viết lại bài
22
2()1
xyzxyxy
+++≥+
Tận dụng gt ???? Chắc chắn gt được tận dụng ngay lập tức là
1(1)(1)
xyzxyxyxy
+=+−−=−−

Nếu làm như vậy là ta đã xóa z ra khỏi cuộc chơi và BĐT
cần cm với 0<x,y<1.Tuy nhiên con số 1 ở VP sẽ dừơng như không thể giải quyết.
Do đó ta cần suy nghĩ giữ lại z để cùng làm biến mất với 1.Lời giải sau của tôi có phần hơi ngẫu
hứng :
Ta có:
1(1)(1)()()( )
xyzxyxyxyyzxzzxyBCS
+=+−−=−−=++≥+ .Khi đó BĐT trở thành:
22
2()
xyxy
+≥+
.Bạn hãy lý giải hộ tôi cách nghĩ trên.



Câu3.





Mathisthinking.tk
Math is thinking




Câu 4.
Không khó có thể nhận ta con số 2010 chẳng có ý nghĩa gì. Trong tâm bài toán là ở số được đánh

dấu-số tm 1 trong các đk:
1. Số dương
2. Số bắt đầu của 1 tổng dương các số liên tiếp
Do yêu cầu cm tổng các số được đánh dấu dương nên ta hãy thử quan tâm tới số âm được đánh
dấu
i
a
.Chắc chắn
i
a
thỏa mãn đk 2. Ta g/s tổng đó là
1

iiik
aaa
++
+++ . Một điều có thể khẳng định
và ta cũng đang rất cần là từ
i
a
đến
ik
a
+
có các số dương để tổng các số dương đó với
i
a
> 0.Đến
đây lời giải gần như đã hé lộ phần nào. Nhưng cũng như bao bài toán lôgic khác để biến cách suy
nghĩ của mình thành lời giải khá khó khăn.