Chương 1: Động lực học chất điểm ppt

Chương 1:

15

NG H C CH T I M

Chương 1

NG H C CH T I M
ng h c là m t ph n c a ngành Cơ h c, nghiên c u chuy n ng c a v t
th (vĩ mô) mà không chú ý n nguyên nhân c a chuy n ng ó. Chương này
nghiên c u các tính ch t t ng quát v chuy n ng c a ch t i m. Vì th khi nói
chuy n ng c a m t v t hay v n t c, gia t c c a v t, ta hi u v t ó là ch t i m.

§1.1 – CÁC KHÁI NI M CƠ B N V CHUY N
1 – Chuy n

NG

ng cơ h c – Ch t i m:

Chuy n ng cơ h c (chuy n ng cơ) là s thay i v trí c a v t th
trong không gian theo th i gian. Chuy n ng c a v t có tính tương i. Vì, v trí
c a v t có th thay i i v i v t này, nhưng l i không thay i i v i v t khác.
Nghiã là v t có th chuy n ng so v i v t này, nhưng l i là ng yên so v i v t
khác. Ví d : Ngư i ng i trên xe l a, i v i nhà ga thì ngư i ó ang chuy n ng
cùng v i xe l a, nhưng i v i hành khách bên c nh, thì ngư i ó l i khơng h
chuy n ng.
Khi ta nói “v t A ang chuy n ng” mà khơng nói rõ chuy n ng so v i
v t nào thì ta ng m hi u là so v i Trái t.
M i v t u có kích thư c xác nh. Tuy nhiên, n u kích thư c c a v t quá

nh bé so v i nh ng kho ng cách mà ta kh o sát thì v t ư c coi như m t ch t
i m. V y, ch t i m là m t v t th mà kích thư c c a nó có th b qua so v i
nh ng kích thư c, nh ng kho ng cách mà ta kh o sát. Ch t i m là m t khái ni m
tr u tư ng, khơng có trong th c t nhưng r t thu n ti n trong vi c nghiên c u
chuy n ng c a các v t. Khái ni m ch t i m cũng mang tính tương i. Nghĩa là
trong i u ki n này v t ư c coi là ch t i m, nhưng trong i u ki n khác, nó l i
khơng th coi là ch t i m. Ví d : Khi nghiên c u chuy n ng c a Trái t quanh
M t Tr i, ta có th coi Trái
t là ch t i m, nhưng nghiên c u chuy n ng t
quay quanh tr c c a nó thì Trái t không th coi là ch t i m.
2 – Quĩ

o, quãng ư ng và

d i:

Qũi o c a ch t i m là t p h p các v trí c a ch t i m trong quá trình
chuy n ng. Nói m t cách khác, khi ch t i m chuy n ng, nó s v ch ra trong
khơng gian m t ư ng g i là quĩ o. Căn c vào hình d ng quĩ o, ta có th phân
chia chuy n ng c a ch t i m là th ng, cong ho c tròn.
Xét m t ch t i m M chuy n ng trên quĩ o cong b t kì t v trí M1 qua
i mA

n v trí M2 (hình 1.1). Ta g i

dài c a cung M1AM 2 là quãng ư ng


16

Giáo Trình V t Lý

i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n

uuuuuur
v t i t M1 n M2 và ư c kí hi u là s. Và ta g i vectơ M1M 2 là vectơ
d i
(hay
d i) c a ch t i m t i m M1 n i m M2.
Như v y quãng ư ng s là m t i
Quãng ư ng s
lư ng vơ hư ng ln dương; cịn
d i là
m t vectơ. N u v t chuy n ng trên ư ng
M2
A
cong kín ho c i chi u chuy n ng sao
cho v trí u và cu i trùng nhau thì
d i
s tri t tiêu nhưng quãng ư ng là khác M1
uuuuuur
không. Khi v t chuy n ng trên ư ng
d i M1M 2
th ng theo m t chi u duy nh t thì quãng
ư ng v t i ư c b ng v i
l n c a
Hình 1.1: Quan h gi a
vectơ
d i.
quãng ư ng và

d i
3 – H qui chi u, phương trình chuy n
ng – phương trình quĩ o:
z
Mu n xác nh v trí c a
v t trong khơng gian, ta ph i
ch n m t v t làm m c, g n vào
óm th t a
và m t ng h
o th i gian. H th ng ó
ư c g i là h qui chi u. T i
m i th i i m t, v trí c a ch t
i m M s ư c xác nh b i
vectơ v trí (hay vectơ tia, vectơ
bán kính):
→

z

→

k
→

i

M

r
y

→

y

j

x

→

r ( t ) = OM

O

→

(1.1)

x

Phương trình (1.1) cho phép ta
Hình 1.2: V trí c a ch t i m M trong
xác nh v trí c a ch t i m
h to
Descartes
t ng th i i m, nên g i là
phương trình chuy n ng t ng
quát c a ch t i m.
Trong h t a
Descartes, (1.1) có d ng:

→

→

r = x. i

→

+ y. j

→

(1.2)
+ z. k
r r r
c a i m M và i, j, k là các vectơ ơn v trên các tr c

Trong ó (x,y,z) là t a
Ox, Oy, Oz. Vì v trí c a ch t i m M thay i theo th i gian nên to
c a nó là
hàm c a th i gian: x = f(t); y = g(t); z = h(t)
(1.3)
(1.2), (1.3) là các phương trình chuy n ng c a ch t i m trong h to
Oxyz.
N u kh tham s t trong các phương trình (1.3), ta ư c:

 F( x , y, z) = 0

 G ( x , y, z ) = 0

(1.4)


Chương 1:

17

NG H C CH T I M

(1.4) bi u di n t t c các v trí mà ch t i m s i qua trong quá trình chuy n ng
nên ư c g i là phương trình qũi o c a ch t i m.
V y, phương trình chuy n ng cho phép ta xác nh ư c v trí c a ch t i m
m t th i i m t b t kì; phương trình qũi o cho bi t hình d ng qũi o c a v t.
Tùy theo vi c ch n h qui chi u và m c th i gian, phương trình chuy n
ng và phương trình quĩ o c a ch t i m s có d ng tư ng minh khác nhau.
Trên th c t , khi gi i các bài toán v chuy n ng, ngư i ta thư ng ch n h qui
chi u và g c th i gian sao cho phương trình chuy n ng d ng ơn gi n nh t.
Trong trư ng h
qũi o c a v t, ta có th
O là m t i m nào ó n
o, và v trí c a v t ư

p ã bi t trư c
ch n i m m c
m ngay trên qũi
c xác nh theo

cong: s = s(t) = OM

hồnh

s
M
O

(1.5)

Hình 1.3: V trí c a ch t i m M ư c
xác nh theo hoành
cong s.

Phương trình (1.5) ư c g i là phương
trình chuy n ng c a v t trên qũi o.
Ví d

1.1: Ch t i m M chuy n

ng

 x = A 1 cos(ωt + ϕ1 )
. Hãy xác
y = A 2 cos(ωt + ϕ 2 )


trong m t ph ng Oxy v i phương trình: 
d ng qũi

nh

o khi:

a) ϕ1 – ϕ2 = k2π;

b) ϕ1 – ϕ2 = (2k + 1)

a) Ta có ϕ1 – ϕ2 = k2π

π
.
2

Gi i
⇒ ϕ1 = ϕ2 + k2π

⇒ x = A1 cos(ωt + ϕ2 +k2π) = A1 cos(ωt + ϕ2)
⇒

x
y
=
A1 A 2

V y qũi

⇒ y=

A2
A
x = ax ; với a = 2
A1

A1

o là ư ng th ng y = ax, v i – A1 ≤ x ≤ A1

x 2 y2
b) Tương t , ta có: 2 + 2 = 1 ⇒ Qũi
A1 A 2
§1.2 – T C
1–T c

o là Elíp.

VÀ V N T C

trung bình và v n t c trung bình:
Xét ch t i m M chuy n ng trên quĩ

o cong b t kì. Gi s

th i i m

→

t1, ch t i m

v trí M1 ư c xác

nh b i vectơ v trí r1 ;

th i i m t2 v t

v trí

ư ng v t

i và

→

M2

ư c xác

nh b i vectơ v trí r2 . G i s là quãng

ã


18

Giáo Trình V t Lý

i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n

r uuuuuur u u
r r
∆ r = M1M 2 = r2 − r1 là

d i t M1 n M2. Ta nh nghĩa t c
trung bình và

v n t c trung bình c a ch t i m như sau :
T c
trung bình vs trên m t o n ư ng nh t nh c a m t ch t i m
chuy n ng là i lư ng o b ng thương s gi a quãng ư ng s mà ch t i m i
ư c v i kho ng th i gian t ch t i m i h t quãng ư ng ó.

vs =

s
t

(1.6)

s

N u quãng ư ng s g m nhi u quãng
ư ng nh s1, s2, …, sn và th i gian tương
ng
v t i h t các quãng ư ng ó là t1,
t2, …, tn thì (1.6) ư c vi t dư i d ng:

s + s + ... + s 2
vs = 1 2
t1 + t 2 + ... + t n

ơi khi t c

u
r
r2

u
r
r1

O

trung bình cịn ư c kí hi u

r ur u
r
uur ∆ r r − r
v tb =
= 2 1
∆t t 2 − t1

r
∆r

M1

(1.7)

b i vtb ho c v .
V n t c trung bình c a m t ch t
i m chuy n ng trong kho ng th i gian t t1
s gi a vectơ
d i và kho ng th i gian ó :

M2

Hình 1.4
n t2 là

i lư ng o b ng thương

(1.8)

T c
trung bình là i lư ng vô hư ng, không âm, c trưng cho m c
nhanh, ch m c a chuy n ng trên m t o n ư ng nh t nh ; cịn v n t c trung
bình là m t i lư ng vectơ c trưng cho s thay i c a vectơ
d i trong m t
kho ng th i gian nh t nh. Khi v t chuy n ng liên t c trên ư ng th ng theo
m t chi u duy nh t thì t c
trung bình b ng v i
l n c a vectơ v n t c trung
bình. Trong h SI, ơn v o t c
trung bình và v n t c trung bình là mét trên
giây (m/s) ; trên th c t , ngư i ta thư ng dùng ơn v kilômét trên gi (km/h). Ta
có : 1km / h =

5
m/s.
18

T (1.8) suy ra, khi ch t i m chuy n ng d c theo tr c Ox thì ta có th
tính ư c giá tr i s c a v n t c trung bình theo cơng th c :

v tb =

∆x x 2 − x1
=
∆t
t 2 − t1

(1.9)

Trong trư ng h p t ng quát, ta có th chi u (1.8) lên các tr c t a
c n thi t
tìm các thành ph n c a vectơ v n t c trung bình, t ó tìm ư c
l nc av nt c
trung bình.
C n nh n m nh s khác bi t c a các công th c nh nghĩa (1.6) và (1.8) là:
iv it c
trung bình, ta quan tâm n quãng ư ng s mà ch t i m ã i và
th i gian t mà ch t i m dùng
i h t qng ư ng ó, khơng quan tâm n th i


Chương 1:

19

NG H C CH T I M

gian ngh ; cịn i v i v n t c trung bình, ta quan tâm n v trí và th i i m u
và cu i, khơng quan tâm n q trình di n bi n c a chuy n ng.
phân bi t ư c hai khái ni m t c
trung bình và v n t c trung bình,

chúng ta kh o sát các ví d sau ây :
Ví d 1.2: M t ôtô d
nh i t A n B v i t c
30km/h. Nhưng sau khi i
ư c 1/3 o n ư ng, ôtô b ch t máy. Tài x ph i d ng 30 phút
s a, sau ó i
ti p v i t c
40km/h và n B úng gi qui nh. Tính t c
trung bình c a ơtơ
trên o n ư ng AB và th i gian d
nh ban u. Có th tính ư c
l nc a
vectơ v n t c trung bình trong kho ng th i gian t A n B hay không ?
Gi i
v1 = 30km/h
v2 = 40km/h
Gi s ôtô ch t máy t i C. G i
t1, t2 là th i gian ôtô chuy n
ng trên các o n AC, CB. A
C
B
T c
trung bình c a ôtô trên
o n ư ng AB là :

s AC + BC
vs = =
=
t
t1 + t 2

Vì ơtơ

AB
3v1.v 2
3.30.40
=
=
= 36km / h
1 AB
2 AB
2v1 + v 2 2.30 + 40
3
3
+
v1
v2

n B úng gi qui

td = ttt ⇒

AB
=
v1

V y th i gian d

1

nh nên th i gian d

nh b ng th i gian th c t :

2 AB
AB
⇒ AB = 90 km
+ 0,5 + 3
v1
v2

3

nh ban

u là: t =

AB
= 3 (gi ).
v1

V i gi thi t c a bài toán trên, ta khơng th tính ư c
l n c a vectơ v n
t c trung bình, vì khơng bi t quĩ o t A n B là th ng hay cong. N u quĩ o là

r
uur | ∆ r |
AB
90
ư ng th ng thì | v tb |=
=

=
= 30m / s ; n u quĩ
∆t
tB − tA
3

cong thì chưa

d ki n

o là

ư ng

tính v n t c trung bình.

Ví d 1.3: M t ôtô i t A n B v i t c
v1 = 30km/h r i quay v A v i t c
v2 = 50km/h. Tính t c
trung bình và v n t c trung bình trên l trình i – v .
Gi i
T c trung bình trên l trình i – v :

s AB + BA
2AB
2v1v 2 2.30.50
vs = =
=
=
=

= 37,5km / h
t
t di + t ve
AB / v1 + AB / v 2 v1 + v 2 30 + 50
V n t c trung bình trên l trình i – v :

u u uu uu
r r
r r
uur r − r r − r
r
2
1
A
A
v tb =
=
=0
t 2 − t 1 t 2 − t1


20

Giáo Trình V t Lý

i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n

2–T c

t c th i và v n t c t c th i:

T c
trung bình c trưng cho tính ch t nhanh, ch m c a chuy n ng
trên m t o n ư ng s xác nh.
c trưng cho tính ch t nhanh, ch m c a
chuy n ng t ng i m trên quĩ o, ta dùng khái ni m t c
t c th i. T c
t c th i (hay t c ) t i m t i m ã cho trên qũi o là i lư ng o b ng thương
s gi a quãng ư ng i r t nh tính t i m ã cho và kho ng th i gian r t nh

s ds
v = lim =
t →0 t
dt

v t i h t qng ư ng ó:

(1.10)

Kí hi u: ds là vi phân c a ư ng i, dt là vi phân c a th i gian và t s ds/dt là o
hàm c a quãng ư ng theo th i gian. V y t c
t c th i b ng o hàm c a quãng
ư ng theo th i gian.
M t cách tương t , vectơ v n
→
t c t c th i (hay vectơ v n t c) là o
v
hàm c a vectơ
d i theo th i gian:
r
r

M’
ds
→

∆ r dr
=
∆t →0 ∆t
dt

v = lim

(1.11)

hi u rõ ý nghĩa c a vectơ
v n t c t c th i, ta xét chuy n ng c a
m t ch t i m trên m t quĩ o cong (C)
b t kì (xem hình minh h a 1.5). Gi s
th i i m t, ch t i m v trí M ư c
r
xác nh b i vectơ v trí r và th i
i m t + dt, ch t i m v trí M’ ư c

r
dr

M

u r r
r
xác nh b i vectơ v trí r ' = r + dr .

(C)

u
r
r'

r
r

O
Hình 1.5

r

Theo nh nghĩa (1.11), vectơ v n t c ln có hư ng c a
d i dr , nghĩa
là có hư ng c a cát tuy n MM’. Khi th i gian dt r t nh thì i m M’ r t g n v i
i m M. Lúc ó gi i h n c a cát tuy n MM’ chính là ti p tuy n v i quĩ o t i
i m M. V y vectơ v n t c t c th i t i m i i m có phương ti p tuy n v i quĩ o
t i i m ó và có chi u là chi u chuy n ng c a ch t i m.

r
M t khác, môdun c a
d i dr chính là
ư ng ds chính là
dài cung MM ' . Khi M’ ti n
r
r
| dr | ds

| v |= v =
=
dt
dt

Nghĩa là

l n c a v n t c t c th i chính b ng t c

dài dây cung MM’ và quãng

r

n M thì | dr | = ds. V y:
(1.12)
t c th i.

→

V y, vectơ v n t c t c th i v có c i m:
- Phương: là ti p tuy n v i qũi o t i i m kh o sát.
- Chi u: là chi u chuy n ng.
l n: b ng o hàm c a quãng ư ng i v i th i gian.
i m t: t i i m kh o sát.


Chương 1:

21

NG H C CH T I M

T c
t c th i là i lư ng vô hư ng không âm, c trưng cho m c
nhanh, ch m c a chuy n ng t i m i i m trên quĩ o; còn v n t c t c th i là i
lư ng vectơ, c trưng cho c phương, chi u và
nhanh ch m c a chuy n ng
t i m i i m trên quĩ o. Khi nói v t chuy n ng v i t c
không i, ta hi u
v t chuy n ng u trên quĩ o th ng ho c cong b t kì, trong ó v t i ư c
nh ng quãng ư ng b ng nhau trong nh ng kho ng th i gian b ng nhau b t kì ;
nhưng khi nói v t chuy n ng v i v n t c khơng i thì ta hi u chuy n ng c a
v t là th ng u.
Qua các khái ni m trên ta th y r ng, t c
trung bình có ý nghĩa v t lý c
th hơn v n t c trung bình nhưng t c
t c th i l i khơng có ý nghĩa v t lý y
b ng v n t c t c th i. Do ó, khi nghiên c u tính ch t c a chuy n ng trên quãng
ư ng dài, ngư i ta thư ng s d ng khái ni m t c
trung bình ; cịn khi nghiên
c u tính ch t c a chuy n ng t i t ng v trí trên quĩ o, ta s d ng v n t c t c
th i.
3 – Bi u th c gi i tích c a vectơ v n t c:
→

→

d r dx → dy → dz →
v=
= . i + . j + .k

dt
dt
dt
dt

Suy ra :
→

→

→

(1.13)

→

v = v x . i + v y . j + v z . k = (vx, vy, vz)

trong ó: v x =

(1.14)

dx
dy
dz
= x'; v y =
= y' ; v z =
= z'
dt
dt

dt
→

Suy ra,

→

→

→

Hay:

→

Descartes, ta có: r = x. i + y. j + z. k

Trong h to

l n c a vectơ v n t c: v = v =

(1.15)

v2 + v2 + v2
x
y
z

(1.16)

4 – Quãng ư ng v t ã i:
T (1.12), suy ra quãng ư ng
v t i ư c trong th i gian ∆t = t – to là:

v

t

s=

∫ vdt

(1.17)

to

trong ó, v là

S

l n c a v n t c.

N u trong kho ng th i gian ∆t,
l n
c a v n t c khơng i (v t chuy n ng
u) thì: s = v∆t = v(t – t0)
(1.18)

t
to

t

Hình 1.6: Ý nghĩa hình h c c a
ư ng i.

Trong m t s trư ng h p, ta
có th tính qng ư ng d a vào ý nghĩa hình h c c a tích phân (1.17):
quãng ư ng v t i ư c b ng tr s di n tích hình thang cong gi i h n b i
th v = v(t) v i tr c Ot (hình 1.6).


22

Giáo Trình V t Lý

Ví d

1.4: V t chuy n

i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n

ng trong m t ph ng Oxy v i phương trình:

x = 15t
(SI) . Tính qng ư ng v t ã i k t lúc t = 0

y = 5t 2


n lúc t = 2s.

Gi i

v x = x ' = 15
⇒ v = 15 2 + (10 t ) 2 = 10 t 2 + 2,25 (m/s)
v y = y' = 10t

Ta có: 
2

2

s = ∫ vdt = 10 ∫
0

0

2

2,25
t 2

t + 2,25dt = 10
t + 2,25 +
ln | t + t 2 + 2,25 |
2
2
0
2

u 2
a
u + a + ln | u + u 2 + a | +C - toán cao c p)
2
2
Thay s vào ta tính ư c quãng ư ng là: s = 37, 4(m) .

(Lưu ý:

∫

u 2 + adx =

Ví d 1.5: V t chuy n ng trên ư ng th ng v i v n t c
cho b i
th hình bên. Tính quãng ư ng v t ã i k t
7,5s. Suy ra t c
trung bình trên quãng ư ng này và
bình trong kho ng th i gian ó.
Gi i
v (m/s)
D a vào ý nghĩa hình h c c a
tích phân (1.17), ta suy ra quãng
B
ư ng ph i tìm là: s = tr s
30
(di n tích hình thang ABCD +
di n tích tam giác DEF).

⇒s=

1
1
(5,5 + 2,5).30 + .1.20
2
2

V y s = 130(m)
Suy ra t c
trung bình trên
qng ư ng ó:

vs =

0

1
A

2,5

bi n i theo qui lu t
lúc t = 1s n lúc t =
l n c a v n t c trung

C

5

D 7,5
F
6,5

t (s)

- 20
E

s
130
=
= 20(m / s) .
∆t 7,5 − 1

Vì v t chuy n ng trên ư ng th ng và căn c
th , ta th y, t t = 1s n t = 6,5s
v t chuy n ng theo chi u dương c a qũi o (do v > 0) còn t t = 6,5s n t =
7,5s v t chuy n ng ngư c chi u dương c a qũi o (do v < 0) nên mơdun c a
d i tính t th i i m t = 1s n t = 7,5s là:

r
| ∆ r |= tr s di n tích hình thang ABCD – di n tích tam giác DEF
= 120 – 10 = 110m.

Suy ra

r
| ∆r |
110

l n c a v n t c trung bình: v tb =
=
= 16,9m/s
t 2 − t1 7,5 − 1


Chương 1:

23

NG H C CH T I M
§1.3 – GIA T C

1–

nh nghiã:
Gia t c là i lư ng c trưng cho s bi n thiên c a v n t c, o b ng
thương s gi a
bi n thiên c a v n t c và kho ng th i gian x y ra s bi n thiên
ó (thương s này còn ư c g i là t c bi n thiên c a vectơ v n t c):
→

→

→

∆ v v− vo
a tb =
=
∆t

t − t0

→

Gia t c trung bình:

→

→

(1.19)
→

∆v dv d r
=
= 2
∆t → 0 ∆t
dt
dt

→

Gia t c t c th i: a = lim

2

(1.20)

Vectơ gia t c t c th i c trưng cho s bi n thiên c a vectơ v n t c t ng
th i i m; cịn vectơ gia t c trung bình c trưng cho s bi n thiên c a vectơ v n

t c trong kho ng th i gian ∆t khá l n.
2 – Bi u th c gi i tích c a vectơ gia t c:
Trong h t a
Descartes, tương t như vectơ v n t c, ta có:
→

→

a = ax. i

→

+ a y. j

→

+ a z . k = (ax, ay, az)


dv x d 2 x
= 2 = x' '
 ax =
dt
dt

dv y d 2 y

= 2 = y' '
 ay =
dt

dt


dv z d 2 z
= 2 = z' '
 az =
dt
dt


v i

(1.21)

(1.22)

→

l n c a vectơ gia t c : a = a = a 2 + a 2 + a 2
x
y
z

Suy ra,

Ví d 1.5: M t ch t i m chuy n

(1.23)

ng trong m t ph ng Oxy v i phương trình:

4 3

2
x = 3t − t
3 (SI)

 y = 8t

a) Xác nh vectơ gia t c t i th i i m t = 3s.
b) Có th i i m nào gia t c tri t tiêu hay không?
Gi i

a x = x ' ' = 6 − 8t
⇒ a = a 2 + a 2 =| 6 − 8t |
x
y
a y = y' ' = 0


Ta có: 

→

a) Lúc t = 3s thì : a = (-18; 0) và

l n a = 18m/s2.


24

Giáo Trình V t Lý

i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n

b) a = 0 ⇔ 6 − 8t = 0 ⇔ t = 0,75s
V y lúc t = 0,75 giây thì gia t c b ng không.
3 – Gia t c ti p tuy n và gia t c pháp tuy n:
Trong chuy n ng cong, ngồi bi u th c gi i tích c a vectơ gia t c, ngư i
ta cịn mơ t vectơ gia t c theo thành ph n ti p tuy n và pháp tuy n v i qũi o. Ta
bi t vectơ v n t c luôn n m trên ti p tuy n c a qũi o, nên ta có th vi t:
→

→

v = v. τ

(1.24)

→

trong ó τ là vectơ ơn v n m trên ti p tuy n.
→

Suy ra:
Thành ph n:

→

→

d v d(v. τ ) dv →
dτ
a=
=
= . τ + v.
dt
dt
dt
dt
→
dv →
at = .τ
dt

→

n m trên ti p tuy n qũi

(1.25)
(1.26)

o nên g i là gia t c ti p tuy n.
→

→

→ dτ
d( τ ) 2
2

Vì: τ = 1 ⇒ ( τ ) = 1 ⇒
= 0 ⇒ 2. τ .
=0⇒
dt
dt
→

→

→

→

Mà τ n m trên ti p tuy n nên vectơ
→

dτ
n m trên pháp tuy n c a qũi
dt

τ

dϕ

→

o.

dτ

→

dτ
Do ó, thành ph n: a n = v.
(2.27)
dt
→

n m trên pháp tuy n qũi
g i là gia t c pháp tuy n.
→

→

M t khác, vectơ d τ = τ' − τ luôn
hư ng vào b lõm c a qũi
o
(hình 1.7), suy ra gia t c pháp
tuy n luôn hư ng vào b lõm c a
qũi o.
→

→

→

τ'

R

→

τ'

o nên ư c
→

→

dτ
τ ⊥
dt

→

dϕ
Hình 1.7: Bi n thiên c a vectơ ơn v
trên ti p tuy n qũi o.
→

dϕ
2

τ

→

dτ

)

Do τ = τ' = 1
→

dϕ
ds
d τ = 2.1.
= dϕ =
2
R
→

nên

(xem hình 1.7 và 1.8)

τ'
→

Hình 1.8: Quan h gi a | d τ | và dϕ.


Chương 1:

25

NG H C CH T I M
→

dτ

Suy ra:

dt

=

1 ds v
=
R dt R

→

(2.28)

at

v v2
và a n = v. =
, v i R là bán kính
R R
chính khúc c a qũi o.
Tóm l i: Trong chuy n

→

an

ng cong, vectơ

→

a

Hình 1.9: Vectơ gia t c ư c phân
tích làm hai thành ph n: ti p tuy n
và pháp tuy n c a qũi o.

→

gia t c a ư c phân tích thành hai thành
ph n vng góc nhau: thành ph n ti p
→

→

tuy n a t và thành ph n pháp tuy n a n .
→

V y ta vi t:

→

→

a = at + an

(1.29)

dv
v2

trong ó: a t =
và a n =
dt
R
và

(1.30)

l n c a vectơ gia t c là: a =

a2 + a2
t
n

(1.31)

Gia t c ti p tuy n c trưng cho s bi n i v
l n c a vectơ v n t c;
gia t c pháp tuy n c trưng cho s bi n i v phương c a vectơ v n t c. Gia t c
ti p tuy n luôn n m trên ti p tuy n qũi o và hư ng theo chi u chuy n ng, n u
chuy n ng là nhanh d n và hư ng ngư c chi u chuy n ng, n u chuy n ng là
ch m d n; gia t c pháp tuy n luôn n m trên pháp tuy n c a qũi o và hư ng vào
b lõm c a qũi o.
Trư ng h p c bi t:
* an = 0 ; at = 0
: chuy n ng th ng u.
* an = 0 ; at = const : chuy n ng th ng bi n i u.
* an = const ; at = 0
: chuy n ng tròn u.
→

→

* a t ↑↑ v
→

: chuy n

ng nhanh d n.

: chuy n

ng ch m d n.

→

* a t ↑↓ v

Ví d 1.7: M t ch t i m chuy n

 x = 10 + 50t

2
 y = 40t − 5t

ng trong m t ph ng Oxy v i phương trình:

(SI)

a) Nh n d ng qũi o.

b) Xác nh tung
l n nh t mà v t t ư c.
c) Xác nh các thành ph n và
l n c a vectơ v n t c, gia t c t i th i i m
t = 2s. Tính gia t c ti p tuy n, gia t c pháp tuy n và bán kính chính khúc
c a qũi o lúc ó.


26

Giáo Trình V t Lý

i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n

Gi i
a) Ta có: x = 10 +50t ⇒ t =

x − 10
, v i x ≥ 10 (m).
50

4
1 2 21
41
 x − 10 
(m).
⇒ y = ( x − 10) − 5
x +
x−
 =−

5
500
25
5
 50 
2

⇒ Qũi
b) ymax khi vy =

o là m t ph n Parabol v i x ≥ 10 (m).

dy
= 40 – 10t = 0 ⇒ t = 4 (s) ⇒ ymax = 40.4 – 5.42 = 80 (m).
dt

c) Các thành ph n c a vectơ v n t c lúc t = 2 (s):
vx =

dy
dx
= 50 (m/s) ; vy =
= 40 – 10t = 40 – 10.2 = 20 (m/s).
dt
dt

l n c a vectơ v n t c: v =

v 2 + v 2 = 50 2 + 20 2 = 53,8 (m/s).
x

y

Tương t , v i vectơ gia t c, ta cũng có:

d2y
d2x
2
ax =
= 0 (m/s ) ; ay = 2 = −10 (m/s2) ⇒ a =
2
dt
dt
Gia t c ti p tuy n lúc t = 2 (s):

at =

dv d
=
dt dt

( 50

2

)

+ (40 − 10t ) 2 =

Gia t c pháp tuy n lúc t = 2(s):
Bán kính chính khúc c a qũi

a 2 + a 2 = 10 (m/s2).
x
y

− 10(40 − 10 t )
50 + (40 − 10t )
2

2

a n = a 2 − a 2 = 10 2 − 3,7 2 = 9,3 (m/s2).
t

v 2 53,8 2
o lúc t = 2(s): R =
=
= 311 (m).
an
9,3

§1.4 – V N T C, GIA T C TRONG CHUY N

NG TRỊN

Chuy n ng trịn là chuy n ng
có qũi o là m t ư ng tròn. Khi ch t
i m chuy n ng trịn quanh tâm O, ta
cịn nói: “ch t i m quay quanh i m O”.
1–T a

M
s
θ
ϕ

góc – góc quay:

Trong chuy n ng trịn, v trí c a
ch t i m có th xác nh theo t a
góc:
→

= -3,7 (m/s2).

Mo
ϕo

x

O

→

ϕ = (Ox, r ) = góc

nh hư ng gi a tr c
→

→

g c Ox v i vectơ bán kính r = OM
(xem hình 1.10). N u t i th i i m t0 ch t

Hình 1.10: V trí c a ch t i m M
có th xác nh theo góc (cung) ϕ.


Chương 1:

27

NG H C CH T I M

i m v trí M0 có t a
góc ϕ0 và t i th i i m t, ch t i m v trí M có t a
góc ϕ thì góc mà ch t i m ã quay là: θ = ϕ – ϕ0
(1.32)
và quãng ư ng mà nó ã i là: s = θ.R
(1.33)
v i R là bán kính qũi o trịn.
mơ t tính ch t c a chuy n ng trịn, ta thư ng dùng các i lư ng:
→

v n t c góc, gia t c góc. Do ó, vectơ v n t c v c a ch t i m trong chuy n
→

tròn còn ư c g i là “v n t c dài”,

phân bi t v i v n t c góc ω .

2 – V n t c góc:
Khi ch t

ng trịn,

i m chuy n

→

ω

→

vectơ bán kính OM s quay theo và quét
ư c m t góc ∆ϕ nào ó.
c trưng cho s

M

→

quét nhanh hay ch m c a OM , ta dùng khái
ni m v n t c góc. V n t c góc là i lư ng
c trưng cho s quay nhanh hay ch m c a
ch t i m, có giá tr b ng góc mà nó quay
ư c trong m t ơn v th i gian.

∆ϕ

O

Mo
Hình 1.11: Vectơ v n t c góc.

∆ϕ
∆t
∆ϕ dϕ dθ
- V n t c góc t c th i: ω = lim
=
=
∆t → 0 ∆t
dt dt

Ta có: - V n t c góc trung bình: ωtb =

(1.34)
(1.35)

→

V n t c góc cũng là m t i lư ng vectơ. Vectơ ω có:
- Phương: vng góc v i m t ph ng qũi o.
- Chi u: tuân theo qui t c inh c: “ t
cái inh c vng góc v i m t ph ng
qũi o, xoay cái inh c theo chi u
chuy n ng thì chi u ti n c a inh c

→

ω

→

-

là chi u c a ω ”.
l n: b ng o hàm c a góc quay
theo th i gian.
i m t: t i tâm qũi o.

Trong h SI, ơn v o góc là rad
(khơng th ngun). Do ó, v n t c góc có
ơn v là rad/s hay s – 1.

→
→

O

v

R

Hình 1.12: Quan h gi a vectơ
v n t c góc và v n t c dài.

* Quan h gi a v n t c dài và v n t c góc:
Ta có: ds = Rdϕ suy ra

ds
dϕ
=R
dt
dt

hay

v = ωR

(1.36)

ng


28

Giáo Trình V t Lý

i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n

→ → →

Do các vectơ v, ω, R
→

→

ơi m t vng góc nhau, nên ta vi t (1.36) dư i d ng tích
→

v =[ ω, R

vectơ:

]

(1.37)

→

ω

(1.37) là m i liên h gi a vectơ v n t c dài và
vectơ v n t c góc.
K t h p (1.30) và (1.36), suy ra, trong
chuy n
ng trịn, gia t c pháp tuy n ư c

v2
tính b i: a n =
= ω2 R
R

→

β

(1.38)
Hình 1.13: Quan h gi a vectơ

v n t c góc và gia t c góc khi
ch t i m quay nhanh d n.

Ví d 1.8: M t v t chuy n ng tròn quanh
i mc
nh O v i góc quay θ là hàm c a v n
t c góc ω: θ =

ωo − ω
. Trong ó ωo và a là
a

các h ng s dương. Lúc t = 0 thì ω = ωo. Tìm θ(t) và ω(t).
Gi i
θ

dθ
dθ
dθ
Ta có: ω = ωo − aθ =
⇒
= dt ⇒ ∫
= dt
ωo − aθ ∫
dt
ωo − aθ
0
0
t

V y bi u th c tư ng minh c a góc quay và v n t c góc theo th i gian là:

θ=

ωo
(1 − e − at ) và ω = θ ' = ωo e − at
a

→

ω

3 – Gia t c góc:
→

Tương t

như vectơ v n t c v ,
→

vectơ v n t c góc ω cũng có th bi n thiên
theo th i gian. c trưng cho s bi n thiên
này, ta dùng khái ni m gia t c góc. Gia t c
góc là
i lư ng
c trưng cho s bi n
thiên c a vectơ v n t c góc, o b ng t c
bi n thiên c a vectơ v n t c góc:
→

→

→

∆ω dω
=
∆t →0 ∆t
dt

β = lim

(1.39)

→

β

Hình 1.14: Quan h gi a vectơ
v n t c góc và gia t c góc khi
ch t i m quay ch m d n.

→

Vì ω có phương khơng
→

→

→

i (ln vng góc v i m t ph ng qũi

→

o), nên β // ω .
→

→

N u β ↑↑ ω thì ta có chuy n ng trịn nhanh d n (hình 1.13). N u β ↑↓ ω thì
ta có chuy n ng trịn ch m d n (hình 1.14).


Chương 1:

29

NG H C CH T I M

* Quan h gi a gia t c ti p tuy n và gia t c góc:

at =

Ta có:
→

dv d(ωR ) dω
=
=
.R = β R

dt
dt
dt

(1.40)

→ →

Vì các vectơ a t , β , R ơi m t vng góc
nhau nên ta vi t (1.35) dư i d ng tích
→

vectơ:

→

→

at = [ β , R

]

→

β

(1.41)

Công th c (1.41) bi u di n m i quan h
gi a vectơ gia t c ti p tuy n và vectơ gia

t c góc.
Trong h SI, ơn v o gia t c góc
2
là rad/s (hay s – 2).

→

R

→

at

Hình 1.15: Quan h gi a vectơ gia
t c ti p tuy n và gia t c góc.

Ví d 1.9: M t ch t i m quay tròn quanh
m t tr c c
nh. Phương trình chuy n ng có d ng: ϕ = bt – ct3, v i b = 6 rad/s; c
= 2 rad/s3. Hãy xác nh v n t c góc, gia t c góc lúc t = 0 và lúc ch t i m d ng
l i. Tính giá tr trung bình c a v n t c góc, gia t c góc trong kho ng th i gian ó.
Gi i
Ta có ω = ϕ' = b − 3ct 2 = 6 − 6 t 2 ; β = ω' = −12 t .
Lúc t = 0 thì: ωo = 6rad/s; βo = 0 rad/s2.
Lúc d ng: ω = 0 ⇒ t = 1s ⇒ β = β1 = -12 rad/s2.
1

1

∫

∫

0

0

Góc mà ch t i m ã quay: θ = ωdt = (6 − 6 t 2 )dt = 4 (rad)

θ 4
= = 4 rad / s ;
∆t 1
∆ω 0 − 6
Gia t c góc trung bình: β tb =
=
= −6 (rad/s2).
∆t
1
V n t c góc trung bình: ω tb =

§1.5 – M T S

CHUY N

NG ƠN GI N

Trên ây là các qui lu t, các tính ch t t ng quát v chuy n ng. m t s
i u ki n nh t nh (cũng thư ng g p trên th c t ), các tính ch t y ư c bi u di n
tư ng minh theo th i gian b ng các công th c tốn h c ơn gi n. Ta g i ó là các
chuy n ng ơn gi n. Do ó các phương trình bi u di n tính ch t các chuy n

ng ơn gi n dư i ây ch là h qu c a các công th c trên mà thơi. B n c có
th t nghi m l i d dàng (n u công th c chưa ư c ch ng minh).
1 – Chuy n ng th ng u:
Chuy n ng th ng u là chuy n
không i.

ng trên ư ng th ng v i v n t c


30

Giáo Trình V t Lý
→

→

i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n
→

→

→

dr
Ta có: v =
= const ⇒ d r = v dt ⇒
dt

r

t →

→

∫ d r = ∫ v dt = v ∫ dt

→

to

ro
→

→

→ t

to

→

r = r o + v(t − t o )

V y:

(1.42)

N u ch n tr c Ox trùng v i phương chuy n ng thì ta có:
x = xo + v(t – t0)
Tóm l i, chuy n ng th ng u có các tính ch t:

(1.43)

→

•

Gia t c: a = 0

•

V n t c: v = const

→

(1.44)
→

(1.45)

• Quãng ư ng : s = v(t – to) = vt (n u ch n t0 = 0)
(1.46)
(1.47)
• T a : x = x0 + v (t – t0) ho c x = x0 + vt (n u t0 = 0)
Phương trình (1.47) là phương trình chuy n ng c a chuy n ng th ng u,
trong ó, xo là to
ban u c a v t, v là hình chi u c a vectơ v n t c lên tr c
Ox ; khi v t i theo chi u dương c a tr c Ox thì v > 0, trái l i v < 0. Trong (1.46)
thì v là l n v n t c hay t c c a v t.
Ví d 1.10: Lúc 6 gi , m t ôtô kh i hành t A chuy n ng th ng u v B v i

v n t c 40 km/h. Lúc 7 gi , m t môtô chuy n ng th ng u t B v A v i v n
t c 50km/h. Bi t kho ng cách AB = 220km.
a) Vi t phương trình chuy n ng c a 2 xe.
b) Xác nh v trí và th i i m 2 xe g p nhau.
c) Xác nh th i i m 2 xe cách nhau 60km.
Gi i

v1 = 40km/h

v2 = 50km/h
7h

6h
A

220km

B

x
0
a) Ch n tr c t a
Ox trùng v i AB, g c t a
t i A, chi u dương hư ng v B;
g c th i gian lúc 6 gi . Ta có phương trình chuy n ng c a:
Xe ơtơ: x1 = x01 + v1 (t – t01) = 0 + 40(t – 0) = 40t
( ơn v c a t: gi ; x: km)
Xe môtô: x2 = x02 + v2 (t – t02) = 220 – 50 (t – 1) = 270 – 50t (gi ; km).
b) Khi g p nhau: x1 = x2 ⇒ t = 3 gi . V y hai xe g p nhau lúc 9 gi .
V i t = 3 ⇒ x1 = x2 = 120km. V y ch g p nhau cách A 120km.

c) Hai xe cách nhau 60km ⇒ | x1 – x2 | = 60 ⇒ | 90t – 270| = 60.


Chương 1:

31

NG H C CH T I M

⇒ t = 2h 20’ ho c t = 3h 40’.
V y hai xe cách nhau 60km t i các th i i m: 8h 20’ và 9h 40’.
2 – Chuy n ng th ng bi n i u :
Chuy n ng th ng bi n i u là chuy n
→

i ( a = const ).

t c không

→

→

d r = v dt ⇒

→

→

→

v = v o + a (t − t o )

V i i u ki n ó thì:
→

ng trên ư ng th ng v i gia

→

→

→

r = r o + v o .( t − t o ) +

1→
a (t − t o ) 2
2

(1.48)
(1.49)

Phương trình (1.48) và (1.49) là phương trình v n t c và phương trình chuy n ng
t ng quát c a chuy n ng th ng bi n i u.
N u ch n tr c Ox trùng (ho c song song) v i qũi o và g c th i gian là
lúc b t u kh o sát chuy n ng thì các phương trình c a chuy n ng th ng bi n
i u có d ng:
•

Gia t c: a = const

(1.50)

•

V n t c: v = v0 + at

(1.51)

•

T a

: x = x o + vo t +

1 2
at
2

(1.52)

(1.53)
• Cơng th c c l p th i gian: v2 – vo2 = 2a(x – xo)
Công th c (1.53) thu ư c b ng cách kh tham s t trong (1.51) và (1.52). Trong
→

→

công th c (1.51) và (1.52), các giá tr v, vo , a là hình chi u c a các vectơ v , v o ,

→

a lên tr c Ox. Chúng có giá tr dương hay âm tùy theo các vectơ tương ng c a
chúng cùng chi u hay ngư c chi u dương c a tr c Ox. Căn c vào các giá tr
i
s a và v ta s suy ra tinh ch t c a chuy n ng, c th : N u a và v là hai s cùng
→

→

d u ( a ↑↑ v ) thì chuy n
→

ng là nhanh d n; N u a và v là hai s

trái d u

→

( a ↑↓ v ) thì chuy n

ng là ch m d n.

Trư ng h p ch t i m ch chuy n ng theo m t chi u duy nh t, ta ch n
chi u ó là chi u dương c a tr c Ox, khi ó, ngồi các phương trình t (1.50) n
(1.53), ta cịn có:
•

ư ng i: s = x – xo = vo t +

•

v2 – vo2 = 2as

1 2
at
2

(1.54)
(1.53a)

Trong (1.54) và (1.53a), giá tr vo và v ln dương; cịn giá tr a > 0 n u chuy n
ng là nhanh d n và a < 0 n u ch m d n.


32

Giáo Trình V t Lý

i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n

Ví d 1.11: M t xe ua b t u chuy n ng th ng nhanh d n u t O, l n lư t i
qua hai i m A và B. Bi t AB = 20m, th i gian xe i t A n B là 2 giây và v n
t c c a xe khi qua B là vB = 12 m/s. Tính:
a) V n t c c a xe khi qua A.
b) Kho ng cách t nơi xu t phát n A.
c) T c
trung bình trên các quãng ư ng AB, OA, OB.
Gi i
vB = 12 m/s

a) Ch n chi u dương t O
20m
n B.
A
B
2s
Áp d ng công th c ư ng O
i (1.54), ta có:

1 2 1 2
(v0 = 0; t1 là th i gian i t O n A)
OA = v 0 t 1 + at 1 = at 1
2
2
1
1
OB = v 0 ( t 1 + 2) + a ( t 1 + 2) 2 = a ( t 1 + 2) 2
2
2
1
1 2
Mà OB – OA = AB = 20 m ⇒ a ( t 1 + 2) 2 − at 1 = 20 ⇒ at1 + a = 10 (*)
2
2
M t khác: vB = vo + a(t1 + 2) ⇒ 12 = a(t1 + 2) (**)
T (*) và (**) ⇒ a = 2 m/s2; t1 = 4s ⇒ vA = v0 + at1 = 8m/s.
b) OA =
c) T c

1 2

at 1 = 16m
2
AB 20
=
= 10m / s
t
2
OA
=
= 4m / s
t1

trung bình trên o n AB: v tb / AB =

T c

trung bình trên o n OA: v tb / OA

T c

trung bình trên o n OB: v tb / OB =

OB
= 6m / s .
t1 + 2

3 – Rơi t do:
S rơi tư do là s rơi c a các v t trong chân không, ch dư i tác d ng c a
tr ng l c. Các v t rơi trong khơng khí mà hàng ngày chúng ta quan sát ư c có th
xem như rơi t do – n u b qua nh hư ng c a khơng khí.

V i qng ư ng rơi khơng quá l n thì m i v t u rơi theo phương th ng
ng v i cùng m t gia t c a = g ≈ 10 m/s2 (g i là gia t c rơi t do). Do ó, các
phương trình v chuy n ng rơi t do là h qu c a các phương trình chuy n ng
th ng bi n i u. M t khác, v n t c u c a v t rơi là b ng khơng, nên ta có:
•

Qng ư ng i tính

•

V n t c t i th i i m t:

n th i i m t:
v = gt

s=

1 2
gt
2

(1.55)
(1.56)


Chương 1:

33

NG H C CH T I M

•

Th i gian rơi:

•

V n t c ngay trư c lúc ch m

trơi =

2h
g

t: v =

(1.57)

2gh

(1.58)

Trong ó, h là cao ban u c a v t.
Ví d 1.12: Th m t v t t
nh tịa tháp cao 20m thì sau bao lâu nó ch m
ch m t, v n t c c a v t là bao nhiêu? B qua s c c n khơng khí.
Gi i
Th i gian rơi : t =

2h

=
g

V n t c khi ch m

t: v=

t? Lúc

2.20
= 2s
10
2gh = 2.10.20 = 20m / s .

4 – Chuy n ng tròn u:
Chuy n ng tròn u là chuy n ng trên ư ng tròn, v i v n t c góc
khơng i. Tương t như chuy n ng th ng u, trong chuy n ng trịn u, ta
có các phương trình:
•

Gia t c góc: β = 0

(1.59)

•

V n t c góc ω = const.

(1.60)

•

T a

•

Góc quay: θ = ωt

góc: ϕ = ϕ0 + ωt

(1.61)

N

r

(1.62)

ϕ R

Chuy n ng trịn u có tính tu n hồn v i
chu kì (kho ng th i gian
ch t i m quay h t m t
vòng): T =

2πR 2π
=
v
ω

M

(1.63)

và t n s (là s vòng quay ư c trong m t giây):

f=

1
ω
=
T 2π

(1.64)

Trong h SI, chu kỳ có ơn v là giây (s); t n s có ơn v là Hertz (Hz).
Ví d 1.13: Trái t quay quanh tr c c a nó v i chu kỳ 24 gi . Hãy tính v n t c
góc, v n t c dài c a m t i m xích o và i m n m vĩ
60o, bi t bán kính
Trái t là R = 6400 km.
Gi i
V n t c góc c a Trái
V n t c dài c a

t: ω =

2π
2.3,14
=
= 7,3.10 – 5 rad/s

T 24.3600

i m M trên xích

V n t c dài c a i m N

vĩ

o: v1 = ωR = 7,3.10-5. 6400.103 = 466m/s

ϕ = 600: v2 = ωr = ωRcosϕ = 233m/s.


34

Giáo Trình V t Lý

i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n

5 – Chuy n ng tròn bi n i u:
Chuy n ng tròn bi n i u là chuy n ng trên ư ng trịn v i gia t c
góc khơng i. Tương t như chuy n ng th ng bi n i u, ta có các phương
trình:
•

Gia t c góc:

β = const

•

V n t c góc: ω = ωo + βt .

•

T a

•

Góc quay:

•

Cơng th c

(1.65)
(1.66)

1
ϕ = ϕ o + ωo t + βt 2
2
1
θ = ωo t + βt 2
2

góc:

(1.67)
(1.68)

ω2 – ωo2 = 2βθ

c l p v i th i gian:

(1.69)

Ví d 1.14: M t môtơ ang quay v i v n t c 480 vịng/phút thì b ng t i n. Nó
quay ch m d n u, sau ó 2 phút, v n t c cịn 60 vịng/phút. Tính gia t c góc, s
vịng quay và th i gian quay k t lúc ng t i n n lúc ng ng l i.
Gi i
Ta có ω0 = 480 vịng/phút = 8 vòng/giây = 16π rad/s
ω1 = 60 vòng/ phút = 1 vòng/giây = 2π rad/s;
t1 = 2phút = 120s.
⇒ Gia t c góc: β =

ω1 − ω0
7π
(rad/s2)
=−
t1
60

Mà ω = ω0 + βt; khi d ng ω = 0 ⇒ t = −

ω0 960
=
≈ 137,1(s) .
β
7

V y th i gian quay là t = 137,1(s).
Góc quay: θ = ω o t +
S vòng quay: N =

1 2
1 7π
βt = 16π.137,1 + (− ).137,12 = 1097π (rad)
2
2 60

θ
= 548,5 vòng.
2π

6 – Chuy n ng ném xiên:
Chuy n
ng ném
xiên là m t d ng chuy n
ng dư i tác d ng c a
tr ng l c.
ây là m t
chuy n
ng thư ng g p
trong cu c s ng,
ó, v t
ư c ném lên v i v n t c
→

u vo

t o v i phương

ngang m t góc α.

ymax

y
→

vo

→

v 0y
)α
O

x
→

v 0x
Hình 1.16: Chuy n

xmax
ng ném xiên.


Chương 1:

35

NG H C CH T I M

B qua nh hư ng c a s c c n khơng khí, ch n h tr c Oxy như hình v ,
g c th i gian là lúc ném v t, thì chuy n ng c a v t có th phân tích thành 2
chuy n ng ng th i:
* Theo phương Ox, v t chuy n ng u theo quán tính v i:
•

V n t c: vx = vox = vocosα

(1.70)

• Phương trình chuy n ng: x = vx.t = vocosα.t
* Theo phương Oy, v t chuy n ng v i gia t c a = – g, nên ta có:
•
•
Kh

V n t c:

vy = vosinα – gt

(1.72)

Phương trình chuy n ng: y = vosinα.t – ½ gt2
t t (1.71) và (1.73) ta thu ư c phương trình qũi o:

y = x.tgα −

cao l n nh t mà v t
Khi v t ch m

(1.73)

g
x2
2
2
2 v o cos α

V y qũi o c a v t là m t Parabol.
Khi v t lên n i m cao nh t c a quĩ

(1.74)

o thì vy = 0. T (1.72) và (1.73) suy ra,

t ư c (g i là t m cao): h max = y max

t thì tung

g i là t m xa. T (1.71) suy ra:

y = 0.

(1.71)

i m ch m
L = x max

2
v o sin 2 α
=
(1.75)
2g

t cách i m ném m t o n L
2
v o sin 2α
=
g

(1.76)

T (1.76) suy ra:
•
•

V i cùng m t v n t c ban
cho cùng m t t m xa.
V ts

u vo , có 2 góc ném α1 và α2 , v i α2 = 90o - α1 s

i xa nh t n u góc ném α = 45 . Khi ó: L max
o

2
v0

=
g

(1.77)

Trên th c t ln có nh hư ng b i l c c n c a khơng khí, nên qũi o là
m t ư ng cong không i x ng.
Các phương trình t (1.70) n (1.73) là các phương trình c a chuy n ng
ném xiên v i α là góc nh n. Trong trư ng h p α = 0 và α = 90o, ta thu ư c các
phương trình c a chuy n ng ném ngang và ném ng.
Ví d 1.15: Tàu cư p bi n ang neo ngồi khơi cách b bi n 800m, nơi có t
pháo ài b o v . Súng i bác t ngang m t nư c bi n, b n n v i v n t c u
nòng 100m/s. H i tàu cư p bi n có n m trong t m b n c a súng khơng? N u có thì
ph i t nghiêng nịng súng m t góc bao nhiêu b n trúng tàu cư p?
Gi i
T m b n c a súng ư c tính theo (1.75): x max
V y tàu cư p n m trong t m b n c a súng.

2
v 0 100 2
= 1000m > 800m
=
=
g
10


36

Giáo Trình V t Lý

b n trúng tàu cư p thì: x max

i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n

2
v o sin 2α
=
= 800m
g

Suy ra: sin2α = 0,8 ⇒ α = 26030’ ho c α = 63030’.
V y nòng súng ph i nghiêng m t góc 26030’ ho c 63030’ thì b n trúng tàu cư p.


Chương 1:

37

NG H C CH T I M
BÀI T P CHƯƠNG 1

1.1 Trư ng h p nào sau ây ư c coi là chuy n ng c a ch t i m?
a) Ơ tơ i vào gatage;
b) Xe l a t Sài Gòn n Nha Trang;
c) Con sâu bò trên lá khoai lang;
d) Trái t chuy n ng quanh m t tr i;
e) Trái t quay quanh tr c c a nó;
f) Tàu vũ tr phóng t Trái t lên M t trăng.
1.2 Mu n bi t v trí c a v t th i i m nào ó ta d a vào phương trình chuy n
ng hay phương trình qũi o? N u bi t phương trình qũi o có th tìm

ư c phương trình chuy n ng khơng?
1.3 Xác nh qũi o c a các ch t i m chuy n ng v i phương trình sau:
a) x = - 2t ; y = 2t2 ; z = 0.
b) x = 4e2t ; y = 5e- 2t ; z = 0.
c) x = cost ; y = cos2t ; z = 0.
d) x = - sin2t ; y = 2 ; z = 2sin2t +1.
e) x = 5sin2t; y = 10cos2t; z = 0. f) x = 20sin4πt +5; y = 4 – 20cos4πt.
1.4 M t ôtô i t A n B v i t c
v1 r i t B v A v i t c
v2. Tính t c
trung bình trên l trình i – v .
Ap d ng s : v1 = 35km/h; v2 = 45km/h.
1.5 M t ôtô chuy n ng t A, qua các i m B, C r i n D. o n AB dài 50km,
ư ng khó i nên xe ch y v i t c
20km/h. o n BC xe ch y v i t c
80
km/h, sau 3h30’ thì t i C. T i C xe ngh 30’ r i i ti p n D v i t c
30km/h. Tính t c
trung bình trên toàn b quãng ư ng, bi t CD = 3AB.
1.6 M t ôtô chuy n ng t A n B. N a quãng ư ng u xe i v i t c
v1;
trung bình trên tồn b qng ư ng. Áp
n a sau v i t c
v2. Tính t c
d ng s : v1 = 90km/h; v2 = 50km/h.
1.7 M t ôtô ang chuy n ng v i v n t c v0 thì hãm phanh, k t ó v n t c xe
bi n thiên theo qui lu t v = v0 – kt2 (SI), v i k là h ng s dương. Tính qng
ư ng ơtơ ã i k t lúc hãm phanh n khi d ng l i và v n t c trung bình
c a ơtơ trên quãng ư ng ó. Coi quĩ o c a ôtô là ư ng th ng.
1.8 M t ch t i m chuy n

ng theo chi u dương c a tr c Ox v i v n t c v =

b x , trong ó b là h ng s dương. Bi t lúc t = 0, ch t i m
Hãy xác nh:
a) V n t c c a ch t i m theo th i gian.
b) V n t c trung bình trên quãng ư ng t x = 0 n v trí x.
→

→

→

v trí x = 0.

→

1.9 M t ch t i m chuy n ng có vectơ v trí: r = i + 4 t 2 j + 6 t k . Xác nh
vectơ v n t c c a v t t i th i i m t = 1s và tính t c
trung bình, v n t c
trung bình trong giây u tiên.
1.10 Ch t i m chuy n ng trên tr c Ox v i phương trình: x = 6 - 11t + 6t2 - t3
(h SI). Xác nh các th i i m v t qua g c t a
và vectơ v n t c c a ch t


38

Giáo Trình V t Lý

i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n

i m lúc ó. Tính các quãng ư ng i gi a hai l n liên ti p ch t i m qua v
trí g c O.
1.11 T i th i i m t = 0, m t h t i qua g c to
theo chi u dương c a tr c
Ox v i v n t c v0 = 10cm/s. K t ó, v n t c c a h t bi n thiên theo qui lu t
→

→

v = v o (1 − 2t ) . Hãy xác nh:

a) Hoành
x c a các h t t i các th i i m 0,2s; 6s.
b) Th i i m h t cách g c to
20cm.
c) Quãng ư ng mà v t i sau 0,4s và 8s u tiên. V d ng

th s(t).

1.12 Chuy n ng c a ch t i m M trong m t ph ng Oxy ư c mô t b i qui
lu t: x = 2t; y = 2t(1 - 4t). Hãy xác nh:
a) Phương trình qũi o và v
th c a nó.
→

→

b) V n t c v , gia t c a c a ch t i m th i i m t = 0,25s.

c) Gia t c ti p tuy n at, pháp tuy n an và bán kính quĩ o lúc t = 0,25s.
→

→

d) Th i i m to mà v và a t o v i nhau m t góc 45o.
e) Tính qng ư ng v t i k t lúc t = 0 n lúc t = 0,25s.
1.13 M t ch t i m chuy n ng trong m t ph ng v i gia t c ti p tuy n at = c
và gia t c pháp tuy n an = bt4, trong ó b, c là các h ng s dương. T i th i
i m t = 0, ch t i m b t u chuy n ng. Hãy xác nh bán kính cong c a
qũi o và gia t c toàn ph n theo quãng ư ng s mà v t ã i.
→

1.14 M t h t chuy n ng trong m t ph ng Oxy v i vectơ gia t c a khơng i,
có hư ng ngư c chi u dương c a tr c Oy. Phương trình qũi o c a nó có
d ng: y = Ax – Bx2 , v i A, B là các h ng s dương. Hãy xác nh v n t c c a
h t t i g c to
.
→

1.15

M t ch t i m chuy n

ng ch m d n trên m t ư ng th ng v i gia t c a

mà
l n ph thu c vào v n t c theo nh lu t a = b v , trong ó b là h ng
s dương. Lúc u, v n t c c a v t là vo. Tính quãng ư ng v t i cho n khi
d ng l i và t c trung bình trên qng ư ng ó?

1.16

Bán kính vectơ c a ch t i m M bi n thiên theo th i gian t b i qui lu t:
→

→

→

→ →

r = 2t i − t 2 j , trong ó i , j là các vectơ ơn v trên tr c x, y. Hãy xác

nh:
a) Phương trình qũi

o y (x) và v

→

th c a nó.

→

b) Vectơ v n t c v , gia t c a và góc α gi a chúng lúc t = 1s.
1.17

M t ch t i m chuy n

ng trong m t ph ng Oxy v i phương trình:

Chương 1:

39

NG H C CH T I M

x = 2t
(SI) .

 y = 2t (1 − t )
a)
b)
c)
d)
e)

Xác nh qu
o c a ch t i m.
Xác nh v n t c, gia t c th i i m t = 5s.
Tìm th i i m mà vectơ v n t c và gia t c t o v i nhau m t góc 45o.
Xác nh gia t c ti p tuy n, pháp tuy n, bán kính qũi o lúc t = 5s.
Tính quãng ư ng v t ã i trong th i gian 5s k t lúc t = 0.
→

1.18

→

Bán kính vectơ c a m t h t bi n thiên theo qui lu t r = r o t (1 − αt ) ,
→

trong ó r o là m t vectơ không i và α là h ng s dương. Hãy xác
a) Vectơ v n t c, gia t c theo t.
b) Kho ng th i gian ∆t
gian y.

h t tr v g c t a

và quãng ư ng i trong th i
→

1.19

M t ch t i m b t
→

u chuy n

ó β o là m t vectơ khơng

→

ng trịn v i gia t c góc β = β o cosθ, trong

i và θ là góc quay tính t v trí ban

t c góc c a ch t i m ph thu c vào góc θ như th nào? V d ng
di n s ph thu c ó.

1.20

nh:

M t ch t i m quay ch m d n quanh tr c c

u. H i v n
th bi u

nh v i gia t c góc β t l v i

ω . Bi t lúc t = 0, v n t c góc c a nó là ωo. Tính v n t c góc trung bình
trong kho ng th i gian chuy n ng.
1.21 M t ch t i m chuy n ng trong m t ph ng Oxy v i phương trình:
x = 8t – 4t2 ; y = 6t – 3t2 (h SI). Ch ng t ch t i m chuy n ng th ng bi n
i u. Xác nh v n t c th i i m t = 0 và th i i m 5s. Tính quãng
ư ng v t ã i trong kho ng th i gian ó.
1.22 Ngư i ta th m t hịn bi t
nh tòa nhà cao 10 t ng, m i t ng cao 4m. B
qua s c c n không khí, l y g = 10m/s2. Tính th i gian hòn bi i qua t ng trên
cùng và dư i cùng.
1.23 M t ch t i m chuy n ng trong m t ph ng Oxy theo phương trình: x =
Asinωt; y = A(1 - cosωt) v i A, ω là h ng s dương. Ch ng t v t chuy n
ng tròn u. Suy ra quãng ư ng v t i trong th i gian t và góc t o b i
vectơ v n t c, vectơ gia t c.
1.24 Bánh xe p có ư ng kính 650mm b t u chuy n ng v i gia t c góc β
= 3,14 rad/s2. Sau giây u tiên thì: a) V n t c góc c a bánh xe là bao nhiêu?
b) V n t c dài, gia t c ti p tuy n, pháp tuy n và toàn ph n c a m t i m trên
vành bánh xe là bao nhiêu? c) Quãng ư ng xe ã i là bao nhiêu?
1.25 Bánh mài c a m t máy mài ang quay v i v n t c ωo = 300 vịng/phút thì

b ng t i n. Nó quay ch m d n u, sau ó 1 phút v n t c cịn ω1 = 180
vịng/phút. Tính gia t c góc và s vịng quay c a bánh mài trong th i gian ó.