Chương 4: Công và năng lượng pptx

114 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn
Chng 4
CễNG V NNG LNG

Đ4.1 CễNG
1 nh ngha:

F
Cụng ca lc
trờn on ng vi cp ds l:

F


)
dA = F
s
ds = Fds.cos = (4.1)

sdF
vi F
s
l hỡnh chiu ca lc xung qi o;
l vi phõn ca vect ng i (cng chớnh l vi phõn
ca di); l gúc to bi hng ca lc v
hng ca ng i.

F

sd
Hỡmh 4.1: Cụng ca lc.

Suy ra, cụng ca lc
trờn quóng ng s bt kỡ l:

F
A =
(4.2)

===

ss
s
ss
cosFdsdsFsdFdA
Trong h to Descartes,
, nờn biu thc
tớnh cụng l: A =
(4.3)
)F,F,F(F);z,y,x(rdsd
zyx
===


++==

s
zyx
ss
dzFdyFdxFrdFsdF
Tớch phõn (4.3) c gi l tớch phõn ng. H thc ú chng t, trong trng hp
tng quỏt, cụng ph thuc c vo v trớ v ng i. Tuy nhiờn, trong mt s trng

lc, cụng khụng ph thuc vo ng i m ch ph thuc vo v trớ im u v im
cui. Trng lc cú tớnh cht nh vy, c gi l trng lc th.
Trng hp
c bit: Nu cỏc thnh phn F
x
, F
y
, F
z
ch ph thc vo to
tng ng ca nú, ngha l F
x
= f(x), F
y
= g(y), F
z
= h(z) thỡ tớch phõn ng (4.3)
c a v tng cỏc tớch phõn: A =
(4.4)

++
2
1
2
1
2
1
z
z
z

y
y
y
x
x
x
dzFdyFdxF
Cụng l i lng vụ hng, cú th õm, dng hoc bng khụng. Trong h SI, cụng
cú n v jun (J).
Nu lc
luụn vuụng gúc vi ng i thỡ t (4.2) suy ra A = 0: lc
khụng sinh cụng.

F
Nu
to vi dng i mt gúc nhn thỡ A > 0: cụng phỏt ng.

F
Nu
to vi dng i mt gúc tự thỡ A < 0: cụng cn.

F
Chửụng 4: NHAP MON VAT LY ẹAẽI CệễNG 115


Vớ d 4.1: Tớnh cụng thc hin bi lc tỏc dng vo mt vt lm nú di
chuyn t im M(2; 3) n N(3; 0). Cỏc n v o trong h SI).
)y4;x5(F =

Gii

Theo (4.4) ta cú cụng cn tớnh l:
]]
=+=+=

0
3
2
3
2
2
0
3
3
2
y2x5,2ydy4xdx5A
12,5 18 = 5,5J
2 Cụng ca lc ma sỏt:
Lc ma sỏt luụn tip xỳc vi qi o v hng ngc chiu chuyn ng, nờn
cos = 1. Do ú, cụng ca lc ma sỏt l:
A
ms
= (4.5)

=
s
ms
s
ms
dsFcosdsF
Nu trờn quóng ng s, lc ma sỏt cú ln khụng i thỡ ta cú:

A
ms
= F
ms
.s (4.6)
Biu thc (4.6) chng t cụng ca lc ma sỏt l cụng cn v ph thuc vo quóng
ng vt ó i. Vy lc ma sỏt khụng phi l lc th.
Vớ d 4.2: Vt khi lng m = 10kg trt trờn sn ngang cú h s ma sỏt à = 0,2. Tớnh
cụng ca lc ma sỏt khi vt i c 10 một.
Gii
Ta cú lc ma sỏt trt: F = àN = àmg = 0,2.10.10 = 20N = const.
Vy cụng ca lc ma sỏt l: A
ms
= F
ms
.s = 20.10 = 200J.
3/ Cụng ca lc n hi:
Xột bin dng mt chiu ca lũ xo. Lc n hi ca lũ xo, cú dng:

= x
k
F .
Thay vo (4.2), ta cú cụng ca lc n hi l:

)xx(k
2
1
xdxkxdxksdFA
2
2

2
1
x
x
x
xs
2
1
2
1
====


(4.7)
Trong ú x
1
, x
2
chớnh l bin dng tng ng
ca lũ xo ti v trớ u v cui. T (4.7) suy ra,
cụng ca lc n hi khụng ph thuc vo ng
i m ch ph thc vo vo v trớ u v cui. Ta
núi lc n hi l mt lc th.
ủh

F
Vớ d 4.3: Mt con lc lũ xo cú cng
k = 10N/m, dao ng iu hũa vi phng trỡnh:
x

= 10sin5t (cm). Tớnh cụng ca lc n hi
thc hin trong khong thi gian:
x
2
O
x
1
Hỡnh 4.2: Cụng ca lc
n hi.
a) T lỳc t = 0 n lỳc t = 5,5s.
b) Mt chu kỡ.
116 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn
Gii
a) Ti thi im t
1
= 0s to ca vt l: x
1
= 0 cm = 0m;
Ti thi im t
2
= 5,5s to ca vt l: x
2
= 10sin27,5 = 10cm = 0,1m
Vy cụng ca lc n hi ó thc hin l:
)1,00(100.
2
1
)xx(k
2
1

A
22
2
2
1
==
= 0,5J.
b) Trong mt chu kỡ thỡ x
2
= x
1
. Vy A = 0 (J).
4 Cụng ca lc hp dn:
Ta cú lc hp dn:

= r
r
mm
GF
3
21
hd

Suy ra cụng ca lc hp dn mang vt t v trớ (1) n v trớ (2) l:




==
)2(

)1(
3
21
)2(
)1(
hd
12
r
rdr
mGmrdFA

m
xdx + ydy + zdz = ẵ d(x
=

rdr
2
+ y
2
+ z
2
) = ẵ d(r
2
) = rdr
nờn A
12
= Gm
1
m
2

)
r
1
r
1
(mGm
r
dr
12
21
r
r
2
2
1
=

(4.8)
Trng hp riờng, ta tớnh cụng ca
trng lc khi vt di chuyn t v trớ cú cao
h
1
n v trớ cú cao h
2
so vi mt t :
m
m
h
2
h

1
A
P
= GMm
21
21
rr
rr
(4.9)
Vi cỏc cao khụng ln lm thỡ ta cú:
r
1
. r
2
= (R +h
1
).(R + h
2
) R
2
r
1
r
2
= h
1
h
2
Hỡnh 4.3: Cụng ca trng lc ch
ph thuc vo v trớ u v cui

Vy: A
P
= GMm
2
21
R
hh
= mg(h
1
h
2
) (4.10)
T (4.10) suy ra, khi vt i xung thỡ trng lc sinh cụng dng; khi vt i lờn
thỡ trng lc sinh cụng õm; nu vt chuyn ng theo phng ngang thỡ trng lc
khụng sinh cụng. H thc (4.8) v (4.10) chng t cụng ca lc hp dn ch ph thuc
v trớ im u v im cui. Vy, trng hp dn l mt trng lc th.
Trong trng hp tng quỏt, ta c
ng chng minh c cỏc trng lc xuyờn
tõm l cỏc trng lc th.
5 Cụng ca lc trong chuyn ng quay:
Trong chuyn ng quay, lc tỏc dng c phõn tớch thnh ba thnh phn
(xem hỡnh 3.11):
. Thnh phn song song vi trc quay v
t
n
//
FFFF

++=
//

F

Chửụng 4: NHAP MON VAT LY ẹAẽI CệễNG 117


thnh phn phỏp tuyn luụn vuụng gúc vi ng i nờn khụng to cụng, ch
cú thnh phn tip tuyn
l to cụng . Do ú, cụng vi cp:
n
F

sd
t
F

====


dMRdFdsFsdFdA
ttt
(4.11)
vi d l gúc chn cung ds; M

= F
t
R l mụmen ca lc i vi trc quay . Suy ra,
cụng ca lc lm vt quay t v trớ gúc
1
n
2

l : (4.12)




=
2
1
dMA
Nu mụmen ca lc khụng i thỡ: A = M

.(
2

1
) = M

(4.13)
Trong ú: =
2

1
l gúc m vt ó quay c.
Nu trong (4.11), ta thay M

= I =
dt
d
I

thỡ dA =
dt
d
I

.d = Id
Suy ra:
)(I
2
1
dIA
2
1
2
2
2
1
==



(4.14)
(4.14) l cụng thc tng quỏt tớnh tng cụng ca cỏc ngoi lc trong chuyn ng quay
ca vt rn quanh mt trc c nh . Trng hp mun tớnh cụng ca mt lc (hay
h lc) no ú, ta dựng (4.12) hoc (4.13), vi M

l mụmen ca lc (hay h lc) ú
i vi trc quay .
Vớ d 4.4: Mt vụ lng hỡnh tr ng nht, bỏn kớnh R = 20cm, khi lng m = 20kg
ang quay vi vn tc = 4rad/s thỡ b hóm v dng li. Tớnh cụng ca lc hóm

trong quỏ trỡnh ú.
Gii
Ta cú
1
= = 4rad/s;
2
= 0 (vỡ dng li); I = ẵ mR
2
p dng (4.14), ta cú cụng ca lc hóm l:
A = ẳ mR
2
(
2
2
-
1
2
) = ẳ .20. 0,2
2
.(4)
2
= 32 J
Đ 4.2 CễNG SUT
1 nh ngha:
i lng o bng cụng sinh ra trong mt n v thi gian gi l cụng sut.
Cụng sut trung bỡnh: P
tb
=
t
A

(4.15)
Cụng sut tc thi: P =
dt
dA
(4.16)
Cụng sut ca mt mỏy no ú c trng cho kh nng sinh cụng ca mỏy ú trong
mt n v thi gian. Trong h SI, n v ca cụng sut l oỏt (W).
118 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện
Trước đây người ta thường so sánh khả năng sinh cơng của máy móc với khả
năng sinh cơng của con ngưạ. Vì thế, trong kĩ thuật, người ta còn dùng đơn vị cơng
suất là mã lực, kí hiệu là CV hoặc HP. Ta có: 1 HP
≈
736 W.
Từ biểu thức tính cơng suất trung bình (4.15), ta có thể ước lượng cơng sinh ra
trong thời gian t là A = Pt. Vì thế ta còn đo cơng bằng đơn vị kilơ ốt giờ (kWh):
1 kWh = 10
3
W . 3600 s = 3,6.10
6
(J).
Bảng 4.1: Một vài giá trị cơng suất
Tên động cơ Cơng suất P Tên động cơ Cơng suất P
Người
Ngựa
Ơtơ
Đầu máy xe lửa
40 – 80W
Cỡ 700W
20 – 300kW
1 – 3MW

Tên lửa
Mặt trời
Nhà máy thủy
điện Hòa Bình
20MW
3,7.10
20
MW

5GW
2 – Liên hệ giữa cơng suất, lực và vận tốc:
Ta có : P =
→→
→
→
→→
=== vF
dt
sd
F
dt
sdF
dt
dA
(4.17)
Vậy: Cơng suất bằng tích vơ hướng của lực tác dụng với vận tốc của vật.
Nếu lực tác dụng ln cùng hướng với vận tốc thì ta có:
P = F.v (4.18)
Cơng thức (4.18) là cơ sở để chế tạo ra hộp số của xe máy và xe hơi: Do cơng suất của
động cơ đốt trong có một giá trị nhất định, nên khi xe lên dốc, ta cần lực phát động

lớn, muốn vậy, phải giảm vận tốc của xe; ngược lại, khi xe chạy trên đường ngang, ta
khơng cần lực phát động lớn, vì thế vận tốc của xe phải lớn. Bộ hộp số được
được chế
ra nhằm đáp ứng u cầu trên.
Trong chuyển động quay, ta có quan hệ giữa cơng suất, mơmen lực và vận tốc
góc như sau:
ω=
ϕ
==
∆
∆
M
dt
dM
dt
dA
P
(4.19)
Hay
(4.20)
→
∆
→
ω= .MP
Ví dụ 4.5: Một động cơ có cơng suất cơ học 500W, rơto quay với vận 300 vòng/phút.
Tính mơmen của lực từ đã tạo ra cơng suất trên.
Giải
Ta có: P = 500W; ω = 300 vòng/ phút = 10π rad/s
Từ (4.19) suy ra mơmen của lực từ là:
m/N16

10
500P
M =
π
=
ω
=
∆
.
Chương 4: NHẬP MÔN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 119


§ 4.3 NĂNG LƯỢNG
1 – Khái niệm năng lượng:
Tất cả các dạng cụ thể của vật chất đều có năng lượng. Theo nghĩa chung
nhất, năng lượng là một thuộc tính cơ bản của vật chất, đặc trưng cho mức độ vận
động của vật chất.
Mỗi hình thức vận động cụ thể của vật chất sẽ tương ứ
ng với một dạng năng
lượng cụ thể. Ví dụ: trong vận động cơ, ta có cơ năng; vận động nhiệt, ta có nhiệt
năng, nội năng; vận động điện từ, ta có năng lượng điện từ; …
Năng lượng thường kí hiệu là E (Energy). Trong hệ SI, đơn vi đo năng lượng
là jun (J). Theo Einstein, năng lượng và khối lượng của vật quan hệ với nhau bởi:
E = mc
2
(4.21)
với c = 3.10
8
m/s là vận tốc ánh sáng trong chân khơng.
2 – Định luật bảo tồn năng lượng:

Vì vật chất vận động dưới nhiều hình thức, nên năng lượng của một vật hay hệ
vật cũng tồn tại dưới nhiều dạng và trong q trình vận động, năng lượng có thể
chuyển hố từ dạng này sang dạng khác, nhưng năng lượng tổng cộng của một hệ cơ
lập ln khơng đổi. Đó là n
ội dung cơ bản của định luật bảo tồn năng lượng. Suy
rộng ra trong tồn vũ trụ, ta có định luật bào tồn và chuyển hố năng lượng:
Năng lượng khơng tự nhiên sinh ra và cũng khơng tự nhiên mất đi, mà nó chỉ
chuyển hố từ dạng này sang dạng khác hoặc truyền từ vật này sang vật khác, còn
tổng năng lượng khơng thay đổi.
3 – Ý nghĩa của định luật bảo tồn năng lượng:
- Định luật b
ảo tồn và chuyển hố năng lượng phản ánh một thuộc tính cơ
bản của vật chất khơng thể tiêu diệt, đó là sự vận động.
- Từ định luật bảo tồn năng lượng suy ra: khơng thể có một hệ nào sinh cơng
mãi mãi mà khơng nhận thêm năng lượng từ bên ngồi. Nói cách khác, khơng tồn tại
động cơ vĩnh cửu – một loại máy mà con người đã có một thời tổn hao trí lực và tiền
của để nghiên cứu chế tạo nhưng vơ ích.
- Định luật bảo tồn và chuyển hóa năng lượng là định luật có phạm vi áp
dụng rộng nhất. Nó đúng trong mọi lĩnh vực, mọi hình thức vận động của vật chất từ
vĩ mơ đến vi mơ.
4 – Quan hệ giữa năng lượng và cơng:
Như trên đã giới thiệu, năng lượng có rất nhiều dạng. Trong phạm vi Cơ h
ọc,
khi nói “năng lượng”, ta ngụ ý muốn nói đến “cơ năng”. Một hệ cơ học ở trạng thái
xác định sẽ có năng lượng xác định. Khi hệ biến đổi từ trạng thái này sang trạng thái
khác thì năng lượng của hệ cũng biến đổi từ giá trị E
1
sang E
2
. Trong q trình biến

đổi đó, hệ có thể nhận cơng hoặc sinh cơng A. Thực nghiệm chứng tỏ:
E
2
– E
1
= A (4.22)
120 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện
Vậy: độ biến thiên năng lượng trong một q trình nào đó bằng cơng mà hệ nhận
được hoặc sinh ra trong q trình đó. Nếu hệ nhận cơng từ bên ngồi (A > 0) thì năng
lượng của hệ tăng; nếu hệ sinh cơng (A < 0) thì năng lượng của hệ giảm.
Như vậy, cơng đặc trưng cho độ biến thiên năng lượng của hệ trong một q
trình nhất định. Cơng bao giờ cũng tương ứng với mộ
t q trình biến đổi cụ thể, ta nói
cơng là hàm của q trình. Còn năng lượng có giá trị xác định khi hệ ở một trạng thái
xác định, ta nói năng lượng là một hàm của trạng thái. Khi hệ biến đổi nó sẽ trao đổi
năng lượng với bên ngồi bằng cách nhận cơng hoăc sinh cơng. Vậy cơng là số đo
phần năng lượng đã chuyển hố từ hệ (cơ học) ra ngồi hoặc từ bên ngồi vào hệ.
5 – Hiệ
u suất của máy:
Máy là thiết bị biến đổi dạng năng lượng này thành dạng năng lượng khác dễ
sử dụng hơn. Năng lượng cung cấp cho máy hoạt động (năng lượng đầu vào) được gọi
là năng lượng tồn phần E; năng lượng mà máy sinh ra (năng lượng đầu ra) được gọi
là năng lượng có ích E
i
. Tỉ số giữa năng lượng có ích và năng lượng tồn phần được
gọi là hiệu suất của máy:
E
E
H
i

=
(4.23)
Năng lượng cung cấp cho máy ln lớn hơn năng lượng mà máy sinh ra, vì
trong q trình hoạt động của máy, một phần năng lượng bị hao phí do ma sát hoặc do
sự vận hành của máy tiêu tốn năng lượng. Do đó E
i
< E , suy ra hiệu suất của máy
ln nhỏ hơn 100%.
Ví dụ: Động cơ điện là thiết bị biến điện năng thành cơ năng. Khi động cơ điện họat
động, một phần điện năng bị tiêu tốn do tỏa nhiệt trên các cuộn dây của động cơ và do
ma sát ở trục động cơ, … nên cơ năng sinh ra ln nhỏ hơn điện năng cung c
ấp cho
động cơ. Kết quả hiệu suất nhỏ hơn 100%. Tuy nhiên, động cơ điện là loại động cơ có
hiệu suất cao nhất trong các loại động cơ.
§ 4.4 ĐỘNG NĂNG
1 – Định nghĩa động năng:
Xét một chất điểm khối lượng m chuyển dời từ vị trí (1) đến vị trí (2) dưới tác
dụng của lực
. Cơng của lực trong q trình đó là:
→
F
→
F

∫∫∫
→
→
→→→→
===
)2(

)1(
)2(
)1(
)2(
)1(
sd
dt
vd
msdamsdFA
∫∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
===
→→→
→
)2(
)1(
2
)2(
)1(
)2(
)1(
2
mv

dvdvmvd
dt
sd
m

Suy ra: A =
2
mv
2
mv
2
1
2
2
− (4.24)
So sánh (4.22) với (4.24) ta suy ra
2
mv
và
2
2
2
mv
2
1
chính là năng lượng của vật tại vị
trí (1) và (2). Ta gọi năng lượng đó là động năng của vật tương ứng với các vị trí (1)
và (2).
Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG 121

Vậy: Động năng của một chất điểm là năng lượng tương ứng với sự chuyển động của
chất điểm đó, có giá trị bằng nửa tích khối lượng với bình phương vận tốc của chất
điểm.
E
đ
=
2
mv
2
(4.25)
Trong hệ SI, động năng có đơn vị jun (J).
Đối với hệ chất điểm, động năng của hệ bằng tổng động năng của các chất
điểm trong hệ:
∑
=
i
2
ii
vm
2
1
E
ñ
(4.26)
Đối với vật rắn chỉ có chuyển động tịnh tiến, động năng là:

∑∑ ∑
====
2

Gi
2
G
2
Gi
2
iitt
mv
2
1
mv
2
1
vm
2
1
vm
2
1
E
(4.27)
với m là khối lượng vật rắn, v
G
là vận tốc tịnh tiến của khối tâm.
Trong chuyển động quay của vật rắn quanh trục ∆ cố định, so sánh (4.14) và
(4.22) ta có động năng quay:
2
q
I
2

1
E ω=
∆
(4.28)
Khi vật rắn có chuyển động phức tạp, ta có thể coi chuyển động đó gồm hai
chuyển động đồng thời: tịnh tiến của khối tâm G và quay quanh khối tâm G. Do đó
động năng của vật rắn trong trường hợp này bằng tổng động năng tịnh tiến và động
năng quay quanh khối tâm:
2
G
2
Gqtt
I
2
1
mv
2
1
EEE ω+=+=
ñ
(4.29)
Ví dụ 4.6: Một quả cầu đặc đồng nhất, khối lượng m = 5kg đang lăn (không trượt) với
vận tốc 2m/s. Tính động năng của quả cầu.
Giải
Chuyển động của quả cầu được phân tích thành hai chuyển động đồng thời:
tịnh tiến của khối tâm G với vận tốc v = 2m/s và quay quanh khối tâm G với vận tốc
góc ω = v/R (do lăn không trượt nên vận tố
c dài của điểm tiếp xúc bằng với vận tốc
tịnh tiến của khối tâm).
Vậy động năng của quả cầu là:

2
G
2
Gqtt
I
2
1
mv
2
1
EEE ω+=+=
ñ

Mà I
G
=
2
mR
5
2
, nên
22222
mv
5
1
mv
2
1
mR
5

2
.
2
1
mv
2
1
E +=ω+=
ñ

⇒ E
đ
=
22
2.5.
10
7
mv
10
7
=
= 14J.
2 – Định lý về động năng:
122 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn
T (4.24) ta cú nh lý: bin thiờn ng nng ca vt (hay h vt) sau
mt quỏ trỡnh no ú bng tng cụng ca cỏc ngoi lc tỏc dng vo vt (hay h vt)
trong quỏ trỡnh ú: E

= E
2

E
1
=
2
mv
2
mv
2
1
2
2
= A
12
(4.30)
Vớ d 4.7: Mt ụ tụ khi lng 2 tn ang chuyn ng
trờn ng ngang vi vn tc 72km/h thỡ hóm phanh ri
dng li. Tớnh ng nng ban u ca ụ tụ v cụng ca lc
hóm sinh ra trong quỏ trỡnh ú (coi ụtụ nh mt cht im).

P

N


h
F
Gii
Ta cú: m = 2 tn = 2.10
3
kg; v

o
= 72km/h = 20m/s; v = 0
(dng)
Hỡnh 4.4
ng nng ban u:
E
1
=
J10.420.10.2.
2
1
mv
2
1
5232
0
==

ng nng lỳc sau: E
2
= 0 (vỡ dng li)
p dng nh lớ ng nng: E

= A
ngoi lc
= A
N
+ A
p
+ A

h
Vỡ trng lc v phn lc vuụng gúc vi ng i nờn:
A
p
= A
N
= 0. Do ú, cụng ca lc hóm l:
A
h
= E
2
E
1
= 4.10
5
J.

Đ 4.5 TH NNG
1 nh ngha th nng:
Ta bit, cụng ca trng lc th khụng ph thuc vo ng i m ch ph
thuc vo v trớ im u v im cui ca ng i. c trng cho tớnh cht th
ca trng lc, ta dựng hm vụ hng E
t
(x,y,z) mụ t v trớ cỏc im trong trng lc,
sao cho hiu hai giỏ tr ca hm ti hai im M, N bt kỡ bng cụng ca lc th thc
hin gia hai im ú. Hm E
t
(x,y,z) cú tớnh cht nh vy c gi l hm th, hay th
nng ca trng lc th ú.
Vy, Th nng ca cht im trong trng lc th l hm

ph thuc vo v trớ
ca cht im, sao cho hiu cỏc giỏ tr ca hm ti hai im M, N chớnh bng cụng
ca lc th ó thc hin trong quỏ trỡnh cht im di chuyn t M n N.
)r(E

E
t
(M) E
t
(N) = A
MN
(4.31)
Trong h SI, th nng cú n v l jun (J).
Vi khỏi nim (4.31), ta thy cú rt nhiu hm th, cỏc hm ny sai khỏc nhau
mt hng s cng C. Do ú, th nng ca vt khụng xỏc nh n giỏ m sai khỏc
nhau mt hng s cng. Tuy nhiờn, hiu th nng ti hai im luụn xỏc nh n giỏ.
Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG 123


Nếu chọn gốc thế năng ở vô cùng (E
t
(
∞
) = 0) thì thế năng tại điểm M sẽ xác
định đơn giá và có biểu thức tính:
(4.32)
→
∞
→
∞

∫
== sdFA)M(E
)M(
Mt
Tổng quát, thế năng tại điểm M(x,y,z) trong trường lực thế có biểu thức tính:

(4.33) CrdFsdF)M(E
t
+−=−=
→→→→
∫∫
với C hà hằng số, phụ thuộc vào điểm chọn gốc thế năng.
Ví dụ 4.8: Một trường lực hút xuyên tâm mà độ lớn của lực tỉ lệ nghịch với bình
phương khoảng cách từ điểm khảo sát đến tâm trường. Tìm thế năng của trường lực
này trong hai trường hợp: a) chọn gốc thế năng ở vô cùng; b) chọn gốc thế năng tạ
i
điểm M
o
cách tâm trường một khoảng r
o
.
Giải
Theo bài, ta có:
r
r
r
k
F
2
→

→
−=
, với k là hệ số tỉ lệ, k > 0. Dấu “–“ biểu diễn lực hút.
a) Chọn gốc thế năng ở vô cùng, theo (4.31) thì thế năng tại điểm M cách tâm trường
một khoảng r là:
∫∫∫∫
∞∞
→→
→
∞
→→
∞
→
−=−=−===
rr
23
rr
t
r
k
r
dr
k
r
rdr
krdFsdFE

b) Theo (4.32), ta có:
C
r

k
C
r
dr
kCrdF)M(E
2
t
+−=+=+−=
∫∫
→→

vì
00
0t
r
k
C0C
r
k
0)M(E =⇔=+−⇔=
. Vậy:
r
k
r
k
)M(E
0
t
−=

2 – Quan hệ giữa thế năng và lực thế:
So sánh (4.31) và (4.2) ta có mối quan hệ giữa thế năng và lực thế ở dạng tích
phân:
(4.34)
)N(E)M(EsdF
tt
MN
−=
∫
→→
Vế trái (4.34) được gọi là lưu thông của vectơ lực từ điểm M đến N doc theo một
đường cong bất kì nào đó; còn vế phải là hiệu thế năng tại M, N.
Vậy: Lưu thông của lực thế dọc theo một đường cong bất kì từ điểm M đến N bằng
hiệu thế năng giữa hai điểm đó. Lưu thông của lực thế dọc theo mộ
t đường cong kín
bất kì thì bằng không:
0sdF
)C(
=
∫
→→
(4.35)
Các công thức (4.34) và (4.35) biểu diễn tính chất thế của trường lực ở dạng
tích phân. Ở dạng vi phân, ta có: A
12
= E
t1
– E
t2
= - ∆E

t
hay dA = - dE
t

124 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn
M: dA = = F

= rdFsdF
x
dx + F
y
dy + F
z
dz;
E
t
= E
t
(x,y,z) v vi phõn cựa hm th :
ttt
t
EEE
dE .dx .dy .dz
xyz

=++


Nờn: F
x

dx + F
y
dy + F
z
dz =
( )
dz.
z
E
dy.
y
E
dx.
x
E
ttt


+


+




Suy ra:
z
E
F;

y
E
F;
x
E
F
t
z
t
y
t
x


=


=


=
(4.36)
Trong gii tớch vect, ngi ta xõy dng mt vect grad dn xut t mt hm vụ
hng gi l gradien:



+

+


= k.
z
E
j.
y
E
i.
x
E
)E(grad
ttt
t
(4.37)
Do ú (4.36) c vit l:
(4.38)
)E(gradF
t
=

(4.36) v (4.38) l mi quan h gia lc th
v th nng E

F
t
dng vi phõn. Vỡ
gradE
t

l vect luụn hng theo chiu tng ca hm th nờn lc th luụn hng
theo chiu gim ca hm th.

F
Trng hp riờng, th nng ch l hm mt bin, vớ d
)x(EE
tt
=
, thỡ ta cú:

dx
)x(dE
F
t
=
(4.38a)
Vớ d 4.9: Th nng ca mt ht trong trng lc th cú dng:
r
b
r
a
E
2
t
=
, vi a, b
l nhng hng s v r l khong cỏch t ht n tõm trng. Hóy xỏc nh giỏ tr r
o

ng vi v trớ cõn bng ca ht; v trớ cõn bng ú cú bn khụng?

Gii
(4.38a) suy ra lc th l:
23
t
r
b
r
a2
d
r
dE
F ==
.
T i v trớ cõn bng: F = 0 r
o
=
b
a2
r

=
Ta cú bng bin thiờn ca th nng (hỡnh 4.5).
CT

+ 0

0 r
o
t
E

t
'E
r
Hỡnh 4. 5
Chương 4: NHẬP MÔN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 125


Từ bảng biến thiên ta thấy, ứng với giá trị r
o
thì thế năng đạt cực tiểu. Vậy vị trí cân
bằng này là bền.
3 – Thế năng của lực đàn hồi:
So sánh (4.31) và (4.7) suy ra, thế năng của lực đàn hồi là:
E
t
=
2
1
kx
2
+ C (4.39)
Trong đó x là độ biến dạng của lò xo, đơn vị đo là mét (m) ; k là độ cứng (hay hệ số
đàn hồi) của lò xo, đơn vị đo là (N/m).
Nếu chọn gốc thế năng tại vị trí mà lò xo khơng biến dạng thì ta có:
E
t
=
2
1
kx

2
(4.40)
4 – Thế năng của lực hấp dẫn:
So sánh (4.31) và (4.8) suy ra, thế năng của lực hấp dẫn là:
C
r
mm
G)r(E
21
t
+−=
(4.41)
Nếu chọn gốc thế năng ở vơ cùng thì:
r
mm
G)r(E
21
t
−=
(4.42)
5 – Thế năng của trọng lực:
Tương tự, thế năng của trọng lực ở gần mặt đất là:
E
t
= mgh + C (4.43)
với h là độ cao của vật so với mặt đất.
Nếu chọn gốc thế năng tại mặt đất thì: E
t
= mgh (4.44)
§ 4.6 ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN CƠ NĂNG

TRONG TRƯỜNG LỰC THẾ
1 – Cơ năng – định luật bảo tồn cơ năng:
Trong trường lực thế, ta gọi cơ năng của vật là tổng động năng và thế năng
của nó: E = E
đ
+ E
t
(4.45)
Từ các cơng thức (4.30) và (4.31), ta có: A
12
= E
đ2
– E
đ1
; A
12
= E
t1
– E
t2

Suy ra : E
đ2
– E
đ1
= E
t1
– E
t2
hay E

đ2
+ E
t2
= E
đ1
+ E
t1
nghĩa là E
2
= E
1
Vậy : E = E
đ
+ E
t
= const (4.46)
Định luật bảo tòan cơ năng: “Khi chất điểm chuyển động chỉ dưới tác dụng của lực
thế thì cơ năng của nó được bảo tồn”.
Trường hợp riêng, khi vật chuyển động chỉ dưới tác dụng của trọng trường
đều thì:
constmghmv
2
1
E
2
=+=
(4.47)
126 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện
Hệ quả: Trong q trình chuyển động, nếu động năng tăng thì thế năng giảm và
ngược lại; Nếu động năng đạt cực đại thì thế năng đạt cực tiểu và ngược lại.

Ví dụ 4.10: Một vật nhỏ khối lượng 100g rơi từ độ cao h = 50cm xuống đầu một lò xo
nhẹ, thẳng đứng, có hệ số đàn hồi k = 80N/m (hình 4.6). Tính độ nén tối đ
a của lò xo.
Giải
Bỏ qua ma sát thì trong q trình chuyển động của vật chỉ có trọng lực và lực
đàn hồi tác dụng. Hai lực này đều là lực thế, nên cơ năng của vật khơng đổi trong suốt
q trình chuyển động.
Gọi x là độ nén tối đa của lò xo, h là độ cao ban đầu của vật so với đầu lò xo
lúc chưa biến dạng. Chọn gốc thế năng đàn hồi tại vị
trí lò xo khơng biến dạng, gốc
thế năng trọng lực tại vị trí lò xo nén tối đa.
Cơ năng ban đầu của vật chính là thế năng của trọng lực: E = mg(h+x);
Cơ năng lúc sau (khi nén tối đa) chính là thế năng của lò xo: E’ = ½ kx
2
Vì cơ năng bảo tồn nên: mg(h + x) = ½ kx
2
k
m
Hình 4.6
h
x
Thay số ta có: 0,1.10 (0,5 + x) = ½ .80x
2

Suy ra: 0,5 + x = 40x
2
hay: x = 0,125m = 12,5cm
Vậy độ nén tối đa của lò xo là 12,5cm.
Chú ý: Nếu vật chuyển động trong trường lực thế nhưng còn
chịu tác dụng của một lực

khơng phải lực thế thì cơ năng
khơng bảo tồn. Khi đó độ biến thiên cơ năng của vật bằng cơng
của lực
đó.
→
F
→
F
2 – Sơ đồ thế năng:
Tổng qt, thế năng E
t
là hàm theo ba biến tọa độ
(x,y,z). Trong trường hợp thế năng chỉ phụ thuộc một biến (ví dụ biến x), ta có thể vẽ
được đồ thị của hàm thế E
t
theo tọa độ x. Đồ thị đó gọi là sơ đồ thế năng (hình 4.7).
Khảo sát sơ đồ thế năng, ta có thể rút ra một số kết luận định tính về chuyển động của
vật trong trường lực thế đó.
Giả sử đường cong thế năng và cơ năng của vật có dạng như hình (4.7) và
trong q trình chuyển động cơ năng
của vật ln có giá trị
E xác định thì ta
có:
constE)x(E
2
mv
t
2
==+
O

E
x
x
x
D
x
D
C
B
A
x
E
t
(x)
Mà
≥
2
mv
2
0 nên E)x(E
t
≤
(4.48)
Bất đẳng thức (4.48) chứng tỏ vật chỉ có
thể chuyển động trong phạm vi x, sao
cho:
hoặc .
BA
xxx ≤≤
C

xx ≥
• Nếu:
thì vật chuyển
động qua lại trong phạm vi hữu hạn.
BA
xxx ≤≤
Hình 4.7: Sơ đồ thế năng
Chương 4: NHẬP MÔN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 127


Tại các vị trí A, B động năng của vật bằng khơng: vật đổi chiều chuyển động; tại
vị tí D, thế năng cực tiểu nên động năng của vật lớn nhất. D chính là vị trí cân
bằng bền của vật.
• Nếu:
thì vật có thể chuyển động ra xa vơ cùng.
C
xx ≥
§ 4.7 GIẢI BÀI TỐN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG
Dựa vào các phương trình động lực học, ta sẽ giải được các bài tốn về
chuyển động của chất điểm, hệ chất điểm hay vật rắn – đó là phương pháp động lực
học. Một phương pháp khác cũng có thể giải được các bài tốn trên đó là vận dụng
định luật bảo tồn cơ n
ăng, bảo tồn năng lượng hay định lí động năng. Phương pháp
này được gọi là phương pháp năng lượng. Mỗi phương pháp có một ưu điểm riêng.
Tùy trường hợp, ta có thể vận dụng linh họat để bài giải trở nên đơn giản.
1 – Điều kiện áp dụng các định luật cho bài tốn:
- Định lí động năng áp dụng trong mọi trường hợp.
- Định luật bảo tồn cơ năng chỉ được áp dụng khi vật chuyển động trong
trường lực thế (trọng lực, lực đàn hồi) mà khơng có ngoại lực nào khác.
- Khi có ma sát hoặc các lực khơng thế, ta dùng định luật bảo tồn năng

lượng: độ bến thiên cơ năng bằng tổng cơng của các lực khơng thế.
2 – Các ví dụ:
Ví dụ 4.11: Hai vật có khối lượng m
1
, m
2

buộc vào hai đầu sợi dây, vắt qua ròng rọc
khối lượng m
o
, bán kính R. Bỏ qua khối lượng
dây và ròng rọc. Coi dây khơng giãn. Bằng
phương pháp dùng định lí động năng, hãy tính
gia tốc của các vật. Biết mơmen cản trở
chuyển động quay ở trục ròng rọc có độ lớn
là M
c
. Từ kết quả đó, suy ra điều kiện của m
1

để nó chuyển động đi xuống; đi lên.
m
1
m
2
h
1
h
2
h’

1
Áp dụng số: m
1
= 6kg; m
2
= 3kg; m
o
= 2kg;
M
c
= 0,2Nm; R = 10cm;
Giải
h’
2
Động năng ban đầu của hệ bằng khơng vì lúc
đầu hệ đứng n. Vì dây khơng bị trượt nên
lúc sau vật m
1
và m
2
có cùng vận tốc v = ωR
bằng vận tốc dài ở mép ròng rọc. Do đó động
năng của hệ lúc sau chính là tổng động năng
tịnh tiến của hai vật và động năng quay của
ròng rọc:
22
21
I
2
1

v)mm(
2
1
E ω++=
đ
Hình 4.8
128 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện
Với mơmen qn tính của ròng rọc là:
2
o
Rm
2
1
I =

⇒
2
o
2
21
)R(m
4
1
v)mm(
2
1
E ω++=
đ
2
o

2
21
vm
4
1
v)mm(
2
1
++
=
⇒
2
o21
v)m
2
1
mm(
2
1
E ++=
đ

Khi ờng s t


vật m
1
đi xuống một đọan đư hì vật m
2
đi lên một đoạn s, ta có:

s = h
1
– h
1
’ = – ( h
2
– h
2
’)
2
– h
2
’) = (m
1
– m
2
)gs.
uyển động quay của ròng rọc, nên cơng của
lực cản
y. Do dây khơng trượt trên
Trong q trình đó, cơng của trọng lực là:
A
P
= m
1
g(h
1
– h
1
’) + m

2
g(h
Mặt khác, lực cản tạo ra mơmen cản trở ch
là: A
c
= – M
c
.θ , với θ là góc mà ròng rọc đã qua
rãnh ròng rọc, nên θ = s/R. Do đó: A
c
= –
R
s
.M
c

Theo định lí động năng:
cP
AAAE +
=
=
∆

lực ngoạiđ
R
s
Mgs)mm(v)m
2
mm(
2

o21
++⇔

11
c21
2
−−=
Gọi a là gia tốc của các vật thì v
2
– v
0
2
= 2as, v
0
= 0
Suy ra:
12 o 12
22
c
11 s
(m m m )2as (m m )gs M
R
++ = − −

c
12
12 o
M
(m m )g
R

a
1
mm m
2
−−
⇔=
++
(*) Thay số ta có: a
2
0, 2
(6 3).10
0,1
2,8m / s
1
63 .2
2
−−
==
++

Vật m
1
đi xuống khi và chỉ khi . Từ (*) suy ra:
a0≥
c
12
M
mm
gR
≥+

Vật m
1
đi lên khi và chỉ khi m ống. Hốn vị m
2
đi xu
1
và m
2
trong cơng thức (*), ta
cũng có điều kiện:
c
21
M
mm≥+
hay
gR

c
12
M
mm
gR
Ví dụ 4.12: Một qu h R = 10cm
nghiêng xuống châ ban đầ
≤−

ả cầu đặc, bán kín , lăn khơng trượt từ đỉnh mặt phẳng
n dốc. Độ cao u của khối tâm so với chân mặt nghiêng là
9). Tính vận tốc của quả cầu ở cuối chân dốc, bỏ qua ma sát cản lăn.

ốc. Cơ năng ban đầu c ế năng của quả cầu E
t
= mgh. Cơ năng
lúc sau gồm động năng tịnh tiến của khố mv
2
, động năng quay quanh khối tâm
h = 1,85m (hình 4.
Lấy g = 10m/s
2
.
Giải
Vì bỏ qua ma sát cản lăn nên cơ năng được bảo tồn. Chọn gốc thế năng ở mặt phẳng
ngang qua chân d hỉ là th
i tâm ½
Chửụng 4: NHAP MON VAT LY ẹAẽI CệễNG 129


ẵ I
2
v th nng mgR ca qu cu (vỡ khi tõm vn cỏch chõn mt nghiờng mt
khong R). Theo nh lut bo ton c nng, ta cú: mgh = ẵ mv
2
+ ẵ I
2
+ mgR
Vi

v
R

h

Hỡnh 4.9
2222
v
10
7
)R(
5
2
.
2
1
v
2
1
)Rh(gmR
5
2
I =+==

Suy ra:
s/m5)1,085,1(10.
7
10
)Rh(g
7
10
v ===

Vy vn tc ca qu cu chõn dc l 5m/s.
Vớ d 4.13: Ngi ta kộo mt vt khi
ng ti mt ngang qua
chõn dc, gi s i c quóng
F
+ A
ms
F.s àmgcos.s
h

Hỡnh 4.10

F
lng m = 10kg bt u trt lờn mt
o
phng nghiờng, cú gúc nghiờng = 30

bi lc kộo F = 30N (hỡnh 4.10). H s
ma sỏt gia vt v mt nghiờng l à =
0,2. Tớnh gia tc ca vt bng cỏch vn
dng nh lut bo ton nng lng.
Ly g = 10m/s
2
.
Gii
Chn gc th n
vt
ng s, ta cú bin thiờn c nng
bng tng cụng ca lc kộo v lc ma
sỏt (cỏc lc khụng phi lc th): E

= A
Hay: ẵ mv = F.s F
2
ms
.s ẵ m.2as =
20
s/m26,130cos.10.2,0
10
cog
m
a ==à=
30F
s
.
Suy ra:
130 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện
§ 4.8 VA CHẠM
1 – Khái niệm về va chạm:
Khi hai vật tiến lại gần nhau (khơng nhất thiết phải đụng vào nhau), tương tác
với nhau bằng các lực rất mạnh, trong khoảng thời gian rất ngắn, rồi tách xa nhau hoặc
dính vào nhau cùng chuyển động, thì ta gọi đó là va chạm. Nếu xét vật nhỏ thì, mặc dù
thời gian tương tác rất ngắn, nhưng lực tương tác rất lớn nên xung lượng của lực
tương tác là đ
áng kể, nên động lượng của vật đó thay đổi đáng kể. Tuy nhiên, nếu xét
hệ hai vật thì lực tương tác giữa chúng khi va chạm chỉ là nội lực.
Vậy: va chạm giữa hai vật là hiện tượng hai vật tương tác với nhau trong một khoảng
thời gian rất ngắn nhưng động lượng và vận tốc của ít nhất một vật biến thiên đáng
kể.
Trong cơ h

ọc, ta chỉ nghiên cứu sự va chạm có tiếp xúc giữa hai vật, nhưng
trong vật lí hạt nhân, người ta còn nghiên cứu cả sự va chạm khơng có tiếp xúc giữa
các hạt mang điện cùng dấu.
2 – Phân loại va chạm:
Trong q trình va chạm, các vật sẽ truyền năng lượng, động lượng cho nhau
để thay đổi vận tốc hoặc hình dạng. Nếu sau va chạm mà hình dạng và trạng thái bên
trong của các vật khơng thay đổi, thì ta gọi đó là va ch
ạm đàn hồi. Trái lại là va chạm
khơng đàn hồi.
Khi hai vật va chạm có tiếp xúc, tại thời điểm chúng tiếp xúc nhau, sẽ tồn tại
một mặt phẳng tiếp xúc với cả hai vật. Mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng va chạm
và pháp tuyến của mặt phẳng này tại điểm tiếp xúc được gọi là pháp tuyến va chạm.
Nếu kh
ối tâm và vectơ vận tốc của hai vật trước va chạm đều nằm trên pháp
tuyến va chạm thì ta gọi đó là va chạm trực diện hay chính diện hoặc xun tâm. Trái
lại, ta có va chạm xiên. Các va chạm này cũng chỉ là đàn hồi hoặc khơng đàn hồi mà
thơi.
Nếu sau va chạm, hai vật dính vào nhau (nghĩa là vận tốc tương đối giữa
chúng triệt tiêu) thì ta gọi đó là va chạm mềm (hay hồn tồn khơng
đàn hồi).
Giữa va chạm mềm và va chạm đàn hồi có vơ số các trường hợp trung gian.
Trong các bài tốn đơn giản, ta chỉ khảo sát hai trường hợp giới hạn, gọi tắt là va chạm
đàn hồi và va chạm mềm.
→
1
v
→
'v
1

m
1
m
2
3 – Các định luật bảo tồn trong va chạm:
Đối với các va chạm, thời gian tương tác là
rất ngắn, hơn nữa, nội lực tương tác là rất mạnh, vì
thế hệ được coi là kín, nên động l
ượng của hệ được
bảo tồn.
Riêng đối với va chạm đàn hồi, sau va
chạm, hình dạng và trạng thái bên trong của các vật
khơng thay đổi nên khơng có sự chuyển hố cơ
năng thành các dạng năng lượng khác, do đó cơ
năng được bảo tồn. Trong va chạm đàn hồi, thế
Hình 4.11: Quả bóng đập
vào tường rồi nảy ra.
Chương 4: NHẬP MÔN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 131


năng của các vật khơng đổi trước và sau va chạm, nên động năng của hệ được bảo
tồn (trường hợp này va chạm còn được gọi là hồn tồn đàn hồi).
4 – Khảo sát va chạm đàn hồi:
Xét hai vật khối lượng m
1
và m
2
, chuyển động với vận tốc đến va
chạm đàn hồi với nhau. Gọi
là vận tốc tương ứng của chúng sau va chạm.

Áp dụng định luật bảo tồn động lượng và bảo tồn động năng, ta có:
→→
2
vvà
1
v
2
1
'v
→→
v'và

(4.49)
2
2
1
12211
'vm'vmvmvm
→→→→
+=+

2
22
2
11
2
22
2
11
'vm

2
1
'vm
2
1
vm
2
1
vm +=+
2
1
(4.50)
a) Trường hợp m
1
>> m
2
và v
1
= 0:
→
1
v
m
2
→
2
'v
(4.49) ⇒
0)'vv(
m

m
'v
2
2
1
2
1
≈−=
→→→
;
(4.50) ⇒ v’
2
= v
2
m
1
Nghĩa là sau va chạm vật m
1
hầu như
khơng chuyển động, còn vật m
2
chuyển
động với độ lớn vận tốc như cũ. Trên
thực tế, đây chính là trường hợp qủa
bóng đập vào tường rồi nẩy ra; hay hòn
bi-da đập vào băng rồi bắn ra với vận
tốc có độ lớn như cũ.
→
1
'v

Hình 4.12 : Sau va chạm, 2 vật chuyển
động theo 2 hướng vng góc nhau.
b) Trường hợp m
1
= m
2
và v
1
= 0:
Từ (4.49) và (4.50), ta có:


21
2
2
2
1
2
2
21
2
'v'v
'v'vv
'v'vv
→→
→→→
⊥⇒
⎪
⎭
⎪

⎬
⎫
+=
+=
Vậy: sau va chạm, hai vật chuyển động theo hai hướng vng góc nhau.
c) Trường hợp va chạm chính diện:
Trước và sau va chạm, vectơ vận tốc của các vật đều nằm trên pháp tuyến va
chạm. Vì thế (4.49) và (4.50) được viết thành phương trình đại số:
m
1
v
1
+ m
2
v
2
= m
1
v’
1
+ m
2
v’
2

m
1
v
1
2

+ m
2
v
2
2
= m
1
v’
1
2

+ m
2
v’
2
2
m
2
m
1
→
2
v
→
1
v
Giải 2 phương trình trên, ta được:

21
12122

1
mm
v)mm(vm2
'v
+
−+
=
(4.51)
Hình 4.13: Va chạm trực diện.
132 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

21
21211
2
mm
v)mm(vm2
'v
+
−+
=
(4.52)
trong đó v
1
, v
2
, v’
1
và v’
2
là các hình chiếu của các vectơ vận tốc lên pháp tuyến va

chạm. Nó có giá trị dương hay âm là tùy theo vectơ vận tốc tương ứng cùng chiều hay
ngược chiều dương mà ta chọn.
Đặc biệt:
• Nếu m
1
= m
2
thì v’
1
= v
2
và v’
2
= v
1
: các vật trao đổi vận tốc cho nhau. Suy ra,
nếu ban đầu vật m
1
đứng n thì sau va chạm, vật m
2
sẽ truyền hết vận tốc của
mình cho m
1
rồi nó đứng n.
• Nếu m
1
>> m
2
và v
1

= 0 thì v’
1
≈ 0 và v’
2
≈ - v
2
: vật m
2
bật ngược lại theo phương
cũ với vận tốc như trước.
• Nếu m
1
>> m
2
và v
2
= 0 thì v’
1
≈ v
1
và v’
2
= 2v
1
: vật m
1
hầu như khơng thay đổi
vận tốc, còn vật m
2
thu được vận tốc lớn gấp 2 lần vận tốc cũ của m

1
.
5 – Khảo sát va chạm mềm:
Xét trường hợp đặc biệt: vật m
1
chuyển động với vận tốc v
1
đến va chạm với
vật m
2
đang đứng n. Sau va chạm, hai vật dính vào nhau, cùng chuyển động với vận
tốc v.
Theo định luật bảo tồn động lượng, ta có:
→→→→
+
=⇒+=
1
21
2111
v
mm
m
vv)mm(vm (4.53)
Động năng lúc đầu của hệ: E
đ
=
2
1
m
1

v
1
2
Động năng lúc sau của hệ:
E’
đ
=
2
1
(m
1
+ m
2
)v
2
=
đđ
EE
mm
m
v
mm
m
2
1
21
1
2
1
21

2
1
<
+
=
+

Suy ra, phần cơ năng đã chuyển hố thành dạng năng lượng khác là:
∆U = E
đ
– E’
đ
=
2
12
m
E
mm
đ
+
(4.54)
Biểu thức (4.54) có ý nghĩa thực tế:
• Khi đóng đinh, hay đóng cọc, ta cần động năng sau của đinh, cọc lớn và đồng thời
đinh, cọc khơng bị biến dạng (∆U nhỏ), muốn vậy, ta phải dùng búa có khối lượng
m
1
lớn.
• Ngược lại, khi rèn một vật, hay tán đinh ốc, ta cần làm biến dạng vật, nghĩa là cần
∆U lớn; muốn vậy, phải dùng búa nhẹ và kê vật cần tán, rèn lên đe nặng.

Chương 4: NHẬP MÔN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 133


§ 4.9 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG HẤP DẪN
1 – Chuyển động của vệ tinh quanh Trái Đất:
Nếu vệ tinh chuyển động trên qũi đạo tròn quanh Trái Đất thì lực hấp dẫn của
Trái Đất đóng vai trò là lực hướng tâm. Gọi v là vận tốc dài của vệ tinh trên qũi đạo và
h là độ cao của vệ tinh so với mặt đất, ta có: F = ma
ht

hay
hR
v
m
)hR(
Mm
G
2
2
+
=
+
Suy ra: v =
hR
M
G
+
(4.55)
Ở quĩ đạo gần mặt đất, ta có: v
I

=
s/km8gR
R
M
G ≈=
(4.56)
Vậy: Muốn phóng một vệ tinh nhân tạo quanh Trái Đất, ta phải cung cấp cho nó một
vận tốc đầu v
I
= 8 km/s. Giá trị đó được gọi là vận tốc vũ trụ cấp I. Với vận tốc này, vệ
tinh sẽ chuyển động trên qũi đạo tròn quanh Trái Đất (ở độ cao khơng lớn lắm) với
chu kỳ: T =
'301
g
R
2
gR
R2
v
)hR(2
h
≈π=
π
≈
+π
(4.57)
Muốn cho vệ tinh chuyển
động trên qũi đạo xa hơn, ta
phải phóng nó với vận tốc
v > v

I
khi đó, qũi đạo của vệ
tinh là elíp mà Trái Đất là một
trong hai tiêu điểm. Elíp này
càng dẹt khi vận tốc v càng
lớn. Nếu vận tốc v đủ lớn, vật
có khả năng thốt ra khỏi sức
hút của Trái Đất và đi đến Mặt
Trăng hoặc các hành tinh khác
trong hệ Mặt Trời. Giá trị v
nhỏ nhất để vật thốt khỏi sức
hút của Trái Đất được gọi là
vậ
n tốc vũ trụ cấp II.
v
I
< v
o
< v
II
TĐ
→
o
v
v
II
v
I
Hình 4.14: Vận tốc của các vệ
tinh trên qũi đạo

Để tính v
II
, ta áp dụng
định luật bảo tồn cơ năng
trong trường hấp dẫn của Trái Đất:

0mv
2
1Mm
Gmv
2
1
R
Mm
Gmv
2
1
222
o
≥=
∞
−=−
∞∞

gR2vgR2
R
M
G2v
o
2

o
≥⇒=≥
(4.58)
Vậy, vận tốc vũ trụ cấp II là:
== gR2v
II
11 km/s. (4.59)
134 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện
Tương tự, nếu vận tốc phóng tầu vũ trụ đủ lớn, nó có thể đi khỏi hệ Mặt Trời.
Vận tốc nhỏ nhất để nó thốt khỏi sức hút của Mặt Trời được gọi là vận tốc vũ trụ cấp
III. Các kết qủa tính tốn cho thấy: v
III
= 17 km/s.
2 – Chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái đất – Hiện tượng thủy triều:
Mặt Trăng ở cách Trái đất cỡ 3,8.10
5
km và quay quanh Trái Đất với chu kỳ
bằng một tháng âm lịch. Mà Trái Đất lại quay quanh Mặt Trời, nên khi Mặt Trời, Trái
Đất và Mặt Trăng nằm thẳng hàng thì có hiện tượng nhật thực hoặc nguyệt thực.
Ngồi ra, do ảnh hưởng của lực hấp dẫn từ Mặt Trăng nên trên Trái Đất có hiện tượng
thủy triều. Vậy tại sao trong một ngày lại có 2 lần con nước lên, xuống? Để trả lời câu
h
ỏi này, ta khảo sát như sau:
Do lực hấp dẫn của Mặt Trăng nên phần đất và phần nước trên Trái Đất đều
thu gia tốc. Xét ở thời điểm t bất kì, gọi
là gia tốc của phần đất, là gia tốc của
nước ở phần (1) và
là gia tốc của nước ở phần (2) so với Mặt Trăng (hình 4.15). Dễ
thấy, các vectơ gia tốc này đều hướng về phía Mặt Trăng và a
→

a
→
1
a
→
2
a
1
> a

> a
2
. Để biết được
con nước lên xuống như thế nào, ta cần tính gia tốc tương đối của nước ở vùng (1) và
(2) so với Trái Đất. Áp dụng cơng thức cộng gia tốc (2.69), ta có:
đất ăng/trăng nước/ước/đất trn
aaa
→→→
+=
trăng đất/trăng nước/
a
→→
−= a (4.60)
* Đối với nước ở vùng (1), (4.60) có dạng
⇒ a
→→→
−= aaa
1
r
r

= a
1
– a > 0
Điều này chứng tỏ
hướng về phiá
Mặt Trăng. Suy ra nước ở vùng (1) bị
dâng lên.
r
a
→
* Đối với nước ở vùng (2), tương tự, ta
cũng có:
a
r
→→→
−= aa
2

Định luật 2: Bán kính vectơ vạch từ mặt trời đến các hành tinh qt được những diện
tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau bất kì.
(2)
(1)

TĐ
Trăng
Hình 4.15: Ngun nhân chính của Thủy
triều là do lực hấp dẫn của Mặt Ttrăng
Suy ra: a
r
= a

2
– a < 0 Nghĩa là vectơ
hướng xa Mặt Trăng. Vậy nước ở
vùng (2) cũng bị dâng lên.
r
a
→
Do Trái Đất tự quay quanh trục của nó với chu kỳ 24 giờ nên trong một ngày
sẽ có 2 lần con nước lên xuống. Tuy nhiên, trên thực tế, thủy triều còn tùy thuộc rất
nhiều vào điạ hình nên có nơi thủy triều lên xuống ngày chỉ có một lần.
3/ Các định luật Kepler:
Trên cơ sở các số liệu suốt 30 năm quan sát của nhà thiên văn TychoBrahe,
Kepler (1571 – 1630) đ
ã rút ra các qui luật chuyển động của các hành tinh quanh mặt
trời. Các qui luật đó được gọi là các định luật Kepler:
Định luật 1: Các hành tinh chuyển động quanh mặt trời theo các qũi đạo là elip mà
mặt trời là một trong hai tiêu điểm.
Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG 135


Như vậy, khi ở gần mặt trời, hành tinh sẽ chuyển động nhanh hơn khi ở xa.
Định luật 3: Bình phương chu kỳ quay (quanh mặt trời) của các hành tinh tỉ lệ với lập
phương bán trục lớn qũi đạo:
3
2
2
4π
r.
GM
T = (4.61)

Các định luật Kepler ới các vệ tinh uyển độ
hành tinh.
cũng đúng đối v ch ng quanh các
h luật vạn vật hấp dẫn và định luật II của ông mà thôi.
4.1 Để đưa một bao xim ười công nhân dùng
3 cách sau: a) Đứn c cố định gắn trên cao
4.2
j4i (N).
lực trên đoạn đường đó.
4.4 ực
= (2x; 3) tác dụng lên một chất điểm làm nó dịch
n N(–4; –3) (các đơn vị đo trong hệ SI) .
n
4.6
1 tấn lên cao 10m trong thời
4.7
00m
nước. Lợi dụng
iện với công suất bao nhiêu? Biết hiệu suất
Sau này Newton (1642 – 1720) đã chứng minh các định luật Kepler chỉ là hệ
qủa của địn
CÂU HỎI VÀ BÀI TÂP CHƯƠNG 4
ăng 50kg từ dưới đất lên lầu cao 20m, ng
g trên cao kéo trực tiếp; b) Dùng ròng rọ
và đứng đướ
i đất kéo; c) Dùng một ròng rọc cố định và một ròng rọc động và
đứng ở dưới kéo. Trong cả 3 trường hợp đó, bao xi măng luôn chuyển động đều;
giả sử bỏ qua ma sát, khối lượng dây và ròng rọc. Hãy tính công mà người công
nhân thực hiện, rút ra nhận xét từ các kết quả đó.
Một lực F = F

0
(x/x
0
– 1) theo phương Ox, tác dụng vào một vật làm nó di chuyển
từ vị trí x = 0 đến x = 2x
0
. Tính công của lực F.
4.3 Một hạt chuyển động từ vị trí (1) có vectơ bán kính
→→→
+= j2ir (m) đến vị trí
1
(2) có
−= j3i2r
2
(m) dưới tác dụng của lực = 3F Tính công của
Tìm công thực hiện bởi l
→
chuyển từ điểm M(2; 3) đế
→→→ →→→
+
F
4.5 Vật khối lượng 10kg chuyể động
theo trục Ox dưới tác dụng của lực

biến đổi theo vị trí như đồ thị hình
4.16. Tính công của lực khi vật di
chuyển từ gốc tọa độ đến vị trí x =
8m.
Một cần trục nâng
đều một vật khối

lượng
gian 30s. Tính công suất của động
cơ cần trục, biết hiệu suất của động
cơ là 60%.
Thác nước cao 30m, mỗi phút đổ
xuống 180
3
thác nước này, có thể xây trạm thủy đ
của trạm là 40%.




02
468
-5
Tọa độ x (m)
c (N)
10
0
Lự

Hình 4.16
136 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện
4.8
ấp 3 lần, mở ga tối đa cũng chỉ tăng cơng suất động cơ lên 1,5 lần. Tính
4.10
ác định:
.
nhiêu?

4.1
g lại trong 15 giây cần t
ốn một
4.13
ất tức thời tại thời điểm 2 giây sau khi rơi.

a
4.15
20kg.
4.16
nén, piston lấy năng lượng ở
đâu để nén
4.17
hối lượng 500kg đang đứng n quay tới vận tốc 120vòng/phút.
Động cơ ơtơ đạt cơng suất 120kW, vận tốc ơtơ là 60km/h. Tính lực phát động của
động cơ.
4.9 Xe mơtơ chạy trên đường ngang với vận tốc 60km/h. Đến qng đường dốc, lực
cản tăng g
vận tốc tốc tối đa trên đoạn đường dốc.
Một vật nhỏ
khối lượng m nằm n trên mặt phẳng ngang tại O. Ngưới ta
truyền cho nó một vận tốc đầu v
o
. Hãy x
a) Cơng suất trung bình của lực ma sát trong suốt q trình chuyển động của vật,
biết hệ số ma sát µ = 0,27; m = 1kg và v
o
= 1,5m/s
b) Nếu hệ số ma sát tăng tỉ lệ thuận theo qng đường với hệ số tỉ lệ k thì cơng
suất tức thời của lực ma sát có độ lớn cực đại là bao

1 Một động cơ ơtơ sản sinh được cơng suất 74,6 kW khi quay với tốc độ
1800vòng/phút. Tính mơmen quay mà nó tạo ra.
4.12 Một bánh xe khối lượng 32kg, chủ yếu là một vòng tròn bán kính 1,2m, quay
với vận tốc 280vòng/phút. Để hãm bánh xe dừn
cơng, cơng suất bao nhiêu?
Một vật 2kg rơi tự do từ trạng thái nghỉ. Tính cơng suất trung bình của trong
lực sau khi rơi được 2 giây và cơng su
4.14 Một bánh xe bán kính 50cm, khối lượng m = 25kg phân bố đều chủ yếu ở
vành bánh xe, quay quanh trục với vận tốc góc ω = 2 vòng/giây. Tính động năng
củ bánh xe. Để hãm bánh xe dừng lại sau 2 giây, cần cơng suất bao nhiêu?
M
ột ơ tơ có khối lượng tổng cộng là 1 tấn. Đang chuyển động với vận tốc 72
km/h. Ơ tơ có 6 bánh xe (coi như hình trụ đặc), khối lượng mỗi bánh là
Tính động năng quay của mỗi bánh xe và động năng tồn phần của ơtơ (bỏ qua
động năng quay của các bộ phận khác).
Các động cơ đốt trong phải có một kì nén khí và kì nổ khí mới sinh cơng cung
cấp năng lượng ra bên ngồi. Vậy ở kì
khí?
Tính cơng cần thiết để làm cho một vơ lăng có dạng vành tròn, đường kính
1m, k
4.18 Động năng là một dạng năng lượng do chuyển động, vậy thế năng thuộc dạng
năng lượng nào?
4.19 Thế năng của một hạt trong trường lực xun tâm có dạng:
r
b
r
a
U
−=
, với

2
ờng. Hãy ch
hạ suy ra giá tr
4.20
định: a) Trường lực này có
uy
a, b là những hằng số dương, r là khoảng cách từ hạt đến tâm trư ỉ ra ở
p m vi nào, lực thế tác dụng lên hạt là lực hút; lực đẩy. Từ đó ị lớn
nhất của lực hút. Hãy vẽ đồ thị của U(r) và F(r).
Thế năng của một trường lực trong mặt phẳng Oxy có dạng: U = ax
2
+ by
2
,
với a, b là các hằng số dương khác nhau. Hãy xác
x ên tâm khơng? b) Dạng của các mặt đẳng thế và các mặt mà trên đó F = const.
c) Hỏi tương tự câu a, b với hàm thế : U = ax
2
+ by
2
+ cz
2
.
Chửụng 4: NHAP MON VAT LY ẹAẽI CệễNG 137


4.21
b l nh
vect n v trờn tr y. Xột xem
nh c

4.2

g sut trung ú v tng th
g na on ng u tiờn ca quỏ .
4.23
a h hai phõn t
nh tớnh th biu din lc tng tỏc F(r) gia hai phõn t ny.
i cỏc im A, B, C?
4.2

4.25
i A thỡ

vn tc khi ch a mt vt th
u vi M.
4.26
ng chõn mt nghiờng. Ban
u
4.27
chy ra
ngoi, bit bỏn kớnh qi o l R.
Cú hai trng lc dng (khụng
thay i theo thi gian):
O
E
t
(r)
a)

= iayF b)

+= jbyiaxF , vi

a, ng
cỏc
cỏc trng lc ú cú tớ ht th
khụng?
2 Mt vt c nõng t mt t lờn
hng s.

j,i l
c x,
r
A
C
Hỡnh 4.17
E
B
cao bi lc
F ph thuc cao y
theo qui lu

= gm)1ky(2F ,
vi k l hng s dng. Tớnh cụng, cụn
nng ca vt tron
Th nng tng tỏc E

t:
bỡnh ca lc
trỡnh i lờn

t
gia hai phõn t khớ c biu din trờn hỡnh 4.17, vi r
l khong cỏch gia hai tõm ca chỳng. Nng lng ton phn c
l E.
a) Ch ra phm vi r m ti ú hai phõn t hỳt nhau; y nhau.
b) V
c) Trong cỏc hm s E
t
(r) v F(r) thỡ hm s no bng khụng t
4 Mt vt nh A trt t nh mt mt
dc, nhn cao H, tip sau ú bay ra
kh i bc tng thng ng cú cao h
v ri xung t v trớ cỏch chõn tng
mt an s (hỡnh 4.18). Tỡm h s ln
nht, tớnh giỏ tr ln nht ú.
Mt thanh mnh AB, di
A
, ang
ng thng trờn mt ngang t
xu ng. Tớnh vn tc ca im B khi nú
chm t. Xỏc nh im M trờn thanh
m vn tc ca nú khi chm t ỳng bng
ri t do t mt im cú cựng cao ban
Mt qu cu c, mt kh
i tr c v mt cỏi vũng cú cựng khi lng m v
bỏn kớnh R, ln t nh mt mt phng nghiờng cú xu
H
s
h
Hỡnh 4

A
.18
m t c
, khi tõm ca chỳng u cỏch mt t mt an h. B qua mi mụmen cn
ln. Tớnh t s gia ng nng tnh tin v ng nng quay ca mi vt; vn tc
tnh tin ca mi vt ti chõn dc, Vt no ti chõn m
t nghiờng trc?
Mt ngi xỏch mt sụ nc v quay sụ nc chuyn ng trũn trong mt
phng thng ng. Tớnh vn tc gúc ti thiu nc trong sụ khụng b
138 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện
4.28 Một người trượt tuyết trên một đường dốc nghiêng 12% (cứ đi được 100m thì
độ cao giảm 12m). Hệ số ma sát giữa bản trượt với mặt đường là 0,04. Tính vận
tốc của người đó sau khi đi được 150m, biết vận tốc ban đầu bằng 5m/s và trong
4.29
4.30 rong thời gian 20
4.31 ủa vật
g vật
4.32
ên tâm với một
2 quả cầu dính
ối lượng các qủa cầu.
4.34
c có khối lượng m
2
= 3g
ộn
ạt sau va
4.35 Một vật khối lượng m
1
chuyển động đến va chạm đàn hồi xun tâm với vật

ên. Tính kh
ền 36% động năng ban đầu của mình cho m
2
.
ao H xuống mặt sàn rồi nảy
n


q trình trượt, anh ta khơng dùng gậy đẩy xuống mặt đường.
Một trạm thủy điện họat động nhờ thác nướ
c cao 20m , lưu lượng 200m
3
/s .
Cơng suất điện phát ra là 8MW. Tính hiệu suất của trạm thủy điện này.
Cần trục nâng một vật có khối lượng 1 tấn lên cao 10m t
giây. Tính cơng suất trung bình của đơng cơ cần trục, biết hiệu suất là 80%.
Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Độ cứng của lò xo là k, khối lượng c
là m. Chọn trục Ox thẳng đứng, hướng lên, gốc O tại vị
trí cân bằng của con lắc.
Khi khơng treo vật, đầu dưới của lò xo cách vị trí cân bằng một đoạn x
o
. Nân
lên tới vị trí có hồnh độ x
m
rồi thả ra.
a) Tính cơ năng của hệ tại vị trí ban đầu và vị trí có hồnh độ x.
b) Tính vận tốc của vật tại vị trí có hồnh độ x.
Một qủa cầu chuyển động với vận tốc v
1
= 4 m/s va chạm xuy

qủa cầu khác cùng khối lượng, đang đứng n. Biết sau va chạm
vào nhau và phần cơ năng mất mát là 12J. Tính kh
4.33 Bao cát được treo bằng một sợi dây. Một viên đạn bay với vận tốc v theo
phương ngang đến cắm vào bao cát. Biết khối lượng bao cát là M, viên đạn là m.
Tính độ cao h mà bao cát được nâng lên.
Một hạt có khối lượng m
1
= 1g đang chuyển động với vận tốc
→→
→
−= j2i3v
1

(m/s) đến va chạm mềm với một hạt khá
đang chuyển
đ g với vận tốc
+= j6i3v
2
(m/s). Xác định vectơ vận tốc của 2 h
chạm.

m
→→→
2
= 1kg đang đứng y ối lượng m
1
, biết trong q trình va chạm đó, nó
đã truy
4.36 Ta gọi hệ số va chạm k là tỉ số giữa các mơdun vận tốc tương đối của hai vật
sau và trước va chạm. Chứng minh rằng với va chạm hồn tồn đàn hồi thì k = 1;

va chạm mềm thì k = 0. Một quả cầu rơi tự do từ độ c
lê đến độ cao h. Tính tỉ số va chạm k. Nếu khối lượng quả cầu là m và thời gian
va chạm là ∆
t thì lực va chạm là bao nhiêu?