Bài giảng xử lí tín hiệu số - Chương 4

Ch
Ch
ương 4
ương 4
:
:
BI
BI
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC
MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC
BÀI 1 KHÁI NiỆM DFT
BÀI 2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
BÀI 3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
BÀI 4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)
BÀI 1 KHÁI NIỆM DFT
BÀI 1 KHÁI NIỆM DFT
X(
X(
ω
ω
) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:
) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:


Tần số
Tần số
ω
ω
liên tục

liên tục
Độ dài x(n) là vô hạn:
Độ dài x(n) là vô hạn:
n
n
biến thiên -
biến thiên -
∞ đến ∞
∞ đến ∞
Biến đổi Fourier dãy x(n):
∑
−∞
∞=
−
=
n
nj
enxX
ω
ω
)()(
Khi xử lý X(
Khi xử lý X(
Ω
Ω
) trên thiết bị, máy tính cần:
) trên thiết bị, máy tính cần:
Rời rạc tần số
Rời rạc tần số
ω

ω
->
->
ω
ω
K
K


Độ dài x(n) hữu hạn là N:
Độ dài x(n) hữu hạn là N:
n
n
= 0
= 0


÷
÷
N -1
N -1
⇒
⇒


B
B
iến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần
iến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần
số rời rạc, gọi tắt là

số rời rạc, gọi tắt là
biến đổi Fourier rời rạc – DFT
biến đổi Fourier rời rạc – DFT
(Discrete Fourier Transform)
(Discrete Fourier Transform)
BÀI 2 BI
BÀI 2 BI
Ế
Ế
N
N
ĐỔI
ĐỔI
FOURIER RỜI RẠC - DFT
FOURIER RỜI RẠC - DFT
DFT
DFT


của
của
x(n) có độ dài N định nghĩa:
x(n) có độ dài N định nghĩa:





−≤≤
=

∑
−
=
−
: 0
10:)(
)(
1
0
2
k
Nkenx
kX
N
n
kn
N
j
π
còn lại
r
N
r
N
jmNr
N
j
mNr
N
WeeW

===
−+−
+
ππ
2
)(
2
)(





−≤≤
=
∑
−
=
: 0
10:)(
)(
1
0
k
NkWnx
kX
N
n
kn
N

còn lại
N
j
N
eW
π
2
−
=
W
W
N
N


tuần hòan với độ dài
tuần hòan với độ dài
N:
N:
X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:
)(
)()(
kj
ekXkX
ϕ
=
Trong đó:
Trong đó:
)(kX
- phổ rời rạc biên độ

- phổ rời rạc biên độ
)](arg[)( kXk
=
ϕ
- phổ rời rạc pha
- phổ rời rạc pha
IDFT:





−≤≤
=
∑
−
=
: 0
10:)(
1
)(
1
0
2
n
NnekX
N
nx
N
k

kn
N
j
π
còn lại







−≤≤=
−≤≤=
∑
∑
−
=
−
−
=
10:)(
1
)(
10: )()(
1
0
1
0
NnWkX

N
nx
NkWnxkX
N
k
kn
N
N
n
kn
N
Cặp biến đổi Fourier rời rạc:
Ví dụ 1: Tìm DFT của dãy:
{ }
4,3,2,1 )(
↑
=
nx
∑
=
=
3
0
4
)()(
n
kn
WnxkX
jWWjeW
j

=−=−==
−
3
4
2
4
4
2
1
4
;1;
π
10)3()2()1()0()()0(
3
0
0
4
=+++==
∑
=
xxxxWnxX
n
22)3()2()1()0()()1(
3
4
2
4
1
4
3

0
4
jWxWxWxxWnxX
n
n
+−=+++==
∑
=
2)3()2()1()0()()2(
6
4
4
4
2
4
3
0
2
4
−=+++==
∑
=
WxWxWxxWnxX
n
n
22)3()2()1()0()()3(
9
4
6
4

3
4
3
0
3
4
jWxWxWxxWnxX
n
n
−−=+++==
∑
=
BÀI 3. CÁC TÍNH CHẤT DFT
BÀI 3. CÁC TÍNH CHẤT DFT
a) Tuyến tính
N
DFT
N
kXnx )()(
11
 →←
NN
DFT
NN
kXakXanxanxa )()()()(
22112211
+ →←+
Nếu:
Nếu:
Thì:

Thì:
N
DFT
N
kXnx )()(
22
 →←
b) Dịch vòng:
)()(
N
DFT
N
kXnx
 →←
Nếu:
Nếu:
)()(
0
0 N
kn
N
DFT
N
kXWnnx
 →←−
Thì:
Thì:
Với:
Với:
(n)rect)(

~
)(
N00 NN
nnxnnx
−=−
gọi là dịch vòng của
x(n)
N
đi n
0
đơn vị
21
21 xx
LNNL
=≠=
Nếu:
Nếu:
Chọn:
Chọn:
},max{
21
NNN
=
Ví dụ 1: Cho:
a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2)
b)Tìm dịch vòng: x(n+3)
4
, x(n-2)
4
{ }

4,3,2,1 )(
↑
=
nx
x(n)
x(n)
n
n
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
a)
n
n
x(n-2)
x(n-2)
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
4
4
3
3
2

2
1
1
n
n
x(n+3)
x(n+3)
-3 -2 -1 0
-3 -2 -1 0
4
4
3
3
2
2
1
1
b)
x(n)
n
n
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1

1
N
x(n-1)
4
n
n
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
x(n+1)
x(n+1)
4
4
n
n
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1

1
c) Chập vòng:
N
DFT
N
kXnx )()(
11
 →←
NN
DFT
NN
kXkXnxnx )()()()(
2121
 →←⊗
Nếu:
Nếu:
Thì:
Thì:
N
DFT
N
kXnx )()(
22
 →←
∑
−
=
−=⊗
1
0

2121
)()()()(
N
m
NNNN
mnxmxnxnx
Với:
Với:
Chập vòng 2 dãy
x
1
(n) & x
2
(n)
21
21 xx
LNNL
=≠=
Nếu:
Nếu:
Chọn:
Chọn:
},max{
21
NNN
=
Chập vòng có tính giao hóan:
Chập vòng có tính giao hóan:
NNNN
nxnxnxnx )()()()(

1221
⊗=⊗
)()(
~
)(
22
nrectmnxmnx
NNN
−=−
Và:
Và:
Dịch vòng dãy
x
2
(-m) đi n đ/vị
Ví dụ 1: Tìm chập vòng 2 dãy
30:)()()()()(
3
0
4241424143
≤≤−=⊗=
∑
=
nmnxmxnxnxnx
m
4},max{4,3
2121
==⇒==
NNNNN


Đổi biến n->m:

Xác định x
2
(-m)
4
:

Chọn độ dài N:
m
m


-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
4
4
3
3
2
2
1
1
)(
~
2
mx
−
x
x

2
2
(m)
(m)
m
m


0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
x
x
2
2
(-m)
(-m)
m
m


-3 -2 -1 0
-3 -2 -1 0

4
4
3
3
2
2
1
1
m
m
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
)()(
~
)(
4242
nrectmxmx −=−
m
m
0 1 2 3
0 1 2 3
4

4
3
3
2
2
1
1
)()(
~
)(
4242
nrectmxmx −=−

Xác định x
2
(n-m) là dịch vòng của x
2
(-m) đi n đơn vị
n>0: dịch vòng sang phải, n<0: dịch vòng sang trái
x
x
2
2
(1-m)
(1-m)
4
4
m
m

0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
x
x
2
2
(2-m)
(2-m)
4
4
m
m


0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2

2
1
1
m
m


0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
x
x
2
2
(3-m)
(3-m)
4
4
m
m
0 1 2 3
0 1 2 3
4

4
3
3
2
2
1
1
x
2
(-m)
4
30:)()()(
3
0
424143
≤≤−=
∑
=
nmnxmxnx
m

n=0:

Nhân các mẫu
x
1
(m) & x
2
(n-m)
và cộng lại:

26)0()()0(
3
0
424143
=−=
∑
=
m
mxmxx

n=1:
23)1()()1(
3
0
424143
=−=
∑
=
m
mxmxx

n=2:
16)2()()2(
3
0
424143
=−=
∑
=
m

mxmxx

n=3:
25)3()()3(
3
0
424143
=−=
∑
=
m
mxmxx
Vậy:
BÀI 4. BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
BÀI 4. BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
1. KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
1. KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT

Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát
triển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trên
máy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đối
lớn.

DFT của x(n) có độ dài N:
10 :)()(
1
0
−≤≤=
∑
−

=
NkWnxkX
N
n
kn
N

Để tính X(k), với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và (N-1)
phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N
2
phép nhân và
N(N-1) phép cộng.

Để khắc phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT,
nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trên DFT
gọi là FFT (Fast Fourier Transform).
2. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2
2. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2
a. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN
a. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN
Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy vào x(n) thành các
dãy nhỏ, do biến n biểu thị cho trục thời gian nên gọi là
phân chia theo thời gian.
∑
−
=
=
1
0
)()(

N
n
kn
N
WnxkX
∑∑
−
=
−
=
+=
1
3,5...,1n
1
2,4...,0n
)()(
N
kn
N
N
kn
N
WnxWnx
∑∑
−
=
+
−
=
++=

1)2/(
0r
)12(
1)2/(
0r
2
)12()2()(
N
rk
N
N
kr
N
WrxWrxkX
Thay n=2r với n chẵn và n=2r+1 với n lẽ:
Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2
M
, nếu không có dạng lũy
thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n).
X
0
(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n chẵn
X
1
(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n lẽ
∑
−
=
=
1)2/(

0r
2/0
)2()(
N
kr
N
WrxkX
∑
−
=
+=
1)2/(
0r
2/1
)12()(
N
kr
N
WrxkX
Đặt:
)(.)()(
10
kXWkXkX
k
N
+=
Lấy ví dụ minh họa cho x(n) với N=8
∑∑
−
=

−
=
++=
1)2/(
0r
2/
1)2/(
0r
2/
)12(.)2()(
N
kr
N
k
N
N
kr
N
WrxWWrxkX
kr
N
kr
N
j
rk
N
j
rk
N
WeeW

2/
2/
2
2
2
2
===
π
π
Do: