de thi dap an toan 9 - 3

sở giáo dục - đào tạo
quảng ninh

kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
lớp 9 năm học 2004-2005
đề thi chính thức
môn : Toán
(bảng b)
Số BD:
Thời gian làm bài : 150 phút
Chữ ký GT 1
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
Giải phơng trình :
)2()1( xx
+
)3()1( xx
= 2
)4()1( xx
Gii :
Điều kiện: (x-1)(x-2) 0; (x-1)(x-3) 0; (x-1)(x-4) 0 (*)
* Nếu x 4 thì áp dụng công thức
BABA =.
với A, B 0, ta đợc:
(1) <=>
1x
.
2x
+
1x
.

3x
= 2
1x
.
4x

<=>
2x
+
3x
= 2
4x
(1a)
Giải (1a) với x 4, đợc kết quả (1a) vô nghiệm.
* Nếu 1< x < 4 thì (x-1)(x-4) < 0, không thoả mãn điều kiện (*)
=> không có x nào thuộc khoảng (1 ; 4) là nghiệm của (1)
* Nếu x = 1, thử trực tiếp và thấy x = 1 là nghiệm của (1)
* Nếu x < 1thì áp dụng công thức
BABA =
với A, B 0, ta đợc:
(1) <=>
x1
.
x2
+.
x1
x3
= 2
x1
x4

<=>
x2
+
x3
= 2
x4
(1b)
Giải (1b) với x < 1, đợc kết quả (1b) vô nghiệm.
Vậy phơng trình đã cho (1) có duy nhất nghiệm x = 1.
Bài 2:
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện :
1x
+ x
2
=
1y
+ y
2

Chứng minh rằng x = y.
Gii :
Giả sử có x, y thoả mãn
1x
+ x
2
=
1y
+y
2

=> x 1; y 1
- Nếu x = 1 = y thì có ngay x = y (đpcm!)
- Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, đợc:
1x
+ x
2
=
1y
+ y
2
<=> (
1x
-
1y
) + (x
2
- y
2
) = 0
<=> (x - y)/(
1x
+
1y
) + (x
2
-y
2
) = 0
<=> (x - y).(1/(
1x

+
1y
) + x + y) = 0
<=> x - y = 0 (vì 1/(
1x
+
1y
) + x + y > 0) <=> x = y
Vậy nếu có x, y thoả mãn
1x
+ x
2
=
1y
+ y
2
thì x = y (đpcm!)
Chú ý: Có thể giải bằng cách xét các trờng hợp:
- Nếu x > y, CM đợc
1x
+ x
2
>
1y
+ y
2

- Nếu x < y, CM đợc
1x
+ x

2
<
1y
+ y
2

- Vậy nếu
1x
+ x
2
=
1y
+ y
2
thì x = y
Bài 3:
Gọi a là tham số thực sao cho phơng trình x
2
- 3ax - a = 0 có hai nghiệm
phân biệt là x
1
và x
2
.
1) Tính theo a giá trị biểu thức A =
2
2
12
2
21

2
33
33 a
axax
axax
a
++
+
++
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Gii :
1) Do phơng trình x
2
- 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x
1
và x
2
nên ta có :
9a
2
+ 4a > 0 (1) ; x
1
2
- 3ax
1
- a = x
2
2
- 3ax
2

- a = 0 ; x
1
+ x
2
= 3a
=> x
1
2
= 3ax
1
+ a ; x
2
2
= 3ax
2
+ a
Khi đó: A =
2
2
12
2
21
2
33
33 a
axax
axax
a
++
+

++
=
2
2
2
2
49
49 a
aa
aa
a +
+
+
2) Theo (1) thì 9a
2
+ 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A 2.
A = 2 <=> 9a
2
+ 4a = a
2
<=> a = -1/2.
Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x
1
= -1 và x
2
= -1/2
Vậy A
nhỏ nhất
= 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x
1

= -1 và x
2
= -1/2
Bài 4:
Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Qua
A vẽ cát tuyến MAN với M thuộc (O) ; N thuộc (O') và M, N không trùng với
A. Tiếp tuyến tại M của đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O') ở
I.
1) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng MN là lớn nhất khi cát tuyến
MAN song song với đờng thẳng OO'.
2) Chứng minh rằng bốn điểm B, M, I, N nằm trên một đờng tròn.

Gii :
1) Gọi H, K lần lợt là trung điểm AM, AN => MN = 2 HK
Chứng minh đợc HK OO', ở đó OO' không đổi => MN 2OO' ,
dấu = xảy ra <=> HK//OO' <=> MN//OO'
Suy ra MN lớn nhất <=> MAN // OO' (đpcm
2) Chứng minh đợc :
- nếu A ở giữa M và N thì MIN + MBN = 180
0
.
- Nếu N (hoặc M) ở giữa AM (hoặc AN) thì MIN = MBN
Từ đó suy ra bốn điểm B, M, I, N thuộc một đờng tròn
hớng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005
môn toán lớp 9 - bảng B

Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm
Bài 1
Điều kiện: (x-1)(x-2) 0; (x-1)(x-3) 0; (x-1)(x-4) 0 (*)

0,5 đ
5 điểm
* Nếu x 4 thì áp dụng công thức
BABA =.
với A, B 0, ta đợc:
(1) <=>
1x
.
2x
+
1x
.
3x
= 2
1x
.
4x

<=>
2x
+
3x
= 2
4x
(1a)
Giải (1a) với x 4, đợc kết quả (1a) vô nghiệm.
1,0 đ
* Nếu 1< x < 4 thì (x-1)(x-4) < 0, không thoả mãn điều kiện (*)
=> không có x nào thuộc khoảng (1 ; 4) là nghiệm của (1) 1,0 đ
* Nếu x = 1, thử trực tiếp và thấy x = 1 là nghiệm của (1) 1,0 đ

* Nếu x < 1thì áp dụng công thức
BABA =
với A, B 0, ta đợc:
(1) <=>
x1
.
x2
+.
x1
x3
= 2
x1
x4

<=>
x2
+
x3
= 2
x4
(1b)
Giải (1b) với x < 1, đợc kết quả (1b) vô nghiệm.
1,0
Vậy phơng trình đã cho (1) có duy nhất nghiệm x = 1. 0,5 đ
Bài 2
5 điểm
Giả sử có x, y thoả mãn
1x
+ x
2

=
1y
+y
2
=> x 1; y 1
- Nếu x = 1 = y thì có ngay x = y (đpcm!)
0,5 đ
1,5 đ
- Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, đợc:
1x
+ x
2
=
1y
+ y
2
<=> (
1x
-
1y
) + (x
2
- y
2
) = 0
<=> (x - y)/(
1x
+
1y
) + (x

2
-y
2
) = 0
<=> (x - y).(1/(
1x
+
1y
) + x + y) = 0
<=> x - y = 0 (vì 1/(
1x
+
1y
) + x + y > 0) <=> x = y
Vậy nếu có x, y thoả mãn
1x
+ x
2
=
1y
+ y
2
thì x = y (đpcm!)
1,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
Chú ý: Có thể giải bằng cách xét các trờng hợp:
- Nếu x > y, CM đợc
1x
+ x

2
>
1y
+ y
2

- Nếu x < y, CM đợc
1x
+ x
2
<
1y
+ y
2

- Vậy nếu
1x
+ x
2
=
1y
+ y
2
thì x = y
Bài 3
3. 1)
2 điểm
Do phơng trình x
2
- 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x

1
và x
2
nên ta
có : 9a
2
+ 4a > 0 (1) ; x
1
2
- 3ax
1
- a = x
2
2
- 3ax
2
- a = 0 ; x
1
+ x
2
= 3a
=> x
1
2
= 3ax
1
+ a ; x
2
2
= 3ax

2
+ a
1,0 đ
0,5 đ
Khi đó: A =
2
2
12
2
21
2
33
33 a
axax
axax
a
++
+
++
=
2
2
2
2
49
49 a
aa
aa
a +
+

+
0,5 đ
Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm
3. 2)
2 điểm
Theo (1) thì 9a
2
+ 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A 2.
A = 2 <=> 9a
2
+ 4a = a
2
<=> a = -1/2.
Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x
1
= -1 và x
2
= -1/2
1,0 đ
0,75 đ
Vậy A
nhỏ nhất
= 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x
1
= -1 và x
2
= -1/2 0,25 đ
Bài 4
Hình vẽ: I

M A N




B


4 .1)
2,5
điểm
Gọi H, K lần lợt là trung điểm AM, AN => MN = 2 HK
Chứng minh đợc HK OO', ở đó OO' không đổi => MN 2OO' ,
dấu = xảy ra <=> HK//OO' <=> MN//OO'
Suy ra MN lớn nhất <=> MAN // OO' (đpcm !)
1,0 đ
1,0 đ
0,5 đ
4. 2)
3,5
điểm
Chứng minh đợc :
- nếu A ở giữa M và N thì MIN + MBN = 180
0
.
- Nếu N (hoặc M) ở giữa AM (hoặc AN) thì MIN = MBN
1,5 đ

1,5 đ
Từ đó suy ra bốn điểm B, M, I, N thuộc một đờng tròn 0,5 đ
Các chú ý khi chấm:
1. Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải. Bài làm của học sinh
phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
3. Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 nhng phải thống nhất trong tổ chấm.
Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, đợc làm tròn nh với thi tốt nghiệp.
Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Ninh.
Bài 4:
Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác
ABCD. Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng d
A
, d
B
, d
C
, d
D
sao cho d
A

OA, d
B
OB, d
C
OC, d
D
OD. Các cặp đờng thẳng d

A
và d
B
, d
B
và d
C
, d
C
và
d
D
, d
D
và d
A
tơng ứng cắt nhau tại các điểm K, L, M, N.
1) Chứng minh ba điểm N, O, L thẳng hàng.
2) Chứng minh rằng OK.OM = OL.ON
Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm
Bài 4
Hình vẽ:
4 .1)
3 điểm
Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp.
và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng là phân giác các góc A,
B, C, D của tứ giác ABCD.
0,5 đ
0,5 đ

Có NOK + KOL = - ONA - OKA + - OKB - OLB
= - ADO - ABO + - BAO - BCO
= - ( A + B + C + D )/2
= 2 - =
1,0 đ
0,5 đ
Từ đó suy ra các điểm N, O, L thẳng hàng 0,5 đ
4. 2)
3 điểm
Trớc hết ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp. Thật vậy, ta có:
NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC
= (1/2).( A + B + C + D ) = 2
1,0 đ
1,0 đ
Từ đó chứng minh đợc OK.OM = ON.OL 1,0 đ
Bài 4:
Cho đờng tròn (O ; R) và điểm A nằm ngoài đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp
tuyến AB và AC tới đờng tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC của đ-
ờng tròn (O ; R) lấy điểm M tuỳ ý ( M khác B, C ), tiếp tuyến qua M cắt AB ở E,
cắt AC ở F.
a) Biết AO = a. Tính chu vi tam giác AEF theo a và R.
b) Đờng thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Hạ OH BC (H BC).
Chứng minh rằng:
EF
PQ
=
R
OH
Bài 4
Hình vẽ:

B
E


M
A

F
C
4 .1)
2 điểm
Chứng minh đợc chu vi AEF = 2 AB
Tính đợc AB =
22
OBAO
=
22
Ra
(do A nằm ngoài (O) nên a>R)
Suy ra chu vi AEF = 2
22
Ra
.
1,0 đ
1,0 đ
4. 2)
4 điểm
Hạ OH BC
Vì EB và EM là tiếp tuyến nên OEB = OEM = 90
0

- (AEF)/2
Tơng tự ABC = ACB = 90
0
- (BAC))/2
1,0 đ
Do đó BPE = 180
0
-ABC-OEB =(AEF +BAC)/2 = 90
0
-AFE/2
= OFE . Hay OPQ = OFE
2,0 đ
Suy ra OPQ đồng dạng OFE
Do vậy PQ/EF = OH/OM = OH/R ( đpcm !)
1,0 đ