de thi dap an toan 9 - 4

TRNG THCS VINH THANH
sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
lớp 9 năm học 2005-2006
môn : Toán
Bài 1.
Rút gọn biểu thức sau :
a)A =
51
1
+
+
95
1
+
+
139
1
+
+
20052001
1
+
+
20092005
1
+
b) B = x
3
- 3x + 2000 với x =

3
223 +
+
3
223
Gii :
a) A =
15
15


+
59
59


+
913
913


+ +
20012005
20012005


+
20052009
20052009

Rút gọn, đợc A =
4
12009
.
b) áp dụng công thức (a+b)
3
=a
3
+b
3
+3ab(a+b), với a=
3
223 +
, b=
3
223
và biến đổi => x
3
= 6 + 3x
Suy ra A = 2006
Bài 2.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai đờng thẳng có phơng trình:
(d
1
) : (k + 1)x - y + 1 = 0 ; (d
2
) : 2(k - 3)x + ky - k = 0
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số k, các đờng thẳng (d

1
) và
(d
2
) luôn cắt nhau tại một điểm cố định.
Gii :
Với k = 0 thì (d
1
) : x - y + 1 = 0 ; (d
2
) : - 6x = 0.
Dễ thấy hai đờng thẳng đó cắt nhau tại điểm M
0
(0 ; 1).
Chứng minh đợc điểm M
0
(0 ; 1) luôn thuộc (d
1
) và (d
2
) với mọi k.
Suy ra (d
1
) và (d
2
) luôn cắt nhau tại một điểm cố định với mọi k.
Bài 3.
Giải hệ phơng trình :

=+
=+
=+
122
122
122
yxz
xzy
zyx

Gii :
Điều kiện của ẩn : x, y, z 1/2.
Cộng vế-vế cả 3 phơng trình lại, ta đợc phơng trình:
2x + 2y + 2z = 2
12 x
+ 2
12 y
+ 2
12 z
(*)
Biến đổi (*) <=> (
12 x
-1)
2
+ (

12 y
-1)
2
+ (
12 z
-1)
2
= 0
<=>
12 x
=
12 y
=
12 z
= 1 <=> x = y = z = 1. thỏa mãn đ/kiện.
GV: KIM THCH ST
TRNG THCS VINH THANH
Thử lại, thấy x = y = z = 1 thỏa mãn hệ.
Vậy hệ đã cho có duy nhất nghiệm là (x ; y ; z) = (1 ; 1 ; 1)
Bài 4.
Cho đờng tròn (O;R) có hai đờng kính AC và BD vuông góc với nhau.
Điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC (M khác B và C) và điểm N thay đổi trên
cung nhỏ CD sao cho góc MAN = góc MAB + góc NAD. Dây AM cắt BD tại Q,
cắt BC tại E, dây AN cắt DB tại P, cắt DC tại F.
1) Chứng minh rằng ABEP và PQEF là các tứ giác nội tiếp.
2) Biết góc MAB =

, tính diện tích tam giác AEF theo R và

.

Gii :
1)Trớc hết từ giả thiết suy ra MAN = 45
0
.
Có : EAP = 45
0
= EBP => ABEP là tứ giác nội tiếp
Tơng tự chứng minh đợc ADFQ là tứ giác nội tiếp
EPF = EQF = 90
0
=> tứ giác PQEF nội tiếp.
2) Có S
AEF
= (1/2).AF.EP
Tính đợc EP = R/cos

.; AF = R/
2
cos(45
0
-

)
Suy ra S
AEF
= (R
2
/
2
.cos

.cos(45
0
-

))
Bài 5.
Chứng minh rằng với a 3 ta luôn có :
a
a
3
21
+

16
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Gii :
Ta có: (21/a) + 3a = (21/a) + 7a/3 + 2a/3
áp dụng BĐT Côsi, đợc (21/a) + 7a/3 2
3
7
.
21 a
a
= 14
Dấu bằng xảy ra <=> (21/a) = 7a/3 <=> a = 3.
Mặt khác do a 3 nên : 2a/3 (2.3/3) = 2 . Dấu bằng xảy ra <=> a = 3.
Từ đó suy ra: (21/a) + 3a 16 với a 3. (đpcm!)
Dấu bằng xảy ra <=> a = 3 <=> x = 0.
Cách giải khác:

BĐT cần chứng minh : (21/a) + (3a) 16 (*) với a 3.
Có (*) <=> 3a
2
- 16a + 21 0 <=> (a - 3)(3a - 7) 0.
Do a 3 nên (a - 3) 0 và (3a - 7) 3.3 - 7 = 2 => (a - 3)(3a - 7) 0.
Dấu bằng xảy ra <=> a = 3 <=> x = 0.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
GV: KIM THCH ST