de thi dap an toan 9 - 5

TRNG THCS VINH THANH
phòng giáo dục thành phố hạ long
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thành phố
năm học 2005 - 2006
đề thi môn : toán
Bài 1:
Chứng minh rằng với x 0, biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
x
-
x
x
++
++
347).32(
549).52(
3
Gii :
Rút gọn đợc
x
x
++
++
347).32(
549).52(
3
=
x
x
+

1

1
=
1x
Từ đó suy ra biểu thức cần rút gọn bằng 1.
Bài 2:
Tìm các số x, y, z dơng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
332 =++ zyx
và
3632 =++ yzxzxy
.
Gii :
Đặt
x
= a, 2
y
= b, 3
z
= c. Khi đó các điều kiện
332 =++ zyx
và
3632 =++ yzxzxy
<=> a + b + c = 3 = ab + bc + ca; a, b, c > 0
<=> a
2
+ b
2
+ c
2
= (ab + bc + ca) = 3; a, b, c > 0 (*)
Biến đổi hệ (*), tìm đợc a = b = c = 1.

Từ đó tìm đợc x = 1; y = 1/4; z = 1/9.
Thử lại thấy điểm M
0
(1;-2) luôn thuộc d
m
với mọi m. (đpcm !)
Bài 3:
Trong mặt phẳng tọa độ xét đờng thẳng (d
m
) có phơng trình :
2mx +(m - 1)y = 2 với m là tham số.
1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đờng thẳng (d
m
) luôn đi qua một
điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.
2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d
m
).
Gii :
1) Giả sử khi m thay đổi, các đờng thẳng (d
m
) luôn đi qua điểm cố định
M
0
(x
0
;y
0
). Trong các đờng thẳng (d
m

) lấy 2 đờng thẳng d
1
: y = -2 (ứng với m =
0) và d
2
: x = 1 (ứng với m = 1) => M
0
(x
0
;y
0
) thuộc d
1
và d
2

GV: KIM THCH ST
1
TRNG THCS VINH THANH
=> x
0
= 1; y
0
= -2
Thử lại thấy điểm M
0
(1;-2) luôn thuộc d
m
với mọi m. (đpcm !)
2) Khi m = 0, ta đợc đờng thẳng d

1
: y = -2 => khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
d
1
bằng 2.
Khi m = 1, đợc đ.thẳng d
2
: x = 1 => khoảng cách từ O đến d
2
bằng 1.
Với m 0, 1 tìm đợc d
m
cắt Ox tại A(1/m;0) , cắt Oy tại B(0;2/m-1).
Trong AOB kẻ đờng cao OH => khoảng cách từ O đến d
m
bằng OH.
áp dụng hệ thức lợng trong AOB , tính đợc OH = 2/
125
2
+ mm
.
Bài 4:
Chứng minh rằng:
)1(1 +> xxxx
với mọi x 1.
Gii :
Dùng BĐT Côsi hoặc b/đổi tơng đơng, c/m đợc
1
2
x

x
(1)
Bằng biến đổi tơng đơng, c/m đợc:
)1(
2
xx
x
(2) với x 1.
Từ (1) và (2) suy ra : x
1 x
+
)1( xx
với x 1 (3)
Ch/minh đợc không xảy ra dấu "=" ở (3)
Suy ra :
)1(1 +> xxxx
với x 1. (đpcm !)
Bài 5:
Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB, dây CD vuông góc với AB tại H. Đ-
ờng tròn đờng kính AH cắt AC tại E, đờng tròn đờng kính BH cắt BC tại F. Gọi
G là trung điểm CH.
1. Chứng minh :
- Ba điểm E, F, G thẳng hàng.
- EF là tiếp tuyến chung của đờng tròn đờng kính AH và đờng tròn đ-
ờng kính BH.
2. Gọi r
1
và r
2
lần lợt là bán kính các đờng nội tiếp các tam giác ACH và

BCH. Biết góc ACH = , AB = a, tính tổng:
2
2
2
1
rr +
theo và a.
Gii :
1) Chứng minh đợc CEHF là hình chữ nhật
=> G thuộc EF hay 3 điểm E, G, F thẳng hàng. (đpcm!)
Gọi I, K lần lợt là trung điểm AH, BH. Ch. minh đợc EFIE, EFKF
=> EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn. (đpcm!)
Gọi r là bán kính đ.tròn nội tiếp ABC, ch.m đợc: r = (AC+BC-AB)/2.
Từ các tam giác vuông đồng dạng AHC, BHC, ACB và từ hệ thức lợng trong
tam giác vuông chứng minh đợc: r
1
2
+ r
2
2
= r
2
.
Tính đợc: AC = a.sin; BC = a.cos => r
1
2
+ r
2
2
= a(sin + cos - 1)/2

GV: KIM THCH ST
2