Bài tập có liên quan đến định luật biến thiên và bảo toàn mômen

Bài tập có liên quan đến định luật biến thiên và bảo toàn mô men động lượng trong
cơ học vật rắn
Bài 1: (Cơ lý thuyết)
Một thanh AB có độ dài 2L. Quay trong mặt phẳng ngang trục quay đối xứng
thẳng đứng oz với vận tốc góc
1
ω
như hình vẽ. Trên 2 cánh tay đòn của thanh có 2 quả
cầu như nhau khối lượng mỗi quả cầu là m. Khoảng cách đến trục quay là l, chúng được
nối với nhau bằng một sợi dây. Vận tốc góc sẽ thay đổi thế nào nếu dây đứt và khoảng
cách mỗi quả cầu đến trục quay là L. Bỏ qua bán kính của các quả cầu. Mômen quán tính
của thanh AB đối với trục quay đi qua o là
2
1
12
I mL=
Giải
Bước 1: Phân tích hiện tượng:
Hệ bao gồm 2 chất điểm và một vật rắn .
Ta có:
e
o
o
d L
M
dt
=
ur
uur
Hệ chịu tác dụng của các ngoại lực là ba trọng lực của 3 vật và 3 phản lực. Các lực
này cân bằng với nhau. Các trọng lực và phản lực này cùng phương với trục quay nên

môme của hệ được bảo toàn. Cả hệ quay cùng với vận tốc góc
1
ω
ur
như hình vẽ. Khi dây
nối 2 vật đứt, 2 vật bị văng ra tới mép của thanh.
Bước 2: Kiến thức áp dụng.
- Định luật bảo toàn mômen động lượng.
- Mômen quán tính đối với các vật đồng chất đối xứng.
(1) (2)
2
m
1
m
1
N
uur
2
N
uur
2
P
ur
1
P
ur
o
AB
P
ur

AB
N
uur
1
ω
ur
z
Bước 3: Hướng dẫn giải bài tập.
- Xét hệ chất điểm: 2 vật
1 2
,m m
và thanh AB
- Ngoại lực tác dụng lên cả cơ hệ:
1 2
1 2 3
AB
P P P P
N N N N

= + +


= + +


ur ur ur ur
uur uur uur uur
Ta có :
,P N
ur uur

cùng phương với trục quay nên:
0
AB
AB
e e
oP o N
M M+ =
uuur uur
uur uur r
Và
2
1
1 2
1 2
, ,
e e
oP oP
M M OM P OM P
   
+ = +
   
uur ur
uur uur uuuur ur uuuur ur
=
1 1
, , 0l P l P
   
− =
   
r ur r ur

Do đó mômen ngoại lực tác dụng lên cơ hệ
0
e
o
M
=
uur
.
=>
0
o
d L
dt
= ⇒
ur
Mômen động lượng của cơ hệ được bảo toàn.
Chiếu lên phương oz:

0 ons
oz
oz
dL
L c t
dt
= ⇔ =

01 02 0
ons .
oz AB
L L L L c t⇔ = + + =

Xét tại thời điểm
1
t
khi dây chưa đứt:
=> Cả hệ quay xung quanh trục oz với vận tốc góc
1
ω
ur
nên:

1 1 2 2
1
, ,
oz
L I r P r P
ω
   
= + +
   
r ur r ur

1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2
. . sin( , ) . . sin( , )
. . . .
oz
oz
L I r m v r P r m v r P
L I r m v r m v

ω
ω
⇔ = + +
⇔ = + +
r ur r ur
với
1 2
1 2
r r L
m m m
v r
ω
= =


= =


=

=>
2
1 1
2
oz
L I mL
ω ω
= +
- Xét tai thời điểm t
2

khi dây bị đứt và 2 viên bi ở 2 mép của thanh AB cả hệ quay
với vận tốc góc
2
ω
ur
tương tự ta có:

2
2 2
8
oz
L I mL
ω ω
= +
(*)
- Mômen động lượng theo phương oz được bảo toàn nên ta có:

2 2
1 1 2 2
2 8I mL I mL
ω ω ω ω
+ = +

2
2 1
2
2
8
I mL
I mL

ω ω
+
=
+
Ta thấy :
2
2 1
2
2
1
8
I mL
I mL
ω ω
+
⇒ <
+
p
Bài 2: (Olympic 30 – 4, lần thứ XII – 2006)
Một thanh mảnh có khối lượng M, chiều dài L có thể quay tự do quanh trục cố định 0 nằm
ngang đi qua một đầu thanh. Từ vị trí nằm ngang đầu thanh kia được thả ra. Khi rơi đến vị
trí thẳng đứng thì nó va chạm hoàn toàn đàn hồi với một vật nhỏ khối lượng m nằm trên
mặt bàn.Bỏ qua sức cản của không khí và ma sát ở trục quay của thanh.
a)Xác định vận tốc của vật ngay sau va chạm?
b)Xác định khoảng cách S mà vật m đi được sau va chạm nếu hệ số ma sát giữa vật
và mặt bàn là µ không phụ thuộc vào vận tốc của vật. Biết rằng ngay sau va chạm thanh
dừng lại và vật chuyển động tịnh tiến trên bàn
Giải
* Phân tích hiện tượng:
Ban đầu thanh nằm ngang một đầu gắn cố định ở O. Từ vị trí nằm ngang đầu kia

được thả ra không vận tốc ban đầu thì thanh sẽ quay quanh trục ∆ đi qua O do tác dụng
của trọng lực của thanh.
Khi rơi đến vị trí thẳng đứng thanh va chạm hoàn toàn đàn hồi với vật m.
* Giải:
a) Xét hệ gồm: Thanh M và vật m( hình vẽ)
Ta áp dụng định lý stenơ – Huyghen để tính
Mômen quán tính của hệ đối với trục quay:
2 2 2
2
0
( )
2 12 4 3
L ML ML ML
I I M= + = + =
(1)
Gọi ω là vận tốc góc quay của thanh M trước va chạm.
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

1 1
. . .
2 2
M g L I
ω
=

3MgL g
I L
ω
⇒ = =
(2)

Gọi : v là vận tốc của vật m ngay sau va chạm.
L
M
O
m
.
.
'
ω
là vận tốc góc quay của thanh M ngay sau va chạm.
Khi đó, áp dụng định luật bảo toàn mômen động lượng và định luật bảo toàn cơ
năng cho cơ hệ ta có:

'
2
2 '2
1 1
2 2 2
I mvL I
Mv
I I
ω ω
ω ω

= +


= +



Từ (3) suy ra :
'
I mvL
I
ω
ω
−
=
(5)
Thay (1) và (2) vào (5) ta được:

2
'
2
3
.
3 3
3
3
ML g
mvL
g mv
L
L ML
ML
ω
−
= = −
(6)
Thay (1), (2) và (6) vào (4) ta được:

2 2
2 2
2 2
2
3 3 3
. .( )
3 3
3
2 . 3
3
(1 ). 2 3
2 3
( / )
3
ML g mL g mv
mv
L L ML
m v
MLg mv MLg mv gL
M
m
v gL
M
M gL
v m s
M m
⇔ = + −
⇔ = + − +
⇔ + =

⇒ =
+
b) Quãng đường mà vật m đi được trên bàn do va chạm vật m bị đẩy chuyển động
tịnh tiến theo phương ngang trên mặt sàn nên:
(4)
(3)
(+)
ms
F
ur
O
x
m
P
ur
N
uur
Áp dụng định luật II newton ta có:

m ms
P N F ma+ + =
ur uur ur r

Chiếu lên trục Ox ta có:
ms
ma F= −
ma mg
a g
µ
µ

⇔ = −
⇔ = −
=> Vật chuyển động chậm dần đều trên sàn.
Quãng đường mà vật đi thêm được cho đến khi dừng lại:
2 2
2as
t o
v v− =
Với
o
v v=
và
2
0 2as
t
v v= ⇒ − =
2
2 2
4
.3
6
3
2 2 ( 3 )
M
gL
v M L
M m
s
a g M m
µ µ

−
+
⇔ = = =
+
(*)
Vì sau va chạm thanh M đứng lại nên ta có :
'
ω
= 0
3 3
0 3 0 3
3
M m g
M m M m
M m L
−
⇒ = ⇔ − = ⇔ =
+
Thay vào (*) ta được:
3
2
L
s
µ
=
Vậy vật m dừng lại khi đi được quãng đường
3
2
L
s

µ
=
Bài 3: (Vật lý tuổi trẻ).
Một đĩa đồng chất, có khối lượng
1
m
và bán kính r, quay quanh trục cố định 0Z với vân
tốc góc
0
w
. Vào một thời điểm nào đó một chất điểm M có khối lương
2
m
bắt đầu
chuyển động từ tâm đĩa ra ngoài vành đĩa theo bán kính với vận tốc không đổi u. Xác
định vân tốc góc ω của đĩa (hàm theo thời gian) kể từ lúc chất điểm M chuyển động? Bỏ
qua lực ma sát ở ổ trục quay.
Giải
- Xét cơ hệ gồm: Đĩa tròn và chất điểm M ( hình vẽ)
- Khi chất điểm ở tâm đĩa thì mô men động lượng của hệ đối với trục 0Z:

2
0
2
1
01
ω
ω
rm
IL

zz
==
- Gọi S là quãng đường chất điểm đi được từ
tâm đĩa ra ngoài vành trong khoảng thời gian t.
S = v.t
Vậy mô men của hệ đối với trục 0Z
khi chất điểm chuyển động:

ωωω








+=+=
22
2
2
1
2
22
.
2
.
tvm
rm
SmIL

zz
Vì ngoại lực tác dụng lên cơ hệ là trọng lực có phương song song với trục 0Z nên:

0)( =
∑
PM
z
Vậy áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng, ta có:
0
r
Z
M
0
ω

21 zz
LL =

ωω
.
22
22
2
2
1
0
2
1







+=⇔ tum
rmrm

2
1
0
2
2 2
1
2
2
.
2
m r
m r
m u t
ω ω
⇒ =
+
2
1
0
2 2 2
1 2
.
2

m r
m r m u t
ω ω
⇒ =
+
Nhận xét: Khi chất điểm chuyển động từ tâm đĩa ra ngoài vành theo đường bán
kính thì mô men quán tính của hệ tăng. Nên để bảo toàn mô men động lượng thì vận tốc
góc quay của hệ giảm đi (
0
ωω
<
).
Mở rộng:
Cách 1: Tại thời điểm t , m
2
bắt đầu chuyển động từ vị trí OA =
2
r
theo phương
AB song song với một đương kính với vận tốc v. Tính ω?
- Ban đầu :
2
1
1
.
2
o
z z o
m R
L I

ω
ω
= =
- Khi chuyển động: S = vt => khoảng cách từ trục quay đến m
2
là:

2
2 2 2 2
2
2
2 2
1
2 2
4
( )
2 4
z
r
d OA S v t
m R
R
L m v t
ω
= + = +
 
⇒ = + +
 
 
- Theo định luật bảo toàn mômen động lượng ta có:

L
z1
= L
z2
(Rad/s)
Từ đó ta suy ra được giá trị cần tìm của ω
Cách 2: Với đề bài như trên nhưng thay đổi điều kiên chuyển động ban đầu của vật
m
2
với m
2
chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ban đầu là v
0
, gia tốc là a. Tính ω?
- Ban đầu:
2
1
1
.
2
o
z z o
m R
L I
ω
ω
= =
- Khi m
2
chuyển động, khoảng cách từ m

2
đến trục quay là:
S = v
0
t + at
2
/2
Khi đó động lượng của hệ là:
2
2
2
1
2 2 0
( )
2 2
z
m R
at
L m v t
ω
ω
= + +
Áp dụng định luât bảo toàn mômen động lượng ta có thể tìm được giá trị của ω.
Bài 4
Một mô tơ điện chịu tác dụng của ngấu lực tổng hợp ( phát động và cản ) có mô men
quay là: M = a – b.ω trong đó a,b là các hằng số dương còn ω là vận tốc góc của mô tơ.
Mô men quán tính của rô to đối với trục quay hình học là I.Tìm biểu thức vận tốc góc ω
trong qua trình mở máy từ trạng thái đứng yên?
Giải
- Xét cơ hệ gồm : Mô tơ điên ( rô to + trục quay )

- Tại thời điểm ban đầu ( t = 0) thì mô tơ ở trạng thái đứng yên ( ω = 0 )
Gọi t là thời điểm mà mô tơ điện chịu tác dụng của ngẫu lực tổng hợp có mô men
quay: M = a – b.ω (a, b = const ). Khi đó, rô to sẽ quay quanh trục quay hình học với vận
tốc góc ω.
Áp dụng định luật biến thiên mômen động lượng của cơ hệ đối với trục quay, ta có:
ω
ω
ba
dt
Id
M
dt
dL
−⇔=
)(
Trong đó: I = const là mô men quán tính của rô to đối với trục quay hình học.
Hay
dt
ba
d
Iba
dt
d
I =
−
⇔−=
ω
ω
ω
ω

.
( 1)
Tích phân hai vế phương trình (1) ta được:

0 0
0 0
.
ln( . )
t
t
d
I dt
a b
I
a b t
b
ω
ω
ω
ω
ω
=
−
−
⇔ − =
∫ ∫
( ln )
ln( . ) ln
.
b

t a
I
I I
a b t a
b b
a b e
ω
ω
−
+
−
⇔ − = −
⇔ − =
. .
(1 ) (rad/s)
b
t
I
b
t
t
a b a e
a
e
b
ω
ω
−
−
⇔ − =

⇔ = −
Bài 5:
Một cô gái có khối lượng M đứng ở mép một vòng quay ngưạ gỗ không ma sát,
bán kính R và quán tính quay I, vòng đang dừng. Cô ta ném một hòn đá có khối lượng m
theo phương ngang tiếp tuyến với mép ngoài của vòng quay, tốc độ của hòn đá đối với mặt
đất là v. Hỏi ngay sau đó thì tốc độ góc của vòng quay và tốc độ dài của cô gái là bao nhiêu.
Giải
- Xét cơ hệ gồm: vòng quay, cô gái và hòn đá.
- Ban đầu khi cơ hệ đứng yên mô men động lượng của hệ đối với trục quay 0Z:

0
zl
L =
- Khi cô gái ném hòn đá theo phương ngang sẽ làm cho vòng quay quay ngược với
chiều bay của hòn đá.
- Gọi
u
r
là vận tốc tương đối của hòn đá so với vòng quay.
ω
ur
là vận tốc góc của vòng quay ngay sau hòn đá bay đi.
Vậy khi đó mô men động lượng của hệ đối với trục 0Z sẽ là:

2
2
( ). . .
z
K I MR m u R
ω

= + −
Mà
.u v R
ω
= +
Suy ra:
2 2
2
( ). . .
z
L I MR mR m v R
ω
= + − −
- Vì ngoại lực tác dụng lên cơ hệ là trọng lực có phương song song với trục 0Z nên:
( ) 0
z
M P
∑
=
ur
Vậy áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng, ta có:

1 2z z
L L=

2 2
( ). . .I MR mR m v R
ω
⇔ + − =
Suy ra vận tốc góc của vòng quay:

2
( / )
( )
mRv
rad s
I M m R
ω
=
+ −
Vận tốc của cô gái:
2
2
.
( / )
( )
V R
mvR
V m s
I M m R
ω
=
⇒ =
+ −
Bài 6:
Một sợi dây vắt qua ròng rọc, ở hai đầu sợi dây có hai người đu vào. Biết khối
lượng mỗi người gấp 4 lần khối lượng của ròng rọc. Người A bắt đầu leo theo dây với
0
m
u
r

r
ω
z
vận tốc tương đối so với dây là u. Tính vận tốc của người B đối với mặt đất? Coi như
khối lượng của ròng rọc được phân bố đều trên vành.
Giải
- Xét cơ hệ gồm: người và ròng rọc, dây.
Chọn trục quay 0Z vông góc và hướng ra phía trước mặt giấy.
Ban đầu hệ đứng yên, mômen động lượng của hệ đối với trụcc quay Oz:
1z
L
= 0
- Khi người A bắt đầu leo dây với vận tốc tương đối so với dây là u sẽ làm cho
ròng rọc quay theo chiều như hình vẽ với vận tốc góc ω.
Vậy vận tốc của người A so với đất:
A
V
= ωR – u
mômen động lượng của hệ đối với trục quay Oz khi đó:
2
2 2 2
1
4 ( ) 4
2
z z A z B zRR B
L L L L mR R u mRV mR
ω ω
= − + = − − +
Trong đó: m là khối lượng của ròng rọc

B
V
là vận tốc của người B đối với mặt đất
Nhận thấy:
( ) 0
e
z k
M F∑ =
uuuur
Nên áp dụng định luật bảo toàn mômen động lượng ta có:

1 2z z
L L
=
2
1
4 ( ) 4 0
2
B
mR R u mRV mR
ω ω
⇔ − − + =
A
B
u
0
ω
2
1
4 ( )

2
4
9
( / )
8
B
B
mR R u mR
V
mR
V R u m s
ω ω
ω
− +
⇔ =
⇔ = −