SKKN Bất đẳng thức trong tam giác và ứng dụng.doc

Sáng kiến kinh nghiệm

Phần a. Đặt vấn đề
1)Lí do chọn đề tài:

- Trong những năm gần đây việc đổi mới phơng pháp trong dạy học
nói chung ngày càng đợc quan tâm, chú trọng. Với Toán học, môn học
thu hút đợc nhiều đối tợng quan tâm thì việc đổi mới phơng pháp
dạy_học càng là chủ đề sôi nổi hơn. Cùng với đổi mới phơng pháp
dạy_học thì việc phát hiện và bồi dỡng học sinh có năng khiếu là việc
làm thờng xuyên của mỗi thầy cô bộ môn. Với chơng trình Hình học 7,
học sinh bắt đầu làm quen với những bài toán chứng minh từ cơ bản
và dần đợc nâng cao hơn về tính suy luận lô-gic, hệ thống, chặt chẽ.
Do nội dung là cơ sở nền tảng cho các lớp sau nên việc nắm chắc
những kiến thức, tính chất rất quan trọng cho việc học Hình sau này.
Mỗi tính chất, định lí học sinh không chỉ nắm đợc nội dung lý thuyết
thuần tuý mà cần phải biết vận dụng vào giải những bài tập trong
những tình huống khác nhau. Cùng với nắm bắt đợc những tính chất
qua đó còn giúp học sinh rèn khả năng suy luận lô-gic, chặt chẽ.
Chính vì vậy mà đối với học sinh khá - giỏi, học sinh có năng khiếu về
Toán thì giáo viên càng phải giúp học sinh phát huy đợc năng khiếu
của các em. Nội dung bất đẳng thức tam giác là một trong những tính
chất quan trọng, nó không chỉ dừng lại ở môn Hình mà còn đợc vận
dụng vào trong Đại số.
- Chính vì vậy tôi lựa chọn đề tài này với mong muốn phần nào giúp
các em học sinh khá- giỏi Toán có thể hiểu sâu hơn về bất đẳng thức
tam giác, cũng nh giúp các em có khả năng suy luận tốt hơn, vận
dụng vào những tình huống có thể và bớc đầu có thói quen nhìn nhận
một bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau, có ý thức trong việc liên
hệ giữa Hình học và Đại số.
2)Mục đích, đối t ợng, ph ơng pháp :

a)Mục đích:
- yêu cầu đổi mới phơng pháp trong dạy học Toán là cần phát huy
khả năng sáng tạo, khả năng t duy, suy luận cũng nh phát huy năng
khiếu học Toán cho học sinh.
- Khái niệm bất đẳng thức là một khái niệm mới đối với học sinh lớp 7
(các em cha đợc học).Vì vậy đối với những học sinh khá - giỏi thì ta có
thể trang bị cho các em những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
thông qua phần bất đẳng thức tam giác.
*) Qua việc dạy bất đẳng thức tam giác giúp học sinh:
-Phát huy đợc khả năng suy luận lôgíc, khả năng vận dụng Toán
học vào các tình huống khác nhau cũng nh vận dụng vào giải bài toán
Đại.
- Bồi dỡng, khắc sâu, nâng cao kiến thức cho các em giúp các em có
vốn kiến thức cho việc học Toán cũng nh các kì thi sau này.
b)Đối t ợng nghiên cứu :


Năm học 2005 - 2006
3
A
B C
Sáng kiến kinh nghiệm
- Bất đẳng thức tam giác trong Hình học 7.
- Học sinh khá giỏi môn Toán khối 7.
c)Ph ơng pháp nghiên cứu :
- Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo:
+ Toán cơ bản và nâng cao 7
+ Tuyển chọn và phân loại toán cấp 2 Hình học.
+ SGK_SBT Toán 7
- Phơng pháp thực nghiệm.

- Phơng pháp kiểm tra so sánh, đánh giá.
- Trao đổi với đồng nghiệp
Phần b. giải quyết vấn đề.
I)Nhắc lại kiến thức Bất đẳng thức trong tam giác:
1) Định lí:
Trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn
hơn độ dài cạnh còn lại".
Cho tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB

2) Hệ quả :
- Trong một tam giác hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng
nhỏ hơn độ dài cạnh còn lạ".
- Cho tam giác ABC ta có các bất đẳng thức:
AB AC < BC AB BC < AC AC BC < AB
AC AB < BC BC AB < AC BC AC < AB
3) Nhận xét :


Năm học 2005 - 2006
4
Sáng kiến kinh nghiệm
- Trong một tam giác độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu
và nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại".
Tam giác ABC chẳng hạn ta luôn có:
AB AC < BC < AB + AC
4) Kiến thức bổ sung :
- Vì học sinh lớp 7, các em cha đợc học về Bất đẳng thức" vì vậy

trong quá trình bồi dỡng tôi cũng đã trang bị cho các em những kiến
thức cơ bản về Bất đẳng thức":
+) Định nghĩa: a > b nếu a b là một số dơng.
+) Tính chất:
1. Nếu a > b thì a + c > b + c
2. Nếu a > b và c > 0 thì a.c > b.c
3. Nếu a > b và c < 0 thì a.c < b.c
II)Nội dung ph ơng pháp:
*)Trên cơ sở những kiến thức đó ta có thể bồi dỡng cho học sinh khá
- giỏi với các nội dung nh sau:
1)Những bài tập vận dụng cơ bản:
Qua nội dung bài tập về nhà, giáo viên yêu cầu học sinh làm thêm
những bài tập có thể là trong sách bài tập hoặc bài tập giáo viên tự
lựa chọn.
Ví dụ 1:
Bài 27(SBT-27)
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
MA + MB + MC lớn hơn nửa chu vi của tam giác ABC.
Lời giải:
xét tam giác AMB; tam giác AMC; tam giác BMC,
theo bất đẳng thức tam giác ta có:
MA + MB > AB
MA + MC > AC
MB + MC > BC
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của ba bất đẳng thức lại
ta có:
2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC
MA + MB + MC >
+ +

AB AC BC
2
( đpcm)
Ví dụ 2:
Bài 30(SBT-27)
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh: AM <
2
ACAB +
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho
MD = MA. Dễ dàng chứng minh đợc


Năm học 2005 - 2006
5
D
A
B C
M
A
C
M
B
Sáng kiến kinh nghiệm


AMB =

DMC (c.g.c)
CD = AB (hai cạnh tơng ứng) (1)

Xét tam giác ACD theo bất đẳng thức ta có:
AC + CD > AD = 2AM mà CD = AB ( theo (1) )
AC + AB > 2AM
AM <
2
ACAB +
(điều phải chứng minh).
Ví dụ 3:
Cho điểm I nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng: BI + IC < BA + AC
Lời giải
Kéo dài BI cắt AC tại K.
Xét

AKB có BK < AB + AK (Bất đẳng thức tam giác)
BI + IK < AB + AK BI < AB + AK - IK (1)
Xét

KIC có IC < IK + KC (Bất đẳng thức tam giác)
IC < IK + (AC AK) (2)
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của (1) với (2) ta có:
BI + IC < AB + AK IK + IK + AC AK
BI + IC < AB + AC (đpcm)

*)Nhằm khắc sâu hơn về bất đẳng thức tam giác trong quá trình
bồi dỡng tôi đã cho các em làm những bài tập có tính nâng cao hơn:
2)Những bài toán nâng cao.
Ví dụ 1:
Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy. Từ điểm M nằm
trong góc xOz vẽ MH vuông góc với Ox ( H thuộc Ox ), vẽ MK vuông

góc với Oy( K thuộc Oy ).
Chứng minh: MH < MK.
Lời giải:
Gọi A là giao điểm của MK với Oz.
Vẽ AB

Ox ( B thuộc Ox ). Nối B với M.
Xét

KOA vuông tại K và

BOA vuông tại
B có:
OA là cạnh chung

ã ã
BOA KOA=
(Oz là tia phân giác)
Do đó

KOA =

BOA( cạnh huyền góc nhọn )
AK = AB ( hai cạnh tơng ứng )
Xét

AMB có BM < AB + AM (Bất đẳng thức tam giác)
Do đó BM < AK + AM (AB = AK ) hay BM < MK
Mặt khác MH < BM (Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc)
Suy ra MH < MK. (Điều phải chứng minh)

Ví dụ 2
Cho tam giác ABC có AB > AC,
AD là tia phân giác của BAC ( D

BC).


Năm học 2005 - 2006
6
K
x
M
A
B
z
y
O
H
K
A
C
I
B
A
M
E
C
B
D
Sáng kiến kinh nghiệm

M là điểm nằm trên đoạn thẳng AD.
Chứng minh: MB MC < AB AC.
Lời giải
Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AC
vì AB > AC nên E nằm giữa A và B suy ra
AE + EB = AB
EB = AB AE = AB AC
xét

AEM và

ACM có:
AE = AC (cách vẽ)

ã ã
=EAM CAM
(AD là tia phân giác của Â)
AM là cạnh chung
Do đó

AEM =

ACM (c.g.c)
Suy ra ME = MC (hai cạnh tơng ứng) .
Xét

MEB có MB ME < EB (Bất đẳng thức tam giác)
Vì MC = ME, EB = AB - AC
Do đó MB MC < AB AC (điều phải chứng minh).
Ví dụ 3:

Cho tam giác ABC gọi a, b, c lần lợt là độ dài ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng:
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)

Lời giải
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
a + b c > 0 => c(a + b c) > 0 (1)
b + c a > 0 => a(b +c a) > 0 (2)
a + c b > 0 => b(a + c b) > 0 (3)
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của các bất đẳng thức
(1), (2), (3) ta đợc:
c(a + b c) + a(b +c a) + b(a + c b) > 0
=> ac + bc c
2
+ ab + ac a
2
+ ab + bc b
2
> 0
=> 2(ab + bc + ca) (a
2
+ b
2
+ c

2
) > 0
2(ab + bc + ca) > a
2
+ b
2
+ c
2
(điều phải chứng minh)
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng nếu:
a = y + z ; b = z + x ; c = x + y thì a, b, c là độ dài các cạnh của một
tam giác. ( x, y, z lớn hơn 0)
Lời giải
Theo bài ra ta có:
a = y + z
b = z + x => 2(x + y + z) = a + b + c => x + y + z =
)(
2
1
cba
++
c = x + y


Năm học 2005 - 2006
7
A
a
c b

C
B
Sáng kiến kinh nghiệm
Suy ra x =
2
acb +
; y =
2
bca +
; z =
2
cba +

Vì x, y, z > 0 =>
2
acb +
> 0 ;
2
bca +
> 0 ;
2
cba +
> 0
=> a, b, c thoả mãn là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Ví dụ 5:
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn a + b + c = 2.
Chứng minh: ab + bc + ac > abc + 1
Lời giải
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Suy ra : a + b > c

b + c > a
a + c > b
mà a + b + c = 2
suy ra a < 1 ; b < 1 ; c < 1
=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0
(ab - a - b + 1)(c - 1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 < 0
abc + ( a + b + c) - 1 < ab + ac + bc vì a + b + c = 2
=> abc + 1 < ab + ac + bc (điều phải chứng minh)
*) Ngoài việc rèn kỹ năng và khắc sâu kiến thức cho học sinh thì tôi
đã cho học sinh làm những bài tập vận dụng kết hợpBất đẳng thức
tam giác với một bài toán Đại.
3)Sử dụng bất đẳng thức tam giác
trong việc giải một bài toán Đại

Ví dụ 1:
Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác, biết cạnh thứ nhất dài gấp r-
ỡi cạnh thứ 2, cạnh thứ 2 dài gấp rỡi cạnh thứ 3 và nửa chu vi tam
giác bằng 9,5 cm.
Lời giải
Gọi độ dài cạnh thứ 3 là x (cm)
Theo đề bài độ dài cạnh thứ 2 là
x
2
3
(cm)
Độ dài cạnh thứ nhất là
4
x9
x
2

3
.
2
3
=
(cm)
Bất đẳng thức tam giác thoả mãn vì: x +
x
2
3
=
>x
2
5

x
4
9
Chu vi của tam giác là: x +
x
2
3
+
x
4
9
=
x
4
19

(cm)


Năm học 2005 - 2006
8
A
B
C
b
a
c
A
C
B
a
ba
b
A
B
C
ba +
b
a
Sáng kiến kinh nghiệm
Theo bài ra ta có :
x
8
19
= 9,5 => x = 4 (cm)
=> Độ dài ba cạnh của tam giác là : 4cm, 6cm, 9cm.

Ví dụ 2
Cho ba số a, b, c > 0 thoả mãn a
2
+ b
2
= c
2
.
Chứng minh: ab + ac > a
2
Lời giải
Vì a, b, c > 0 và thoả mãn a
2
+ b
2
= c
2
theo định lý Py-ta-go đảo ta
có
a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: b + c > a
nhân cả hai vế với a ta có : ab + ac > a
2
(điều phải chứng minh)

*) Rõ ràng việc vận dụng định lý Py-ta-go và rồi vận dụng bất đẳng
thức tam giác đã làm cho bài toán đợc chứng minh dễ dàng, dễ hiểu,
gần gũi với đối tợng học sinh lớp 7.
Ví dụ 3
Cho hai số a, b > 0. Chứng minh rằng

baba +>+
Lời giải :
- Gọi
a
là độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông ABC,
b
là
độ dài cạnh góc vuông còn lại. Khi đó độ dài cạnh huyền chính là
ba +
điều này luôn thoả mãn vì:
(
a
)
2
+ (
b
)
2
= (
ba +
)
2
(định lý Py- Ta - Go đảo)
Vậy theo bất đẳng thức tam giác ta có:
AB + AC > BC
=>
baba +>+
(điều phải chứng minh)

Ví dụ 4:
Cho hai số a > b > 0. Chứng minh
a
-
b
<
ba
.
Tơng tự ví dụ 3 : Dựng một tam giác vuông ABC có độ dài cạnh góc
vuông AC =
b
, độ dài cạnh góc vuông AB =
ba
khi đó độ dài cạnh
huyền chính là
a
điều đó luôn thoả mãn vì:
(
a
)
2
- (
b
)
2
= (
ba
)
2
(Định lí Py- Ta- Go)

Vậy theo Bất đẳng thức tam giác ta có:
BC - AC < AB
=>
a
-
b
<
ba
(điều phải chứng minh)



Năm học 2005 - 2006
9
Sáng kiến kinh nghiệm


*) Sau khi học sinh đã làm đợc bài tập ở ví dụ 3 thì với
ví dụ 4 các em sẽ nghĩ ngay đến ví dụ 3 và có thể vận dụng vào làm
bài. Từ cách làm nh 2 ví dụ trên ta có thể cho các em làm bài tập
nâng cao hơn nữa để qua đó các em rèn cho các em t duy suy luận,
đồng thời đảm bảo tính liền mạch trong nội dung kiến thức nh ví dụ
sau :
Ví dụ 5
Cho a > 0. Chứng minh rằng :
2 2
a 16 a 1 3+ + <

Giải
Dựng tam giác vuông ABC thoả mãn

à
0
A 90 ,AB a ,AC 4
= = =
Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho
AD = 1, DC = 3.
-Xét tam giác ABD và
tam giác ABC vuông tại A.
Theo định lý Py - Ta - Go ta có :
BD
2
= AB
2
+ AD
2
= (
a
)
2
+ 1
2
= a
2
+ 1 => BD =
2
a 1+
BC
2
= AB

2
+ AC
2
= (
a
)
2
+ 4
2
= a
2
+ 16 => BC =
2
a 16+
- Xét tam giác BCD có : BC BD < CD (bất đẳng thức tam giác)
Thay độ dài của BC, BD, CD vào ta có :
2 2
a 16 a 1 3+ + <
(đpcm)

Một số bài tập tập tham khảo :
Bài 1: Cho O là một điểm nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh:
OA + OB + OC < AB + AC + BC < 2(OA + OB + OC)
Bài 2: Cho tam giác ABC M là điểm nằm trên tia phân giác ngoài
của góc C. Chứng minh: MA + MB > AB + BC.
Bài 3: Biết a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và a + b + c = 4
Chứng minh rằng: abc + 8 < 2(ab + ac + bc)
Bài 4:Cho a, b, c là 3 số lớn hơn 0, thoả mãn: a
2

- b
2
= c
2
Chứng minh: ab ac < a
2
Bài 5: Cho a

0 chứng minh:


Năm học 2005 - 2006
10
A
B
3
1
C
a
D
Sáng kiến kinh nghiệm

2 2
a 9 2 a 1+ + +

II)Kết quả:
Với nội dung kiến thức nh trên khi áp dụng vào việc bồi dỡng các
em học sinh khá - giỏi, so với năm trớc khi cha áp dụng kết quả thu
đợc nh sau:
- Tất cả các em đều nắm chắc hơn kiến thức về bất đẳng thức tam

giác.
- Có kỹ năng tốt hơn trong việc giải một bài toán về bất đẳng thức
tam giác.
- Các em đã đã có ý thức nhìn nhận một bài toán dới nhiều khía
cạnh khác nhau, nhất là tìm mối liên hệ giữa hình học và đại số.
III)Hạn chế :
Bên cạnh những kết quả đã đạt đợc thì vẫn còn một số hạn chế sau:
- Đây là kiến thức tơng đối khó vì nó liên quan nhiều đến Bất
đẳng thức các em cha đợc học(giáo viên phải bổ sung) vì vậy khả
năng vận dụng của các em phần nào bị hạn chế.
- Đề tài chỉ áp dụng đối với học sinh khá - giỏi Không có tính th-
ờng xuyên.
IV) Điều kiện áp dụng:
- Đối với học sinh khá - giỏi Toán 7.
- Với phơng pháp vận dụng vào giải những bài toán Đại số có thể
áp dụng với học sinh lớp 8 9.
V) Bài học kinh nghiệm :
- Dù là dạng toán nào và khó đến đâu đi nữa nếu đợc trang bị một
cách đầy đủ những kiến cơ bản thì các em sẽ có đủ tự tin để phát huy
t duy sáng tạo của mình.
- Với mỗi tính chất toán học ngoài việc hệ thống hoá kiến thức cơ
bản giáo viên cần cung cấp cho các em các quy tắc, thuật giải, các ph-
ơng pháp chứng minh cụ thể, dễ hiểu để các em dễ vận dụng.
- Trớc mỗi bài toán giáo viên cần rèn cho học sinh kỹ năng phân
tích, phán đoán từ đó chọn ra phơng pháp chứng minh đơn giản và
hiệu qủa nhất.
- Ngoài những phơng pháp giải vận dụng trực tiếp kiến thức đang
học, mỗi bài toán cần nhìn nhận ở nhiều khía cạnh khác nhau bài
toán hình có thể có phơng pháp giải đại số và ngợc lại.
Phần c. kết luận và kiến nghị

Năm học 2005 - 2006
11
Sáng kiến kinh nghiệm
I.Kết luận.
Trên đây là toàn bộ nội dung đề tài mà tôi đã nghiên cứu và thực
nghiệm trong năm học này. Đề tài này bớc đầu đã mang lại cho tôi
một số kết quả nhất định song nó cha thật hoàn hảo. Trong thời gian
tới tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo để đề tài đợc
hoàn thiện hơn. Qua đây tôi rất mong nhận đựơc sự góp ý của tổ
chuyên môn, của đồng nghiệp để cho đề tài của tôi đợc hoàn thiện
hơn.
II. Kiến nghị.

- Với Nhà trờng, Phòng giáo dục : Cần tổ chức nhiều chuyên đề trong
một năm học để giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi kinh nghiệm
lẫn nhau về chuyên môn nghiệp vụ.
- Với ngành : Cần có sự chỉ đạo thống nhất trong việc phát hành các
loại sách tham khảo tránh tản mạn và trùng lặp giữa các loại sách.


Xin trân trọng cảm ơn !


Năm học 2005 - 2006
12