Ôn Thi ĐH - Các BĐT Lượng giác trong tam giác và Ứng dụng

4
Chơng 1
Các bất đẳng thức l
Các bất đẳng thức l
ợng giác
ợng giác
cơ bản trong tam giác và ứng dụng
cơ bản trong tam giác và ứng dụng
Trong chơng này, chúng tôi chọn một số bài toán vàê bất
đẳng thức trong tam giác và trình bày lời giải. Trong qua trình
trình bày lời giải, chúng tôi có áp dụng một số bất đẳng thức kinh
điển và một số bất đẳng thức cơ bản trong tam giác.
1.1. Một số bất đẳng thức kinh điển
1.1.1. Bất đẳng thức Cô - si. Với n số không âm a
1
, a
2
, . . . , a
n
ta có bất
đẳng thức

=
=



1
1
1
4

n
n
n
i i
i
i
a a
,
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a
i
= a
j
,

i, j = 1, 2, . . ., n

i j.
1.1.2 Bất đẳng thức Bunhiacốpxky. Giả sử a
1
, a
2
, . . . , a
n
, b
1
, b
2
, . . ., b
n
là 2n số thực. Khi đó ta có bất đẳng thức

2
2 2
1 1 1= = =


ữ ữ ữ


n n n
i i i i
i i i
a b a b
,
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
,
j
i
i j
a
a
b b
=

i, j = 1, 2, . . ., n với i j.
1.1.3 bất đẳng thức Trêbsêp. Cho hai dãy số đơn điệu cùng chiều a
1
a
2
. . . a
n

với b
1
b
2
. . . a
n
. Khi đó ta có bất đẳng thức
ễn thi i hc lng giỏc
5
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
n
a b a b
= = =


ữ ữ ữ


,
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a
i
= a
j
hoặc b
i
= b
j

,

i, j = 1, 2,..., n với i j.
1.1.4 Bất đẳng thức Jen - sen. Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị lõm
trong khoảng (a; b). Khi đó ta có bất đẳng thức
1 2
1 2
( ) ( ) . . . ( )
...
,
+ + +
+ + +


ữ

n
n
f x f x f x
x x x
f
n
n


x
i

(a; b). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x
i

= x
j


i, j = 1, 2,. . ., n với i j.
1.2 Các bất đẳng thức lợng giác cơ bản
Trong tam giác có nhiều bất đẳng thức lợng giác, tuy nhiên chúng tôi
chọn 9 bất đẳng thức sau đây làm bất đẳng thức cơ bản vì tần suất xuất hiện của
chúng tơng đối cao trong các chứng minh những bài toán về bất đẳng thức lợng
giác khác.
Trong tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức cơ bản:
1.2.1
cos cos cos+ +A B C

3
2
.
1.2.2 cosA.cosB.cosC
1
8
.
1.2.3
A B C
sin .sin .sin
2 2 2



1
8

.
1.2.4
2 2 2
sin A + sin B + sin C



9
4
.
1.2.5
sinA + sinB + SinC



3 3
3
+
.
1.2.6
A B C
sin + sin + sin
2 2 2



3
2
.
1.2.7

A B C
cos + cos + cos
2 2 2



3 3
2
.
1.2.8
2 2 2
+ +
A B C
tg tg tg



3
.

ễn thi i hc lng giỏc
6
1.2.9
cotgA + cotgB + cotgC



3
Trong chín bất đẳng thức trên, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác
ABC là tam giác đều.

1.3 ứng dụng.
Trong mọi tam giác chúng ta có một số bài toán về bất đẳng thức liên
quan đến số đo của các góc của tam giác.
Bài toán 1. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1) sinA + sinB + sinC
A B C
cos + cos + cos
2 2 2
.
2) cosA + cosB + cosC
A B C
sin + sin + sin
2 2 2
.
3) cotgA + cotgB + cotgC
A B C
tg + tg + tg
2 2 2
.
4) sinA.sinB.sinC
A B C
cos + cos + cos
2 2 2
.
5) cosA.cosB.cosC
A B C
sin .sin .sin
2 2 2
.
Chứng minh. 1) Ta có

sinA + sinB =
2sin cos 2cos .cos 2cos
2 2 2 2 2
+
=
A B A B C A B C
. (1)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi A = B.
Tơng tự sinB + sinC
2cos
2

A
. (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi B = C.
Tơng tự sinC + sinA
2cos
2

B
. (3)
Dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi C = A.
Từ (1), (2) và (3) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh và dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.

ễn thi i hc lng giỏc
7
2) Tính toán đơn giản ta có các bất đẳng thức

cos cos 2sin

2
+
C
A B
,
và
cos cos 2sin
2
+
A
B C
,
và
cos cos 2sin
2
+
B
C A
.
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác
ABC là tam giác đều.
3) Tính toán đơn giản ta có các bất đẳng thức

cot cot 2
2
+
C
gA gB tg
,
và

cot cot 2
2
+
A
gB gC tg
,
và
cot cot 2
2
+
B
gC gA tg
.
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam
giác ABC là tam giác đều.
4) Vì A, B, C là 3 góc của tam giác ABC, ta có
cos , cos ,cos 0
2 2 2
>
A B C
và
1
sin sin sin
2 2 2 8

A B C
, suy ra
8sin sin sin cos cos cos
2 2 2 2 2 2

A B C A B C
.
Do đó
sin .sin .sin cos .cos .cos
2 2 2 2 2 2

A B C A B C
và dấu bằng xảy ra khi và chỉ
khi tam giác ABC là tam giác đều.
5) Nếu tam giác ABC không nhọn thì cosA.cosB.cosC 0, suy ra bất đẳng thức
đúng. Giả sử tam giác ABC là nhọn. Khi đó
0 < cosA.cosB
2
sin
2
C
,

ễn thi i hc lng giỏc
8
và 0 < cosB.cosC
2
sin
2
A
,
và 0 < cosC.cosA
2
sin
2

B
.
Từ ba bất đẳng thức trên ta suy ra cosA.cosB.cosC
sin sin sin
2 2 2
A B C
và dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
Bài toán 2. Trong mọi ABC, ta có các bất đẳng thức sau
1)

2 2 2
A B C A B C 7
sin + sin + sin + sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2 8
.
2) sinA.sinB + sinB.sinC + sinC.sinA
7 A B C
+ 4sin .sin .sin
4 2 2 2
.
3) cotgA + cotgB + cotgC
9
8sinA.sinB.sinC
.
Chứng minh. 1) áp dụng công thức
cosA + cosB + cosC =
1 4sin .sin .sin
2 2 2
+

A B C
,
ta có
2 2 2
7
sin sin sin sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2 8
+ + +
A B C A B C
,

1 cos 1 cos 1 cos 7
sin .sin .sin
2 2 2 8 2 2 2

+ +
A B C A B C
3 (cosA + cosB + cosC)
7
2sin .sin .sin
4 2 2 2

A B C
3
1 4sin .sin .sin
2 2 2

ữ

+

A B C

7
2sin .sin .sin
4 2 2 2

A B C

sin .sin .sin
2 2 2
A B C

1
8
.
Theo bất đẳng thức cơ bản ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy
ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
2) Do cosA = sinBsinC cosBcosC,

ễn thi i hc lng giỏc
9
và cosB = sinAsinC cosAcosC,
và cosC = sinBsinA cosBcosA.
suy ra sinA.sinB + sinB.sinC + sinC.sinA
= cosA + cosB + cosC + cosBcosC + cosAcosC + cosAcosB.
Hơn nữa cosA.cosB + cosB.cosC + cosC.cosA
1
3
(cosA + cosB + cosC)
2

và áp
dụng bất đẳng thức cơ bản cosA + cosB + cosC
3
2
và công thức
cosA + cosB + cosC =
1 4sin .sin .sin
2 2 2
+
A B C
, ta có
sinA.sinB + sinB.sinC + sinC.sinA
3
4
+ cosA+ cosB + cosC.
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
tam giác ABC là tam giác đều.
3) Tính toán đơn giản ta có
cotgA + cotgB + cotgC =
2 2 2
sin sin sin
2sin .sin .sin
+ +A B C
A B C
áp dụng bất đẳng thức cơ bản
2 2 2
9
sin sin sin
4
+ + A B C

, ta có bất đẳng thức
cần chứng minh đúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam
giác đều.
Bài toán 3: Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1)
2 2 2
1 1 1
+ +
sin A sin B sin C

1
2
2 2 2
A B C
sin .sin .sin
.
2) 3(cotgA + cotgB + cotgC)
A B C
cotg +cotg +cotg
2 2 2
.
Chứng minh: 1) áp dụng công thức

ễn thi i hc lng giỏc
10
sinA + sinB + sin C = 4
2 2 2
A B C
cos .cos .cos
,

khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với

2 2 2 2 2 2
2 2 2
+ + + +

sin A.sin B sin B.sin C sin C.sin A sin A sinB sinC
sin A.sinB.sinC
sin A.sin B.sin C
(sinAsinB sinBsinC)
2
+(sinBsinC sinCsinA)
2
+(sinCsinA sinAsinB)
2
0.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
2) Ta có cotgA + cotgB =
sinC
sin AsinB
,
và cotgB + cotgC =
sin A
sinBsinC
,
và cotgC + cotgA =
sin
sin sin
B
C A

.
Suy ra cotgA + cotgB + cotgC =
2 2 2
1
2
+ +sin A sin B sin C
.
sin A.sinB.sinC
.
Hơn nữa
( )
2 2 2
2
8
1
2 2 2
2 2 2 2
+ +
+ + = =
A B C
cos .cos .cos
sin A sin B sin C
A B C
cotg cot g cot g
sin A.sinB.sinC sin A.sinB.sinC
.
Do đó 3(cotgA + cotgB + cotgC)
2 2 2
A B C
cot g cot g cot g+ +

3( sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C) (sinA + sinB + sinC)
2

(sinA sinB)
2
+ (sinB sinC)
2
+ (sinC sinA)
2
0.
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam
giác ABC là tam giác đều.
Bài toán 4. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1)
A B C
sin .sin .sin
2 2 2

1 A- B B - C C - A
cos .cos .cos
8 2 2 2

ễn thi i hc lng giỏc
11

2)

+ +
B C C A A B
cos cos cos
A B C
sin sin sin
2 2 2
6
2 2 2
Chứng minh. 1) Vì 0 < A, B. C < nên sinA, sinB, sinC > 0. áp dụng bất đẳng
thức Côsi ta có
sinA + sinB
2 sinA.sinB
,
và sinB + sinC
2 sinB.sinC
,
và sinC + sinA
2 sinC.sin A
.
Suy ra (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA) 8sinA.sinB.sinC. Hơn nữa

2 2 2
A B C
sin .sin .sin

1
8 2 2 2
A B B C C A

cos .cos .cos
sinA.sinB.sinC
2 2 2 2 2 2
A B C A B B C C A
cos .cos .cos .cos .cos .cos
8sinA.sinB.sinC

8
2 2 2 2 2 2
+ + + A B B C C A A B B C C A
sin sin sin cos cos cos
.
(sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA).
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.
2) Ta có
2 2 2 2 2 2
A B B C C A A B C
cos ,cos ,cos ,sin , sin , sin
> 0. áp dụng bất
đẳng thức Côsi, ta có
3
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2

+ +
B C C A A B B C C A A B
cos cos cos cos .cos .cos
A B C A B C
sin sin sin sin .sin .sin

Hơn nữa, theo 1) ta có

ễn thi i hc lng giỏc
12
2 2 2
2 2 2
B C C A A B
cos .cos .cos
A B C
sin .sin .sin
8. Suy ra bất đẳng thức 2) đợc chứng minh.
Bài toán 5. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1/
2 2 2
A B C
cos + cos + cos
2 2 2


ữ

2
A B C
sin + sin + sin
2 2 2
2 /
2 2 2
A B C
sin + sin + sin
2 2 2

1 B - C C - A A - B
1- cos cos cos
4 2 2 2
Chứng minh. 1/ Vì
0 ,
2 2 2

< <
A B
nên
A B
cos , cos 0
2 2

. áp dụng bất
đẳng thức Côsi ta có
A B
cos cos
2 2
+ 2
B
A
cos
cos
2
2

. (1)
Khi đó (1)

1 B A A B
sinAtg + sinBtg 2sin sin
2 2 2 2 2

ữ


(2)
Dấu đẳng thức trong (2) xảy ra khi và chỉ khi A = B.
Chứng minh tơng tự ta có các bất đẳng thức

1 C B B C
sinBtg + sinCtg 2sin sin
2 2 2 2 2

ữ


(3)
và
1 A C A C
sinCtg + sinAtg 2sin sin
2 2 2 2 2

ữ


(4)
Dấu đẳng thức trong (3) xảy ra khi và chỉ khi B = C và dấu đẳng thức trong

(4) xảy ra khi và chỉ khi C = A.
Từ (2), (3), (4) suy ra
1 A 1 B 1 C
tg (sinB + sinC) + tg (sinC+sinA) + tg (sinC+sinB)
2 2 2 2 2 2

ễn thi i hc lng giỏc
13

A B B C C A
2 sin sin + sin sin + sin sin
2 2 2 2 2 2

ữ

(5)
Tính toán đơn giản ta có
(5)

cosA + cosB + cosC
A B B C C A
2 sin sin + sin sin + sin sin
2 2 2 2 2 2

ữ

.
Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh và dấu thức xảy ra khi và chỉ
khi tam giác ABC là tam giác đều.
2/ Theo bài 4 phần 1, ta có

2 2 2
A B C
sin .sin .sin

1
8 2 2 2
A B B C C A
cos .cos .cos
. (6)
Hơn nữa cosA + cosB + cosC =
1 4sin .sin .sin
2 2 2
+
A B C
.
Tính toán đơn giản ta có
1-cosA 1-cosB 1-cosC 1 B-C C-A A -B
+ + 1- cos cos cos
2 2 2 4 2 2 2

suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Bổ đề. Nếu 0 < x, y <
2

thì tgx + tgy
x + y
2tg
2
.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Chứng minh. Xét hàm f(x) = tgx với x (0;
2

).
Ta có f (x) =
3
2sin
0
cos
<
x
x
, x (0;
2

).
Vậy hàm f(x) là lồi trên (0;
2

). Do đó f(x) + f(y)
x + y
2tg
2
, với mọi x,
y
0;
2


ữ

. Bổ đề đợc chứng minh.
Bài 6. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:

ễn thi i hc lng giỏc
14
1/

2 2 2
B -C C - A A- B A B C
cos +cos +cos 24sin sin sin
2 2 2 2 2 2
.
2/


ữ ữ
ữ ữ ữ ữ



B C A B C A
cos A- +cos B- +cos C - 4cos A- cos B - cos C -
2 2 2 2 2 2
3/ cosA cosB cosC


2 2 2
A B C
8sin sin sin

2 2 2
.
Chứng minh. 1) áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
2 2 2 2 2 2
3
B - C C - A A - B B - C C- A A - B
cos cos cos 3 cos cos cos
2 2 2 2 2 2
+ +
Theo bài 4 phần 1 ta có
8
2 2 2
A B C
sin sin sin

2 2 2
A B B C C A
cos cos cos
và hơn nữa
1
2 2 2 8

A B C
sin .sin .sin
. Từ đó suy ra
2 2 2 3 3 3 3
B-C C-A A-B A B C
cos cos cos 8 sin sin sin
2 2 2 2 2 2

.
Do đó ta nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minhvà đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi tam giác ABC là tam giác đều.
2) Trớc hết trong mọi tam giác ABC ta luôn có
B C A
cos A - cos B- cos C - 0
2 2 2


ữ
ữ ữ


+ + >
.
Nếu
B C A
cos(A - )cos(B - )cos(C - ) 0
2 2 2

thì bất đẳng thức đã cho là đúng.
Vậy ta chỉ cần xét trờng hợp
B C A
cos(A - )cos( B - )cos(C - ) > 0
2 2 2
.
Đặt x = A -
2
B
, y = B -

2
C
, z = C -
2
A
. Khi đó x + y + z =
2

và
cosx + cosy + cosz = 4
x y y z z x
cos cos cos
2 2 2
+ + +
.
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
cosx + cosy + cosz 4cosx cosy cosz.

ễn thi i hc lng giỏc
15
Hơn nữa ta có
2
2
2
x + y
cos cosxcosy
2
y+ z
cos cosycosz
2

z + x
cos coszcosx
2












Do đó cos
2
xcos
2
ycos
2
z
2 2 2
x y y z z x
cos cos cos
2 2 2
+ + +
Hơn nữa (cosx + cosy + cosz)
2
= 16

2 2 2
x y y z z x
cos cos cos
2 2 2
+ + +
16cos
2
xcos
2
ycos
2
z.
Do đó ta nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minh .
3/ Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
(1 - cosA)(1 - cosB)(1 - cosC) cosAcosBcosC. (*)
Nhận xét rằng (1 - cosA)(1 - cosB)(1 - cosC) > 0 .
Do đó nếu tam giác ABC không nhọn thì cosAcosBcosC 0.
Vậy bất đẳng thức đúng .Vậy chúng ta chỉ cần xét tam giác ABC là nhọn.
Tính toán ta có
(*) tgA tgB tgC
A B C
cotg cotg cotg
2 2 2
tgA + tgB + tgC
A B C
cotg +cotg + cotg
2 2 2
.
áp dụng bổ đề ta có
C

tgA + tgB 2cotg
2
A
tgB + tgC 2cotg
2
B
tgC + tgA 2cotg
2













ễn thi i hc lng giỏc
16
Do đó nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 7. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau.
1)

A B B C C A 5 A B C
sin sin + sin sin + sin sin + sin sin sin
2 2 2 2 2 2 8 2 2 2

.
2) 3(cosA + cosB + cosC )

2( sinA sinB + sinB sinC + sinC sinA).
3)
( 3-sinA)( 3-sinB)( 3-sinC)
sinA sinB sinC.
Chứng minh. 1) áp dụng công thức
cosA + cosB + cosC =
1 4sin .sin .sin
2 2 2
+
A B C
,
suy ra
5 A B C 5 cosA +cosB+ cosC-1
+sin sin sin = +
8 2 2 2 8 4
=
3 1
+ (cosA +cosB+cosC)
8 4
.
Theo chứng minh 1), bài 5, ta có
A B B C C A 1
sin sin +sin sin +sin sin (cosA +cosB+cosC)
2 2 2 2 2 2 2

Do đó
A B B C C A 1 1

sin sin +sin sin +sin sin (cosA+cosB+cosC) + (cosA+cosB+cosC)
2 2 2 2 2 2 4 4

Hơn nữa cosA + cosB + cosC
3
2
. Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
2) Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
3 3 3
( - 1)( - 1)( - 1) 1
sinA sinB sinC

.
áp dụng công thức
sinA =
2
A
2tg
2
A
1+tg
2
. Do đó
1 1 1 A
= + tg
A
sinA 2 2
2tg
2
.

ễn thi i hc lng giỏc
17
Suy ra
3 3 3 A
-1 = + tg -1
A
sinA 2 2
2tg
2

3 A 1 1
= tg + -1
A A
2 2
2 3tg 3tg
2 2

+
ữ
ữ


3 A 1 1 1
2 tg + -1=
A A A
2 2
2 3tg 3tg 3tg
2 2 2

.
tơng tự ta có
3 1
-1
B
sinB
3tg
2

'
và
3 1
-1
C
sinC
3tg
2

.
Suy ra
3 3 3
( - 1)( - 1)( - 1)
sinA sinB sinC

1
A B C
3 3tg tg tg
2 2 2
Hơn nữa
A B C 1

tg tg tg
2 2 2
3 3

. Từ đó ta nhận đợc bất đẳng thức và kiểm tra
đợc rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 8. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1) 1 + cosA cosB cosC


3
sinA sinB sinC.
2)
2 2 2 2 2 2
26
C C
A B A B
tg + tg + tg - tg tg tg
2 2 2 2 2 2
27
.
3) 3[sinA sin2A + sinB sin2B + sinC sin2C ]


( sinA + sinB + sinC )(sin2A + sin2B + sin2C ).
Chứng minh. 1) Đặt x =
A
tg
2
, y =

B
tg
2
, z =
C
tg
2
.
Khi đó x, y, z > 0 và xy+ yz + zx = 1. áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a
cop -xki ta có 3(x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
) (xy + yz + zx)
2
.
Suy ra 1 + x
2
y
2
+ y
2

z
2
+ z
2
x
2

4
3
. Hơn nữa áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

ễn thi i hc lng giỏc
18

2 2 2
3
xy + yz +zx
x y z
3

.
Suy ra
4
3

4 3
xyz. Do đó 1 + x
2
y
2

+ y
2
z
2
+ z
2
x
2

4 3
xyz.
Tính toán đơn giản, bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất
đẳng thức
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1-x 1- y 1-z 2x 2y 2z
1+ 3
1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z

.
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh . Dễ dàng thấy rằng đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
2) Ta có
A B C
tg + tg + tg 3
2 2 2

.
Hơn nữa áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cũng có
1 =

2 2 2
3
A B B C C A A B C
tg tg + tg tg + tg tg 3 tg tg tg
2 2 2 2 2 2 2 2 2

.
Suy ra
2 2 2
A B C 1
tg tg tg
2 2 2 27

. Cuối cùng ta có
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
tg + tg + tg tg tg tg
2 2 2 2 2 2

=
2
2 2 2
A B C A B C 26
tg +tg +tg - tg tg tg - 2
2 2 2 2 2 2 27


ữ

.

Hơn nữa đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
3) Trờng hợp 1. Tam giác ABC là nhọn. Giả sử A B C. Khi đó
sinA sinB sinC
sin2A sin2B sin2C







Theo bất đẳng thức Trêbsep ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

ễn thi i hc lng giỏc
19
Trờng hợp 2. Tam giác ABC không nhọn. Giả sử A B C. Khi đó bất đẳng
thức cần chứng minh tơng đơng với
(sinA sinB)(2sin2A2sin2B -2sin2C)
+ (sinC sinB)(2sin2C 2sin2B 2sin2A) 0.
Nhận xét rằng

sinA- sinB < 0
2sin2A - sin2B - sin2C< 0





và
sinC- sinB < 0

2sin2C- sin2B- sin2A sin2C - 4sinC cosA cosB > 0





=
Do đó ta nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minh .Hơn nữa dấu đẳng thức xảy
ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều
Bài toán 9. Trong mọi tam giác ABC ta luôn có
1)


ữ
ữ

2
3
2 2 2
1 1 1 1 s
+ + 3 1+
sin A sin B sin C p p
.
2) cosA + cosB + cosC


2p- a 2p -b 2p -c
+ +
2p+a 2p+b 2p+c
.

3)
A B C
tg +tg +tg
2 2 2



2
9R
4S
.
Chứng minh. 1) Ta có
A p(p - a)
sin =
2 bc
và
A (p - b)(p - c)
cos =
2 bc
.
Suy ra
2
2
1 (p- b)(p- c)
= 1 + cotg A = 1+
sin A p(p- a)
.
Tơng tự ta có
1 (p- a)(p- c)
= 1+

2
p(p- b)
sin B
và

2
1 (p- a)(p- b)
= 1+
sin C p(p- c)
.
Do đó
2 2 2
1 1 1 (p- b)(p- c) (p- a)(p- c) (p- a)(p- b)
+ + = 3+
sin A sin B sin C p(p- a) p(p- b) p(p- c)
+ +
.

ễn thi i hc lng giỏc
20
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
2
3
(p- b)(p- c) (p- a)(p- c) (p- a)(p- b) 3 S
p(p- a) p(p- b) p(p- c) p p
+ +
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
2) Ta có
2p - a 2p - b 2p - c b + c c + a a + b

+ + = + +
2p + a 2p + b 2p + c (a + b) + (a + c) (b + c) + (b + a) (a + c) + (b + c)
Đặt x = b + c, y = c + a, z = a + b. áp dụng bất đẳng thức Nesbit ta có
x y z 3
+ +
y+ z z + x x + y 2

.
Hơn nữa ta cũng có cosA + cosB + cosC
3
2
. Từ đây suy ra bất đẳng thức cần
chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều.
3) Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
4S
2
A B C
(tg + tg + tg ) 9
2 2 2
R
(*)
Hơn nữa
A r B r C r
tg = , tg = , tg =
2 p-a 2 p-b 2 p-c
Tính toán đơn giản ta có (*) tơng đơng với
4[(p - b)(p - c) +(p - c)(p - a) + (p - a)(p - b)]
2
(a+b+c)
3

Hơn nữa ta luôn có
2
(a+b+c)
3
9R
2
. Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều.
Tiếp theo , chúng ta có một số bài toán về hằng đẳng thức trong tam
giác có liên quan độ dài các cạnh, diện tích, bán kính các đờng tròn ngoại
tiếp và nội tiếp và số đo các góc của tam giác.

ễn thi i hc lng giỏc
21
Bài 10. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1/
C A B
absin +bcsin +casin
2 2 2

2 3S
.
2/

ữ

3
2 2 2
a +b +c
cotgA+cotgB+cotgC

+ +
2 2 2
a b c
A B C
t g t g t g
2 2 2
.
3/
+ +
A B C
atg btg ctg
2 2 2

A B C
6ptg tg tg
2 2 2
.
Chứng minh. 1/ Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
2S A 2S B 2S C
sin sin sin
sin A 2 sin B 2 sin C 2
+ +

2 3S
,

1 1 1
A B B
cos cos cos

2 2 2
+ +

2 3
.
áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có
1 1 1
A B B
cos cos cos
2 2 2
+ +

9
A B C
cos cos cos
2 2 2
+ +
.
Hơn nữa ta có bất đẳng thức cơ bản
A B C 3 3
cos cos cos
2 2 2 2
+ +
.
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác
ABC là tam giác đều.
2/ áp dụng định lý hàm số cosin, ta có
cotgA =
2 2 2
b c a

4S
+
,
và cotgB =
2 2 2
c a b
4S
+
,
và cotgC =
2 2 2
a b c
4S
+
.
Do đó

ễn thi i hc lng giỏc
22
3
2 2 2
a b c
cot gA cot gB cot gC

+ +
ữ
+ +

= 64S
3

.
Hơn nữa a
2
= b
2
+ c
2
2bccosA 2bc(1 cosA).
Tính toán đơn giản ta có
2
a
A
tg
2
4S,
2
b
B
tg
2
4S,
2
c
C
tg
2
4S.
Do đó
2 2 2
a b c

A B C
t g t g t g
2 2 2
+ +
64S
3
.
Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
tam giác ABC là tam giác đều.
3/ áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có
A B C
atg btg ctg
2 2 2
+ +

3
A B C
3 abc.tg tg tg
2 2 2
(1)
Hơn nữa abc = 4RS = 4Rpr. Do đó
A B C
abc.tg tg tg
2 2 2
= 4Rr
2
và
abc
pr
4R

=
.
Suy ra
R 1
2
A B C
r
sin sin sin
2 2 2
=
.
Vậy R 2r. Do đó
A B C
abc.tg tg tg
2 2 2
8r
3
. (2)
Từ (1) và (2), ta nhận đợc
A B C
atg btg ctg
2 2 2
+ +
6r
Hơn nữa
2 2
r S 2absin C A B C
tg tg tg
p p (a b c) 2 2 2
= = =

+ +
hay r =
A B C
p.tg tg tg
2 2 2
.
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam
giác ABC là tam giác đều.
Bài 11. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1/
( ) ( ) ( )
2 2 2
a 1 - 3cotgA +b 1 - 3cotgB +c 1 - 3cotgC


0.

ễn thi i hc lng giỏc
23
2/
2 2 2
A B C
acos + bcos +ccos
2 2 2



3S
2r
Chứng minh. 1/ áp dụng định lý hám số sin ta có:

( ) ( ) ( )
2 2 2
a 1 3 cot gA b 1 3 cot gB c 1 3 cot gC + +
=
2 2 2 2
4R sin A(1 3 cot gA) 4R sin B(1 3 cot gB)
+
2 2
4R sin C(1 3 cot gC)+
=
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4R sin A 1 3 cot gA sin B 1 3 cot gB sin C 1 3 cot gC

+ +

=
( )
2 2 2 2
4R sin A sin B sin C 3 cosAsin A cosBsin B cosCsin C

+ + + +

=
( )
2 2 2 2
3
4R sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C
2

+ + + +


Hơn nữa sin
2
A + sn
2
B + sin
2
C
2 2 2
3
3 sin Asin Bsin C
=
2 2 23
3sin Asin Bsin C
sin Asin Bsin C
và sinAsinBsinC
3 3
8
. Suy ra sin
2
A + sn
2
B + sin
2
C
2 3
sinAsinBsinC .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
2/ Ta có
2 2 2
A B C
a cos bcos ccos
2 2 2
+ +
=
1 cosA 1 cos B 1 cosC
a b c
2 2 2
+ + +
+ +

= p +
1
R(sin 2A sin 2B sin 2C)
2
+ +
= p + 2RsinA.sinB.sinC.
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
S S 3S
r R r
+
R 2r

sin sin sin
2 2 2
A B C

1
8
.

ễn thi i hc lng giỏc
24
Vậy bất đẳng thức 2/ đợc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 12. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1)

4
1 1 1 3 3
+ +
a+b-c a+b-c a+b-c
2 s
.
2)
2 2 2
a +b +c


ữ

2
36 abc
p +
35 p
.
3) 4(ab + bc + ca)

2
4 3S + 4p
.
Chứng minh.1)Ta có
1 1 1 1 1 1
+ + 2 + +
a + b -c a +b-c a + b-c p -c p-a p-b

ữ

=
.(1)
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
3
1 1 1 1
+ + 3
p-c p-a p-b (p-a)(p-b)(p-c)

và
(p - a) + (p - b) + (p - c)
3
3 (p-a)(p-b)(p-c)
.
Suy ra
1 1 1
+ +
p-c p -a p-b

ữ

(p - a) + (p - b) + (p - c)


9.
Do đó
1 1 1 9
+ +
p-c p-a p -b p

.
Suy ra 4
1 1 1 1 1 1 3
+ + 3 + +
p-c p -a p-b p-c p-a p-b p



+
. (2)
Hơn nữa
4
4
1 1 1 3 3 3
+ + 4 = 4
p-c p-a p-b p p(p-a)(p-b)(p-c)
s
+
. (3)
Từ (1), (2), (3), ta nhận đợc bất đẳng thức. Dễ thấy rằng dấu đẳng thức xảy ra

khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
2) Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
35( a
2
+ b
2
+ c
2
) 9( a + b + c )
2
+
72abc
a + b + c
.

ễn thi i hc lng giỏc
25
áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-sky ta có
27( a
2
+ b
2
+ c
2
) 9( a + b + c )
2
. (4)
Và áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
72abc
a + b + c

3
2
72 a + b +c 8
= (a +b +c)
a + b + c 3 3

ữ

.
áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-sky ta có
2 2 2 2
8
(a + b +c) 8(a + b +c )
3

.
Suy ra
72abc
a + b + c
8( a
2
+ b
2
+ c
2
) . (5)
Từ (4) và(5), ta nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi tam giác ABC là đều.
3) Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với

4( ab + bc + ca )
2
4 3 +(a + b+c)
. (6)
áp dụng công thức
2 2 2
a +b +c = 4S(cotgA +cotgB+cotgC)
1 1 1
ab+ bc+ca = 2S + +
sinA sinB sinC








Do đó bất đẳng thức (6) tơng đơng với
1 1 1
4S + + 4 3S+ 4S(cotgA +cotgB+cotgC)
sinA sinB sinC




. (7)
Tính toán đơn giản bất đẳng thức (7) tơng đơng với
A B C
tg + tg + tg 3

2 2 2

.
Vậy suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam
giác ABC là tam giác đều.
Bài 13. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:

ễn thi i hc lng giỏc
26
1)
a b c 3abc
+ + + < 2
b+c c+a a + b (a +b)(b +c)(c+ a)
.
2)
2 2
8 S ab ab bc bc ca ca 8 S
+ +
3 2r a + b b + c c + a 3 R


ữ ữ

.
3) a
2
+ b
2
+ c
2

r + p + 4Rr.
Chứng minh. 1) Do a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC nên
(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c) = (a - b - c)[a
2
- b
2
- c
2
+ 2bc]
= a
2
( a - b - c ) + b
2
(b + c - a) + c
2
(b + c - a) + 2bc(a - b - c) < 0.
Suy ra a(c + a)(a + b) + b(a + b) + c(b + c)(c + a) + 3abc
< 2(a + b)(b + c)(c + a).
Vậy ta nhận đợc bất đẳng thức
a b c 3abc
+ + + < 2
b+c c+a a + b (a + b)(b+ c)(c+a)
.
2) áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
ab 1
a + b 2
bc 1
b+c 2
ca 1
c+a 2

,
suy ra
ab ab bc bc ca ca ab + bc +ca
+ +
a + b b + c c + a 2

. (1)
Hơn nữa từ S = pr ta nhận đợc
2 2
2
8 S 8 a + b +c (a +b +c)
3 2r 3 4 6

= =
ữ ữ

.
Ta cũng có
2
ab+bc +ca (a + b +c)
2 6

. (2)

ễn thi i hc lng giỏc
27
Từ (1) và (2) ta nhận đợc bất đẳng thức. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
tam giác ABC là đều.
Tiếp theo, áp dụng định lý hàm số sin
a + b + c = 2R(sinA + sinB + sinC)
3 3R
.
áp dụng công thức Hêrông và bất đẳng thức Côsi, ta có
2
abc
S = p (p-a)(p-b) (p-b)(p -c) (p-c)(p-a) p
8

.
Do đó
2
2
abc
p
8 S 8 abc
8

=
3 R 3 (a + b) +(b+c)+(c +a)
a + b +c
3 3


ữ


ữ

.

3
9abc
3 (a + b)(b +c)(c+a)
.

ab ab bc bc ca ca
+ +
a + b b + c c + a
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều.
3) Ta có sinA =
2
A
2tg
2
A
1+ tg

2
. Suy ra

2
2 2
2
2r
a 2r(p-a)
p-a
=
r
2R r +(p-a)
1 +
(p-a)
=
.
Do đó ta nhận đợc
a
3
- 2pa
2
+ (p
2
+ r
2
+ 4Rr)a - 4pRr = 0.
Tơng tự ta có
b
3
- 2pb

2
+ (p
2
+ r
2
+ 4Rr)b - 4pRr = 0.
c
3
- 2pc
2
+ (p
2
+ r
2
+ 4Rr)c - 4pRr = 0.
Vậy a, b, c là ba nghiệm của phơng trình

ễn thi i hc lng giỏc
28
X
3
- 2pX
2
+ (p
2
+ r
2
+ 4Rr)X - 4pRr = 0.
áp dụng dịnh lý Viet ta có
ab + bc + ca = p

2
+ r
2
+ 4Rr.
Hơn nữa ab + bc + ca a
2
+ b
2
+c
2
.
Vậy ta nhận đợc bất đẳng thức. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác
ABC là tam giác đều.
Bài 14. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1)
+ + +
+ +
a b b c c a
l l l l l l
c a b

3 3
.
2) 36r
2
ab + bc + ca 9R,
3)
+ +
c a b
ab bc ca

l l l
6R.
Chứng minh. 1) Ta có l
a
=
A
2bccos
2
b c+
, l
b
=
B
2ca cos
2
c a+
, l
c
=
C
2abcos
2
a b+
suy ra

a b b c c a
l l l l l l
c a b
+ + +
+ +

=
A B C
2 cos cos cos
2 2 2

+ +
ữ

.
Theo bất đẳng thức cơ bản, ta có
A B C 3 3
cos cos cos
2 2 2 2
+ +
. Vậy ta nhận đợc
bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là
tam giác đều.
2) áp dụng các công thức
A B C
r 4R sin sin sin
2 2 2
=
,
và a =2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC, Ta có 36r
2
ab + bc + ca
tơng đơng với sinAsinB + sinBsinC + sinCsinA

2 2 2
A B C

144R sin sin sin
2 2 2

+ +
ữ

(1)
áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có: