Cac de bai tap luyen thi vao cap ba.doc

Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Rút gọn biểu thức
Bài tập 1: Cho biểu thức:
2 3 1
( ) :
4
2 2
a a
A
a
a a a a
+
= +


a) rút gọn biể thức A.
b) tính A khi 4a
2
-9a=0
Bài tập 2: Cho bt
2
( ) 4a b ab a b b a
A
a b ab
+
=

a) Rút gọn bt A
b) Tìm điều kiện của a, b để A<0
c) Tính A khi b=4-2
3

Bài tập 3: Cho biểu thức
1 1
2(1 2) 2(1 2)
A
x x
= +
+ + +
a) Rút gọn biể thức A
b) Tìm x để A<0
Bài tập 4: Cho bt:
1 1 2
( ) :( )
1
1 1
a
K
a
a a a a
= +

+
a) Rút gọn K
b) Tnhs K khi a=3+2
2
c) Tìm a để K<0
Bài tập 5: Cho bt
2
1
( 1 1) : ( 1 )
1

A a a
a
= + +
+
a)Rút gọn A
b)Tính A khi a
2
-3a=0
Bài tập 6: Cho bt
a b a b
A
ab b ab a ab
+
= +
+
a) Rút gọn A
b) Tính A nếu a=
3 2 2 , 3 2 2b = +
c) G/S
1
5
a a
b b
+
=
+
. Chứng minh A không đổi.
Bài tập 7: Cho biểu thức
3 1 4 4
4

2 2
a a a
P
a
a a
+
= +

+
a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị của A khi a=9
Bài tập 8: Cho biểu thức
1 1 2
( )
2 2 2 2 1
x x
P
x x x
+
=
+
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P<)
c) Tìm x nguyên để P nguyên
Bài tập 9: Cho biểu thức
4 8 1 2
( ) :( )
4
2 2
x x x

P
x
x x x x

= +

+
1
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P=-1
c) Tìm m để với mọi giá trị x>9 ta có
( 3) 1m x P x > +
Bài tập 10: Cho biểu thức:
1 1 2
( ) :
2
a a a a a
A
a
a a a a
+ +
=

+
a) Rút gọn A
b) Với những giá trị nguyên nào của của a thì A nguyên.
Bài tập 11: Cho biểu thức:
( ) :( )
2
a a a a b

C
b a
a b a b a b ab
= +

+ + + +
a) Rút gọn C
b) Bíêt rằng
1
4
a
b
=
Thì C=1. hãy tính giá trị của a, b
Bài tập 12: Cho biểu thức
3
1 1
1 1 1
x x
H
x x x x x

= + +
+
a) Rút gọn H
b) Tính H khi x=
53
9 2 7
c) Tìm x để H=16
Bài tập 13: Cho biểu thức

1 1 1 1 1
( ) :( )
1 1 1 1 1
A
x x x x x
= + +
+ +
a)
Rút gọn A
b)
Tính A khi x=7+4
3
c)
Tìm x để A
min
Bài tập 14: Cho biểu thức:
2 2 1
( )
1
2 1
a a a a a a
A
a
a a a
+ +
=

+ +
a) Rút gọn A
b) Chứng minh

A A=
Bài tập 15: cho
2
1 1
(1 ) :( )( ) 1
1 1
a a a a
A a a a
a a
+
= + +
+
a) Rút gọn a
b) tính gt của A khi a=9
c) với giá trị nào của a thì /A/=A
Bài tập 16: Cho
2 1 1
1 1 1
a a
M
a a a a a
+ +
= + +
+ +
a) Rút gọn M
b) So sánh M với 1/3
Bài tập 17: Cho biểu thức
2
2 2 2
( ) :

1
(1 )
2 1
a a
A
a
a
a a
+
=


+ +
a) Tìm a để A không có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài tập 18: Cho biểu thức:
1 1
( ) :(1 )
a b
N
a a b a a b a b
+
= + +
+
2
a) Rút gọn N
b) Tìm b biết /N/=N
c) Tính N biết
5 4 2, 2 6 2a b= + = +

Giải bài toán bằng cách
lập phơng trình, lập hệ phơng trình
Bài tập 1: Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ôtô đi từ A đến B,
nghỉ 90 phút ở B, rồi lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ. Biết
vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
Bài tập 2: Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B dài 80 km, sau
đó lại ngợc dòng đến địa điểm C cách B 72 km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời
gian ca nô ngợc dòng là 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vậntốc donkgf n-
ớc là 4 km/h.
Bài tập 3: Một hình chữ nhật có diện tích 300 m
2
. Nế giảm chiều rộng đi 3m, tâng
chiều dài lên 5m thì ta đợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ
nhật ban đầu. Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu.
Bài tập 4: Một tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy. Nếu tăng chiều cao thêm 3
cm và cạnh đáy tăng 2cm thì diện tích của nó tăng thêm 12 cm
2
. Tính chiều cao và
cạnh đáy.
Bài tập 5: Diện tích một hình thang bằng 140 cm
2
, chiều cao bằng 8 cm. Xác định
chiều dày đáy. Biết các cạnh đáy hơn kém nhau 15 cm.
Bài tập 6: Hai giá sách có 450 cuốn, nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ
hai thì số sách ở giá thứ 2 bằng 4/5 số sách ở giá thứ nhát. tính số sách mỗi giá ban
đầu.
Bài tập 7: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng
thêm 20 km/h thì thời gian đi xẽ giàm 1 giờ, nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thì thời
gian tăng thêm 1 giờ. tính vậntốc và thờ gian đi của ô tô.
Bài tập 8: Một ca nô chạy trên sông 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km.

Một lần khác, ca nô cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km, ngợc dòng 84 km. tính
vận tốc dòng nớc và vận tốc của ca nô.
Bài tập 9: Hai vật cùng chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20 m, xuất phát
cùng một lúc từ 1 điêmr. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giâu lại
gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì cứ sau 4 giây lại gặp nhau. tính vận
tốc mỗi vật
Bài tập 10: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ
nhất làm 3 giờ và ngời thứ hailàm 6 giờ thì họlàm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời
làm một mình thì trong bao lâuthì xong.
Bài tập 11: Nếu hai ngời cùng làm chung một công việc mất 4 giờ. Ngời thứ nhất làm
đợc một nửa công việc ngời thứ hai làm nốt cho đến khi hoàn thành cả thảy hết 9 giờ.
Hỏi mỗi ngời làm một mình thì hết mấy giờ thì xong.
Bài tập 12: Một xe ô tô đi từ A đến B dài 120 km trong một thời gian dự định. Sau khi
đi đợc một nửa quãng đờng thì xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đến sớm 12 phút so
với dự định. Tính vân tốc ban đầu của xe.
Bài tập 13: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 7m và có độ dài đờng chéo
là 17 m. Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật đó.
Bài tập 14: Hai đội công nhân cùng làm một công việc trong 3 giờ 36 phút thì xong.
Hỏi nếu mỗi đội làm một ,mình thì phải mất baolâu mới xong công việc trên. Biết
rằng thời gian làm một mình của đội A ít hơn thời gian làm một mình của đội B là 3
giờ.
Bài tập 15: Một tam giác vuông có chu vi bằng 60 cm và có cạnh huyền bằng 25 cm.
Tính độ dài các cạnh của hình vuông.
Bài tạp 16: Một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của số đó bằng 10. tích của hai chữ
số ấy nhỏ hơn số đã cho là 82. Tìm số đã cho.
Bài tập 17: Một đoàn xe vận tải chuyên chở 30 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì đợc
bổ sung hai xe nên mỗi xe chở ít hơn 0,5 tấn so với dự định. Hỏi lúc đầu đoàn xe có
bao nhiêuchiếc.
3
Bài tập 18: Ba xe vận tải chở 118 tấn hàng mất tất cả 50 chuyến. Số chuyến xe thứ

nhất gấp rỡi số chuyến xe thứ hai. Mỗi chuyến xe thứ nhất chở 2 tấn, xe thứ hai chở
2,5 tấn, xe thứ 3 chở 3 tấn. Hỏi mỗi xe chở mấy chuyến.
Bài tập 19: Lấy một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số cả nó đợc 405. Nếu lấy
số đợc viết bởi hai chữ số ấy nhng thêớth tự ngợc lại rồi nhân với tổng các chữ số cuả
nó sẽ đợc 486. Hãy tìm số có hai chữ số đó.
Hệ phơng trình ph ơng trình hàm số
Bài tập 1: Giải các hệ phơng trình sau:
a) 2x-y=3 b) 2x-3y+5=0 c) 2x-3y=-5 d) 17x+4y=2
5+y=4x 4x-y-6=0 -3x+4y=2 13x-2y=1
e) 3(x-7)=4(y-5) g)
1 2
4
2 3
x y =

4x-3y+8=0 3x+2y=6
h)
1 1 2
15
5 5 1
3 2
x y
x y
+ =
+ =
Bài tập 2: Cho hệ phơng trình: 2x-my=-5
mx+8y =m
a) Giải hệ với m=
2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm.

Bài tập 3:Tìm m để hệ pt mx-2y=3
3x+my=4 có nghiệm x>0, y<0.
Bài tập 4: Cho hệ phơng trình: mx-y=2
x+my=1
a) Giải hệ khi m=2
b) Gọi nghiệm của pt là (x;y). Tìm m để x+y=1
c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Bài tập 5: Cho hệ phơng trình mx-y=3
3x+my=5
a) Giải hệ khi m=1
b) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện.
2
7( 1)
1
3
m
x y
m

+ =
+
Bài tập 6: Cho hệ phơng trình x+my=3
mx+4y=6
a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm.
b) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x>1, y>0
c) Tìm m để x+y=3
d) Tìm m để x+y có giá trị nguyên
e) Tìm m để x+y có giá trị lớn nhất.
f) Tìm m để hệ có nghiệm âm.

Bài tập 7: Xác định các hê số a, b để hệ phơng trình
2x+by=-4
bx-ay=-5 có ngiệm (x=1; y=-2)
Bài tập 7: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
a) x
2
-4x=0 h)
1 1 1
3 3 4x x
+ =
+
4
b) 2x
2
-x-6=0 i)
2
2
3 2 7
1 1
1
x x x x
x x
x

=
+

c) 9x
2
-1=0 k)

2
2
3 1 4 21
2 2
4
x x x x
x x
x
+ + +
=
+

d) x
2
+x=20
e) (x-1)(x+4)=x+11 m)
1 1 1
3 1x x x
+ =

f) (2x+1)(x-4)=(x-1)(x+4) n)
2
4 4 1 2007x x+ + =
j)
31 1x x =
t)
2 3 1 2
2 3 6
x x x +
>

l) 2x
4
-5x
2
+2=0 r)
5 3 10
2 1
4 7
x x
x
+
+ <
o) x-2-2
2x
=-1 )
2
4 4 7 4 3x x + =
ơ) (x
2
+x+1)(x
2
+x+2)=12 p)
1
16 16 2 9 9 4 4 1 8
2
x x x x+ + + + + + =
Bài tâp 8: Cho phơng trình 4x
2
+4(m-1)x+m
2

+1=0
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô ngiệm.
Bài tập 9: Cho phơng trình (m-1)x
2
-2mx+m
2
-1=0
a) Giải hệ khi m=2.
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm -1. Khiđó hãy tìm nghiệm còn
lại.
Bài tập 10: Cho phơng trình (m-1)x
2
+2mx+m+1=0
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm? Có hai nghiệm?
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm?
c) Tìm m để tổng hai nghiệm bằng 1.
Bài tập 11: Cho phơng trình (m-1)x
2
-2mx+m+1=0
Tìm m để phơng trình trên là phơng trình bậc hai, khi đó hãy chứng tỏ phơng
trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 12: Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm bé hơn 2:
x
2
-2(m+1)x+2m+1=0
Bài tập 13: Cho phơng trình 2x
2
-7x+4=0. Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x

2
.
1) Không giải phơng trình hãy tính các giá trị của các biểu thức sau:
a) x
1
+x
2
b) x
1
x
2
c)x
1
2
+x
2
2
d) x
1
3
+x
2
3
e)
1 2
x x+
f)
1 2
1 1
x x

+
h)
2 2
1 2
1 1
x x
+
g)
1 2 2 1
x x x x+
k)
1 2
2 1
x x
x x
+
2) Xác định phơng trình bậc hai nhận x
1
2
-x
2
và x
2
2
-x
1
là nghiệm.
Bài tập 14: Cho phơng trình 2x
2
-5x+1

Không giải phơng trình hãy tính các giá trị của các biểu thức sau:
a) x
1
+x
2
b) x
1
x
2
c)x
1
2
+x
2
2
d) x
1
3
+x
2
3
e)
1 2
x x
+
f)
1 2
1 1
x x
+

h)
2 2
1 2
1 1
x x
+
g)
1 2 2 1
x x x x
+
k)
1 2
2 1
x x
x x
+
Bài tập 15: Cho phơng trình 2x
2
-3mx-2=0
5
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân
biệt.
b) Gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để S=x
1
2
+x

2
2
đạt
giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài tập 16: Cho phơng trình kx
2
+(k-1)x-1=0
a) Tìm k để phơng trình có nghiệm là 1. Hãy tìm nghiệm thứ hai của phơng trình
ứng với k vừa tìm đợc.
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị của k. Tìm hệ
thức giữa các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình không phụ thuộc vào k.
Bài tập 17: Cho phơng trình x
2
+3x+m=0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(giả sử x
1
<x
2
)
b) Với giá trị nào của m thì ta có x
2
-x

1
=6; x
2
2
-x
1
2
=30
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đều âm.
Bài tập 18: Cho phơng trình x
2
-2mx+2m-3=0
a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2
tìm giá trị của m để:
x
1
2
(1-x
2
2
)+x
2
2
(1-x
1

2
)=4
Bài tập 19: Cho phơng trình x
2
-(2m+1)x+m
2
+m-1=0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để (2x
x
-x
2
)(2x
2
-x
1
) đạt giá trị
nhỏ nhất và tính giá trị ấy.
Bài tập 20: Cho hàm số y=(m-3)x.
a) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b) Tìm m để đồ thị đi qua điểm A(1; 2)
c) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
d) Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -8.
e) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y= 3x+1
Bài tập 21: Tìm a, b; biết:
a) Để đờng thẳng y=ax+b đi qua hai điểm A(-5; 3), B(3/2; -1)

b) Để đờng thẳng ax-8y=b đi qua điểm M(9; -6) và đi qua giao điểm của hai đờng
thẳng (d): 2x+5y=17, (d): 4x-10y=14
Bài tập 22: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hàm số y=2x+m (*)
a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua A(-1; 3); B(
2; 5 2
); C(2; -1)
b) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y=3x-2 trong góc phần t thứ
I; II; IV.
Bài tập 23: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hàm số y=(m-2)x
2
(*)
a) Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua A(-1; 3); B(
2
; -1); C(1/2; 5)
b) Khi m=0 tìm tọa độ giao điểm của (*) với y=x-1.
Bài tập 24: Cho hàm số y=f(x)=
3
2
x
2
a) Hãy tính f(-2), f(-1), f(0), f(3), f(
5
), f(
2
3

)
b) Tìm giá trị của hàm số khi x=1; 2; 5.
c) Tìm giá trị của biến khi giá trị của hàm số là 3; 6; 7.
d) Các điểm A(2; 6), B(

2
; 3), C(-4; -24), D(
1 3
;
4
2
) có thuộc đồ thị hàm số
không?
e) Tìm các giá trị của x khi f(x)=3; 6
Bài tập 25: Cho hàm số y=
2
1
2
x
a) Vẽ đồ thị hàm số đó
6
b) Gọi A, B là hai điểm trên đồ thị có hoành độ là 1 và 2. Viết phơng trình đờng
thẳng đi qua hai điểm đó
c) Đờng thẳng y=-x+m-3 cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt, gọi x
1
, x
2
là hoành
độ hai giao điểm ấy. Tìm m để x
1
2
+x
2
2
+4=x

1
2
x
2
2
.
Bài tập 26: Cho hàm số y=f(x)=(m-2)x+m+3
a) Tìm m để hàm số lôn nghịch biến, đồng biến.
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
c) Tìm m để đồ thị của các hàm số y=-x+2, y=2x-1 và đồ thị hàm số trên đồng
quy.
Bài tập 27: a) viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (2; 1) và (-1; -5)
c) Tìm tọa độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục hoánh
d) Tính diện tích tam giác đợc giới hạn bởi hai trụctọa độ và đờng thẳng ở câu a
e) Tính khoảng cách từ góc tọa độ tới đờng thẳng ở câu a)
Bài tập 28: Cho parabol y=-
2
1
2
x
và điểm M(1; -2)
a) Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt
parabol tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của k
b) Gọi x
A
, x
B
lần lợtlà hoành độ của A, B. Xác định k để x
A
2

+x
B
2
-2x
A
x
B
(x
A
+x
B
) đạt
giá trị lớn nhất, tìm giá trị ấy.
Bài tập 29: Cho hàm số f(x)=x
2
-(k-2)x-2k
a) Cho k=1 tìm x để f(x)=0
b) Với giá trị nào của k thì f(x) có nghiệm.
c) Tìm k để f(x) có hai nghiệmvà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài tập 30: Cho f(x)=x
2
+m(m+1)x+5m+20
a) Giải phơng trình f(x)=0 khi m=4
b) Tìm m biết f(x) có một nghiệmbằng -5
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của f(1)
Bài tập 31: Cho y=
2
2
x
và y=x+3/2

Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên.
Bài tập 32: Cho y=x
2
(P)
a) vẽ đồ thị hàm số trên
b) gọi A, B là các điểm thuộc đồ thị hàm số trên và có hoành độ lần lợt là -1, 2.
Viết phơng trình đờng thẳng AB. vẽ AB.
c) Cho (D): y=x+m. Tìm m để (D) tiếp xúc với (P). Xác định toạn độ giao điểm.
Bài tập 33: Cho A(1; 2), B(1; -1), C(0; 2)
a) Vẽ tam giác ABC trê Oxy. Tính độ dài các cạnh và diện tích tam giác đó.
b) Lập phơng trình đờng thẳng chứa cạnh BC
Bài tập 34: Cho (D): y=-x+2, (P): y=x
2
a) Tìm tọa độ giao điểm của (D) và (P)
b) Tìm đờng thẳng ssong song với (D) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 2
Bài tập 35:
a) Xác định hàm số y=ax
2
biết rằng nó luôn đi qua A(3; -3)
b) Chứng tỏ rằng đt y=mx-1 luôn cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt khi m thay
đổi.
Bài tập 37: Cho (D): y=5-2x. Lậpphwơng trình đờng thẳng (D) đi qua A(0; -5) và
vuông góc với (D)
Bài tập 38: Cho A(-1; 0), B(2; 1), C(5; 2). Chứng minh ba điểm đó thẳng hàng.
Hình học
Bài tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), M là điểm trên cung AC (không
chứa B). Kẻ MH vuông góc với AC, MK vuông góc với BC. Chứng mỉnhằng:
a) Tứ giác MHKC nội tiếp.
b) Hai góc AMB và HMK bằng nhau.
c) AM.HK=AB.HM

Bài tập 2: Từ điểm M nằm ngoài (O) vẽ haitiếp tuyến MA, MB. Lấy H là một điểm
trên dây AB. Qua H kẻ đờng vuông góc với OH tại H, nó cắt MA tại E, MB tại F.
7
a) Chứng minh tứ giác OHBF, OHEA, MAOB nội tiếp.
b) Tam giác EOF cân
c) Hạ
OI AB
chứng minh OI.OF=OB.OH
Bài tập 3:Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) (O nằm trong tứ giác). Đờng thẳng
OH vuông góc với AB cắt đờng tròn tại K, đờng thẳng KC, KD lần lợt cắt AB tại E, F.:
a) Chứng minh tam giác KAB cân.
b) Chứng minh tứ giác DFEC nội tiếp
c) DE, CF lần lợt cắt (O) tại M, N chứng minh MN vuông góc với KO
Bài tập 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy D tùy ý trên cạnh AC làm tâm ket đờng
tròn tiếp xúc với BC tại E (DC<1/2AC). Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF, nó cắt AD tạ i,
cắt AE tại K.
a) Chứng minh A, B, E, D, F cùng nằm trên một đờng tròn
b) Chứng minh
IF BF
IK BK
=
c) Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BF tại N. Chứng minh NA=NF.
Bài tập 5: Hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tậihi điểm A và B. Gọi è là một tiếp
tuyến chung của chúng và AB cắt EF tại I.
a) Chứng minh hai tam giác IEA và IBE đồng dạng.
b) Chứng minh I là trung điểm của EF.
c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua I. Chứng minh tứ giác AECF nội
Bài tập 6: Cho tam giác ABC (AB=AC) nội tiếp đờng tròn (O), một điểm D trên cung
nhỏ AB. Trên các tia đối của BD và CD lấy các điểm M và N sao cho CN=BM. Gọi
giao điểm thứ hai của AM và AN với đờng tròn thứ tự tại P, Q. Chứng minh:

a) Tam giác AMN cân
b) Tứ giác ADNM nội tiếp
c) MN//BQ//PC
Bài tập 7: Tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đ-
ờng kính MC. Đờng thẳng BM cắt (O) tại D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S.
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và CA là phân giác của góc SCB.
b) Gọi E là giao điểm của đờng tròn tâm O với BC. Chứng minh rằng ba đờng
thẳng BA, EM, CD đồng quy.
Bài tập 8: Hai đờng tròn (O), (O) cắt nhau tại A, B. Đờng thẳng vuông góc với AB cắt
đờng tròn (O) và (O) lần lợt tại C, D. các đờng thẳng CA, DA cắt đờng tròn (O), (O)
theo thứ tựtại E, F. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CEFD nội tiếp.
b) AB là phân giác của góc FBE.
c) Các đờng thẳng CF, DE, AB đồng quy.
Bài tập 9: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm P nằm giữa A và B. Đơng tròn
đờng kính BD cắt BC tại E. Các đờng thẳng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm
thứ hai F, G. Chứng minh rằng:
a) Hai tam giác ABC và EBD đồng dạng
b) Tứ giác ADEC và àBC nội tiếp
c) AC//FG
d) AC, DE, BF đồng quy
Bài tập 10: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính AB. kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy một
điểm P sao cho AP>R. Từ điểm P kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại M.
a) Chứng minh BM//OP.
b) Đờng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là
hình bình hành.
c) Gọi K là giao của AN và OP; T là giao của PM và ON; J là giao của PN và OM.
Chứng minh ba điểm T, J, K thẳng hàng.
Bài tập 11: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M. Đờng tròn đờng kính
AM cắt đờng tròn đờng kính BC tại N và cắt cạnh AD tại E.

a) Chứng minh E, N, C thẳng hàng
b) F là giao của BN và DC. Chứng minh
BCF CDE =
c)
MM AC
8
Bài tập 12: Cho hình vuông ABĐ. Diểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đờng thẳng
vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự tại H và
K.
a) Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp
b) Tính
ã
CHK
c) Chứng minh KC.KD=KH.KB
d) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển nh thế nào.
Bài tập 13: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) và đờng kính BON. Gọi H
là trực tâm của tam giác ABC, đờng thẳng BH cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
tại M
a) Tứ giác AMNC nội tiếp.
b) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh H, I, N thẳng hàng
c) Chứng minh BH=2.OI và tam giác CHM cân
Bài tập 14: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), gọi D là điểm chính giữa của
cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đờng tròn cắt nhâutị E. Gọi P,Q lần lợt ;là
giao điểm của các cặp đờng thẳng AB và CD, AD và CE.
Chứng minh BC//DE
Chứng min tứ giác CODE, APQC nội tiếp
Tứ giác BCQP là hình gì?
Bài tập 15: Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính BC. Điểm A thộc nửa đờng tròn đó và
dựnghình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C. Gọi F là
giao điểm của AE và nửa đờng tròn(O). K là giao điểm của CF và ED.

Chứng minh bốn điểm E, B, F, K nằm trên một đờng tròn.
BKC là tam giác gì? Vì sao?
Bài tập 16: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C. Vẽ hai đờng tròn đờng kính
AB và BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC kẻ BD vuông góc với AC tại B lấy điể D sao
cho
ã
0
90ADC =
. Giao của DA, DC với hai đờng tròn là E, F. Chứng minh:
a) EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn.
b) Tứ giác AFEC nội tiếp.
Bài tập 17: Cho tam giác vuông MNP vuông tại M. Từ N dựng đoạn NQ về phía ngoài
tam giác MNP sao cho NP=NQ và
ã
ã
MNP PNQ=
và gọi I là trung điểm của PQ, MI
cắt NP tại E. Chứng minh:
a)
ã
ã
PMI QNI=
b) Tam giác MNE cân
c) MN.PQ=NP.ME
Bài tập 18: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đờng tròn đờng kính
AB, BC. Gọi D và E theo thứ tự là hai tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đờng tròn đ-
ờng kính AB và BC và M là giao điểm của AD với CE.
a) Chứng minh tứ giác ADEC nội tiếp
b) Chứng minh Mb là tiếp tuyến của hai đờng tròn đờng kính AB và BC
c) Kẻ đờng kính DK của đờng tròn đờng kính AB. Chứng minh K, B, E thẳng

hàng
Bài tập 19: Cho haiđờng tròn (O), (O) cắt nhau tại M và N, tiếp tuyến chung với hai
đờng tròn (O), (O) về phía nửa mặt phẳng bờ OO chứa điểm N, có tiếp điểm thứ tự
là A và B. Qua M kẻ cát tuyến song song với AB cắt đờng tròn (O), (O) thứ tựtại C,
D. Đờng thẳng CA và đờng thẳng DB cắt nhau tại I.
a) Chứng minh MI vuông góc với CD.
b) Chứng minh tứ giác IANB nội tiếp
c) Chứng minh MN đi qua trung điểm của AB.
Bài tập 20: Cho tam giác ABC (BC>AB,
à
0
90B =
). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam
giác ABC, các tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC, CA lần lợt tại P,
Q, R.
a) Chứng minh tứ giác BPIQ nội tiếp
b) Đờng thẳng BI cắt QR tại D. Chứng minh 5 điểm P, A, R, D, I nằm trên cùng
một đờng tròn
9
c) đờng thẳng AI và CI kéo dài cắt BC, AB lần lợt tại E, F. Chứng minh
AE.CF=2AI.CI
Bài tập 21: Cho tam giác vuông cân ABC (AB=AC), trên cạnh BC lấy điểm K. Gọi
(O) là đờng tròn tâm O qua K và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O) là đờng tròn tâm Ođi
qua K và tiếp xúc với AC tại C. (O) và (O) cắt nhâutị N (K#N)
a) Chứng minh tam giác BNC vuông
b) Chứng minh ON là tiếp tuyến của (O)
c) BO cắt CO tại E. Chứng minh A, B, N, E, C cùng nằm trên một đờng tròn
d) Xác định vị trí của K sao cho OO ngắn nhất.
Bài tập nâng cao
Bài tập 1: Xác định a, b, c thỏa mãn

2
3 2
5 2
2 1
3 2 ( 1)
x a b c
x x
x x x

= + +
+
+
Bài tập 2: Giải phơng trình
3 3
12 14 2x x + + =
Bài tập 3: Cho 3 số dơng a, b, c. Chứng minh rằng: (a+b+c)(
1 1 1
) 9
a b c
+ +
Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu b>0, c>0 thì
4b c
bc b c
+

+
Bài tập 5: Chứng minh rằng nếu a, b, c dơng và a+b+c=1 thì b+c

16abc
Bài tập 6: Cho a, b, c không âm chứng minh:

a b c ab ac bc+ + + +
Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
( 2006) ( 2007)P x x
= + + +

10