de thi dap an Toan 8 - 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (118.97 KB, 4 trang )

TRƯỜNG THCS VINH THANH
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS
NĂM HỌC 2008-2009
MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
a) Cho x > y > 0 hãy so sánh A =
yx
yx
+
−
và B =
22
22
yx
yx
+
−
b) Cho a + b = 1
Tính giá trị của biểu thức C = 2(a
3
+ b
3
) – 3(a
2
+ b
2
)
Giải :
a) Vì x > 0; y > 0 suy ra x+y
≠

0
A =
yx
yx
+
−
=
2
)(
))((
yx
yxyx
+
+−

x
2
+y
2
+2xy > x
2
+y
2
; x
2
– y
2
> 0
A =
22

22
2 yxxy
yx
++
−
<
22
22
yx
yx
+
−
x
Vậy A < B
b) C = 2(a
3
+ b
3
) – 3(a
2
+ b
2
) = 2( a+b)(a
2
– ab + b
2
) - 3(a
2
+ b
2

)
= 2 (a
2
– ab + b
2
) - 3(a
2
+ b
2
)
= 2 (a
2
+ b
2
) – 2ab - 3(a
2
+ b
2
)
= - (a
2
+ b
2
) – 2ab = - ( a+b)
2
= -1
Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) (x
2
+ x)

2
+ 4(x
2
+ x) = 12
b)
2003
6
2004
5
2005
4
2006
3
2007
2
2008
1
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
xxxxxx

Giải :
a) (x
2
+ x )
2
+ 4(x
2
+ x) = 12 đặt y = x
2
+ x
y
2
+ 4y -12 = 0
⇔
y
2
+ 6y - 2y -12 = 0
⇔
(y + 6)(y -2) = 0
⇔
y = - 6; y = 2
* x
2
+ x = - 6 vô nghiệm vì x
2
+ x +6 > 0 với mọi x
* x
2
+ x = 2
⇔

x
2
+ x -2 = 0
⇔
x
2
+2x -x -2 = 0
⇔
x(x + 2) – (x + 2) = 0
⇔
(x + 2)(x - 1) = 0
⇔
x = -2; x = 1
Vậy nghiệm của phương trình x = -2 ; x =1
GV: ĐỖ KIM TH ẠCH ST
TRƯỜNG THCS VINH THANH
b)
2003
6
2004
5
2005
4
2006
3
2007
2
2008
1
+

+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
xxxxxx

⇔
)1
2003
6
()1
2004
5
()1
2005
4
()1
2006
3
()1
2007
2
()1
2008

1
(
+
+
++
+
++
+
=+
+
++
+
++
+
xxxxxx
⇔
2003
2009
2004
2009
2005
2009
2006
2009
2007
2009
2008
2009 +
+
+

+
+
=
+
+
+
+
+ xxxxxx
⇔
0
2003
2009
2004
2009
2005
2009
2006
2009
2007
22009
2008
2009
=
+
−
+
−
+
−
+

+
+
+
+
xxxxxx

⇔
0)
2003
1
2004
1
2005
1
2006
1
2007
1
2008
1
)(2009(
=−−−+++
x
Vì
2005
1
2008
1
<
;

2004
1
2007
1
<
;
2003
1
2006
1
<
Do đó :
0
2003
1
2004
1
2005
1
2006
1
2007
1
2008
1
<−−−++
Vậy x + 2009 = 0
⇔
x = -2009
Bài 3: (1,5 điểm)

Cho biểu thức : D =
25
2510
:
2
2
2
232
−
+−
−
−−
x
xxx
y
yy
a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tính giá trị của biểu thức D với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức
x
2
+
2−x
+ 4y
2
– 4xy = 0.
Giải :
a) Rút gọn D =
25
2510
:

2
2
2
232
−
+−
−
−−
x
xxx
y
yy
(y
≠
2; x
≠
0, x
≠
5
±
)
=
)5)(5(
)2510(
:
2
22
22
+−
+−

−
−−+
xx
xxx
y
yyy
=
)5)(5(
)5(
:
2
)1(2)1(
2
+−
−
−
+−+
xx
xx
y
yyy

=
2
)5(
)5)(5(
.
2
)2)(1(
−

−+
−
−+
xx
xx
y
yy

=
2
)5)(2(
)5)(5)(2)(1(
−−
−+−+
xyx
xxyy
=
)5(
)5)(1(
−
++
xx
xy

b) Vì x
2
+
2−x
+ 4y
2

– 4xy = 0
⇔
x
2
– 4xy +4y
2
+
2−x
= 0
⇔
(x -2y)
2
+
2−x
= 0
⇔
(x -2y)
2
= 0 và
2−x
= 0
vì (x -2y)
2

0
≥
với mọi x; y và
2−x

0

≥
với mọi x

⇔
x -2y = 0 và
2−x
= 0
⇔
x = 2y và x -2 = 0
⇔
x = 2 và y = 1
GV: ĐỖ KIM TH ẠCH ST
TRƯỜNG THCS VINH THANH
D =
=
−
++
)5(
)5)(1(
xx
xy
3
7
3
7
)52(2
)52)(11(
−=
−
=

−
++
Bài 4: (2,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của M = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
b) Cho a,b,c,d > 0 Chứng tỏ rằng giá trị của
N =
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
++
+
++
+
++
+
++
không phải là số nguyên.
Giải :
a)M = ( x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x
2
+ 5x + 6)( x
2
+ 5x - 6)
= (x
2

+ 5x)( x
2
+ 5x) – 36
= (x
2
+ 5x)
2
– 36
≥
- 36 vì (x
2
+ 5x)
2
≥
0 với mọi x
M
≥
- 36 với mọi x

Vậy GTNN của M là -36
b)Ta có
dcba
a
cba
a
+++
>
++
;
dcba

b
dcb
b
+++
>
++
;

dcba
c
adc
c
+++
>
++
;
dcba
d
bad
d
+++
>
++

Suy ra N =
bad
d
adc
c
dcb

b
cba
a
++
+
++
+
++
+
++
>
1=
+++
+++
=
+++
+
+++
+
+++
+
+++ dcba
dcba
dcba
d
dcba
c
dcba
b
dcba

a

Ta có:
ca
c
adc
c
ca
a
cba
a
+
<
+++
<
++
;
;
db
d
bad
d
db
b
dcb
b
+
<
+++
<

++
;

N =
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
++
+
++
+
++
+
++
<
db
d
db
b
ca
c
ca
a
+
+

+
+
+
+
+

=
211 =+=
+
+
+
+
+
db
db
ca
ca

Do đó 1 < N < 2 Suy ra giá trị của N không phải là số nguyên.
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB //CD). Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là
giao điểm của AD với BC.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh :
IDIC
IBIA
ODOC
OBOA
+
+
=

+
+

b) Chứng tỏ rằng : I; M; O; N thẳng hàng.
c) Giả sử 3AB = CD và diện tích hình thang ABCD bằng a. Hãy tính diện tích
tứ giác IAOB theo a.
Giải :
a)
∆
OAB ∾
∆
OCD

ODOC
OBOA
CD
AB
OD
OB
OC
OA
+
+
===

GV: ĐỖ KIM TH ẠCH ST
TRƯỜNG THCS VINH THANH
∆
IAB ∾
∆

IDC

IDIC
IBIA
CD
AB
IC
IB
ID
IA
+
+
===
Suy ra :
=
+
+
ODOC
OBOA
IDIC
IBIA
+
+

b)
NC
AM
OC
OA
CD

AB
OC
OA
=⇒=

∆
OAM ∾
∆
OCN(c-g-c)
=
M;O;N thẳng hàng
DN
AM
IC
IA
CD
AB
ID
IA
=⇒=

∆
IAM ∾
∆
IDN ( c-g-c)

I;M;N thẳng hàng
Vậy I;M;O;N thẳng hàng.
c)