Rèn toán tiểu học (hay)

Khi h c v phân s chóng ta c làm quen v i nhi u bài toán có l i v n mà khi gi i ph i chuy n ọ ề ố đượ ớ ề ờ ă ả ả ể
chúng v d ng toán i n hình. Trong bài vi t này tôi xin trao i v m t d ng toán nh th thông ề ạ để ế đổ ề ộ ạ ư ế
qua m t s ví d sau :ộ ố ụ
Ví d 1 :ụ Tìm m t phân s bi t r ng n u nhân t s c a phân s ó v i 2, gi nguyên m u s thì taộ ố ế ằ ế ử ố ủ ốđ ớ ữ ẫ ố
c m t phân s m i h n phân s ban u là 7/36.đượ ộ ố ớ ơ ố đầ
Phân tích : Ta ã bi t nhân m t phân s v i s t nhiên ta ch vi c nhân t c a phân s v i s tđ ế ộ ố ớ ố ự ỉ ệ ử ủ ố ớ ố ự
nhiên ó và gi nguyên m u s . V y nhân t s c a phân s v i 2, gi nguyên m u s t c là ta g p phân đ ữ ẫ ố ậ ử ố ủ ố ớ ữ ẫ ố ứ ấ
s ó lên 2 l n. Bài toán c chuy n v bài toán tìm hai s bi t hi u và t.ốđ ầ đượ ể ề ố ế ệ ỉ
Bài gi i :ả N u nhân t s c a phân s ó v i 2, gi nguyên m u s ta c phân s m i. V y ế ử ố ủ ốđ ớ ữ ẫ ố đượ ố ớ ậ
phân s m i g p 2 l n phân s ban u , ta có s :ố ớ ấ ầ ố đầ ơ đồ

Phân s ban u là :ố đầ


Ví d 2 :ụ Tìm m t phân s bi t r ng n u ta chia m u s c a phân s ó cho 3, gi nguyên t s thì ộ ố ế ằ ế ẫ ố ủ ốđ ữ ử ố
giá tr c a phân s t ng lên 14/9.ị ủ ố ă
Phân tích : Phân s là m t phép chia mà t s là s b chia, m u s là s chia. Khi chia m u s choố ộ ử ố ố ị ẫ ố ố ẫ ố
3, gi nguyên t s t c là ta gi m s chia i 3 l n nên th ng g p lên 3 l n hay giá tr c a phân s ó g p ữ ử ố ứ ả ố đ ầ ươ ấ ầ ị ủ ốđ ấ
lên 3 l n. Do ó phân s m i g p 3 l n phân s ban u. Bài toán chuy n v d ng tìm hai s bi t hi u và t.ầ đ ố ớ ấ ầ ố đầ ể ề ạ ố ế ệ ỉ
Bài gi i :ả Khi chia m u c a phân s cho 3, gi nguyên t s thì ta c phân s m i nên phân s ẫ ủ ố ữ ử ố đượ ố ớ ố
m i g p 3 l n phân s ban u , ta có s :ớ ấ ầ ố đầ ơ đồ

Phân s ban u là :ố đầ


Ví d 3 :ụ An ngh ra m t phân s . An nhân t s c a phân s ó v i 2, n g th i chia m u s c a ĩ ộ ố ử ố ủ ốđ ớ đồ ờ ẫ ố ủ
phân s ó cho 3 thì An c m t phân s m i. Bi t t ng c a phân s m i và phân s ban u là 35/9. ốđ đượ ộ ố ớ ế ổ ủ ố ớ ố đầ
Tìm phân s An ngh.ố ĩ
Phân tích : Khi nhân t s c a phân s v i 2, gi nguyên m u s thì phân s ó g p lên 2 l n. Khi ử ố ủ ố ớ ữ ẫ ố ốđ ấ ầ
chia m u s c a phân s cho 3, gi nguyên t s thì phân s ó g p lên 3 l n. V y khi nhân t s c a ẫ ố ủ ố ữ ử ố ốđ ấ ầ ậ ử ố ủ
phân s v i 2 ng th i chia m u s c a phân s cho 3 thì phân s ó g p lên 2 x 3 = 6 (l n). Bài toán ố ớ đồ ờ ẫ ố ủ ố ốđ ấ ầ

c chuy n v d ng toán i n hình tìm 2 s bi t t ng và t.đượ ể ề ạ để ố ế ổ ỉ
Bài gi i :ả Khi nhân t s c a phân s An ngh v i 2 ng th i chia m u s c a phân s ó cho 3 ử ố ủ ố ĩ ớ đồ ờ ẫ ố ủ ốđ
thì c phân s m i. V y phân s m i g p phân s ban u s l n là : 2 x 3 = 6 (l n), ta có s :đượ ố ớ ậ ố ớ ấ ố đầ ố ầ ầ ơđồ

Phân s ban u là :ố đầ


T 3 ví d trên ta rút ra m t nh n xét nh sau :ừ ụ ộ ậ ư
M t phân s :ộ ố
- N u ta t ng (ho c gi m) t s bao nhiêu l n và gi nguyên m u s thì phân s ó t ng (ho c gi m) ế ă ặ ả ử ố ầ ữ ẫ ố ốđ ă ặ ả
b y nhiêu l n.ấ ầ
- N u ta gi m (ho c t ng) m u s bao nhiêu l n và gi nguyên t s thì phân s ó t ng (ho c gi m) ế ả ặ ă ẫ ố ầ ữ ử ố ốđ ă ặ ả
b y nhiêu l n.ấ ầ

Chóng ta hãy th s c c a mình b ng m t s bài toán sau ây :ử ứ ủ ằ ộ ố đ
Bài 1 : Tìm m t phân s bi t r ng n u t ng t s lên 6 l n, n g th i t ng m u s lên 2 l n thì giá tr ộ ố ế ằ ế ă ử ố ầ đồ ờ ă ẫ ố ầ ị
phân s t ng 12/11.ố ă

Bài 2 : Toán ngh ra m t phân s sau ó Toán chia t s c a phân s cho 2 và nhân m u s c a ĩ ộ ố đ ử ố ủ ố ẫ ố ủ
phân s v i 4 thì Toán th y giá tr c a phân s gi m i 15/8. Tìm phân s mà Toán ngh.ố ớ ấ ị ủ ố ả đ ố ĩ
Bài 3 : T m t phân s ban u , Toµn ã nhân t s v i 3 c phân s m i th nh t, chia m u sừ ộ ố đầ đ ử ố ớ đượ ố ớ ứ ấ ẫ ố
cho 2 c phân s m i th hai, chia t s cho 3 ng th i nhân m u s v i 2 c phân s m i th ba. đượ ố ớ ứ ử ố đồ ờ ẫ ố ớ đượ ố ớ ứ
Toµn th y t ng ba phân s m i là 25/8. b n tìm c phân s ban u c a Toµn.ấ ổ ố ớ Đố ạ đượ ố đầ ủ

___G Nam S n Hà ___ỗ ơ
Trong gi i toán b c ti u h c co m t ả ậ ể ọ ộ ph ng pháp "ươ Gán cho s ph i tìm m t giá tr sai b t kì r i tìmố ả ộ ị ấ ồ
cách chnh l i cho úng"ỉ ạ đ (g i t t là "gán sai - chnh úng"). Trong các giá tr b t kì y n u gán s 1 ọ ắ ỉ đ ị ấ ấ ế ố
(t c n v) ta có ph ng pháp "gán n v - chnh úng". Sau ây là vài ví d :ứ đơ ị ươ đơ ị ỉ đ đ ụ
Ví d 1.ụ
Tu i ông h n tu i cháu là 66 n m. Bi t r ng tu i ông bao nhiêu n m thì tu i cháu b y nhiêu tháng . hãy ổ ơ ổ ă ế ằ ổ ă ổ ấ

tính tu i ông và tu i cháu (t ng t bài Tính tu i - cu c thi Gi i toán qua th TTT s 1)ổ ổ ươ ự ổ ộ ả ư ố
Gi iả
Gi s cháu 1 tu i (t c là 12 tháng) thì ông 12 tu i.ả ử ổ ứ ổ
Lúc ó ông h n cháu : 12 - 1 = 11 (tu i)đ ơ ổ
Nh ng th c ra ông h n cháu 66 tu i, t c là g p 6 l n 11 tu i (66 : 11 = 6).ư ự ơ ổ ứ ấ ầ ổ
Do ó th c ra tu i ông là : 12 x 6 = 72 (tu i)đ ự ổ ổ
Còn tu i cháu là : 1 x 6 = 6 (tu i)ổ ổ
th l iử ạ 6 tu i = 72 tháng ; 72 - 6 = 66 (tu i)ổ ổ
áp s :Ông : 72 tu iĐ ố ổ
Cháu : 6 tu iổ
*Ví d 2:ụ M t v ph huynh h c sinh h i th y giáo : "Th a th y, trong l p có bao nhiêu h c sinh ?" Th y ộ ị ụ ọ ỏ ầ ư ầ ớ ọ ầ
c i và tr l òi :" N u có thêm m t s tr em b ng s hi n có và thêm m t n a s ó, r i l i thêm 1/4 s ườ ả ư ế ộ ố ẻ ằ ố ệ ộ ử ố đ ồ ạ ố
ó, r i c thêm con c a quý v (m t l n n a) thì s v a tròn 100". H i l p có bao nhiêu h c sinh ?đ ồ ả ủ ị ộ ầ ữ ẽ ừ ỏ ơ ọ
Gi i:ả
Theo u bài thì t ng c a t t c s HS và t t c s HS và 1/2 s HS và 1/4 s HS c a l p s b ng : 100 - 1đầ ổ ủ ấ ả ố ấ ả ố ố ố ủ ớ ẽ ằ
= 99 (em)
tìm c s HS c a l p ta có th tìm tr c 1/4 s HS c l p.Để đượ ố ủ ớ ể ướ ố ả ớ
Gi s 1/4 s HS c a l p là 1 em thì c l p có 4 HSả ử ố ủ ớ ả ớ
V y : 1/4 s HS c a l op là : 4 : 2 = 2 (em).ậ ố ủ ứ
Suy ra t ng nói trên b ng : 4 + 4 + 2 + 1 = 11 9em)ổ ằ
Nh ng th c t thì t ng y ph i b ng 99 em, g p 9 l n 11 em (99 : 11 = 9)ư ự ế ổ ấ ả ằ ấ ầ
Suy ra s HS c a l p là : 4 x 9 = 36 (em)ố ủ ớ
Th l i:ử ạ 36 + 36 = 36/2 + 36/4 + 1 = 100
áp s :Đ ố 36 h c sinh.ọ
Ph m ình Th cạ Đ ự
TP.H Chí Minhồ
Khi gi i các bài t p toán liên quan n chia h t, chúng ta th ng s d ng d u hi u chia h t cho 2 ; ả ậ đế ế ườ ử ụ ấ ệ ế
3 ; 5 và 9. Tuy nhiên trong th c t có nhi u bài ph i v n d ng m t s tính ch t chia h t khác gi i. ự ế ề ả ậ ụ ộ ố ấ ế để ả
Chúng ta cùng tìm hi u m t s ví d sau :ể ộ ố ụ

Ví d 1ụ : Cho M là m t s có ba ch s và N là s có ba ch s vi t theo th t ng c l i c a M. Bi t M l nộ ố ữ ố ố ữ ố ế ứ ự ượ ạ ủ ế ớ
h n N. Hãy ch ng t r ng hi u c a M và N chia h t cho 3.ơ ứ ỏ ằ ệ ủ ế


Phân tích : Hi u hai s chia h t cho m t s nào ó khi s b tr và s tr cùng chia h t cho s ó ho c s ệ ố ế ộ ố đ ố ị ừ ố ừ ế ố đ ặ ố
b tr và s tr có cùng s d khi chia cho s ó. D a vào tính ch t này ta ch ng t hi u chia h t cho m t ị ừ ố ừ ố ư ố đ ự ấ ứ ỏ ệ ế ộ
s nào ó b ng cách ch ng t s b tr và s tr có cùng s d khi chia cho s ó.ố đ ằ ứ ỏ ố ị ừ ố ừ ố ư ố đ
Gi i :ả t M = abcĐặ thì N = cba (a > c > 0 ; a, b, c là ch s ), khi óữ ố đ M - N = abc - cba. Gi sả ử cba chia cho
3 d r (0 Ê r < 3) thì a + b + c chia cho 3 c ng d r. Do a + b + c = c + b + a nên cba chia cho 3 c ng có s ư ũ ư ũ ố
d r. V y hi u M - N chia h t cho 3.ư ậ ệ ế

Ví d 2:ụ N u em s 31513 và 34369 chia cho s có ba ch s thì c hai phép chia u có s d b ng ế đ ố ố ữ ố ả đề ố ư ằ
nhau. Hãy tìm s d c a hai phép chia ó.ố ư ủ đ
( thi Ti u h c Thái Lan)Đề ể ọ

Phân tích: N u hai s chia cho s nào ó có cùng s d thì hi u c a chúng s chia h t cho s ó. Vì s ế ố ố đ ố ư ệ ủ ẽ ế ố đ ố
31513 và 34369 chia cho s có ba ch s có s d b ng nhau nên hi u c a chúng chia h t cho s có ba ố ữ ố ố ư ằ ệ ủ ế ố
ch s ó. T ó ta tìm c s chia suy ra s dữ ố đ ừ đ đượ ố để ố ư

Gi i:ả G i s chia c a hai s ã cho là abcọ ố ủ ố đ (a > 0 ; a, b, c < 10). Vì hai s ã cho chia cho s abcố đ ố u có s đề ố
d b ng nhau nên (34369 - 31513) chia h t cho abcư ằ ế hay 2856 chia h t cho abc. Do 2856 = 4 x 714 nênế
abc = 714. Th c hi n phép tính ta có: 31513 : 714 = 44 (d 97) ; 34369 : 714 = 48 (d 97). V y s d c a ự ệ ư ư ậ ố ư ủ
hai phép chia ó là 97.đ

Ví d 3 :ụ Tìm th ng và s d c a phép chia sau : (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x … x 15 + 200) : 182.ươ ố ư ủ

Phân tích : N u trong m t t ng có m t s h ng chia cho m t s nào ó d r còn các s h ng khác chia h t ế ộ ổ ộ ố ạ ộ ố đ ư ố ạ ế
cho s ó thì s d c a t ng chính là r. Th ng c a t ng chính là t ng các th ng c a t ng s h ng. N u ố đ ố ư ủ ổ ươ ủ ổ ổ ươ ủ ừ ố ạ ế
các s chia cho s ó u có d thì s d c a t ng chính là t ng s d c a t ng s h ng, n u t ng các s ố ố đ đề ư ố ư ủ ổ ổ ố ư ủ ừ ố ạ ế ổ ố
d ó nh h n s chia. V y ta xét xem m i s h ng c a t ng ó chia cho s chia có s d là bao nhiêu. T ư đ ỏ ơ ố ậ ỗ ố ạ ủ ổ đ ố ố ư ừ

ó ta tính c th ng và s d c a phép chia ó.đ đượ ươ ố ư ủ đ

Gi i :ả Vì 182 = 2 x 7 x 13 nên s h ng th nh t c a t ng (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x x 15) chia h t cho 182. Vì ố ạ ứ ấ ủ ổ ế
200 : 182 = 1 (d 18) nên s h ng th hai c a t ng chia cho 182 c 1 và d 18. V y s d trong phép ư ố ạ ứ ủ ổ đượ ư ậ ố ư
chia ó chính là 18 và th ng trong phép chia ó chính là k t qu c a phép tính : 1 x 3 x 4 x 5 x 6 x 8 x 9 x đ ươ đ ế ả ủ
10 x 11 x 12 x 14 x 15 + 1.
(B n c t tìm ra áp s )ạ đọ ự đ ố

Ví d 4 :ụ M t ng i h i anh chàng ch n c u : “Anh có bao nhiêu con c u ?”. Anh ch n c u tr l i : “S c uộ ườ ỏ ă ừ ừ ă ừ ả ờ ố ừ
c a tôi nhi u h n 4000 con nh ng không quá 5000 con. N u chia s c u cho 9 thì d 3, chia cho 6 c ng dủ ề ơ ư ế ố ừ ư ũ ư
3 còn chia cho 25 thì d 19”. H i anh ó có bao nhiêu con c u ?ư ỏ đ ừ

Phân tích : Vì s c u c a anh chia cho 9 d 3 còn chia cho 25 d 19 mà 3 + 6 = 9 và 19 + 6 = 25 nên n u ố ừ ủ ư ư ế
thêm 6 con c u vào s c u c a anh thì s c u lúc này s chia h t cho 9 và 25. Ta l i có 9 x 25 = 225 nên ừ ố ừ ủ ố ừ ẽ ế ạ
s c u ó chia h t cho 225. T ó ta tìm các s l n h n 4000 + 6 và không v t quá 5000 + 6 chia h t cho ố ừ đ ế ừ đ ố ớ ơ ượ ế
225 r i th thêm i u ki n chia cho 6 d 3 tìm c s c u c a anh ch n c u.ồ ử đ ề ệ ư để đượ ố ừ ủ ă ừ

Gi i :ả Vì s c u c a anh ch n c u chia cho 9 d 3 và chia cho 25 d 19 nên n u thêm 6 con c u vào s ố ừ ủ ă ừ ư ư ế ừ ố
c u c a anh ch n c u thì s c u lúc này chia h t cho 9 và 25. Do ó s c u ó chia h t cho 225 (vì 9 x 25 ừ ủ ă ừ ố ừ ế đ ố ừ đ ế
= 225). S c u sau khi thêm 6 con ph i l n h n : 4000 + 6 = 4006 và không v t quá 5000 + 6 = 5006. Do ố ừ ả ớ ơ ượ
v y s c u sau khi thêm có th là 4950 con, 4725 con, 4500 con. Vì s c u sau khi thêm 6 con chia cho 6 ậ ố ừ ể ố ừ
v n d 3 nên ch có 4725 là th a mãn u bài. V y s c u hi n có c a anh là : 4725 - 6 = 4719 (con).ẫ ư ỉ ỏ đầ ậ ố ừ ệ ủ

Trên ây là 4 ví d tiêu bi u mà khi gi i ph i v n d ng m t s tính ch t chia h t. Nh ng tính ch t này khôngđ ụ ể ả ả ậ ụ ộ ố ấ ế ữ ấ
có trong ch ng trình c b n c a ti u h c. Tuy nhiên ta d dàng tìm th y nó qua các bài toán. H c toán ươ ơ ả ủ ể ọ ễ ấ ọ
chúng ta c n ph i tìm tòi, sáng t o và v n d ng ki n th c c h c m t cách linh ho t m i th y c v ầ ả ạ ậ ụ ế ứ đượ ọ ộ ạ ớ ấ đượ ẻ
p c a toán h c ph i không các b n ? Hi v ng bài vi t này là m t kinh nghi m nh giúp các b n h c t t đẹ ủ ọ ả ạ ọ ế ộ ệ ỏ ạ ọ ố
h n.ơ

Menu chínhTrong th c t ta g p nhi u bài toán v công vi c chung. Khi gi i các bài toán d ng này ta ự ế ặ ề ề ệ ả ạ

có th hi u m t công vi c nh là m t n v và bi u th thành nhi u ph n b ng nhau sao cho phù ể ể ộ ệ ư ộ đơ ị ể ị ề ầ ằ
h p v i các i u ki n c a bài toán, thu n ti n cho vi c tính toán và gi i bài toán ó. Ta xét m t ợ ớ đ ề ệ ủ để ậ ệ ệ ả đ ộ
vài ví d sau :ụ
Ví d 1 :ụ
Ba ng i cùng làm m t công vi c. Ng i th nh t có th hoàn thành công vi c trong 3 ngày. Ng i th hai ườ ộ ệ ườ ứ ấ ể ệ ườ ứ
có th hoàn thành m t công vi c nhi u g p 3 l n công vi c ó trong 8 ngày. Ng i th ba có th hoàn ể ộ ệ ề ấ ầ ệ đ ườ ứ ể
thành m t công vi c nhi u g p 5 l n công vi c ó trong12 ngày. H i c ba ng i cùng làm công vi c ban ộ ệ ề ấ ầ ệ đ ỏ ả ườ ệ
u thì s hoàn thành trong bao nhiêu gi , n u m i ngày làm 9 gi ?đầ ẽ ờ ế ỗ ờ

Phân tích :
Mu n tính xem c ba ng i cùng làm công vi c ban u trong bao lâu ta ph i bi t c s ph n công vi c ố ả ườ ệ đầ ả ế đượ ố ầ ệ
c ba ng i làm trong m t ngày. Mu n tìm c s ph n công vi c c ba ng i làm trong m t ngày thì ph iả ườ ộ ố đượ ố ầ ệ ả ườ ộ ả
tìm c s ph n công vi c m i ng i làm trong m t ngày. S ph n công vi c làm trong m t ngày c a m i đượ ố ầ ệ ỗ ườ ộ ố ầ ệ ộ ủ ỗ
ng i chính b ng s ph n công vi c chung chia cho s ngày. Do ó s ph n công vi c chung ph i chia h t ườ ằ ố ầ ệ ố đ ố ầ ệ ả ế
cho s ngày. S nh nh t chia h t cho 3, 8 và 12 là 24. V y ta coi m t công vi c chung c giao là 24 ố ố ỏ ấ ế ậ ộ ệ đượ
ph n b ng nhau tìm s ph n công vi c c a m i ng i trong m t ngày.ầ ằ để ố ầ ệ ủ ỗ ườ ộ

Bài gi i :ả

Coi m t công vi c chung c giao là 24 ph n b ng nhau thì s ph n công vi c c a ng i th nh t làmộ ệ đượ ầ ằ ố ầ ệ ủ ườ ứ ấ
trong m t ngày là:ộ

24 : 3 = 8 (ph n).ầ
S ph n công vi c ng i th hai làm trong m t ngày là:ố ầ ệ ườ ứ ộ
24 : 8 3 = 9 (ph n).ầ
S ph n công vi c ng i th ba làm trong m t ngày là:ố ầ ệ ườ ứ ộ
24 : 12 5 = 10 (ph n).ầ
S ph n công vi c c ba ng i làm trong m t ngày là:ố ầ ệ ả ườ ộ
8 + 9 + 10 = 27 (ph n).ầ
Th i gian c n c ba ng i cùng làm xong công vi c ban u là :ờ ầ để ả ườ ệ đầ

24:27 = 8/9 ( ngày)
S gi c n c ba ng i hoàn thành công vi c ban u là :ố ờ ầ để ả ườ ệ đầ
9 x 8/9 = 9 (ngày)

Ví d 2 :ụ
cày xong m t cánh ng, máy cày th nh t c n 9 gi , máy cày th hai c n 15 gi . Ng i ta cho máy Để ộ đồ ứ ấ ầ ờ ứ ầ ờ ườ
cày th nh t làm vi c trong 6 gi r i ngh máy cày th hai làm ti p cho n khi cày xong di n tích cánh ứ ấ ệ ờ ồ ỉ để ứ ế đế ệ
ng này. H i máy cày th hai ã làm trong bao lâu ?đồ ỏ ứ đ
Phân tích:
bài này “công vi c chung” chính là di n tích cánh ng.Ở ệ ệ đồ
Theo cách phân tích bài toán 1, di n tích cánh ng bi u th s ph n là s nh nh t chia h t cho 9 và 15. ở ệ đồ ể ị ố ầ ố ỏ ấ ế
N u coi di n tích cánh ng là 45 ph n b ng nhau thì s tìm c s ph n di n tích c a m i máy cày trong ế ệ đồ ầ ằ ẽ đượ ố ầ ệ ủ ỗ
m t gi . T ó ta tìm c th i gian máy cày th hai làm.ộ ờ ừ đ đượ ờ ứ
Bài gi i:ả
Coi di n tích cánh ng là 45 ph n b ng nhau thì m i gi ngày th nh t cày c s ph n di n tích là:ệ đồ ầ ằ ỗ ờ ứ ấ đượ ố ầ ệ
45 : 9 = 5 (ph n).ầ
Trong 6 gi máy cày th nh t cày c s ph n di n tích là:ờ ứ ấ đượ ố ầ ệ
5 x 6 = 30 (ph n).ầ
S ph n di n tích còn l i là:ố ầ ệ ạ
45 - 30 = 15 (ph n).ầ
M i gi máy th hai cày c s ph n di n tích là:ỗ ờ ứ đượ ố ầ ệ
45 : 15 = 3 (ph n).ầ
Th i gian máy th hai cày n t s ph n di n tích còn l i là:ờ để ứ ố ố ầ ệ ạ
15 : 3 = 5 (gi ).ờ

Ví d 3 :ụ
Ba vòi cùng ch y vào b n c thì sau 1 gi 20 phút s y b . N u riêng vòi th nh t thì sau 6 gi s y ả ể ướ ờ ẽ đầ ể ế ứ ấ ờ ẽ đầ
b , riêng vòi th hai ch y thì sau 4 gi s y b . H i riêng vòi th ba ch y thì sau m y gi y b ?ể ứ ả ờ ẽ đầ ể ỏ ứ ả ấ ờ đầ ể
Phân tích :
1 gi 20 phút = 80 phút ; 6 gi = 360 phút ; 4 gi = 240 phút. Mu n tính riêng vòi th ba ch y y b trong ờ ờ ờ ố ứ ả đầ ể

bao lâu thì ph i bi t m i phút vòi th ba ch y c m y ph n c a b . tính c s ph n b vòi th ba ả ế ỗ ứ ả đượ ấ ầ ủ ể Để đượ ố ầ ể ứ
ch y trong m t phút ta ph i tính s ph n b vòi th nh t, vòi th hai ch y trong m t phút. Nh v y s ph n ả ộ ả ố ầ ể ứ ấ ứ ả ộ ư ậ ố ầ
c a công vi c chung ph i chia h t cho th i gian c a t ng vòi, t c là chia h t cho 80 ; 360 ; 240. S nh nh tủ ệ ả ế ờ ủ ừ ứ ế ố ỏ ấ
chia h t cho 80 ; 240 và 360 là 720. bài toán này “công vi c chung” là l ng n c y b , nên bi u th ế ở ệ ượ ướ đầ ể ể ị
l ng n c y b là 720 ph n, ta gi i ví d này nh sau :ượ ướ đầ ể ầ ả ụ ư
Bài gi i :ả
Coi l ng n c y b là 720 ph n b ng nhau thì m i phút c ba vòi cùng ch y c s ph n b là:ượ ướ đầ ể ầ ằ ỗ ả ả đượ ố ầ ể
720 : 80 = 9 (ph n).ầ
M i phút vòi th nh t ch y m t mình c s ph n c a b là:ỗ ứ ấ ả ộ đượ ố ầ ủ ể
720 : 360 = 2 (ph n).ầ
M i phút vòi th hai ch y m t mình c s ph n c a b là:ỗ ứ ả ộ đượ ố ầ ủ ể
720 : 240 = 3 (ph n).ầ
Do ó m i phút vòi th ba ch y m t mình c s ph n c a b là:đ ỗ ứ ả ộ đượ ố ầ ủ ể
9 - (2 + 3) = 4 (ph n).ầ
Th i gian vòi th ba ch y m t mình y b là:ờ để ứ ả ộ đầ ể
720 : 4 = 180 (phút). ( i 180 phút = 3 gi ).Đổ ờ
V y sau 3 gi vòi th ba ch y m t mình s y b .ậ ờ ứ ả ộ ẽ đầ ể

Ba ví d trên còn có cách gi i khác, nh ng tôi mu n a ra cách gi i này các em h c sinh l p 4 c ng có ụ ả ư ố đư ả để ọ ớ ũ
th làm quen và gi i t t các bài toán d ng này. Bây gi b n c hãy th s c v i các bài toán sau nhé.ể ả ố ạ ờ ạ đọ ử ứ ớ
Bài 1 :
S n và H i nh n làm chung m t công vi c. N u m t mình S n làm thì sau 3 gi s xong vi c, còn n u H i ơ ả ậ ộ ệ ế ộ ơ ờ ẽ ệ ế ả
làm m t mình thì sau 6 gi s xong công vi c ó. H i c hai ng i cùng làm thì sau m y gi s xong công ộ ờ ẽ ệ đ ỏ ả ườ ấ ờ ẽ
vi c ó.ệ đ
Bài 2 :
Hai vòi n c cùng ch y vào b n c thì sau 1 gi 12 phút s y b . N u m t mình vòi th nh t ch y thì ướ ả ể ướ ờ ẽ đầ ể ế ộ ứ ấ ả
sau 2 gi s y b . H i n u m t mình vòi th hai ch y thì m y gi y b ?ờ ẽ đầ ể ỏ ế ộ ứ ả ấ ờ đầ ể
Bài 3 :
Ba ng i d nh p xong m t con ng. Ng i th nh t có th p xong con ng ó trong 3 tu n. ườ ự đị đắ ộ đườ ườ ứ ấ ể đắ đườ đ ầ
Ng i th hai có th p xong m t con ng dài g p 3 l n con ng ó trong 8 tu n. Ng i th ba có ườ ứ ể đắ ộ đườ ấ ầ đườ đ ầ ườ ứ

th p xong m t con ng dài g p 5 l n con ng ó trong 12 tu n. H i c ba ng i cùng p con ể đắ ộ đườ ấ ầ đườ đ ầ ỏ ả ườ đắ
ng d nh ban u thì s hoàn thành trong bao nhiêu gi , n u m i tu n làm vi c 45 gi ?đườ ự đị đầ ẽ ờ ế ỗ ầ ệ ờ

Trong nhi u lo i toán, ng i ta th ng ý n nh ng i l ng không thay i. i v i bài toán tính tu i ề ạ ườ ườ để đế ữ đạ ượ đổ Đố ớ ổ
thì i l ng ó chính là hi u s gi a tu i c a hai ng i. D a vào i l ng này ta có th gi i c nhi u đạ ượ đ ệ ố ữ ổ ủ ườ ự đạ ượ ể ả đượ ề
bài toán tính tu i.ổ
Bài toán 1 : Hi n nay, tu i b g p 7 l n tu i con. Sau 10 n m n a, tu i b g p 3 l n tu i con. Tính ệ ổ ố ấ ầ ổ ă ữ ổ ố ấ ầ ổ
tu i m i ng i hi n nayổ ỗ ườ ệ .
Phân tích : Bài toán yêu c u tính s tu i c a hai b con hi n nay nh ng ch cho bi t :ầ ố ổ ủ ố ệ ư ỉ ế
- T s tu i c a hai b con hai th i i m khác nhau.ỉ ố ổ ủ ố ở ờ đ ể
- Kho ng cách th i gian gi a hai th i i m ó.ả ờ ữ ờ để đ
Nh ng ta có th d dàng phát hi n ra m t i u ki n n a c a bài toán, ó là "hi u s tu i c a hai b con là ư ể ễ ệ ộ đề ệ ữ ủ đ ệ ố ổ ủ ố
không i". T ó ta có th gi i c bài toán nh sau.đổ ừ đ ể ả đượ ư
Gi i :ả Hi n nay, n u tu i con là 1 ph n thì tu i b là 7 ph n nh th . Ta có s th nh t :ệ ế ổ ầ ổ ố ầ ư ế ơ đồ ứ ấ
?
Tu iổ con : | | ?
Tu iổ b :ố | | | | | | | |
Hi u s tu i c a hai b con hi n nay là : 7 - 1 = 6 (ph n)ệ ố ổ ủ ố ệ ầ
Hi n nay t s gi a tu i con và hi u s tu i c a hai b con là 1 : 6 = 1/6ệ ỉ ố ữ ổ ệ ố ổ ủ ố
Sau 10 n m n a, n u tu i con là 1 ph n thì tu i b là 3 ph n nh th (m i ph n bây gi có giá tr khác m i ă ữ ế ổ ầ ổ ố ầ ư ế ỗ ầ ờ ị ỗ
ph n trên). Ta có s th hai :ầ ở ơ đồ ứ
?
Tu iổ con : | | ?
Tu iổ b :ố | | | |
Sau 10 n m hi u s tu i c a hai b con là : 3 - 1 = 2 (ph n)ă ệ ố ổ ủ ố ầ
Sau 10 n m t s gi a tu i con và hi u s tu i c a hai b con là 1 : 2 = 1/2ă ỉ ố ữ ổ ệ ố ổ ủ ố
Vì hi u s tu i c a hai b con không bao gi thay i nên ta có th so sánh v t s gi a tu i con hi n nay ệ ố ổ ủ ố ờ đổ ể ề ỉ ố ữ ổ ệ
và tu i con sau 10 n m n a.ổ ă ữ
- Tu i con hi n nay b ng 1/6 hi u s tu i c a hai b con.ổ ệ ằ ệ ố ổ ủ ố
- Tu i con sau 10 n m n a b ng 1/2 hay 3/6 hi u s tu i c a hai b con.ổ ă ữ ằ ệ ố ổ ủ ố

V y tu i con sau 10 n m n a g p 3 l n tu i con hi n nay. Ta có s tu i con hai th i i m :ậ ổ ă ữ ấ ầ ổ ệ ơ đồ ổ ở ờ đ ể
?
Hi n nayệ : | | 10
Sau 10 n m:ă | | | |
Tu i con hi n nay là : 10 : 2 = 5 (tu i)ổ ệ ổ
Tu i b hi n nay là : 5 x 7 = 35 (tu i)ổ ố ệ ổ
áp s : Con : 5 tu i ; B : 35 tu iĐ ố ổ ố ổ

Bài toán 2 : Tr c ây 4 n m tu i m g p 6 l n tu i con. Sau 4 n m n a, t s gi a tu i con và tu i ướ đ ă ổ ẹ ấ ầ ổ ă ữ ỉ ố ữ ổ ổ
m là 3/8 Tính tu i m i ng i hi n nay.ẹ ổ ỗ ườ ệ
Phân tích : Bài toán này t ra ba th i i m khác nhau (Tr c ây 4 n m, hi n nay và sau ây 4 n m). đặ ờ để ướ đ ă ệ đ ă
Nh ng chúng ta ch c n khai thác bài toán hai th i i m : Tr c ây 4 n m và sau ây 4 n m n a. Ta ư ỉ ầ ở ờ đ ể ướ đ ă đ ă ữ
ph i tính c kho ng cách th i gian gi a hai th i i m này. Bài toán này có th gi i t ng t nh bài toánả đượ ả ờ ữ ờ để ể ả ươ ự ư
1.
Gi i :ả Tr c ây 4 n m n u tu i con là 1 ph n thì tu i m là 6 ph n nh th .ướ đ ă ế ổ ầ ổ ẹ ầ ư ế
Hi u s tu i c a hai m con là : 6 - 1 = 5 (ph n)ệ ố ổ ủ ẹ ầ
V y t s gi a tu i con và hi u s tu i c a hai m con là 1 : 5 = 1/5ậ ỉ ố ữ ổ ệ ố ổ ủ ẹ
Sau 4 n m n a, n u tu i con c chia thành 3 ph n b ng nhau thì tu i m s có 8 ph n nh th .ă ữ ế ổ đượ ầ ằ ổ ẹ ẽ ầ ư ế
Hi u s tu i c a hai m con là : 8 - 3 = 5 (ph n)ệ ố ổ ủ ẹ ầ
V y sau 4 n m n a t s gi a tu i con và hi u s tu i c a hai m con là 3 : 5 = 3/5ậ ă ữ ỉ ố ữ ổ ệ ố ổ ủ ẹ
Vì hi u s tu i c a hai m con là không thay i nên ta có th so sánh tu i con tr c ây 4 n m và tu i con ệ ố ổ ủ ẹ đổ ể ổ ướ đ ă ổ
sau ây 4 n m. Ta có tu i con sau 4 n m n a g p 3 l n tu i con tr c ây 4 n m và tu i con sau 4 n m đ ă ổ ă ữ ấ ầ ổ ướ đ ă ổ ă
n a h n tu i con tr c ây 4 n m là : 4 + 4 = 8 (tu i).ữ ơ ổ ướ đ ă ổ
Ta có s tu i con hai th i i m :ơ đồ ổ ở ờ để
?
Tr cướ ây 4 n mđ ă : | | 8
Sau ây 4 n m:đ ă | | | |
Tu i con tr c ây 4 n m là : 8 : (3 - 1) = 4 (tu i)ổ ướ đ ă ổ
Tu i m tr c ây 4 n m là : 4 x 6 = 24 (tu i)ổ ẹ ướ đ ă ổ
Tu i con hi n nay là : 4 + 4 = 8 (tu i)ổ ệ ổ

Tu i m hi n nay là : 24 + 4 = 28 (tu i)ổ ẹ ệ ổ
áp s : Con : 8 tu i ; M : 28 tu iĐ ố ổ ẹ ổ
Chú ý : v n d ng t t th thu t gi i toán này, các em c n n m v ng ki n th c v t s và i l ng Để ậ ụ ố ủ ậ ả ầ ắ ữ ế ứ ề ỉ ố đạ ượ
không i i v i bài toán tính tu i. Các em có th gi i quy t c nhi u bài toán khó c a d ng toán tính đổ đố ớ ổ ể ả ế đượ ề ủ ạ
tu i b ng th thu t này y. Hãy th s c mình v i các bài toán sau.ổ ằ ủ ậ đấ ử ứ ớ
Bài 1 : Hi n nay tu i anh g p 3 l n tu i em. Sau 14 n m n a, t s gi a tu i anh và tu i em là 5/4 Tính tu i ệ ổ ấ ầ ổ ă ữ ỉ ố ữ ổ ổ ổ
m i ng i hi n nay.ỗ ườ ệ
Bài 2 : Tr c ây 2 n m, t s gi a tu i An và tu i b là 1/4. Sau 10 n m n a, t s gi a tu i b và tu i An ướ đ ă ỉ ố ữ ổ ổ ố ă ữ ỉ ố ữ ổ ố ổ
là 11/5. Tính tu i m i ng i hi n nay.ổ ỗ ườ ệ
Bài 3 : Tr c ây 4 n m, tu i b g p 7 l n tu i con và tu i ông g p 2 l n tu i b . Sau 4 n m n a, t s gi a ướ đ ă ổ ố ấ ầ ổ ổ ấ ầ ổ ố ă ữ ỉ ố ữ
tu i cháu và tu i ông là 3/16. Tính tu i m i ng i hi n nay.ổ ổ ổ ỗ ườ ệ
Cách gi i bài toán ti u h c b ng ph ng pháp gi thi t t mả ở ể ọ ằ ươ ả ế ạ
V a gà v a chó,ừ ừ
Bó l i cho tròn,ạ
Ba m i sáu con,ươ
M t tr m chân ch n.ộ ă ẵ
Tìm s gà, s chó?ố ố
Cô giáo H nh g i ý:ạ ợ
- Các em hãy t m gi thi t r ng t t c ba m i sáu con u là gà ạ ả ế ằ ấ ả ươ đề
Phong lúng túng quá. Em ngh : "N u ba m i sáu con u là gà thì còn ph i tìm s chó làm gì? V y mà uĩ ế ươ đề ả ố ậ đầ
bài l i b t tìm c gà c chó. Th t là r c r i."ạ ắ ả ả ậ ắ ố
Phong xin phát bi u:ể
- Th a cô, trong àn có c gà và chó thì làm sao l i có th gi thi t là toàn gà c ?ư đ ả ạ ể ả ế đượ ạ
Cô H nh m m c i.ạ ỉ ườ
- V y mà c y em . Em c b t àn chó làm xi c ng b ng hai chân là c.ậ đượ đấ ạ ứ ắ đ ế đứ ằ đượ
Th t là k di u. Hóa ra gà và chó khác nhau không ph i ch gà thì gáy mà chó thì s a. Cái chính là s ậ ỳ ệ ả ở ỗ ủ ố
chân kia. G i ý c a cô H nh nh m t tia ch p lóe sáng trong u Phong ợ ủ ạ ư ộ ớ đầ
Hôm tr bài ki m tra cô H nh vui v nói v i l p:ả ể ạ ẻ ớ ớ
- Cô báo v i các em m t tin vui là l p ta có m t nhà toán h c kiêm thi s . Cô c m t bài th th t hay và ớ ộ ớ ộ ọ ỹ đọ ộ ơ ậ đố
các em bi t tác gi là ai trong l p ta nhé. Th r ng:ế ả ớ ơ ằ

Ta hô cho chó ng lên,đứ
Gi hai chân tr c th ng lên khó gì.ơ ướ ẳ
C àn ba sáu (36) v chi,ả đ ị
B y hai (72) chân ch n còn gì n a ây?ả ẵ ữ đ
S chân gi th ng c a cày,ố ơ ẳ ủ
Thì ra hai tám (28) còn ây rành rành.đ
Hóa ra l chó tinh ranh,ũ
V a tròn m i b n (14) loanh quanh ng tr i.ừ ườ ố đằ ờ
C àn b t chó là ph i nhãn ti n:ả đ ớ ơ ề
Hai hai (22) gà y có li n.đấ ề
Bài ra ngon quá làm li n r t vui.ề ấ
Hai tai Phong b ng nh mào gà.đỏ ừ ư
- Bây gi , cô H nh nói ti p, cô ra cho các em m t bài gi thi t t m b ng th n a. Các em v gi i bài này ờ ạ ế ộ ả ế ạ ằ ơ ữ ề ả
b ng th thì c l p ta s u là thi s . Th r ng:ằ ơ ả ớ ẽ đề ỹ ơ ằ
Qua sông
Thuy n to ch c m i ng i,ề ở đượ ườ ườ
Thuy n con ch ch sáu ng i là ông.ề ỉ ở ườ đ
M t bày con nít qua sông,ộ
M i thuy n to, nh gi a dòng ang trôi,ườ ề ỏ ữ đ
C bày là tám m i ng i,ả ươ ườ
Trên b còn có b n ng i ch sang.ờ ố ườ ờ
Bao thuy n to, nh sang ngang?ề ỏ
Cô H nh v a d t l i thì ã có m t cánh tay gi lên. các b n y là tay c a ai và b n ó nh làm gì ?ạ ừ ứ ờ đ ộ ơ Đố ạ đấ ủ ạ đ đị
D y h c sinh gi i toán b ng ph ng pháp chia công vi c ạ ọ ả ằ ươ ệ
b ng nhauằ
Xem k t qu :ế ả / 6
Bình th ngườ Tuy t v iệ ờ
B? phi?u
Trong th c t ta g p nhi u bài toán v công vi c chung. Khi gi i các bài toán ự ế ặ ề ề ệ ả
d ng này ta có th hi u m t công vi c nh là m t n v và bi u th thành ạ ể ể ộ ệ ư ộ đơ ị ể ị

nhi u ph n b ng nhau sao cho phù h p v i các i u ki n c a bài toán, ề ầ ằ ợ ớ đ ề ệ ủ để
thu n ti n cho vi c tính toán và gi i bài toán ó. Ta xét m t vài ví d sau :ậ ệ ệ ả đ ộ ụ
Ví d 1 :ụ
Ba ng i cùng làm m t công vi c. Ng i th nh t có th hoàn thành công vi c trong 3 ngày. Ng i th ườ ộ ệ ườ ứ ấ ể ệ ườ ứ
hai có th hoàn thành m t công vi c nhi u g p 3 l n công vi c ó trong 8 ngày. Ng i th ba có th hoàn ể ộ ệ ề ấ ầ ệ đ ườ ứ ể
thành m t công vi c nhi u g p 5 l n công vi c ó trong12 ngày. H i c ba ng i cùng làm công vi c ban ộ ệ ề ấ ầ ệ đ ỏ ả ườ ệ
u thì s hoàn thành trong bao nhiêu gi , n u m i ngày làm 9 gi ?đầ ẽ ờ ế ỗ ờ

Phân tích :
Mu n tính xem c ba ng i cùng làm công vi c ban u trong bao lâu ta ph i bi t c s ph n công vi c ố ả ườ ệ đầ ả ế đượ ố ầ ệ
c ba ng i làm trong m t ngày. Mu n tìm c s ph n công vi c c ba ng i làm trong m t ngày thì ả ườ ộ ố đượ ố ầ ệ ả ườ ộ
ph i tìm c s ph n công vi c m i ng i làm trong m t ngày. S ph n công vi c làm trong m t ngày ả đượ ố ầ ệ ỗ ườ ộ ố ầ ệ ộ
c a m i ng i chính b ng s ph n công vi c chung chia cho s ngày. Do ó s ph n công vi c chung ph iủ ỗ ườ ằ ố ầ ệ ố đ ố ầ ệ ả
chia h t cho s ngày. S nh nh t chia h t cho 3, 8 và 12 là 24. V y ta coi m t công vi c chung c giao ế ố ố ỏ ấ ế ậ ộ ệ đượ
là 24 ph n b ng nhau tìm s ph n công vi c c a m i ng i trong m t ngày.ầ ằ để ố ầ ệ ủ ỗ ườ ộ

Bài gi i :ả

Coi m t công vi c chung c giao là 24 ph n b ng nhau thì s ph n công vi c c a ng i th nh t làmộ ệ đượ ầ ằ ố ầ ệ ủ ườ ứ ấ
trong m t ngày là:ộ

24 : 3 = 8 (ph n).ầ
S ph n công vi c ng i th hai làm trong m t ngày là:ố ầ ệ ườ ứ ộ
24 : 8 3 = 9 (ph n).ầ
S ph n công vi c ng i th ba làm trong m t ngày là:ố ầ ệ ườ ứ ộ
24 : 12 5 = 10 (ph n).ầ
S ph n công vi c c ba ng i làm trong m t ngày là:ố ầ ệ ả ườ ộ
8 + 9 + 10 = 27 (ph n).ầ
Th i gian c n c ba ng i cùng làm xong công vi c ban u là :ờ ầ để ả ườ ệ đầ
24:27 = 8/9 ( ngày)

S gi c n c ba ng i hoàn thành công vi c ban u là :ố ờ ầ để ả ườ ệ đầ
9 x 8/9 = 9 (ngày)

Ví d 2 :ụ
cày xong m t cánh ng, máy cày th nh t c n 9 gi , máy cày th hai c n 15 gi . Ng i ta cho máy Để ộ đồ ứ ấ ầ ờ ứ ầ ờ ườ
cày th nh t làm vi c trong 6 gi r i ngh máy cày th hai làm ti p cho n khi cày xong di n tích cánh ứ ấ ệ ờ ồ ỉ để ứ ế đế ệ
ng này. H i máy cày th hai ã làm trong bao lâu ?đồ ỏ ứ đ
Phân tích:
bài này “công vi c chung” chính là di n tích cánh ng.Ở ệ ệ đồ
Theo cách phân tích bài toán 1, di n tích cánh ng bi u th s ph n là s nh nh t chia h t cho 9 và 15.ở ệ đồ ể ị ố ầ ố ỏ ấ ế
N u coi di n tích cánh ng là 45 ph n b ng nhau thì s tìm c s ph n di n tích c a m i máy cày ế ệ đồ ầ ằ ẽ đượ ố ầ ệ ủ ỗ
trong m t gi . T ó ta tìm c th i gian máy cày th hai làm.ộ ờ ừ đ đượ ờ ứ
Bài gi i:ả
Coi di n tích cánh ng là 45 ph n b ng nhau thì m i gi ngày th nh t cày c s ph n di n tích là:ệ đồ ầ ằ ỗ ờ ứ ấ đượ ố ầ ệ
45 : 9 = 5 (ph n).ầ
Trong 6 gi máy cày th nh t cày c s ph n di n tích là:ờ ứ ấ đượ ố ầ ệ
5 x 6 = 30 (ph n).ầ
S ph n di n tích còn l i là:ố ầ ệ ạ
45 - 30 = 15 (ph n).ầ
M i gi máy th hai cày c s ph n di n tích là:ỗ ờ ứ đượ ố ầ ệ
45 : 15 = 3 (ph n).ầ
Th i gian máy th hai cày n t s ph n di n tích còn l i là:ờ để ứ ố ố ầ ệ ạ
15 : 3 = 5 (gi ).ờ

Ví d 3 :ụ
Ba vòi cùng ch y vào b n c thì sau 1 gi 20 phút s y b . N u riêng vòi th nh t thì sau 6 gi s y ả ể ướ ờ ẽ đầ ể ế ứ ấ ờ ẽ đầ
b , riêng vòi th hai ch y thì sau 4 gi s y b . H i riêng vòi th ba ch y thì sau m y gi y b ?ể ứ ả ờ ẽ đầ ể ỏ ứ ả ấ ờ đầ ể
Phân tích :
1 gi 20 phút = 80 phút ; 6 gi = 360 phút ; 4 gi = 240 phút. Mu n tính riêng vòi th ba ch y y b trong ờ ờ ờ ố ứ ả đầ ể
bao lâu thì ph i bi t m i phút vòi th ba ch y c m y ph n c a b . tính c s ph n b vòi th ba ả ế ỗ ứ ả đượ ấ ầ ủ ể Để đượ ố ầ ể ứ

ch y trong m t phút ta ph i tính s ph n b vòi th nh t, vòi th hai ch y trong m t phút. Nh v y s ph nả ộ ả ố ầ ể ứ ấ ứ ả ộ ư ậ ố ầ
c a công vi c chung ph i chia h t cho th i gian c a t ng vòi, t c là chia h t cho 80 ; 360 ; 240. S nh ủ ệ ả ế ờ ủ ừ ứ ế ố ỏ
nh t chia h t cho 80 ; 240 và 360 là 720. bài toán này “công vi c chung” là l ng n c y b , nên bi u ấ ế ở ệ ượ ướ đầ ể ể
th l ng n c y b là 720 ph n, ta gi i ví d này nh sau :ị ượ ướ đầ ể ầ ả ụ ư
Bài gi i :ả
Coi l ng n c y b là 720 ph n b ng nhau thì m i phút c ba vòi cùng ch y c s ph n b là:ượ ướ đầ ể ầ ằ ỗ ả ả đượ ố ầ ể
720 : 80 = 9 (ph n).ầ
M i phút vòi th nh t ch y m t mình c s ph n c a b là:ỗ ứ ấ ả ộ đượ ố ầ ủ ể
720 : 360 = 2 (ph n).ầ
M i phút vòi th hai ch y m t mình c s ph n c a b là:ỗ ứ ả ộ đượ ố ầ ủ ể
720 : 240 = 3 (ph n).ầ
Do ó m i phút vòi th ba ch y m t mình c s ph n c a b là:đ ỗ ứ ả ộ đượ ố ầ ủ ể
9 - (2 + 3) = 4 (ph n).ầ
Th i gian vòi th ba ch y m t mình y b là:ờ để ứ ả ộ đầ ể
720 : 4 = 180 (phút). ( i 180 phút = 3 gi ).Đổ ờ
V y sau 3 gi vòi th ba ch y m t mình s y b .ậ ờ ứ ả ộ ẽ đầ ể

Ba ví d trên còn có cách gi i khác, nh ng tôi mu n a ra cách gi i này các em h c sinh l p 4 c ng ụ ả ư ố đư ả để ọ ớ ũ
có th làm quen và gi i t t các bài toán d ng này. Bây gi b n c hãy th s c v i các bài toán sau nhé.ể ả ố ạ ờ ạ đọ ử ứ ớ
Bài 1 :
S n và H i nh n làm chung m t công vi c. N u m t mình S n làm thì sau 3 gi s xong vi c, còn n u H i ơ ả ậ ộ ệ ế ộ ơ ờ ẽ ệ ế ả
làm m t mình thì sau 6 gi s xong công vi c ó. H i c hai ng i cùng làm thì sau m y gi s xong công ộ ờ ẽ ệ đ ỏ ả ườ ấ ờ ẽ
vi c ó.ệ đ
Bài 2 :
Hai vòi n c cùng ch y vào b n c thì sau 1 gi 12 phút s y b . N u m t mình vòi th nh t ch y thì ướ ả ể ướ ờ ẽ đầ ể ế ộ ứ ấ ả
sau 2 gi s y b . H i n u m t mình vòi th hai ch y thì m y gi y b ?ờ ẽ đầ ể ỏ ế ộ ứ ả ấ ờ đầ ể
Bài 3 :
Ba ng i d nh p xong m t con ng. Ng i th nh t có th p xong con ng ó trong 3 tu n. ườ ự đị đắ ộ đườ ườ ứ ấ ể đắ đườ đ ầ
Ng i th hai có th p xong m t con ng dài g p 3 l n con ng ó trong 8 tu n. Ng i th ba có ườ ứ ể đắ ộ đườ ấ ầ đườ đ ầ ườ ứ
th p xong m t con ng dài g p 5 l n con ng ó trong 12 tu n. H i c ba ng i cùng p con ể đắ ộ đườ ấ ầ đườ đ ầ ỏ ả ườ đắ

ng d nh ban u thì s hoàn thành trong bao nhiêu gi , n u m i tu n làm vi c 45 gi ?đườ ự đị đầ ẽ ờ ế ỗ ầ ệ ờ

D y h c sinh bi t gi i bài toán ạ ọ ế ả
b ng nhi u cáchằ ề
Xem k t qu :ế ả / 14
Bình th ngườ Tuy t v iệ ờ
B? phi?u

V i m i bài toán, tìm ra c l i gi i là m t ni m vui. S vui s ng và thú v ớ ỗ đượ ờ ả ộ ề ẽ ướ ị
h n n u ta tìm ra c nhi u l i gi i cho m t bài toán. Hãy có nhi u suy ngh và ơ ế đượ ề ờ ả ộ ề ĩ
cách ti p c n khác nhau v i m i toán, chúng ta s tìm c nhi u l i gi i hay ế ậ ớ ỗ đề ẽ đượ ề ờ ả
h n. ¸Áp d ng ph ng pháp gi thi t t m trên chúng ta cùng gi i m t s bài ơ ụ ươ ả ế ạ ở ả ộ ố
toán sau:
Bài toán :
"M t ng i i t A n B v i v n t c 15 km/h. Sau ó 1 gi 30 phút, ng i th hai c ng r i A i v B v i ộ ườ đ ừ đế ớ ậ ố đ ờ ườ ứ ũ ờ đ ề ớ
v n t c 20 km/h và n B tr c ng i th nh t 30 phút. Tính quãng ng AB".ậ ố đế ướ ườ ứ ấ đườ

c qua, bài toán có v r m rà khó hi u : i sau, n tr c.Đọ ẻ ườ ể đ đế ướ

c l i m t l n n a ta th y:Đọ ạ ộ ầ ữ ấ “ i sau 1 gi 30 phút ; n tr c 30 phút”đ ờ đế ướ . Nh v y là i ít h n 2 gi . ư ậ đ ơ ờ
V y ta s a bài toán trên v bài toán n gi n h n :ậ ẽ đư ề đơ ả ơ
Gi s ng i th hai i sau ng i th nh t 2 gi thì hai ng i s n B cùng m t lúc.ả ử ườ ứ đ ườ ứ ấ ờ ườ ẽ đế ộ
V i suy ngh : Th i gian u i k p nhau c a hai ng t chuy n ng cùng chi u b ng kho ng cách ớ ĩ ờ đ ổ ị ủ độ ử ể độ ề ằ ả
lúc hai ng t b t u cùng chuy n ng chia cho hi u hai v n t c, ta có 6 cách làm sau.độ ử ắ đầ ể độ ệ ậ ố
Cách 1: Trong 2 gi ng i th nh t i c:ờ ườ ứ ấ đ đượ 15 x 2 = 30 (km)
M i gi ng i th hai i nhanh h n ng i th nh t là: 20 - 15 = 5 (km)ỗ ờ ườ ứ đ ơ ườ ứ ấ
Th i gian ng i th hai u i k p ng i th nh t là:ờ để ườ ứ đ ổ ị ườ ứ ấ 30 : 5 = 6 (gi )ờ
Quãng ng AB dài:đườ 20 x 6 = 120 (km)
Ng i th nh t i ch m h n ng i th hai nên i nhi u th i gian h n. V y n u ng i th nh t c ng ườ ứ ấ đ ậ ơ ườ ứ đ ề ờ ơ ậ ế ườ ứ ấ ũ
i th i gian nh ng i th hai ho c ng i th hai c ng i th i gian nh ng i th nh t thì sao ? Ta có đ ờ ư ườ ứ ặ ườ ứ ũ đ ờ ư ườ ứ ấ

m t s cáchộ ố gi i ả sau.
Cách 2: Gi s ng i th hai i v i th i gian nh ng i th nh t thì ng i th hai i quãng ng ả ử ườ ứ đ ớ ờ ư ườ ứ ấ ườ ứ đ đườ
nhi u h n ng i th nh t là:ề ơ ườ ứ ấ 20 x 2 = 40 (km)
V n t c ng i th hai h n ng i th nh t là: 20 - 15 = 5 (km/gi )ậ ố ườ ứ ơ ườ ứ ấ ờ
Th i gian ng i th nh t i là:ờ ườ ứ ấ đ 40 : 5 = 8 (gi )ờ
Quãng ng AB dài:đườ 15 x 8 = 120 (km)
Cách 3 : Gi s ng i th nh t i v i th i gian nh ng i th hai thì ng i th nh t i quãng ngả ử ườ ứ ấ đ ớ ờ ư ườ ứ ườ ứ ấ đ đườ
ít h n ng i th hai là : 15 x 2 = 30 (km)ơ ườ ứ
M t gi ng i th nh t i ít h n ng i th hai 5 km nên th i gian ng i th hai i làộ ờ ườ ứ ấ đ ơ ườ ứ ờ ườ ứ đ 30 : 5 =
6 (gi ) và ta tính c quãng ng AB là 20 x 6 = 120 (km)ờ đượ đườ
Theo suy ngh : cùng m t quãng ng thì v n t c t l ngh ch v i th i gian ta có cách gi i sau.ĩ ộ đườ ậ ố ỉ ệ ị ớ ờ ả
Cách 4 : G i v n t c ng i th nh t là v1 (km/h) ; ng i th hai là v2 (km/h) ; th i gian ng i th ọ ậ ố ườ ứ ấ ườ ứ ờ ườ ứ
nh t i quãng ng AB là t1 (gi ) ; ng i th hai là t2 (gi )ấ đ đườ ờ ườ ứ ờ
Ta có : v1/v2 = 15/20 = 3/4 suy ra t1/t2 = 4/3
Bi t t s t1/t2 = 4/3 và t1 - t2 = 2ế ỉ ố
Ta tính c t1 = 8 (gi ) ; t2 = 6 (gi )đượ ờ ờ
Do ó quãng ng AB dài : 15 x 8 = 120 (km)đ đườ
Th i gian ng i th hai i ít h n ng i th nh t là 2 gi . Ta th tính xem trong 1 km ng i th hai i ờ ườ ứ đ ơ ườ ứ ấ ờ ử ườ ứ đ
ít h n ng i th nh t bao lâu ? T ó s tìm c quãng ng AB. Ta có cách làm th 5.ơ ườ ứ ấ ừ đ ẽ đượ đườ ứ
Cách 5 : C 1 km ng i th nh t i h t 1/15 gi ; 1km ng i th hai i h t 1/20 giứ ườ ứ ấ đ ế ờ ườ ứ đ ế ờ
Trong 1 km ng i th hai i ít h n ng i th nh t là : 1/15 - 1/20 = 1/60 (gi )ườ ứ đ ơ ườ ứ ấ ờ
V y quãng ng AB dài : 2 : 1/15 = 120 (km)ậ đườ
Ta có th gi thi t (g i) th i gian i c a ng i th nh t, ng i th hai có cách nào làm khácể ả ế ọ ờ đ ủ ườ ứ ấ ườ ứ để
Cách 6: G i th i gian i c a ng i th nh t là x (gi )ọ ờ đ ủ ườ ứ ấ ờ thì th i gian i c a ng i th hai là x - 2 (gi )ờ đ ủ ườ ứ ờ
Ta có : 20 x (x - 2) = 15 x x
20 x x - 40 = 15 x x
20 x x - 15 x x = 40
15 x x = 40
x = 8
V y quãng ng AB dài: 15 x 8 = 180 (km)ậ đườ

Cách 7 : T ng t nh cách 6 ta g i th i gian i c a ng i th hai là y (gi ) thì th i gian i c a ươ ự ư ọ ờ đ ủ ườ ứ ờ ờ đ ủ
ng i th nh t là y+2 (gi ). Ta có 20 x y =15 x (y + 2)ườ ứ ấ ờ
Ta tìm c y = 6 và quãng ng AB dài 20 x 6 = 120 (km).đượ đườ
Hãy áp d ng m t cách sáng t o có c b n tìm ra nhi u cách gi i cho m t bài toán. Luôn c g ng tìm ụ ộ ạ ơ ả để ề ả ộ ố ắ
tòi gi i h n.để ỏ ơ
Bài t p áp d ng.ậ ụ M t chi c ôtô i t t nh A n t nh B h t 4 gi . N u trong m i gi chi c ôtô này i ộ ế đ ừ ỉ đế ỉ ế ờ ế ỗ ờ ế đ
thêm c 14 km thì th i gian i t A n B ch m t 3 gi . Hãy tính kho ng cách gi a hai t nh A và đượ ờ đ ừ đế ỉ ấ ờ ả ữ ỉ
B.
( áp s : 168 km)Đ ố
có t s là 1ử ố
D ng toán tách m t phân s thành t ng hai phân s ạ ộ ố ổ ố
có t s là 1ử ố
Xem k t qu :ế ả / 7
Bình th ngườ Tuy t v iệ ờ
B? phi?u
ây là m t m o r t hay khi mu n vi t m t phân s b t k (a,b là s t nhiên và 0 < a < b) d i d ng t ng Đ ộ ẹ ấ ố ế ộ ố ấ ỳ ố ự ướ ạ ổ
các phân s có t s là 1, m u s khác nhau. M o này tôi c ng ã ti t l cho h c sinh c a mình. Song có ố ử ố ẫ ố ẹ ũ đ ế ộ ọ ủ
nh ng bài không c n gi i theo m o y mà có cách gi i nhanh h n nhi u y. Chúng ta cùng bàn bài ữ ầ ả ẹ ấ ả ơ ề đấ ở
toán sau:
Bài toán1 :
Hãy vi t phân s sau d i d ng t ng các phân s có t s là 1, m u s khác nhau.ế ố ướ ạ ổ ố ử ố ẫ ố
a) 13/35 ; b) 5/12 ; c) 6/35
Bài gi i:ả
a) 13/35 = (5 + 7 + 1)/35 = 5/35 + 7/35 + 1/35 =
= 1/7 + 1/5 + 1/35
b) 5/12 = (4 + 1)/12 = 4/12 + 1/12 = 1/3 + 1/12
c) 6/35 = (5 + 1)/35 = 5/35 + 1/35 = 1/7 + 1/35
* L i bànờ : T i sao ta l i tách:13=5+7+1; 5=4+1; 6=5+1 mà không tách thành t ng các s khác? ạ ạ ổ ố
Xu t phát t tính ch t phân s : Khi nhân (ho c chia) c t và m u cho m t s t nhiên khác 0 ta ấ ừ ấ ố ặ ả ử ẫ ộ ố ự
c phân s có giá tr b ng phân s ã cho nên c n tách t thành t ng các s là c c a m u.đượ ố ị ằ ố đ ầ ử ổ ố ướ ủ ẫ

Bài toán 2 :
Vi t phân s 5/12 thành t ng các phân s có t s là 1, m u s khác nhau.ế ố ổ ố ử ố ẫ ố
* L i bàn:ờ Phân s ã cho có t s là 1 v y nó là t ng c a các phân s nào có t là 1, m u s ố đ ử ố ậ ổ ủ ố ử ẫ ố
khác nhau?
Trên c s phép gi n phân:ơ ở ả
1/[a x (a +1)] = 1/a - 1/(a + 1) suy ra 1/a = 1/(a + 1) + 1/[a x (a + 1)]
V y: 1/3 = 1/(3 + 1) + 1/[3 x (3 + 1)] = 1/4 + 1/12ậ
Nh v y n u phân s ã cho có t s khác 1 và m u s là s nguyên t thì m i nên dùng “m o” ư ậ ế ố đ ử ố ẫ ố ố ố ớ ẹ
nh b n ã nêu. Làm m t bi t m i. Nh ng bi t m i v n ch a . Có ph i không các b n?ư ạ đ ộ ế ườ ư ế ườ ẫ ư đủ ả ạ

Tuy nhiên, cho n m t hôm, tôi c ng ã “ti t l ” m o này cho h c sinh c a mình, nh ngđế ộ ũ đ ế ộ ẹ ọ ủ ư khi tôi
cho bài toán:
Tách phân s 3/10 thành t ng 2 phân s có t s là 1 và m u s khác nhau, có bao nhiêu cách ố ổ ố ử ố ẫ ố
tách nh th ?ư ế
Ch a k p nói gì thì m t trò “c ng” c a tôi ã nhanh tay tách:ư ị ộ ư ủ đ
3/10 = (2 + 1)/10 = 2/10 + 1/10 + 1/5 + 1/10 (nh nh n xét 10 ch có 2 c s có t ng b ng 3 là 1 ờ ậ ỉ ướ ố ổ ằ
và 2). Do ó ch có 1 cách tách duy nh t (?) M t h c sinh khác sau khi mày mò r t rè th a: Th a đ ỉ ấ ộ ọ ụ ư ư
cô! Hình nh còn 2 phân s 1/4 và 1/20 khi c ng l i v n b ng 3/10 y ! V y th c t có bao ư ố ộ ạ ẫ ằ đấ ạ ậ ự ế
nhiêu cách tách phân s 3/10 thành t ng c a 2 phân s có t s là 1, m u s khác nhau? Các ố ổ ủ ố ử ố ẫ ố
b n có th th y qua cách l p lu n d i ây.ạ ể ấ ậ ậ ướ đ
Gi s : 3/10 = 1/x + 1/y (v i x y và x, y khác 0)≠ả ử ớ
Do x y và bình ng nên ta gi s x < y thì 1/x > 1/y . Ta có: 1/x < 3/10≠ đẳ ả ử
M t khác theo tính ch t c a trung bình c ng ta có:ặ ấ ủ ộ
( 1/x + 1/y) : 2 < 1/x
nên 3/10 : 2 < 1/x , 3/20 < 1/x < 3/10
V y: 3/20 < 3/(3.x) < 3/10 . Ta có:ậ
3.x = 12, 15, 18 suy ra x = 4, 5, 6.
Th các giá tr c a x thì ch có x = 4, x = 5 th a mãn.ử ị ủ ỉ ỏ
V y bài toán ch úng hai cách tách nh trên.ậ ỉ đ ư
L i bàn:ờ Nh v y cách làm nh TTT 16 ch áp d ng c khi tách m t phân s a/b thành t ng ư ậ ư ỉ ụ đượ ộ ố ổ

hai phân s có t s là 1 và m u s không l n h n m u s c a phân s ban u. úng là h c ố ử ố ẫ ố ớ ơ ẫ ố ủ ố đầ Đ ọ
m t bi t m i. Nh ng bi t m i qu th c v n ch a ph i không các b n?ộ ế ườ ư ế ườ ả ự ẫ ư đủ ả ạ



___G Nam S n Hà ___ỗ ơ