skkn tinh tong day so viet theo quy luat

Tính tổng dãy số viết theo quy luật
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN THƯỜNG TÍN
TRƯỜNG THCS VĂN TỰ
ĐỀ TÀI
Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2008-2009
Tác giả :Doãn Thị Thanh Bình
Chức vụ :Giáo viên Môn đào tạo:Toán tin
Đơn vị công tác :Trường THCS Văn Tự
Thuộc :Phòng giáo dục Thường Tín-TP Hà nội
ĐỀ TÀI THUỘC LĨNH VỰC :MÔN TOÁN
Doãn Thị Thanh Bình Trường THCS Văn Tự
Tính tổng dãy số viết theo quy luật
Phần I:Sơ yếu lý lịch
Họ tên:Doãn Thị Thanh Bình
Ngày,tháng ,năm, sinh: 26-06-1975
Năm vào ngành: 1997
Trình độ chuyên môn : Đại học

Hệ đào tạo :Tại chức
Bộ môn giảng dạy: Toán

Doãn Thị Thanh Bình Trường THCS Văn Tự
Tớnh tng dóy s vit theo quy lut
Phn II:Ni dung ca ti
A.Tờn ti
Tớnh tng dóy s vit theo quy lut

B. Lý do chn ti
Theo ngh quuyt ca ng mc tiờu giỏo dc l :Nõng cao dõn trớ o to nhõn lc bi
dng nhõn ti vn bi dng nhõn lc l vn thit thc t ra trong hon cnh

cỏch mng ca ỏt nc ta hin nay
L mt giỏo viờn khi c phõn cụng dy toỏn lp 6 .Trong chơng trình Toán lớp 6
sau khi học các phép tính về luỹ thừa với số mũ tự nhiên các em đợc làm quen với
nhiều bài toán tính tổng của các dãy số theo quy luật mà nếu tính toán trực tiếp là
không đơn giản. Khi gặp những loại bài tập này học sinh thờng lúng túng cha xác
định đợc phơng pháp giải.
Đợc phân công dạy bồi dỡng Toán 6 khi dạy về các bài toán dạng này tôi đã
hớng dẫn học sinh đi từ các bài toán cụ thể để nêu thành các bài toán tổng quát và
phân tích cách định hớng cho học sinh giải các bài tập dạng này.
Song vn c bn cn t ra l dy chng trỡnh ny nh th no va phự hp
vi i tng hc sinh,va phỏt huy c kh nng t duy, trớ tu ca hc sinh vựa ỏp
ng c yờu cu bi dng hc sinh gii
ú l lý do tụi chn ti ny
Phm vi ca ti
ti ny tụi thc hin vi hc sinh lp 6a trng THCS Vn t,nm hc 2008-2009
C .Qỳa trỡnh thc hin
1.Kho sỏt thc tin
Khi cha thc hin ti ny ,thỡ hu ht cỏc em lm bi tp rt lỳng tỳng,thi gian
lam mt nhiu,qua nhiu bc mi dn n kt qu nhiu em cũn s dng bin phỏp
quy ng mu hoc nhúm cỏc s hng vi nhau gii thc hin ti ny tụi
ó tin hnh kho sỏt nng lc ca hc sinh thụng qua mt s bi kim tra kt qu nh
sau
Lp cú 36 em trong ú
Gii 5 em
Khỏ 10 em
Doón Th Thanh Bỡnh Trng THCS Vn T
Tính tổng dãy số viết theo quy luật
Trung bình 13 em
Yếu 8 em
Thông qua kết quả khảo sát tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng

dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình giải những bài
toán về tính tổng dãy số viết theo quy luật.Tôi mạnh dạn nêu ra một số biện pháp để
được cùng các đồng nghiệp trao đổi và đóng góp ý kiến, để áp dụng vào thực tế giảng
dạy
2.Một số biện pháp
Cho học sinh tiếp cận và chứng minh công thức tổng quát từ những bài toán đơn giản
Bài toán 1
Chứng tỏ rằng:
)1.(
1
1
11
3.2
1
3
1
2
1
;
2.1
1
2
1
1
+
=
+
−
=−
=−

nnnn
Biến đổi vế trái =vế phải .Qúa trình dạy học như sau
Giải ; Quy đồng mẫu số các phân số ở vế trái
)1.(
1
1
11
3.2
1
3.2
23
3
1
2
1
2.1
1
2.1
12
2
1
1
+
−+
=
+
−
=
−
=−

=
−
=−
nn
nn
nn
Từ bài toán trên ta có dạng tổng quát sau
Nếu n+1-n=1 Thì
1
11
)1.(
1
+
−=
+ nnnn
với n
∈
N
Nhận xét:
Phương pháp giải loại toán này là viết mỗi số hạng thành một hiệu của hai phân số
Số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp còn lại số hạng
đầu tiên trừ đi số hạng cuối cùng.Lúc đó ta thực hiện dễ dàng
Doãn Thị Thanh Bình Trường THCS Văn Tự
Tính tổng dãy số viết theo quy luật
Ví dụ1:Tính tổng sau
A=
)1.(
1

4.3

1
.23
1
2.1
1
+
++++
nn
với n=1,2,3,4…
.
)2.(
2

7.5
2
5.3
2
3.1
2
+
++++=
nn
B
với n=1,3,5,7…
C=
)3.(
3

10.7
3

7.4
3
4.1
3
+
++++
nn
với n=1,4,7,10…
D-
)4.(
4

11.9
4
9.5
4
5.1
4
+
++++
nn
với n=1,5,9,11…
Bài giải: Cả bốn câu trên ta đều vận dụng công thức của bài toán ta giải như sau
A=
1
11

4
1
3

1
3
1
2
1
2
1
1
1
+
−++−+−+−
nn
11
11
1
1
1
+
=
+
−+
=
+
−=
n
n
n
n
n
A

B=1-
2
11

7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
+
−++−+−+
nn
B=1-
2
1
2
12
2
1
+
+
=
+
−+
=

+ n
n
n
n
n
C=1-
3
11

10
1
7
1
7
1
4
1
4
1
+
−++−+−+
nn
C=1-
3
2
3
13
3
1
+

+
=
+
−+
=
+ n
n
n
n
n
D=1-
4
11

13
1
9
1
9
1
5
1
5
1
+
−++−+−+
nn
D=1-
=
+ 4

1
n
4
3
4
14
+
+
=
+
−+
n
n
n
n
Ví dụ 2 Tính tổng
E=
)2.(
1

7.5
1
5.3
1
3.1
1
+
++++
nn
Doãn Thị Thanh Bình Trường THCS Văn Tự

Tớnh tng dóy s vit theo quy lut
Ta nhn thy vi vớ d ny hai tha s mu mi phõn s hn kộm nhau hai n v
m t l 1 n v vy gii quyt nh th no?Trong quỏ trỡnh ging dy cho hc sinh
c thc hin nh sau
Ta nhõn c hai v ca Evi 2 ta c
2E=
)2.(
2

7.5
2
5.3
2
3.1
2
+
++++
nn
Theo cõu A vớ d 1 ta cú
2E=
2
1
+
+
n
n
E=
)2.(2
1
+

+
n
n
F=
162.158
7

102.98
7
98.94
7
94.90
7
++++
Bi toỏn cho ta thy cỏc phõn s u cú t l 7 v mu s l tớch ca cỏc tha s hn
kộm nhau l 4 n v.Tha s th hai mu phõn s trc chớnh l tha s th nht
ca phõn s sau lin k vi núVy ta gii quyt bi ny nh th no a v dng
tng quỏt
Ta ln lt gii quyt nh sau
Ta nhõn c t v mu ca cỏc phõn s vi
7
4
ri sau ú a phõn s
4
7
ra ngoi
ngoc ta c
F=
)
162.158

4

102.98
4
98.94
4
94.90
4
.(
4
7
++++
810
7
810
4
4
7
)
162
1
90
1
.(
4
7
)
162.158
1

102
1
98
1
98
1
94
1
94
1
90
1
.(
4
7
===
++++=
F
F
F=
810
7
Bài toán 2:
Tính tổng: G= 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3

2008
Lời giải:
3G = 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3
5
+3
2009
2G = 3G G = (3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3
5
+3
2009
) (3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3
2008

)
= 3
2009
3
Doón Th Thanh Bỡnh Trng THCS Vn T
Tớnh tng dóy s vit theo quy lut


G=
2
33
2009

Ta có thể tổng quát bài toán 1 thành bài toán sau:
Tính tổng:
G= a + a
2
+ a
3
+ a
4
+a
n
(với mọi a và n là số nguyên dơng a

1)
Lời giải:
aG = a
2
+ a

3
+ a
4
+a
5
+a
n
(a-1)G = aG G = (a
2
+ a
3
+ a
4
+a
5
+a
n+1
) ( a + a
2
+ a
3
+ a
4
+a
n
)
= a
n+1
a

G=
1
1


+
a
aa
n
Bài toán 3:
Tính tổng
H =
200832
5
1

5
1
5
1
5
1
++++
Ta có thể tính tổng H theo bài toán 2 bằng cách đặt
a=
5
1
thì
H = a + a

2
+ a
3
+ a
4
+a
2008
Tuy vậy ta còn có cách khác phù hợp hơn:
5.H =
200732
5
1

5
1
5
1
5
1
1 +++++
4H=5H H = (
200732
5
1

5
1
5
1
5

1
1 +++++
) (
200832
5
1

5
1
5
1
5
1
++++
)
= 1-
2008
5
1
=
2008
2008
5
15


H =
2008
2008
5.4

15
Ta có thể tổng quát bài toán 3 thành bài toán sau:
Tính tổng
H =
a
aaaa
1

111
32
++++
(với mọi a và n là số nguyên dơng a

1)
Bài giải:
a.H=
132
1

111
1

+++++
a
aaaa
Doón Th Thanh Bỡnh Trng THCS Vn T
Tớnh tng dóy s vit theo quy lut
(a-1)H = aH H = (
132
1

111
1

+++++
a
aaaa
) (
a
aaaa
1

111
32
++++
)
=1-
n
a
1
=
n
n
a
a 1


H =
n
n

aa
a
)1(
1


Từ kết quả của bài toán 3 ta có thể khai thác dới một dạng khác nh sau:
Bài toán 4:
a. Chứng minh rằng:
I =
200832
5
1

5
1
5
1
5
1
++++
<
4
1
Từ bài toán 3 ta có:
4.I = 1-
2008
5
1
< 1

I <
4
1
b. Chứng minh rằng:
K=
200832
3
2008

3
3
3
2
3
1
++++
<
4
3
Đây là một bài toán khó hơn với lời giải nh sau:
3K=
20072
3
2008

3
3
3
2

1 ++++
2K = 3K K = (
20072
3
2008

3
3
3
2
1 ++++
) (
200832
3
2008

3
3
3
2
3
1
++++
)
=
2008200732
3
2008
3
1

3
1
3
1
3
1
1 +++++


2K <
200732
3
1

3
1
3
1
3
1
1 +++++
( *)
Đặt: L =
200732
3
1

3
1

3
1
3
1
++++
Ta có: 3L=
20062
3
1

3
1
3
1
1 ++++
2L = 3L L = (
20062
3
1

3
1
3
1
1 ++++
) (
200732
3
1

3
1
3
1
3
1
++++
)
=
2007
3
1
1
< 1


L <
2
1
Doón Th Thanh Bỡnh Trng THCS Vn T
Tớnh tng dóy s vit theo quy lut
Từ (*) ta có: 2K< 1+L < 1+
2
1
=
2
3


I <

4
3
Ta có thể dễ dàng chứng minh đợc các bài toán tổng quát sau:
Chứng minh: Với mọi a, n là các số nguyên dơng a

1 thì:
a.
n
aaa
a
1

111
32
++++
<
1
1
a
b.
n
a
n
aa
a
++++
321
32
<
2

)1(
1
a
Bài toán 5:
Tính tổng: M= 1.2 +2.3 + 3.4 + + 99.100.
3M = 1.2 (3-0) + 2.3(4-1) + 3.4(5-2) + + 99.100( 101 -98)
= 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 2.3.4 + + 99.100.101 98.99.100
= 99.100.101.

M=
333300
3
101.100.99
=
Hớng dẫn: 3n(n+1) = n(n+1)
[ ]
)1()2( + nn
=n(n+1)(n+2) (n-1) n (n+1)
Ta tổng quát thành bài toán sau:
Tính tổng:
M,= 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1). Với n là số nguyên dơng.
Với cách làm tơng tự ta có:
3M,=1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 2.3.4 + + n(n+1)(n+2) (n-1)n(n+1)
=n(n+1)(n+2).


M,=
3
)2)(1( ++ nnn
Từ bài toán tổng quát này ta có thể đề xuất thêm 2 bài toán tính tổng sau:

a. 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
b. 1.4 + 2.5 + 3.6 ++ n(n+3)
Lời giải:
Câu a:
Nhận xét: n
2
= n(n+1) n


1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ +n
2
=
=1.2 1 + 2.3 2 + 3.4 3 ++ n(n+1) n
= 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1) ( 1 +2 +3 ++n)
Doón Th Thanh Bỡnh Trng THCS Vn T
Tính tổng dãy số viết theo quy luật
=

2
)1(
3
)2)(1( +
−
++ nnnnn
=
6
)12)(1( ++ nnn
C©u b:
NhËn xÐt: n(n+3) = n(n+1) + 2n
⇒
1.4 +2.5 +3.6 +…………+ n(n+3) =
=1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3+……… n(n+1) +2n
=(1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1)) + 2( 1 +2 +3 +………+n)
=
3
)2)(1( ++ nnn
+
2
)1(
2
+nn
=
3
)5)(1( ++ nnn
Bài toán 6
a.Tính tổng N=1.99+2.98+3.97+…+97.3+98.2+99.1
Giải:
Để giải bài toán này nhanh gọn ta biến đổi về dạng bài toán 5

N=1.99+2.(99-1)+3.(99-2)+…+98.(99-97)+99.(99-98)
N=(1.99+2.99+3.99+…+98.99+99.99)-(1.2+2.3+…+97.98+98.99)
N=99.(1+2+3+…+98+99) - M (Bài toán 5)
N=99.
2
100.99
-
6
101.100.99
3
100.99.98
=
=166650
b.Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị bằng 1
P=
1.982.97 96.397.298.1
)9897 321( )321()21(1
+++++
++++++++++++
Ta thấy số bị chia gồm 98 tổng và số 1 có mặt ở 98 tổng ,số 2 có mặt ở 97 tổng ,,,,số
97 có mặt ở 2 tổng ,số 98 có mặt ở 1 tổng
Giải:
P=
1.982.97 96.397.298.1
1.982.97 96.397.298.1
+++++
+++++
=1
Vậy P=1
Ta rút ra dạng tổng quát

1.n+2.(n-1)+3.(n-2)+…+(n-1).2+n.1=
6
)2)(1.( −+ nnn
Doãn Thị Thanh Bình Trường THCS Văn Tự
Tính tổng dãy số viết theo quy luật
Bµi to¸n 7
a,Tính tổng
Q=
39.38.37
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++++
Qua bài toán trên ta thấy mẫu số của các phân số là tích của nhiều số tự nhiên liên
tiếp thì bài toán được giải quyết như thế nào?Trong quá trình giảng dạy cho học sinh
được giải như sau
Cách 1
Ta xét:
3.2.1
2
3.2.1
13
3.2
1
2.1

1
=
−
=−

4.3.2
2
4.3
1
3.2
1
=−
……
39.38.37
2
39.38
1
38.37
1
=−
Tổng quát

−
+
=
++ )1(
1
)2)(1.(
2
nnnnn

))2(1(
1
++ nn
Vậy nhân cả hai vế của Q với 2 ta có
2Q=
39.38.37
2

5.4.3
2
4.3.2
2
3.2.1
2
++++
2Q=
39.38
1
38.37
1

4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
−++−+−

2Q=
741
370
39.38
740
39.38
1
2.1
1
==−
Q=
741
185
Cách 2
Ta thấy
)
3.2
1
2
1
.(
2
1
3.2.1
1
−=
)
39.38
1
38.37

1

5.4
1
4.3
1
4.3
1
3.2
1
3.2
1
2
1
.(
2
1
−++−+−+−=Q
Doãn Thị Thanh Bình Trường THCS Văn Tự
Tớnh tng dóy s vit theo quy lut
741
185
741
185
2964
740
1482
740
.
2

1
)
1482
1
2
1
(
2
1
)
39.38
1
2
1
.(
2
1
=
===
==
Q
Q
Q
b,Tính tổng
R=
30.29.28.27
1

6.5.4.3
1

5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
++++
R=
)
30.29.28
1
29.28.27
1

5.4.3
1
4.3.2
1
4.3.2
1
3.2.1
1
.(
3
1
+++
R=
24360
4059
.
3
1

)
30.29.28
1
3.2.1
1
.(
3
1
=
R=
8120
451
24360
1353
=
Ta có thể tổng quát bài toán 7 nh sau
)2).(1(
1
2
1
)1).(1.(
1

4.3.2
1
3.2.1
1
++
=
+

+++
nnnnn
3.Một số kết quả
Khi cha thc hin ti ny tụi nhn thy nhiu hc sinh khi gp phy bi toỏn v
tớnh tng dóy s vit theo quy lut thụng thng ch cỏc em ch bit bin i dng quy
ng hoc bng phng phỏp thụng thng gii bi tp
Cú nhiu bi toỏn khi thc hin bin i cũn di cú khi cũn khụng t c mc
ớch.Nhiu khi bi ging cũn khụng sỏng sa v khụng a dng phong phỳ vỡ vy kt
qu thu c cha cao
Qua thi gian thc hin ti bằng cách hệ thống, phân loại và nêu dạng tổng
quát từ những ví dụ cụ thể học sinh đã dễ dàng tiếp thu một cách tích cực sáng tạo,
gây đợc sự hứng thú cho học sinh.
Với các định hớng trên trong khi giải các bài tập thì trong các buổi luyện tập,
ôn tập các vấn đề nêu trên hoặc làm các bài thi tơng tự tôi thấy học sinh định dạng
và giải các bài tập tốt hơn.
Doón Th Thanh Bỡnh Trng THCS Vn T
Tớnh tng dóy s vit theo quy lut
Lp cú 36 hc sinh
Trong ú 22 em t im 8 tr lờn
9 em t im khỏ
5 em t im trung bỡnh
Khụng cú im di 5
Sau khi thc hin song ti tụi nhn thy cỏc em gii bi toỏn tớnh tng dóy s vit
theo quy lut nhanh hn ch ng hn v t tin hn .Do cú cỏc phng phỏp hp lý
to cho cỏc em gii c cỏc bi tp d dng hn cho nờn cỏc em rt hng thỳ trong
hc tp tỡm thy ú nhng con s kớ hiu m cỏc em mun tỡm tũi hiu bit
D.Bi hc kinh nghim
1.Phi nghiờn cu k bi dy hiu sõu ni dung v trng tõm ca vn cn
truyn th cho hc sinh.Cn c gng tỡm tũi cỏc phng phỏp phự hp vi tng bi
dy,vi tng bi toỏn

2.Trong quỏ trỡnh dy toỏn cho hoc sinh phi c bit coi trng phn cng c ,khc
sõu lý thuyt c bn.Trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii, ngi giỏo viờn phi bit
kt hp. Cỏc dng toỏn cú nhng bi toỏn hay hn,phong phỳ hn.Co nh vy thỡ
hc sinh mi gii quyt c cỏc bi toỏn c bn,to nn múng gii quyt cỏc bi
toỏn nõng cao,t ú phỏt huy trớ lc ca hc sinh
3.iu quan trng nht l ngi dy phi thng xuyờn hc hi ,su tm tớch ly qua
sỏch v,ti liu, ng chớ ,ng nghip khụng ngng vn lờn,t. Nõng cao trớ
thc,t hon thin mỡnh.Cú nh vy mi ỏp ng c yờu cu ca s nghip giỏo
dc o to.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong khi giảng dạy về các
bài toán tính tổng dóy s vit theo quy lut.
Rất mong đợc sự trao đổi, góp ý của đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn!

Vn T, ngày 28 tháng 4 năm 2009
Tỏc gi
Doón Th Thanh Bỡnh
Doón Th Thanh Bỡnh Trng THCS Vn T
Tính tổng dãy số viết theo quy luật
Ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học cơ sở
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học huyện
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Doãn Thị Thanh Bình Trường THCS Văn Tự