Đề thi chọn HSG Toán 9

Đề thi chọn học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1 : (2 điểm ) a) Tính A =
322
1
322
1

+
++
b) So sánh :
2008 2009
2009 2008
+
và
2008 2009+
Câu 2 : (2 điểm ) a) Giải phơng trình : x
2
+ x + 12
1+x
= 36
b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y=
54
2
++ xx
Câu 3 : (2 điểm )
a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh phơng trình :
x
2
+ ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm

b) Cho M = x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
; với x , y , z , t là số tự nhiên .
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng ứng của x,y,z,t biết rằng:






=++
=+
10143
21
222
222
zyx
tyx
Câu 4 : (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý . Vẽ đờng tròn tâm I đ-
ờng kính AC và vẽ đờng tròn tâm K đờng kính BC . MN là tiếp chung ngoài của hai
đờng tròn (M
)(),( KNI
) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn .

a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D .
b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn
nhất .
Câu 5 : (1 điểm)
Chứng minh rằng nếu
ba +
> 2 thì phơng trình sau có nghiệm
2ax
2
+ bx +1 - a = 0
đáp án đề thi học sinh giỏi
môn thi : toán lớp 9
Câu 1 : (2đ)
a) (1đ) A =
3242
2
3242
2

+
++
( Nhân tử và mẫu với
2
) 0,25
=
33
2
33
2
)13(2

2
)13(2
2

+
+
=

+
++
0,5
=
2
39
)3333(2
=

++
0,25
b)(1đ) Ta có
2008 2009
2009 2008
+
=
2009 1 2008 1
2009 2008
+
+
= 0,25
=

2009 1 2008 1
2009 2009 2008 2008
+ +
=
= (
2008 2009+
)+
1 1
( )
2008 2009

0,25
Ta thấy
1 1
2008 2009
2008 2009
< >
Do đó
1 1
2008 2009

>0 ; 0,25
suy ra (
2008 2009+
)+
1 1
( )
2008 2009

>

2008 2009+
Vậy
2008 2009
2009 2008
+
>
2008 2009+
0,25
Câu 2 : (2đ)
a) (1đ) x
2
+ x + 12
1+x
= 36
x(x+1)+ 12
1+x
= 36
KX : x
1
0,25
Đặt
1+x
= t
0
; phơng trình trở thành :
( t
2
- 1 )t
2
+ 12t = 36

t
4
- ( t - 6 )
2
= 0 ; suy ra (t
2
- t + 6)(t
2
+ t - 6) = 0 0,25
Phơng trình t
2
- t + 6 = 0 vô nghiệm
Phơng trình t
2
+ t - 6 = 0 có nghiệm là t
1
= -3< 0 (loại)
t
2
= 2 > 0 0,25
Với t = 2 thì
1+x
=2 ; từ đó tìm đợc nghiệm của phơng trình là :
x = 3 0,25
b) (1đ) x
2
+ 4x + 5 = (x+2)
2
+1 > 0 với mọi x , nên y xác định với mọi x ;
từ đó ta cũng có y > 0 . 0,25

Bình phơng 2 vế y=
54
2
++ xx
ta đợc :
y
2
= (x+2)
2
+1
(y + x + 2)(y - x - 2 ) = 1 0,5
Vì x,y là số nguyên nên (y + x + 2) và (y - x - 2 ) cũng nhận giá trị nguyên . Ta
thấy tổng và tích của 2 biểu thức này là dơng nên ta có :




=
=++
12
12
xy
xy
; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1) 0,25
Câu 3 : (2đ)
a) (1đ)

= (a-b-c)
2
- 4bc = a

2
+ b
2
+c
2
- 2ab - 2ac + 2bc - 4bc
= a
2
+ b
2
+c
2
- 2ab - 2ac - 2bc = 0,25
= a
2
- a(b+c) + b
2
- b(a+c) + c
2
- c(a+b)
Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên :
0 <a<(b+c) ; suy ra a
2
< a(b+c) ; do đó a
2
- a(b+c) < 0
0 <b<(a+c) ; suy ra b
2
< b(a+c) ; do đó b
2

- b(a+c) < 0
0 <c<(a+b) ; suy ra c
2
< c(a+b) ; do đó c
2
- c(a+b) < 0 0,5
Từ đó suy ra

< 0 . Vậy phơng trình vô nghiệm . 0,25
b) (1đ)Từ hệ





=++
=+
(**)10143
*)(21
222
222
zyx
tyx
; cộng vế với vế ta đợc :
2(x
2
+ y
2
+ 2z
2

+ t
2
) - t
2
= 122 ; 0,25
suy ra M=
2
61
2
122
22
tt
+=
+
; do đó Min M = 61 khi t = 0 0,25
Với t = 0 từ (*) suy ra x
2
- y
2
= 21 hay (x-y)(x+y)= 21 0,25
Có 2 trờng hợp xảy ra :
+



=
=

=+
=
10
11
21
1
y
x
yx
yx
(loại vì không thoả mãn (**) )
+



=
=




=+
=
2
5
7
3
y
x

yx
yx
, thay vào (**) ta tìm đợc z=4
Vậy Min M=61 khi x=5,y=2,z=4,t=0 0,25
Câu 4 : (3đ)
a) (1,25đ)
Gọi D là giao điểm của AM và BN
Q là giao điểm của MN và Cx .
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có
QM=QC=QN ;
Từ đó suy ra

MCN vuông . 0,5
Tứ giác DMCN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ; 0,25
Mà Q là trung điểm của MN , suy ra Q là trung điểm của DC .
Vậy AM,BN,Cx đồng quy tại D. 0,5
b)(1,75đ)
Gọi O là trung điểm của AB , Suy ra DO=
2
AB
=a 0,25
S
DMCN
=DM.DN=
===
DCAB
DC
DBDA
DC
DB

DC
DA
DC

.
4422
0,5

222
2333
a
a
a
a
DC
AB
DC
===
; 0,5
Từ đó ta có S
DMCN
lớn nhất bằng
2
2
a
khi DC=a ; lúc đó C

O . 0,5
Câu 5 : ( 1 điểm )
Giả sử phơng trình vô nghiệm , ta có :

= b
2
- 8a(1-a) < 0 (1) , do đó 0 < b
2
< 8a(1-a) hay a(1-a) > 0
Q
I
m CB = 3 cm
Distance A to C B = 0 cm
m AC = 5 cm
O
N
M
K
C
B
x
A
D
Từ đó ta có 0 <a < 1 , suy ra
a
= a . 0,25
Từ (1) , ta lại có
b
< 2
)1(2 aa
, vậy
=+<+ )1(22 aaaba

=
1)12(1)1()1(222
2
+=++ aaaaaa
(2) 0,25
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có :
(
[ ]
)1()12()1.1.2()12
22
aaaaaa +++=+
= 3 (3) 0,25
Kết hợp (2) với (3) , ta có :

ba +
< 3 -1 = 2 ; trái với giả thiết .
Vậy phơng trình có nghiệm . 0,25