Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC

GV: PHẠM VĂN HÙNG THPT HIỆP ĐỨC
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
* Nắm vững các kiến thức : cung liên kết, CTLG, các dạng PTLG (cơ bản, thường gặp).
Giải các phương trình sau:
Vấn đề 1: Phương trình LG thường gặp
Dạng I: Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
1. a) sin
2
x + 3cosx – 3 = 0 b) Cos2x + 5sinx + 2 = 0 c) tan
2
x + ( 1-
3
)tanx -
3
= 0
d) sin
2
2x - 2cos
2
x + 3/4 = 0 e) cos2x + cosx +1 = 0 f) cot
2
x – 4cotx + 3 = 0
g) tan
3
x +
2
1
cos x
- 3cot
2
x

π
 
−
 ÷
 
= 3
2. a) 2sin
2
3x + sin
2
x – 2 = 0 b) 4sin
4
2x + 12cos
2
2x – 7 = 0
c) cos(
2
4
x
π
+
) + sin(
2
4
x
π
+
) = (4 - 2
2
)sinx +

2
- 4 d) cos(
2
2
3
x
π
+
) + 3cos(
6
x
π
−
) – 2 = 0
e)
2
1
sin x
= cotx + 3 f) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos
2
x + 1
g) sin
4
x+ cos
4
x = sinxcosx h) 2tanx – 2cotx = 3
m) 3/ sin
2
x -2
3

cotx = 6 n) sin
6
x + sin
6
(
9
2
x
π
−
) =
1
2
sinxcosx
Dạng II: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1. sin2x -
3
cos2x = -
3
2.
3
sinx + cosx = 1 3.
3
sin3x – cos3x = 2
4. sinx -
3
cosx = 0 5. 2sinx – 5cosx = 2 6. 3sin2x – 2cos2x = 2
7.
2
sin4x +

2
sin(
4
2
x
π
−
) = 1 8. cos(
2
2
x
π
+
) -
3
cos(
2x
π
−
) = 1
9. ( sinx -
3
cosx )(1 + cosx ) = sin
2
x 10.
3
sin5x – cos5x = 2sin3x
11. 6cosx (1 – sinx) – 2sin
2
x + 9sinx – 7 = 0

Dạng III: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:
1. sin
2
x – 3sinxcosx + 2cos
2
x = 0 2. 2sin
2
x + 8sinxcosx + 3cos
2
x = -1
3. 3sin
2
2x + 3
3
sin4x – 3cos
2
2x = 5 4. sin
2
3x – 8sin3xcosx3x + 7cos
2
3x = 0
5.
3
sin2x + 2sin
2
x = 0 6. 2sin
2
x + sinxcosx + 3cos
2
x – 2 = 0

7.
3
sin
2
x + sin2x -
3
cos
2
x = 1 8. (
3
-1)sin
2
x -
3
sin2x + (
3
+1)cos
2
x = 0
9.
1
cos x
=
4sinx + 6cosx 10. 3sin2x – cos2x + 2(
3
+1)cos
2
x – 4 -
3
= 0

11. 4sin
3
x + 3sin
2
xcosx – sinx – cos
3
x = 0 12. sin
3
x + 2sin
2
xcosx + sinxcos
2
x – 4cos
3
x = 0
13. 2sin
3
x - sin
2
xcosx + 2sinxcos
2
x – cos
3
x = 0 14. sin
3
x + 3cos
3
x + sinx = 0
Dạng IV : Phương trình dạng a(sinx
±

cosx) + bsinxcosx = c
1. sinx + cosx – 4sinxcosx – 1 = 0 2. 3(sinx + cosx) + sin2x + 3 = 0 3. 4sinxcosx – 2(sinx + cosx) + 1 = 0
4. (sinx + cosx )
3
-
2
(1 + sin2x) + sinx + cosx -
2
= 0 5. cosx +
1
cos x
+ sinx +
1
sin x
=
10
3
6. sinxcosx + sinx – cosx - 1 = 0 7. 2sin2x - 4
2
(sinx – cosx) – 5 = 0
8.
2
(sinx + cosx) = tanx + cotx 9. sin
3
(
4
x
π
−
) =

2
sinx
Vấn đề 2: Phương trình lượng giác khác
10.
3 1
8sin
cos sin
x
x x
= +
11. cos2x – tan
2
x =
2 3
2
cos cos 1
cos
x x
x
− −

12.
sin 3 sin
cos 2 sin 2
1 cos2
x x
x x
x
−
= +

−
với x
(0; )
π
∈
13. cosx +
3
sinx = cos3x x=k
π
, v x= -
π
/6 +k
π
, v x= 2
π
/3 +k
π
.
14 . (2sinx – 1)( 2cosx+2sinx+1)= 3 - 4cos
2
x 15. 3tan3x + cot2x = 2tanx + 2/sin4x.
16. 3sin3x -
3
cos9x = 1+ 4sin
3
3x 17. sin
2
2x – cos
2
8x = sin(

17
10
2
x
π
+
)
18.
3 3
sin cos
cos 2
2cos sin
x x
x
x x
+
=
−
19.
1 cos4 sin 4
2sin 2 1 cos4
x x
x x
−
=
+
20.
2
tan .tan 3 2 tanx x x+ =
21.

cos3 .tan 5 sin 7x x x
=

22.
2
2 tan cot 3
sin 2
x x
x
+ = +
23.
( )
tan cot 2 sin 2 cos 2x x x x+ = +
24.
( )
2 2
cot tan
16 1 cos 4
cos2
x x
x
x
−
= +
25.
4 4
7
sin cos cot cot
8 3 6
x x x x

π π
   
+ = + −
 ÷  ÷
   
26.
xxxxxxx 3cos.cos8coscos.3cos64cos210cos
32
+=++
27.
1 tan 2 2sinx x+ =
28.
( )( )
1cossin1cos2 =+− xxx
29.
xxxx sin.cos
4
1
cos.sin
33
+=
30.
( )
24sin3sincos4
44
=++ xxx
31.
( )
3 sin tan
2cos 2

tan sin
x x
x
x x
+
− =
−
32.
3
tan cot 2cot 2x x x= +
33.
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=−
34.
4
1
4
cossin
44
=






++
π
xx

35.
4
2
3cos.cos3sin.sin
33
=+ xxxx
36.
xxxxx 4sin3cos.cos3sin.sin
333
=+
37.
x
x
x
x
cos
1
3cos2
sin
1
3sin2 +=−
38.
2
2
2 2
sin 2
tan
2
sin 4cos
2

x x
x
x
−
=
−
39.
xxxxx 5sin.7sin12sin35cos.7cos −=−
40.
sin tan 2
2
x
x + =
41.
3sin cos 4cot 1 0
2
x
x x+ + + =
42.
sin 2 cos 2 tan 2x x x
+ + =
43.
02coscossin
44
=++ xxx
44.
xxxx cos.2sin6cos2sin6
=−
45.
2sinsin.sin.cos6sin.cos3cos5

432234
=+−++ xxcoxxxxxx
46.
xx cossin2
3
=
47.
xxx 4sin
2
3
2cos2sin1
33
=++
48.
xxxxx cossin2sincossin
33
++=+
49.
12sin4cossin =+− xxx
50.
( )
2 tan sin sin cosx x x x− = +
51.
cot tan sin cosx x x x
− = +
52.
( )
2 3 3
tan 1 sin cos 1 0x x x− + − =
53.

x
x
x
x
3
3
sin1
cos1
2cos1
2cos1
−
−
=
+
−
54.
( )
3 2
2
3 1 sin
3tan tan 8cos 0
cos 4 2
x
x
x x
x
π
+
 
− + − − =

 ÷
 
55.
2sin cot 2sin 2 1x x x
+ = +
56.
2cossincossin =++− xxxx
57.
( ) ( )
xxxx cossin.cos2252cos −−=+
58.
2 3 2 3
tan tan tan cot cot cot 6x x x x x x+ + + + + =
59.
6
1sin4cos3
6
sin4cos3 =
++
++
xx
xx
60. 3tan
2
x + 4sin
2
x - 2
3
tanx – 4 sinx + 2 = 0
61

2 4 2
1
sin sin 3 sin .sin 3
4
x x x x+ =
62 sinx + cosx =
2
(2 – sin
7
2x)
Vấn đề 3: Phương trình LG chứa tham số
1. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
2m(sinx + cosx) + cosx – sinx + 2m
2
+3/2 =0. m =
1/ 2
±
2. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn
[ ]
0;
π
(2sinx – 1)( 2cos2x + 2 sinx + m) = 3 - 4 cos
2
x
0 ( ; 1) (3; )m vm= ∈ −∞ − ∪ +∞
1.
2
cos 2 cos . 1 tanx m x x= +
a. Giải phương trình khi m = 1. ; b. m = ? để phương trình có nghiệm trong đoạn







3
;0
π
2.
xaxx
22
sin3cos4cos +=
a. Giải phương trình khi a = 0. ; b. a? để phương trình có nghiệm






12
;0
π
3.
( ) ( )
3 tan 1 sin 2cos sin 3cosx x x m x x+ + = +
a. Giải phương trình khi m = 5 ; b. m=? để phương trình có nghiệm duy nhất







∈
2
;0
π
x
4. Cho phương trình:
( )
xxxk 6sin31cossin4
66
=−+
a. Giải phương trình khi k = -4. ; b. k? để phương trình có 3 nghiệm






−
∈
4
;
4
ππ
5.
mxx =−
33
sincos
a. Giải phương trình khi m = -1. ; b. m = ? phương trình có đúng 2 nghiệm







−
4
;
4
ππ
6. m? phương trình có nghiệm.
( )
2
2
3
3tan tan cot 1 0
sin
x m x x
x
+ + + − =
7. m? phương trình sau vô nghiệm.
( )
2
2
1
cot cot tan 2 0
cos
x m x x
x

+ + + + =
8.
( )
2
2
1 tan 1 3 0
cos
a x a
x
− − + + =
a. Giải phương trình khi a = ½. ; b. a? phương trình có nhiều hơn một nghiệm thuộc






2
;0
π
Vấn đề 4: Hệ thức trong tam giác
1. Cho
∆
ABC thoả:
3 3 3
2
a b c
c
a b c
+ −

=
+ −
và sinA.sinB = 3/4. CMR:
∆
ABC đều.
2. Cho
∆
ABC thỏa
2
1 osB 2
sinB
4
c a c
a c
+ +
=
−
. CMR :
∆
ABC cân
3. CMR:
∆
ABC thỏa mãn hệ thức : a)tanA + tanB = 2cot
2
C
hoặc b)
1 osB 2
1-cosB 2
c a c
a c

+ +
=
−
thì
∆
cân tại C
4. Cho
∆
ABC có 3 cạnh và 3 góc thỏa : a)
sin sin sin sin
a b a
A B B C
+ =
b) cosB + cosC =
2
b c+
CMR :
∆
vuông
5. Cho
∆
ABC thỏa
tan
2
b c B C
b c
− −
=
+
. CMR:

∆
ABC vuông hoặc cân tại A.
6. CMR: Trong
∆
ABC nếu cotA, cotB, cotC theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì a
2
, b
2
, c
2
cũng tạo thành cấp số cộng.
Các bài toán về lượng giác có trong các đề thi tuyển sinh những năm gần đây.
1. Tìm x
[ ]
0;14∈
nghiệm đúng phương trình: cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 (D-02)
2. Giải phương trình:
2 2 2
sin ( ) tan os 0
2 4 2
x x
x c
π
− − =
(D-03)
3. Giải phương trình: (2cosx-1)(2sinx+cosx) = sin2x – sinx (D-04)
4. Giải phương trình: cos
4
x + sin
4

x + cos( x-
4
π
) .sin(3x-
4
π
) - 3/2 = 0 (D-05)
5. Giải phương trình: cos3x+cos2x-cosx-1=0 (D-06)
6. Giải phương trình: cos
3
x + sin
3
x + 2sin
2
x = 1 ( dự bị D1-06)
7. Giải phương trình: 4sin
3
x + 4sin
2
x + 3sin2x + 6cosx = 0 ( dự bị D2-06)
8. Giải phương trình:
2
2cos x 2 3sinxcosx 1 3(sinx 3 cosx)+ + = +
(db A1-07)
9.
1 1
sin 2x sin x 2cotg2x
2sin x sin 2x
+ − − =
(db A2-07)

10.
2
x3
cos2
42
x
cos
42
x5
sin =






π
−−






π
−
(db B1-07)
11.
gxcottgx
xsin

x2cos
xcos
x2sin
−=+
(db B2-07)
12.
1xcos
12
xsin22 =






π
−
(db D-07)
13.
1 1 7
4sin( )
3
sin 4
sin( )
2
x
x
x
π
π

+ = −
−
(A-08)
14.
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x− = −
(B-02)
15.
2
cotx-tanx+4sin2x=
sin2x
(B-03)
16.
2
5sin 2 3(1 sin ) tanx x x− = −
(B-04)
17. 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x =0 (B-05)
18. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;
π
) của pt :
2 2
3
4sin 3 cos 2 1 2cos ( )
2 4
x
x x
π
− = + −
(db A1-05)
19. Giải phương trình :

3
2 2 cos ( ) 3cos sin 0
4
x x x
π
− − − =
( db A2-05)
20.
2
2
cos2 1
tan( ) 3tan
2 cos
x
x x
x
π
−
+ − =
(db B2-05)
21.
3 sin
tan( ) 2
2 1 cos
x
x
x
π
− + =
+

(db D1-05)
22.
sin 2 cos 2 3sin cos 2 0x x x x
+ + − − =
(db D2-05)
23. cotx + sinx(1+ tanx.tan
2
x
) = 4 (B-06)
24. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2
π
) của pt : 5(sinx +
os3x+sin3x
1 2sin 2
c
x+
) = cos2x+3 (A-02)
25. Giải phương trình: cotx – 1 =
2
cos2 1
sin sin 2
1 tan 2
x
x x
x
+ −
+
(A-03)
26.
2 2

cos 3 cos 2 cos 0x x x− =
(A-05)
27.
6 6
2(cos sin ) sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
(A-06)
28.
2 2
(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
(A-07)