Chuyên đề lượng giác K11CB

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (186.03 KB, 20 trang )

Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. Kiến thức cần nhớ
1. Ôn tập
 Công thức lượng giác cơ bản
sin
2
α
+ cos
2

α
= 1
1 + tan
2
α
=
α
2
cos
1
Zkk
∈+≠
,
2
π
π
α

1 + cot
2
α
=
α
2
sin
1
Zkk
∈≠
,
πα
tan
α
.cot
α
= 1
Zkk
∈≠
,
2
π
α
 Cung đối nhau
cos(-
α
) = cos
α
sin(-
α

) = -sin
α
tan(-
α
) = -tan
α
cot(-
α
) = -
α
 Cung bù nhau
sin
)(
απ
−
= sin
α
cos
)(
απ
−
= -cos
α
tan
)(
απ
−
= -tan
α
cot

)(
απ
−
= -cot
α
 Cung hơn kém
π
sin
)(
απ
+
= - sin
α
cos
)(
απ
+
= -cos
α
tan
)(
απ
+
= tan
α
cot
)(
απ
+
= cot

α
 Cung phụ nhau
sin
)
2
(
α
π
−
= cos
α
cos
)
2
(
α
π
−
= sin
α
tan
)
2
(
α
π
−
= cot
α
cot

)
2
(
α
π
−
= tan
α
 Công thức cộng
cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb
cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb
sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa
sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa
tan(a – b) =
ba
ba
tantan1
tantan
+
−
GV: Phạm Thanh Tâm 1
Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
tan(a + b) =
ba
ba
tantan1
tantan
−
+
 Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa
cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2
a
tan2a =
a
a
2
tan1
tan2
−
 Công thức hạ bậc
cos
2
a =
2
2cos1 a
+
sin
2
a =
2
2cos1 a
−

tan
2
a =
a
a
2cos1
2cos1
+
−
 Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa cosb =
[ ]
)cos()cos(
2
1
baba
++−
sina sinb =
[ ]
)cos()cos(
2
1
baba
+−−
sina cosb =
[ ]
)sin()sin(
2
1
baba

++−
 Công thức biến đổi tổng thành tích
cosu + cosv = 2cos
2
vu
+
cos
2
vu
−
cosu - cosv = -2sin
2
vu
+
sin
2
vu
−
sinu + sinv = 2sin
2
vu
+
cos
2
vu
−
sinu - sinv = 2cos
2
vu
+

sin
2
vu
−
2. Hàm số sin
• Hàm số y = sinx có tập xác định là R và -1
≤
sinx
≤
1,
Rx
∈∀
.
• Là hàm số lẻ.
• Tuần hoàn với chu kì 2
π
.
GV: Phạm Thanh Tâm 2
Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:
+ sinx = 0
⇔
x = k
π
, k
∈
Z
+ sinx = 1
⇔
x =

π
π
2
2
k
+
, k
∈
Z
+ sinx = -1
⇔
x = -
π
π
2
2
k
+
, k
∈
Z
3. Hàm số côsin
• Hàm số y = cosx có tập xác định là R và -1
≤
cosx
≤
1,
Rx
∈∀
.

• Là hàm số chẵn.
• Tuần hoàn với chu kì 2
π
.
• Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:
+ cosx = 0
⇔
x =
π
π
k
+
2
, k
∈
Z
+ cosx = 1
⇔
x = k2
π
, k
∈
Z
+ cosx = -1
⇔
x =(2k + 1)
π
, k
∈
Z

4. Hàm số tang
• Hàm số y = tanx =
x
x
cos
sin
có tập xác định là D= R\






∈+
Zkk ,
2
π
π

• Là hàm số lẻ.
• Tuần hoàn với chu kì
π
.
• Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:
+ tanx = 0
⇔
x = k
π
, k
∈

Z
+ tanx = 1
⇔
x =
π
π
k
+
4
, k
∈
Z
+ tanx = -1
⇔
x = -
π
π
k
+
4
, k
∈
Z
5. Hàm số côtang
• Hàm số y = cotx =
x
x
sin
cos
có tập xác định là D= R\

{ }
Zkk
∈
,
π

• Là hàm số lẻ.
• Tuần hoàn với chu kì
π
.
• Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:
+ cotx = 0
⇔
x =
π
π
k
+
2
, k
∈
Z
GV: Phạm Thanh Tâm 3
Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
+ cotx = 1
⇔
x =
π
π
k

+
4
, k
∈
Z
+ cotx = -1
⇔
x = -
π
π
k
+
4
, k
∈
Z
B. Ví dụ và bài tập
VD1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y = sin(2x + 1) b. y = cos
x
1
c. y = tan(x +
2
π
) d. y = cot(2x -
3
2
π
)
Giải

a. Tập xác định của hàm số y = sin(2x + 1) là D = R.
b. Hàm số y = cos
x
1
xác định khi x
≠
0. Vậy tập xác định của hàm số
y = cos
x
1
là D = R\
{ }
0
.
c. Hàm số y = tan(x +
2
π
) xác định khi x +
2
π
≠
2
π
+ k
π

⇔
x
≠
k

π
.
Vậy tập xác định của hàm số là D = R\
{ }
Zkk
∈
,
π
.
d. Hàm số y = cot(2x -
3
2
π
) xác định khi 2x -
3
2
π
≠
k
π
⇔
x
≠
3
π
+ k
2
π
. Vậy tập xác định của hàm số là D = R\







∈+
Zkk ,
23
ππ
.
Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y = sin
x
b. y =
x
x
sin
cos1
+
c. y =
x
x
cos3
tan
+
d. y =
1sin
cot
−
x

x
e. y = cot(
)
3
5
3
π
+
x
f. y =
5cos
1sin
+
+
x
x
g. y =
1sin
3cos
+
+
x
x
h. y = tan(
x3
3
2
−
π
) i. y = sin

1
1
2
−
x

k. y =
x
x
3sin
3tan
+
l. y = cos
1
2
−
x
x
m. y =
xcos1
+
GV: Phạm Thanh Tâm 4
Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
n. y =
xx 3coscos
1
−
p. y = tanx + cotx q. y =
x
x

cos1
cos1
+
−
VD2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y = 3 + 2sinx b. y =
4
cos32
2
x
+
c. y =
53sin2
+
x
Giải
a. Vì -1
≤
sinx
≤
1 nên -2
≤
2sinx
≤
2 do đó 1
≤
3 + 2sinx
≤
5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1

⇔
x =
π
π
k
+
2
, k
∈
Z.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = -1
⇔
x = -
π
π
k
+
2
, k
∈
Z.
b. Vì 0
≤
cos
2
x
≤
1 nên 2
≤
2 + 3cos

2
x
≤
5 do đó
2
1
≤
4
cos32
2
x
+
≤
4
5
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
4
5
, đạt được khi cosx =
±
1
⇔
x =
π
k
, k
∈
Z.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là

2
1
, đạt được khi cosx = 0
⇔
x =
π
π
k
+
2
, k
∈
Z.
c. Vì -1
≤
sin3x
≤
1 nên 3
≤
2sin3x +5
≤
7 do đó
3
≤
52sin3x
+
≤
7
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là

7
, đạt được khi sin3x = 1
⇔
3x =
π
π
k
+
2
, k
∈
Z.
⇔
x =
36
ππ
k
+
, k
∈
Z.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
3
, đạt được khi sin3x = -1
⇔
3x = -
π
π
k
+

2
, k
∈
Z.
⇔
x = -
36
ππ
k
+
, k
∈
Z.
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
GV: Phạm Thanh Tâm 5
Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
a. y =
xcos25
−
b. y = 1- 2sin
2
2x c. y = 4 - 3
xcos
d. y =
x
2
sin21
3
+
e. y =

3
cos52
2
x
−
f. y =
xsin2
2
−
g. y = 1 – sin2x h. y = 3sin(x-
4
π
) -1 i. y = -2 +
xcos1
−
k. y = 2cos
1
−
x
l. y = 3
xsin
+ 1 m. y = 2- 3cosx
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
• f(x) là hàm số chẵn trên D



=−
∈−∈∀

⇔
)()( xfxf
DxthìDx
• f(x) là hàm số lẻ trên D



−=−
∈−∈∀
⇔
)()( xfxf
DxthìDx
Bài tập 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a. y = sin2x b. y = -2 +3cosx c. y = cosx – sinx
d. y = tanx.sinx e. y = cos
2
x + sin
x
f. y = cotx.
xsin
§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình sinx = a (1)
• Nếu
a
>1 thì phương trình (1) vô nghiệm.
• Nếu
a
≤

1: gọi
α
là cung thoả mãn sin
α
= a. Khi đó
sinx = a
⇔
sinx = sin
α
⇔
)(
2
2
Zk
kx
kx
∈



+−=
+=
παπ
πα
Nếu
α
thoả mãn điều kiện -
2
π
≤

α
≤
2
π
và sin
α
= a
thì ta viết
α
= arcsina. Khi đó nghiệm của phương trình (1)
là
GV: Phạm Thanh Tâm 6
Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

)(
2arcsin
2arcsin
Zk
kax
kax
∈



+−=
+=
ππ
π
Phương trình sinx = sin
0

β
)(
360180
360
000
00
Zk
kx
kx
∈




+−=
+=
⇔
β
β
Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời
hai đơn vị độ và radian.
2. Phương trình cosx = a (2)
• Nếu
a
>1 thì phương trình (2) vô nghiệm.
• Nếu
a
≤
1: gọi
α

là cung thoả mãn cos
α
= a. Khi đó
cosx = a
⇔
cosx = cos
α
⇔
)(
2
2
Zk
kx
kx
∈



+−=
+=
πα
πα
Nếu
α
thoả mãn điều kiện 0
≤
α
≤
π
và cos

α
= a thì
ta viết
α
= arccosa. Khi đó nghiệm của phương trình (2) là

)(
2cos
2cos
Zk
kaarcx
kaarcx
∈



+−=
+=
π
π
Phương trình cosx = cos
0
β
)(
360
360
00
00
Zk
kx

kx
∈




+−=
+=
⇔
β
β
3. Phương trình tanx = a (3)
Điều kiện
Zkkx
∈+≠
,
2
π
π
Gọi
α
là cung thoả mãn tan
α
= a. Khi đó
tanx = a
α
tantan
=⇔
x
)(, Zkkx

∈+=⇔
πα
Nếu
α
thoả mãn điều kiện -
2
π
<
α
<
2
π
và tan
α
= a thì ta viết
α
= arctana. Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là:
x = arctana + k
π
, (
Zk
∈
)
Phương trình tanx = tan
0
β
)(180
00
Zkkx
∈+=⇔

β
4. Phương trình cotx = a (4)
Điều kiện
Zkkx
∈≠
,
π
Gọi
α
là cung thoả mãn cot
α
= a. Khi đó
cotx = a
α
cotcot
=⇔
x
)(, Zkkx
∈+=⇔
πα
Nếu
α
thoả mãn điều kiện 0<
α
<
π
và cot
α
= a thì ta viết
α

= arccota. Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là:
x = arccota + k
π
, (
Zk
∈
)
GV: Phạm Thanh Tâm 7
Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Phương trình cotx = cot
0
β
)(180
00
Zkkx
∈+=⇔
β
B. Ví dụ và bài tập
VD1: Giải các phương trình sau:
a. sinx =
2
3
b. sin2x =
4
1
c. cos(2x +
4
π
)=
2

1
−
d. tan(x – 60
0
) =
3
1
e. cot(x -
3
π
)= 5 f. cos(x -75
0
) = -1
*g. tan3x = tanx *h. tan5x – cotx = 0
Giải
a. sinx =
2
3

3
sinsin
π
=⇔
x

Zk
kx
kx
∈
