Chuyên đề lượng giác

Chuyên đề 1
Phơng trình lợng giác
A. Công thức lợng giác cần nhớ
I. Một số công thức lợng giác cần nhớ
1)
2 2 2 2
2 2
1 1
sin x cos x 1;1 tan ;1 cot .
cos sin
x x
x x
+ = + = + =
2)
sin cos 1
tanx ;cot x ;tan
cos sin cot
x x
x
x x x
= = =
.
3) Công thức cộng:
sin( ) sin cos cos
cos( ) cos cos sin sin
a b a b asinb
a b a b a b
=
= m
4) Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cos

2
x sin
2
x = 2 cos
2
x 1 = 1 - 2 sin
2
x
5) Công thức hạ bậc:
2 2
1 cos2 1 cos2
cos ;sin
2 2
x x
x x
+
= =
6) Công thức nhân ba:
Sin3x = 3sinx 4sin
3
x; cos3x = 4cos
3
x 3cosx.
7) Công thức biểu diễn theo tanx:
2
2 2 2
2tan 1 tan 2tan
sin 2 ;cos2 ;tan 2
1 tan 1 tan 1 tan
x x x

x x x
x x x

= = =
+ +
.
8) Công thức biến đổi tích thành tổng:
( )
( )
( )
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + +
= +
= + +
9) Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2

cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
+
+ =
+
=
+
+ =
+
=
- 1 -
B. Một số dạng bài tập vê phơng trình lợng giác
Dạng 1. Phơng trình bậc hai.
Bài 1. Giải các phơng trình sau:
1) 2cosx -
2
= 0 2)
3
tanx 3 = 0
3) 3cot2x +

3
= 0 4)
2
sin3x 1 = 0
5)
2
cosx + sin2x = 0
Bài 2. Giải các phơn trình sau:
1) 2cos
2
x 3cosx + 1 = 0 2) cos
2
x + sinx + 1 = 0
3) 2cos
2
x +
2
cosx 2 = 0 4) cos2x 5sinx + 6 = 0
5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos
2
x - 4
3
cosx + 3 = 0
7) 2sin
2
x cosx +
7
2
= 0 8) 2sin
2

x 7sinx + 3 = 0
9) 2sin
2
x + 5cosx = 5.
Bài 3. Giải các phơng trình:
1) 2sin
2
x - cos
2
x - 4sinx + 2 = 0 3) 9cos
2
x - 5sin
2
x - 5cosx + 4 = 0
3) 5sinx(sinx - 1) - cos
2
x = 3 4) cos2x + sin
2
x + 2cosx + 1 = 0
5) 3cos2x + 2(1 +
2
+ sinx)sinx (3 +
2
) = 0
6) tan
2
x + (
3
- 1)tanx
3

= 0 7)
3
3cot 3
2
sin
x
x
= +
8)
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
+
=
9)
cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)
1
sin 2 1
x x x x x
x
+ + +
=

.
Dạng 2. Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1. Giải các phơng trình sau:
1) 4sinx 3cosx = 2 2) sinx -

3
cosx = 1
3)
3
sin3x + cos3x = 1 4) sin4x +
3
cos4x =
2
5) 5cos2x 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5
Bài 2. Giải các phơng trình:
1)
3cos3 sin3 2x x+ =
2)
3
3sin3 3cos9 1 4sin 3x x x = +

3)
cos7 cos5 3sin 2 1 sin7 sin5x x x x x =
4)
cos7 3sin7 2x x =
5)
2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x+ = +
Dạng 3. Phơng trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin.
1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x 3sinxcosx + 1 = 0.
3) 4
3
sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x +
5
2
.

4)
5
2
3sin (3 ) 2sin( )cos( )
2 2
x x x


+ + +
3
2
5sin ( ) 0
2
x

+ =
.
5) a)
1
3 sin cos
cos
x x
x
+ =
; b)
1
4sin 6cos
cos
x x
x

+ =
.
6) cos2x 3sinxcosx 2sin2x 1 = 0 7) 6sin2x + sinxcosx cos2x = 2.
8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0.
10)
2 2
sin x - 4 3sinxcosx 5cos x = 5+
.
- 2 -
Dạng 4. Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Bài 1. Giải các phơng trình sau:
1)
(2 2)+
(sinx + cosx) 2sinxcosx = 2
2
+ 1
2) 6(sinx cosx) sinxcosx = 6
3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0
4) sinx cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
5) sin2x 12(sinx cosx) + 12 = 0
Bài 2. Giải các phơng trình:
1)
2
(sinx + cosx) - sinxcosx = 1.
2) (1 sinxcosx)(sinx + cosx) =
2
2
.
3)
1 1 10

cos sin
cos sin 3
x x
x x
+ + + =
.
4) sin
3
x + cos
3
x =
2
2
.
5) sinx cosx + 7sin2x = 1.
6)
(1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2x x x x+ + = +
.
7)
sin 2 2 sin( ) 1
4
x x

+ =
.
8)
sin cos 4sin 2 1x x x + =
.
9) 1 + tgx = 2
2

sinx.
10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2.
11) 2sin2x 2(sinx + cosx) +1 = 0.
- 3 -
C. Bµi tËp tù luyÖn
Bµi 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1) sin3x =
1
2
11) sin(2x - 3) = sin(x + 1)
2) cos2x = -
2
2
12) tan(3x + 2) + cot2x = 0
3) tan(x + 60
o
) = -
3
13) sin3x = cos4x
4) cot
5
7
x
π
 
−
 ÷
 
=
1

3
14) tan3x.tanx = 1
5) sin2x = sin
3
4
x
π
 
+
 ÷
 
15) sin(2x + 50
o
) = cos(x + 120
o
)
6) tan
2
3
x
π
 
+
 ÷
 
= tan
3
6
x
π

 
−
 ÷
 
16)
3
- 2sin2x = 0
7) cos(3x + 20
o
) = sin(40
o
- x) 17) 2cos
3 4
x
π
 
+
 ÷
 
-
3
= 0
8) tan
4
x
π
 
+
 ÷
 

= - cot
2
3
x
π
 
−
 ÷
 
18) 3tan
2
20
3
o
x
 
−
 ÷
 
+
3
= 0
9) sin(2x - 10
o
) =
1
2
víi -120
o
< x < 90

o
19) 2sinx -
2
sin2x = 0
10) cos(2x + 1) =
2
2
víi - π < x < π 20) 8cos
3
x - 1 = 0
Bµi 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
1) sin
2
x =
1
2
11) sin
2
x + sin
2
2x = sin
2
3x
2) cos
2
3x = 1 12) sin
( )
2cos 2
4
x x

π
 
− +
 ÷
 
tan2x = 0
3) sin
4
x + cos
4
x =
1
2
13) (2sinx + 1)
2
- (2sinx + 1)(sinx -
3
2
) = 0
4) sinx + cosx = 1 14) sinx + sin2x + sin3x = 0
5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
6) cos2x.cos5x = cos7x 16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 17) cos7x + sin
2
2x = cos
2
2x - cosx
8) sin4x.sin3x = cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x
9) 1 + 2cosx + cos2x = 0 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x
10) cosx + cos2x + cos3x = 0 20) cosx - cos2x + cos3x =

1
2
Bµi 3. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
1) 2sin
2
x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin
2
x + 4cosx - 1 = 0
3) tan
2
6
x
π
 
+
 ÷
 
+ 2cot
2
6
x
π
 
+
 ÷
 
- 3 = 0 4)
2
2
+ (3 - 3)cot2x - 3 - 3 = 0

sin 2x
5) cot
2
x - 4cotx + 3 = 0 6) cos
2
2x + sin2x + 1 = 0
- 4 -
7) sin
2
2x - 2cos
2
x +
3
4
= 0 8) 4cos
2
x - 2(
3
- 1)cosx +
3
= 0
9) tan
4
x + 4tan
2
x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0
11)
2
1
cos x

+ 3cot
2
x = 5
Bµi 5. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x =
2
3) 2sin
4
x
π
 
+
 ÷
 
+ sin
4
x
π
 
−
 ÷
 
=
3 2
2
4)
2
3cos + 4sinx + = 3
3cos + 4sinx - 6
x

x
5) 2sin17x +
3
cos5x + sin5x = 0
6) cos7x - sin5x =
3
(cos5x - sin7x)
7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx
Bµi 6. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0
3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos
3
x + sin
3
x = 1
5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3
3
(sinx + cosx) + 5 = 0
7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x +
2
sin(x - 45
o
) = 1
9) 2sin2x +
3
|sinx + cosx| + 8 = 0
10) (sinx - cosx)
2
+ (
2

+ 1)(sinx - cosx) +
2
= 0
Bµi 7. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
1) sin
2
x - 10sinxcosx + 21cos
2
x = 0 2) cos
2
x - 3sinxcosx + 1 = 0
3) cos
2
x - sin
2
x -
3
sin2x = 1
4) 3sin
2
x + 8sinxcosx + (8
3
- 9)cos
2
x = 0
5) 4sin
2
x + 3
3
sin2x - 2cos

2
x = 4
6) 2sin
2
x + (3 +
3
)sinxcosx + (
3
- 1)cos
2
x = 1
7) 2sin
2
x - 3sinxcosx + cos
2
x = 0 8) cos
2
2x - 7sin4x + 3sin
2
2x = 3
Bµi 8. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
1) 4cos
2
x - 2(
3
+ 1)cosx +
3
= 0 2) tan
2
x + (1 -

3
)tanx - 3 = 0
3) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin
2
2x - 2cos
2
x +
3
4
= 0
5) 2cos6x + tan3x = 1 6)
2
1
cos x
+ 3cot
2
x = 5
Bµi 9. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
1) sin
2
x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1
2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1
3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx
4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos
2
x + 1
5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x
- 5 -
6) sin(4x +
π

4
)sin6x = sin(10x +
π
4
)
7) (1 + tan
2
)(1 + sin2x) = 1
8) tan(
2π
3
- x) + tan(
π
3
- x) + tan2x = 0
Bµi 10. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
1) (1 - cos2x)sin2x =
3
sin
2
x
2) sin
4
x - cos
4
x = cosx
3)
1 1π 1 - cotx
+ cos(x - ) =
1 + cosx 4 2(1 + cotx)

2
4) 1 - (2 +
2
)sinx =
2
2 2
1 + cot x
−
5) tan
2
x =
1 - cosx
1 - sinx
6) 2(sin
3
x + cos
3
x) + sin2x(sinx + cosx) =
2

7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx
8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin
2
x
Bµi 10. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
1) sinx + cosx -
sin2x
3
- 1 = 0

2) (1 +
2
)(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 +
2
) = 0
3) tanx + tan2x = tan3x
4)
1 cosx sinx
=
x
1 - cosx
cos
2
+
- 6 -
D. Một số Bài thi đại học vê phơng trình lợng giác
Bài 1. Giải các phơng trình
1) (1 + tanx)cos
3
x + (1 + cotx)sin
3
x =
2sin2x
2) tan
2
x - tanxtan3x = 2
3)
2
5 - 3sin x - 4cosx
= 1 - 2cosx

4) cos3xtan5x = sin7x
5) tanx + cotx = 4
6)
sin 2
1 + sinx
x
+ 2cosx = 0
7) 2tanx + cotx =
2
3 +
sin2x
8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
9) 2sin3x(1 - 4sin
2
x) = 1
10)
2 2
cot x - tan x
= 16(1 + cos4x)
cos2x
11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
1
16
12) cos10x + cos
2
4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos
2
3x
13) sin
2

xcosx =
1
4
+ cos
3
xsinx
14) sin
6
x + cos
6
x = cos4x
15) sin
4
x + cos
4
x =
7
8
cot(x +

3
)cot(

6
- x)
16)
sinxcot5x
= 1
cos9x
17) sin

3
xcos3x + cos
3
xsin3x = sin
3
4x
18) 2sin3x -
1
sinx
= 2cos3x +
1
cosx
19) cos
3
xcos3x + sin
3
xsin3x =
2
4
20)
4 4
sin + cos x 1
=
sin 2 2
x
x
(tanx + cotx)
21) 1 + tanx = 2
2
sinx

22) cosx - sinx =
2
cos3x
23)
2
3sin 2 - 2cos x = 2 2 + 2cos2xx
24) sin
3
x + cos
3
x + sin
3
xcotx + cos
3
xtanx =
2sin2x
25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1
26) 2sin(3x +
4

) =
2
1 + 8sin2xcos 2x
- 7 -
Bài 2. Giải các phơng trình
1) sin
4
x
3

ữ

+ cos
4
x
3

ữ

=
5
8
2) 4sin
3
x + 3cos
3
x - 3sinx - sin
2
xcosx = 0
3) cos
3
x - sin
3
x - 3cosxsin
2
x + sinx = 0
4)
2 2
2 2
(1 - cosx) + (1 + cosx) 1 + sinx

- tan xsinx = + tan x
4(1 - sinx) 2
5) sin
2
x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
6) cos
6
x + sin
6
x =
7
16
Bài 3. Giải các phơng trình
1)
cos2 + 3cot2x + sin4x
= 2
cot 2 - cos2x
x
x
2)
2 2
4sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos2x
= 0
cosx
3)
2
cosx(2sinx + 3 2) - 2cos x - 1
= 1
1 + sin2x
4) sin4x = tanx

5) cos2x + sin
2
x 2cosx + 1 = 0 6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0
7) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =
3
2
8) 2 + cos2x + 5sinx = 0
9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos
3
x + 3
2
sin2x = 8cosx
Bài 4. Giải phơng trình lợng giác
1) cosx +
3
sinx = 3 -
3
cosx + 3sinx + 1
2) 3sin3x -
3
cos9x = 1 +
4sin

3
3x
3) cos7xcos5x -
3
sin2x = 1 - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1)
5) 4(sin
4
x + cos
4
x) +
3
sin4x = 2 6) 4sin
3
x - 1 = 3sinx -
3
cos3x
7)
3
sin2x + cos2x =
2
8) 2
2
(sinx + cosx)cosx = 3 +
cos2x
9) cos
2
x -
3
sin2x = 1 + sin
2

x
Bài 5. Giải các phơng trình (biến đổi đa về dạng tích)
1) sin3x -
2
3
sin
2
x = 2sinxcos2x
2) sin
2
2x + cos
2
8x =
1
2
cos10x
3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos
2
x
4) cosxcos
x
2
cos
3x
2
- sinxsin
x
2
sin
3x

2
=
1
2
5) tanx + tan2x - tan3x = 0
6) cos
3
x + sin
3
x = sinx - cosx
7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x
8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos
2
x
9) 2cos
3
x + cos2x + sinx = 0
10) sin3x - sinx = sin2x
- 8 -
11)
cos
1 sin
1 sin
x
x
x
= +

12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0
13) cos

4
x
2
- sin
4
x
2
= sin2x
14) 3 - 4cos
2
x = sinx(2sinx + 1)
15) 2sin
3
x + cos2x = sinx
16) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
3
2
17) cos
3
x + sin
3
x = sinx - cosx
18) sin
3

x + cos
3
x = 2(sin
5
x + cos
5
x)
19) sin
2
x = cos
2
2x + cos
2
3x
20) sin
2
3x - sin
2
2x - sin
2
x = 0
21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0
22) 2sin
3
x - sinx = 2cos
3
x - cosx + cos2x
23) 2sin
3
x - cos2x + cosx = 0

24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
25) 2cos2x =
6
(cosx - sinx)
26) 4cos
3
x + 3
2
sin2x = 8cosx
27) sin3x + sin2x = 5sinx
Bài 6. Giải các phơng trình
1)
sin3x - sinx
1 - cos2x
= cos2x + sin2x với 0 < x < 2
2) sin(2x +
5
2
) - 3cos(x -
7
2
) = 1 + 2sinx với

2
< x < 3
3) cos7x -
3
sin7x = -
2
với

2 6
< x <
5 7
Bài 7. Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
1) y = 2sin
2
x + 3sinxcosx + 5cos
2
x
2) y =
cosx + 2sinx + 3
2cosx - sinx + 4
trong khoảng ( - ; )
3) y = 4sin
2
x +

2sin(2x + )
4
4) y = sinx - cos
2
x +
1
2
Bài 8 (Các đề thi ĐH, CĐ mới).
1) A_02. Giải phơng trình: 5
cos3x + sin3x
sin +
1 2sin2x
x

ữ
+

= cos2x + 3
2) D_02. Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phơng trình:
cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0
3) A_03. Giải phơng trình: cotx - 1 =
cos2x
1 + tanx
+ sin
2
x -
1
2
sin2x
4) D_03. Giải phơng trình: sin
2
(
x
2
-

4
)tan
2
x - cos
2
x
2

= 0
5) D_04. Giải phơng trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx
6) A_05. Giải phơng trình: cos
2
3xcos2x - cos
2
x = 0
- 9 -
7) D_05. Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos
4
x + sin
4
x + cos(x -
π
4
)sin(3x -
π
4
) -
3
2
= 0
8) A_05_dù bÞ1. T×m nghiÖm trªn kho¶ng (0 ; π) cña ph¬ng tr×nh:
4sin
2
x
2
-
3
cos2x = 1 + 2cos

2
(x -
3π
4
)
9) A_05_dù bÞ 2. Gi¶i pt: 2
2
cos
3
( x -
π
4
) - 3cosx - sinx = 0
10) D_05_dù bÞ 1. Gi¶i pt: tan(
3π
2
- x) +
sin
1 cos
x
x+
= 2
11) D_05_dù bÞ 2. Gi¶i pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0
12) A_06_dù bÞ 1. Gi¶i pt: cos3xcos
3
x - sin3xsin
3
x =
2 + 3 2
8

13) A_06_dù bÞ 2. Gi¶i pt: 4sin
3
x + 4sin
2
x + 3sin2x + 6cosx = 0
14) B_06_dù bÞ 1. Gi¶i pt: (2sin
2
x - 1)tan
2
2x + 3(2cos
2
x - 1) = 0
15) B_06_dù bÞ 2. Gi¶i pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
16) D_06_dù bÞ 1. Gi¶i pt: cos
3
x + sin
3
x + 2sin
2
x = 1
17) D_06. Gi¶i pt: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0
18) A_07. Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1 + sin
2
x)cosx + (1 + cos
2
x)sinx = 1 + sin2x
19) B_07. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2sin
2
2x + sin7x - 1 = sinx
21) D_07. Gi¶i ph¬ng tr×nh: (sin

2

x
2
+ cos
2
x
2
)
2
+
3
cosx = 2
22) C§_07. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2sin
2
(
π
4
- 2x) +
3
cos4x = 4cos
2
x - 1
23) A_08. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1 1 7π
+ = 4sin - x
3π
sinx 4
sin x -
2

 
 ÷
 
 
 ÷
 
24) B_08. Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin
3
x -
3
cos
3
x = sinxcos
2
x -
3
sin
2
xcosx
25) D_08. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
26) C§_08. Gi¶i pt: sin3x -
3
cos3x = 2sin2x
- 10 -