Đề Thi HSG Toán 12 Dự Thi Cấp Quốc Gia - Sở GDĐT Đồng Tháp - 2010 ppsx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2010

ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 15 tháng 11 năm 2009
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: ( 5 điểm)
1a) Giải hệ phương trình sau:








3)1ln(3
3)1ln(3
3)1ln(3
32
32
32
zxzzz
yzyyy
xyxxx
2a) Cho dãy số (U
n

), biết rằng :
*Nn,
126
10
4
12
2
1









 nnn
UUU
U
U
.
Chứng minh rằng : (U
n
+ 4) chia hết cho n, với mọi số nguyên tố n.
Câu 2: ( 4 điểm)
Cho hàm số
 
xf
liên tục trên đoạn [0,1] thỏa mãn điều kiện

   
.10 ff 
Chứng minh rằng phương trình
 







2009
1
xfxf
có nghiệm
 
1,0x
.
Câu 3: ( 5 điểm)
3a) Cho tam giác ABC và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Các đường
phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh đối diện tại
A’, B’, C’. Chứng minh rằng:
27
8
''.'.


CCBBAA
CIBIAI
3b) Gọi , ,  là góc giữa đường thẳng (d) và theo thứ tự với các đường

thẳng chứa ba cạnh BC, CA, AB của tam giác đều ABC.
Tính M = sin
2
.sin
2
.sin
2
 + cos
2
.cos
2
.cos
2

Câu 4: (3 điểm)
Tìm ba số nguyên tố a, b, c thỏa a
b
– c + 1 = 0.
Câu 5: (3 điểm)
Trong một giải đấu thể thao vòng tròn một lượt có n vận động viên
 
1, ,,
21
nPPP
n
.Mỗi vận động viên đấu với tất cả mọi đấu thủ còn lại và nguyên tắc
đấu không có hòa. Đặt
r
W
và

r
L
là số trận thắng và số trận thua tương ứng của đấu
thủ
r
P
.Hãy chứng tỏ rằng:



n
r
r
n
r
r
LW
1
2
1
2
. HẾT
Đề chính thức