Đề Thi HSG Toán 12 - THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hoà [2009 - 2010] docx

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2009 - 2010
Huỳnh Kim Linh Sưu tầm và giới thiệu
——————
Bài 1 :
Cho a, b, c ∈ (0; 1). Chứng minh rằng :
√
abc +

(1 − a) (1 − b) (1 − c) < 1.
Bài 2 :
Cho các số thực x, y, z khác không. Tìm tất cả giá trị của :
f (x, y, z) =
|x+y|
|x|+|y|
+
|y+z|
|y|+|z|
+
|z+x|
|z|+|x|
.
Bài 3 :
Cho n là số tự nhiên lẻ và tập các số thực X = {x
1
; x
2
; . . . ; x
n
} .
Tìm tất cả các song ánh f (hàm 1-1) trên tập X, f : X → X
sao cho :

|f (x
1
) − x
1
| = |f (x
2
) − x
2
| = ··· = |f (x
n
) − x
n
| .
Bài 4 :
Cho 7 số thực thuộc khoảng (1; 13). Chứng minh rằng có ít nhất ba số trong đó là độ dài 3 cạnh của
1 tam giác.
Bài 5 :
Cho a, b, c > 0. Giải hệ phương trình :









ax − by +
1
xy

= c
bz −cx +
1
zx
= a
cy −az +
1
yz
= b.
Bài 6 :
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và bên trong hình vuông cho n điểm phân biệt. Chứng minh
rằng tồn tại một tam giác có đỉnh tại các điểm đã cho hoặc là đỉnh của hình vuông sao cho diện tích
S của nó thỏa mãn bất đẳng thức :
S ≤
1
2(n+1)
.
——— HẾT ———