ly thuyet co ban 12

chuyên đề lý thuyết ch ơng trình lớp 12
I/ Công thức l ợng giác:
1,
Bảng g/trị l

ợng giác của các góc đặc biệt
:

30
0
(/6)
45
0
(/4)
60
0
(/3)
90
0
(/2)
120
0
(2/3)
135
0
(3/4)
150
0
(5/6)
180
0

( )
Sin

1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2

1
2
0
Cos
3
2
2
2

1
2
0
-
1
2

-
2
2
-
3
2
-1
Tan
1
3
1
3
////
-
3
-1
-
1
3
0
Cot
3
1
1
3
0
-
1
3
-1

-
3
////
2, Các công thức cơ bản cần nhớ:
sin
2
+ cos
2
= 1 tan .cot =1
1
2
cos

= 1+ tan
2

1
2
sin

= 1+ cot
2

3, Công thức về góc:
Góc đối: và -
sin(-) = - sin
cos(-) = cos
tan(-) = - tan
cot(-) = - cot
Góc bù: và

-
sin(-) = sin
cos(-) = - cos
tan(-) = - tan
cot(-) = - cot
Góc: và

+
sin(+) = - sin
cos(+) = - cos
tan(+) = tan
cot(+) = cot
Góc phụ: và
2

-
sin(
2

-) = cos
cos(
2

-) = sin
tan(
2

-) = cot
cot(

2

-) = tan
Góc : và
2

+
sin(
2

+) = cos
cos(
2

+) = -sin
tan(
2

+) = -cot
cot(
2

+) = -tan
4, Công thức cần nhớ:
Công thức cộng:
cos(a b) = cosa.cosb
m
sina.sinb
sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb
tan(a b) =

tan tan
1 tan .tan
a b
a b

m
Công thức nhân đôi:
sin2a = 2 sina.cosa
cos2a = cos
2
a- sin
2
a
= 2cos
2
a - 1
= 1- 2sin
2
a
C«ng thøc h¹ bËc 2: ( §îc suy ra tõ
c«ng thøc nh©n ®«i).
1 2
2
2
cos a
cos a
+
=
1 2
2

2
cos a
sin a
−
=
1 2
2
tan
1 2
cos a
a
cos a
−
=
+
C«ng thøc biÕn tÝch thµnh tæng:
cosa.cosb =
1
2
[cos(a+b)+ cos(a-b)]
sina.cosb =
1
2
[sin(a+b)+sin(a-b)]
sina.sinb =
1
2
[cos(a-b)- cos(a+b)]
C«ng thøc biÕn tæng thµnh tÝch:
cosa + cosb = 2 cos

2
a b+
.cos
2
a b−
cosa - cosb = -2 sin
2
a b+
.sin
2
a b−
sina + sinb = 2 sin
2
a b+
.cos
2
a b−
sina - sinb = 2cos
2
a b+
.sin
2
a b−
tana ± tanb =
sin( )
cos .cos
a b
a b
±
cota ± cotb =

sin( )
sin .sin
a b
a b
±
Chó ý:
mét sè ct hay dung trong biÕn
®æi
1+ sin2x = ( sinx + cosx)
2
1- sin2x = ( sinx - cosx)
2
1- cos2x = 2sin
2
x
1+ cos2x = 2cos
2
x
tanx + cotx =
2
sin 2x
sinx + cosx =
2 ( )
4
cos x
Π
−
sinx - cosx =
2 s ( )
4

in x
Π
−
cosx- sinx =
2 ( )
4
cos x
Π
+
cos3x = 4cos
3
x - 3cosx
sin3x = 3sinx - 4sin
3
x
II/ MỘT VÀI DẠNG TOÁN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định
m để hàm số đồng biến trên
¡
?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
Để hàm số đồng biến trên
¡
thì
' 0y x≥ ∀ ∈¡
⇔

0
0
a >


∆ ≤


Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định
m để hàm số nghịch biến trên
¡
?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + cĐể hàm số đồng biến trên
¡
thì
' 0y x≤ ∀ ∈¡
⇔
0
0
a <


∆ ≤


Dạng 3: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định

m để đồ thị hàm số có cực trị?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
Đồ thị hàm số có cực trị khi phương trình y’ = 0
có 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua
hai nghiệm đó
⇔
0
0
a ≠


∆ >


Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m.
Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số luôn
luôn có cực trị?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
Xét phương trình y’ = 0, ta có:
∆
=….>0, ∀m
Vậy với mọi m đồ thị hàm số đã cho luôn luôn có

cực trị.
Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m.
Định m để đồ thị hàm số không có cực trị?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
Hàm số không có cực trị khi y’ không đổi dấu trên toàn
tập xác định
0
0
a ≠

⇔

∆ ≤

Dạng 6: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định
m để đồ thị hàm số đạt cực đại tại x
0
?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
Để hàm số đạt cực đại tại x
0
thì

0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


<

Dạng 7: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định
m để đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x
0
?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
Để hàm số đạt cực tiểu tại x
0
thì
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=



>

Dạng 8: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định
m để đồ thị hàm số đạt cực trị bằng h tại x
0
?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
Để hàm số đạt cực trị bằng h tại x
0
thì
0
0
'( ) 0
( )
f x
f x h
=


=

Dạng 9: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định
m để đồ thị hàm số đi qua điểm cực trị M(x
0

;y
0
)?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
Để hàm số đi qua điểm cực trị M(x
0
;y
0
) thì
0
0 0
'( ) 0
( )
f x
f x y
=


=

Dạng 10: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và
M(x
0
;y
0
)∈(C). Viết PTTT tại điểm M(x

0
;y
0
) ?
Phương pháp:
Ta có: y’ = f’(x) ⇒ f’(x
0
)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
0
;y
0
) là
y – y
0
= f’(x
0
).( x – x
0
)
Các dạng thường gặp khác :
1/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có
hòanh độ x
0
.
Ta tìm: + y
0
= f(x
0
)

+ f’(x) ⇒ f’(x
0
)
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y – y
0
= f’(x
0
).( x – x
0
)
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại
điểm thỏa mãn phương trình f”(x)= 0.(®iÓm uèn)
Ta tìm: + f’(x)
+ f”(x)
+Giải phương trình f”(x) = 0⇒ x
0
+ y
0
và f’(x
0
). Suy ra PTTT.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua
điểm M(x
0
;y
0
):
- gsö ®êng th¼ng qua M cã hÖ sè gãc lµ k cã d¹ng:
y=k(x-x

0
) +y
0
- ®t trªn lµ tiÕp tuyÕn khi hÖ sau cã nghiÖm
0 0
( ) ( )
'( )
k x x y f x
f x k
− + =


=

thay pt díi vµo pt trªn
t×m x, sau ®ã t×m k , thay vµo pt®t lµ ®îc tt
Dạng 11: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết
phương trình tiếp tuyến (d) của (C)
a/ song song với đường thẳng y = ax + b.
b/ vuông góc với đường thẳng y = ax + b.
Phương pháp:
a/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng y =
ax + b nên (d) có hệ số góc bằng a.
Ta có: f’(x) = a (Nghiệm của phương trình này
chính là hoành độ tiếp điểm)
Tính y
0
tương ứng với mỗi x
0

tìm được.
Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d):
y – y
0
= a. ( x – x
0
)
b/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng y =
ax + b nên (d) có hệ số góc bằng
1
a
−
.
Ta có: f’(x) =
1
a
−
(Nghiệm của phương trình này
chính là hoành độ tiếp điểm)
Tính y
0
tương ứng với mỗi x
0
tìm được.
Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d):
y – y
0
=
1

a
−
. ( x – x
0
)
Chú ý: + Đường phân giác của góc phần tư thứ
nhất y = x.; góc phần tư thứ hai y = - x.
Dạng 12: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tìm
GTLN, GTNN của hàm số trên [a;b]
Phương pháp:
Ta có: y’ = f’(x)
Giải phương trình f’(x) = 0, ta được các điểm cực trị: x
1
,
x
2
, x
3
,…∈ [a;b]
Tính: f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), f(x
3
),…
Từ đó suy ra:
[ ] [ ]
; ;
ax ; in

a b a b
m y m y= =
Phương pháp chung ta thường lập BBT
Dạng 13: Cho họ đường cong y = f(m,x) với m là tham
số.Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên đi qua với
mọi giá trị của m.
Phương pháp:
Ta có: y = f(m,x)
Am + B = 0, ∀m(1)
Hoặc Am
2
+ Bm + C = 0, ∀m (2)
Đồ thị hàm số (1) ln ln đi qua điểm M(x;y) khi (x;y)
là nghiệm của hệ phương trình:
0
0
A
B
=


=

(a)(đối với (1)) Hoặc
0
0
0
A
B
C

=


=


=

(b)(đối với (2))
Giải (a) hoặc (b) để tìm x. Suy ra y tương ứng.
Từ đó kết luận các điểm cố định cần tìm.
Dạng 14: Giả sử (C
1
) là đồ thị của hàm số y = f(x) và
(C
2
) là đồ thị của hàm số y = g(x). Biện luận số
giao điểm của hai đồ thị (C
1
), (C
2
).
Phương pháp:
Phương trình hồnh độ giao điểm của y = f(x) và
y = g(x) là
f(x) = g(x)
⇔ f(x) – g(x) = 0 (*)
Số giao điểm của hai đồ thị (C
1
), (C

2
) chính là số nghiệm
của phương trình (*).
Dạng 15: Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), biện luận theo
m số nghiệm của phương trình f(x) - g(m) = 0
Phương pháp:
Ta có: f(x) - g(m) = 0
⇔ f(x) = g(m) (*)
Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của đồ
thị (C): y = f(x) và đường g(m).
Dựa vào đồ thị (C), ta có:…v.v…
Dạng 16: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C).
CMR điểm I(x
0
;y
0
) là tâm đối xứng của (C).
Phương pháp:
Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo
vectơ
( )
0 0
;OI x y=
uur
.
Cơng thức đổi trục:
0
0
x X x
y Y y

= +


= +

2
3
x
y
x
+
=
−
Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)
Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ.
Suy ra I(x
0
;y
0
) là tâm đối xứng của (C).
Dạng 17: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C).
CMR đường thẳng x = x
0
là trục đối xứng của (C).
Phương pháp:
Đổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ
( )
0
;0OI x=
uur

Cơng thức đổi trục
0
x X x
y Y
= +


=

Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)
Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số
chẵn. Suy ra đường thẳng x = x
0
là trục đối xứng
của (C).
Dạng 18: Sự tiếp xúc của hai đường cong có
phương trình y = f(x) và y = g(x).
Phương pháp:
Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với
nhau khi và chỉ khi hệ phương trình
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

Có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là

hồnh độ tiếp điểm của hai đường cong đó.
III/ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:
n
n thua so
a a.a a=
123

(n Z ,n 1,a R)
+
∈ ≥ ∈

1
a a=

a
∀

0
a 1=

a 0
∀ ≠

n
n
1
a
a

−
=

{ }
(n Z ,n 1,a R / 0 )
+
∈ ≥ ∈

m
n
m
n
a a=
(
a 0;m,n N> ∈
)
m
n
m
n
m
n
1 1
a
a
a
−
= =
2. Các tính chất :
•

m n m n
a .a a
+
=

m
m n
n
a
a
a
−
=
•
m n n m m.n
(a ) (a ) a= =

n n n
(a.b) a .b=

n
n
n
a a
( )
b
b
=
3. Hàm số mũ: Dạng :
x

y a=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
D R=
• Tập giá trò :
T R
+
=
(
x
a 0 x R> ∀ ∈
)
• Tính đơn điệu * a > 1 :
x
y a=
đồng biến trên
R
* 0 < a < 1 :
x
y a=
nghòch biến trên
R

B. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a
≠
1 và N > 0

dn
M
a
log N M a N= ⇔ =


Điều kiện có nghóa :
N
a
log
có nghóa khi





>
≠
>
0
1
0
N
a
a

2. Các tính chất :
•
a
log 1 0=

a
log a 1=
•
M
a
log a M=

log N
a
a N=
•
a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N= +

1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
= −
•
a a
log N .log N
α
= α
Đặc biệt :
2
a a

log N 2.log N=
3. Công thức đổi cơ số :
•
a a b
log N log b.log N=

a
b
a
log N
log N
log b
=
* Hệ quả:
a
b
1
log b
log a
=
và
k a
a
1
log N log N
k
=
4. Hàm số logarít: Dạng
a
y log x=

( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
+
=D R
• Tập giá trò
=T R
• Tính đơn điệu: * a > 1 :
a
y log x=
đồng biến trên
+
R
* 0 < a < 1 :
a
y log x=
nghòch biến trên
+
R
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
1. Đònh lý 1: Với 0 < a
≠
1 thì : a
M
= a
N

⇔
M = N

2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N

⇔
M > N (nghòch biến)
3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a
M
< a
N

⇔
M < N (đồng biến )
4. Đònh lý 4: Với 0 < a
≠
1 và M > 0;N > 0 thì : log
a
M = log
a
N
⇔
M = N
5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M >N (nghòch biến)

6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M < N (đồng biến)
C. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M(x)
= a
N(x)
(đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
x 10 x 5
x 10 x 15
16 0,125.8
+ +
− −
=

Bài tập rèn luyện:
a,
3
17
7
5
128.25,032
−
+

−
+
=
x
x
x
x
(x=10) b,
( ) ( )
2 2
2 4
log (2 3 5) log (3 5)
2 3 7 4 3
x x x− + +
− = +
c,
2 1
2
1
2 3 1
x
x
x x
−
+
− + =
d,
2 1
1
2

3
0,12
5
x
x
x
−
+
−
 
=
 ÷
 ÷
 
e,
( ) ( )
2 1
2
1
2 3 2 3
x
x
x
−
−
+
− = +
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
( )

( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 ( ) ( )
3 ( ) 2 ( ) ( )
( ) ( )
2f(x) ( ) 2 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 . .
or . . . 0
2 . .
3 . . .
4 . a+b . a-b
5 . a+b . a-b .
f x f x
f x f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
f x
a a c
a a a c
a a c
a b c
c
c

α β
α β γ
α β
α β γ
α β
α β γ
−
+ =
+ + + =
+ =
+ =
+ =
+ =
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
2)
x x x
6.9 13.6 6.4 0− + =
3)
x x
( 2 3) ( 2 3) 4− + + =
4)
322
2
2
2

=−
−+− xxxx
5)
027.21812.48.3 =−−+
xxxx
6)
07.714.92.2
22
=+−
xxx
7,
(
)
(
)
2
5 21 5 21 10.2
x
x x
− + − =
Bài tập rèn luyện:
1)
4)32()32( =−++
xx
(
1
±
x
) 2)
xxx

27.2188 =+
(x=0)
3)
13
250125
+
=+
xxx
(x=0) 4)
12
21025
+
=+
xxx
(x=0)
5)
x x
( 3 8 ) ( 3 8 ) 6+ + − =
(
)2±=x
6)
xxx
8.21227 =+
(x=0)
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6

x
2)
0422.42
2
22
=+−−
−+ xxxxx
víi (a+b)(a-b)=1 ta ®Ỉt Èn phơ t= (a+b)
f(x)

víi b=a.c ta chia 2 vÕ cho c
2f(x)
råi ®Ỉt Èn phơ
víi
a b a b
. 1
c c
+ −
=
ta ®Ỉt Èn phơ t= (
a b
c
+
)
f(x)



Bài tập rèn luyệnï: a,
20515.33.12

1
=−+
+xxx
(
3
5
log
3
=x
)
b,
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 2 8 12
x x x
x x x x
+
+ + = + + +
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có
không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do
đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)
= g(x))
c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
f(x) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2 . . .
3 . a+b . a-b
4 . a+b . a-b .
5 a ( )
6

f x g x
f x f x
f x f x
f x f x
f x
x x
f g
a b
a b c
c
c
b f x
a b g f
α β γ
α β
α β γ
=
+ =
+ =
+ =
+ =
− = −

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3
x
+ 4
x
= 5
x

2) 2
x
= 1+
x
2
3
3)
x
1
( ) 2x 1
3
= +
4; 3.25
x-2
+9(3x-10).5
x-2
+3-x=0 5;
2 2 2
log log 3 log 9
2
.3
x
x x x− =
Bài tập rèn luyện:
1)
163.32.2 −=+
xxx
(x=2) 2)
x
x

−= 32
(x=1) 3;
2 2
log 3 log 5
x x x+ =

4;
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
5; 2
x
+ 3
x
= x + 4 6;
2 2
sin cos
8 8 10 cos 2
x x
y+ = +
D. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
a a
log M log N=
(đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1)
+ =
x
log (x 6) 3
2)
x x 1
2 1
2
log (4 4) x log (2 3)
+
+ = − −
3)
)3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2
xxx −=++−
(
141;11 +−=−= xx
)
4;
2 2
2 2 2
log (x 3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3+ + + + + = +
2. Phương pháp 2: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸
víi

a b a b
. 1
c c
≠
+ −

víi (a+b).(a-b) 1≠
víi b a.c≠
Tỉng qu¸t:
( )
( )
f(x) ( ) f(x) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a a a
( )
a a a
1 log log ( ) ( ).log
2 b log b log log b
f x f x
f x g x f x g x
f x
a b a b
a b a b f x g x b
b
a a
a
= ⇔ = ⇔ =
 
= ⇔ = ⇔ =
 ÷

 
VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau.
a, 2
x
.3
x+1
=12 b;
2
x x-x
x = 10
c;
3
1+log x
2
x = 3 .x
d;
2x 2x
7 5
5 7=
e;
3
x
x
x+2
.8 = 6
3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
3
3

2 2
4
log x log x
3
+ =
2)
051loglog
2
3
2
3
=−++ xx
3;
x 2x 2
log 2.log 2.log 4x 0=
4;
( )
2
3 3
x 3 log (x 2) 4(x 2)log (x 2) 16+ + + + + =
5;
2 2
3x 7 2x 3
log (9 12x 4x ) log (6x 23x 21) 4
+ +
+ + + + + =
6;
2
25 5
log (5 ) 1 log 7

7 0
x
x
−
− =
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :

2 7 2 7
log x 2.log x 2 log x.log x+ = +
Bài tập rèn luyệnï:
)112(log.loglog.2
33
2
9
−+= xxx
(x=1;x=4)
2 3 2 3
log x log x log x.log x+ =
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất.
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong kho¶ng (a;b) thì phương trình f(x) = C có
không quá một nghiệm trong kho¶ng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho
f(x
0

) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong kho¶ng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong kho¶ng (a;b) .
do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)
= g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a;
2
2 2
log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + +
b;
2 3
log (x 1) log (x 2)+ = +
c;
2
2
log (x x 5) 2 x+ − = −
E. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N

(
, ,≤ > ≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x x 1
x 2x
1
3 ( )
3
− −
−
≥
2)
2
x 1
x 2x
1
2
2
−
−
≥
3;
( )
2 3
2
1 1
x

x x
−
+ − ≤
Bài tập rèn luyện: a;
11
3322
−+
+≤+
xxxx
(
2≥x
) b;
2 3
2
1
2 1
x
x
x
−
−
 
≤
 ÷
+
 
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1)
2x x 2
2 3.(2 ) 32 0

+
− + <
2)
x 3 x
2 2 9
−
+ ≤
3)
2 1
1
x x
1 1
( ) 3.( ) 12
3 3
+
+ >
4)
52428
11
>+−+
++ xxx
(
)20 ≤< x
5)
11
21212.15
++
+−≥+
xxx
(

2
≤
x
) 6;
0449.314.2 ≥−+
xxx

F. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
a a
log M log N<
(
, ,≤ > ≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x
log (5x 8x 3) 2− + >
2)
− <
2 3
3
log log x 3 1
3)
2
3x x
log (3 x) 1
−
− >

4)
x
x 9
log (log (3 9)) 1− ≤
5)
)12(log12log4)1444(log
2
555
++<−+
−xx
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau: 1)
x
x
2
3 2
log (3 2) 2.log 2 3 0
+
+ + − >
2)
2
2x
x
log 64 log 16 3+ ≥
3)
2
3log
3)(log
2

2
2
>
+
+
x
x
(
2
1
8
1
<< x
)
3. Phương pháp 3: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸
Tỉng qu¸t:
( )
( )
f(x) ( )
( ) ( )
1
2 b
f x
f x g x
a b
a b
a
>
>
VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau.

a, 2
x
.3
x+1
<24 b;
5
≥
x-1
x
x
.8 500
c;
2x 2 x
7 5
5 7≥
d;
2x
4
(2x)
≥
2
log
x
G. PHƯƠNG PHÁP Gi¶i pt-bpt mò vµ LOGARIT cã tham sè
DẠNG 1: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm:
0)12.(44 =−−
xx
m
(

10 ≥∨< mm
)
Bài 2: Cho phương trình:
022.4
1
=+−
+
mm
xx
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
21
xx ≠
sao cho
3
21
=+ xx
(m=4)
Bài 3: Tìm m để pt sau có hai nghiệm trái dấu:
014)12(16).3( =++−++ mmm
xx
(
4
3
1 −<<− m
)
DẠNG 2: Sử dụng công cụ đạo hàm giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:
xxx
m 36.81.216.5 =+
(

102<m
)
Bài 2: Tìm m sau cho bất phương trình:
0)4(log)1(log1
2
5
2
5
>++−++ mxxx
có nghiệm x
]3,2[∈
(
2921 ≤≤− m
)
Bài 3: Tìm m để phương trình:
02
3
1
3
1
1
=++
−
−
m
x
x
có nghiệm (
2
−≤

m
)
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
0544)5(16
2
11
2
11
=+++−
−−−−
mm
xx
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Giải các phương trình
1)
1
2
12
2
1
2.62
)1(3
3
=+−−
− xx
xx
(x=1)
2)
)4(log4log2)1(log
3

8
2
2
4
xxx ++−=++
(
622;2 −== xx
)
3)
)2(loglog
37
+= xx
(x=49)
4)
)2(loglog
75
+= xx
(x=5)
5)
072.32.5
35
13
=+−
−
−
x
x
(x=1)
6)
3

28
12
2
1
log4log232log +=−
−
x
x
(
2
5
=x
)
7)
x
xx
x
1
3
2
2
log
3
2
log
=
−−
(x=1,x=2,x=4)
8)
05

8
log3
2
2
log
2 =−
−
+
x
x
x
x
(
2,
2
1
== xx
)
9)
xxxx 26log)1(log
2
2
2
−=−+
(
2,
4
1
== xx
)

10)
x
x
x
4
4
log
2
)10(log.2log21 =−+
(x=2,x=8)
Bài 2: Giải các bất phương trình
1)
09.93.83
442
>−−
+++ xxxx
(x>5)
2)
23.79
12
2
2
2
≤−
−−−−− xxxxxx
(
20
4
1
≥∨≤≤− xx

)
3)
xxx −+−






<






112
2
1
2
1
36
(
1101 >∨<<∨−< xxx
)
4)
0128
8
1
4

1
13
≥−






−






−xx
(
3
4
−≤x
)
5)
)1(log1)21(log
5
5
++<− xx
(
2
1

5
2
<<− x
)
6)
xx
22
loglog2 >−
(
2
4
1
<≤ x
)
7)
1)93(loglog
9
<−
x
x
(
10log
3
>x
)
8)
)13(log
1
)3(log
1

2
2
4
−
<
+
x
xx
(
1
3
2
<< x
)
9)
0
1
)3(log)3(log
3
3
1
2
2
1
>
+
+−+
x
xx
(-2 < x <-1)

Bài 3 : Tìm tập xác đònh của các hàm số sau:
1.
2
1
2
3 2
log
2
x x
y
x
− −
=
+
2.
3 8
0,3
2
log ( 1)
2
2 8
x x
x
y
x x
− − −
− −
= +
− −
IV/ C«ng thøc nguyªn hµm :

Nguyªn hµm cđa c¸c hµm sè c¬ b¶n Nguyªn hµm cđa hµm hỵp ( du = u dx )’
dx x c
= +
∫
1
1
x
x dx c
α
α
α
+
= +
+
∫
sin xdx cosx c= − +
∫
sincosxdx x c= +
∫
2
1
tandx x c
cos x
= +
∫
2
1
cot
sin
dx x c

x
= − +
∫
1
lndx x c
x
= +
∫
x x
e dx e c= +
∫
ln
x
x
a
a dx c
a
= +
∫
(a>0)
du u c= +
∫
1
1
u
u du c
α
α
α
+

= +
+
∫
sin cosudu u c= − +
∫
cos sinudu u c= +
∫
2
1
tandu u c
cos u
= +
∫
2
1
cot
sin
du u c
u
= − +
∫
1
lndu u c
u
= +
∫
u u
e du e c= +
∫
ln

u
u
a
a du c
a
= +
∫
(a>0)
2
1 1
dx c
x x
−
= +
∫
1
2dx x c
x
= +
∫
tan lnxdx cosx c= − +
∫
cot ln sxdx inx c= +
∫
2
1 1
du c
u u
−
= +

∫
1
2du u c
u
= +
∫
tan ln cosudu u c= − +
∫
cot ln sinudu u c= +
∫
A/ C¸c ph ¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm – tÝch ph©n :
Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì:
•
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫

1,
Ph ¬ng ph¸p 1: BiÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc
.
VÝ dơ1: tÝnh

2
cos xdx
∫
dïng ct h¹ bËc
1 2
2
2
cos a
cos a
+
=

1 2
2
2
cos a
sin a
−
=

2
tan xdx
∫
dïng ct
1
2
cos
α
= 1+ tan
2

α

1
1 3
dx
x x+ − +
∫
;
2
1
1 3
dx
x x+ − −
∫
dïng c¸ch nh©n liªn hỵp

. 5cosx cos xdx
∫
;
.sin 5cosx xdx
∫
dïng ct biÕn tÝch thµnh tỉng

2
2
3
2x x dx
−
− −
∫

;
( )
2
1
2 1x x dx
−
− −
∫
chia kho¶ng ®Ĩ bá dÊu gtt®

3
0
1 sin 2
2
x
cos xdx
Π
±
∫
cã
1 sin 2 cos
2 2
x x
cos x cos sinx x± = ±

2
5
2 5 3
x
dx

x x
−
− +
∫
t×m A,B sao cho
2
5
2 5 3 1 2 3
x A B
x x x x
−
= +
− + − −

2 3
2 5
sinx cosx
dx
sinx cosx
−
+
∫
t×m A,B sao cho
2 3 (2 5 ) (2 5 )sinx cosx A sinx cosx B cosx sinx− = + + −

3
2 2
6
tan cot 2x x dx
Π

Π
+ −
∫

2
0
1
2 cos
dx
sinx x
Π
+ −
∫
cã
2 cos 2(1 cos( ))
4
sinx x x
Π
+ − = − +
VÝ dơ2: : Tính các tích phân sau:
1)
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
2)
1

0
x
dx
2x 1+
∫
3)
1
0
x 1 xdx−
∫
4)
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫

5)
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +

∫
6)
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
7)
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
8)
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫
9)
4

2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫
10)
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
11)
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx
π
π
+ +
+
∫
12)
1
x
0

1
dx
e 1+
∫
. 13)
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
14)
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
15)
∫
+
2
0
13cos2
3sin

π
dx
x
x
16)
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x
x
17)
∫
−+
−
0
2
2
32
4
dx
xx

18)
∫
++

−
1
1
2
52xx
dx

VÝ dơ3:
1)
3
2
3
x 1dx
−
−
∫
2)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫
3)
5
3
( x 2 x 2)dx
−
+ − −

∫
4)
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −
∫

5)
3
x
0
2 4dx−
∫
6)
0
1 cos2xdx
π
+
∫
7)
2
0
1 sinxdx
π

+
∫
8)
dxxx
∫
−
2
0
2

VÝ dơ4:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số
f(x) Asin x B= π +
thỏa mãn đồng thời các điều kiện

'
f (1) 2=
và
2
0
f(x)dx 4=
∫
2,
Ph ơng pháp 2: Đổi biến loại I
Dạng 1:
2 2
a x dx


2 2

1
a
a
dx
a x




2 2 2
x a x dx

Đặt x = a.sint ( hoặc x = a.cost )
dx = a.cost.dt , đổi cận rồi thay vào tích phân ban đầu để tính
Ví dụ: tính các tích phân sau
a,
2
2
2
4 x dx



b,
1
2
1
1
1
dx

x



c,
1
2 2
1
1x x dx



d,
1
2
0
2x x dx

Dạng 2:
2 2
1
a
a
dx
x a

+


2 2

a x dx+


Đặt x = a.tant dx = a(1+ tan
2
t ).dt , đổi cận rồi thay vào tích phân ban đầu để tính
Ví dụ: tính các tích phân sau
a,
2
2
2
1
4
dx
x

+

b,
1
2
1
1 x dx

+

c,
1
2
1

1
1
dx
x x

+

( hoặc mẫu là bậc 2 vô nghiệm)
3,
Ph ơng pháp 3: Đổi biến loại II.
Đặt t = U(x) ( U(x) thờng là các biểu thức trong căn, trong luỹ thừa)
dt = U.dx
'
dt
dx
U
=
đổi cận rồi thay vào tích phân ban
đầu để tính.
Ví dụ: tính các tích phân sau:
a,
2 2
0
1
a
dx
x a

đặt t = ln (
2 2

x x a+
) dt =
2 2
dx
x a
b,
5
3
2
1
1
x
dx
x

hoặc
5
2
1
1
1
dx
x x

đặt t =
2
1x

c,
2

2
1
1
x
dx
x +

đặt t =
1x +
d,
7
3
0
1x
dx
x
+

đặt t =
3
1x +
e,
2
5
1
2
1
x
dx
x

+

ữ
+


hoặc
3
1
2
1
x
dx
x
+
+

ta có
2 1
1
1 1
x
x x
+
= +
+ +
đặt t =
1
1
1x

+
+
f,
2
3
1
1
2 1 2 1
dx
x x+ +

đặt t =
6
2 1x +
g,
1
2
1
3
2 5
x
dx
x x

+
+

có
2 2
1

(2 2) 4
3
2
2 5 2 5
x
x
x x x x
+
+
=
+ +
h,
2
2 3
0
sin .x cos xdx


đặt t = sinx k,
4
3
0
tan xdx


hoặc
4
4
0
1

cos
dx
x


đặt t = tanx
l,
3
2
2
0
cos .sin
sin 1
x x
dx
x
Π
+
∫
hoÆc
2
3 2
0
cos .sin sin 1x x x dx
Π
+
∫
®Æt t =
2
sin 1x +

2
2 2
0
sin 2
4sin 9 s
x
dx
x co x
Π
+
∫
®Æt t =
2 2
4sin 9 sx co x+
m,
2
0
cos
3. cos
x
dx
sinx x
Π
±
∫
cã
cos
2sin( )
3

cos
3. cos
x
x
x
sinx x
Π
±
=
±
®Æt t =
3
x
Π
±

5
2
3
2
cos2
cos 3.
x
dx
x sinx
Π
Π
−
∫
n,

2
2 2
0
3s 4cos
3 4cos
inx x
dx
sin x x
Π
+
+
∫

0,
3
2
4
tan
1
x
dx
cosx cos x
Π
Π
+
∫
;
2
3
2

4
1 tan
(1 t )
x
dx
anx
Π
Π
+
+
∫
;
2
3
0
5 4 n
( n )
cosx si x
dx
cosx si x
Π
−
+
∫
®Æt t = tanx
p,
ln2
0
x x
x x

e e
dx
e e
−
−
+
−
∫
®Æt t = e
x
q,
ln2
2
0
1
1
x
dx
e+
∫
®Æt t = 1+e
2x
t,
3
2
1
ln ln 1
e
x x
dx

x
+
∫
®Æt t =
3 2
ln 1x +
Tính caùc tích phaân sau:
1)
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
2)
2
5
0
cos xdx
π
∫
3)
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
π
+

∫
4)
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
5)
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
6)
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
7)
e
1
1 lnx
dx
x

+
∫
8)
4
0
1
dx
cosx
π
∫
9)
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
10)
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫
11)
6
2
0
cosx

dx
6 5sinx sin x
π
− +
∫
12)
3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫
13)
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x
π
+
+
∫
14)
∫
+
2
0

22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
15)
∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
16)
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x

17)
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx
18)
∫
−
4
0
8
)1(
π
dxxtg
19)
∫
+
−
2
4
2sin1
cossin
π
π

dx
x
xx
20)
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx

21)

+
2
0
cos1
cos2sin

dx
x
xx
22)

+

2
0
sin
cos)cos(

xdxxe
x
23)

+
2
1
11
dx
x
x
24)

+
e
dx
x
xx
1
lnln31

25)

+

4
0
2
2sin1
sin21

dx
x
x
4,
Ph ơng pháp 4: Tích phân từng phần

b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

Dạng 1:
( ).
b
a
f x cosxdx

hoặc
( ).s
b
a
f x inxdx

Đặt
( )
. or .
u f x
dv sinx dx dv cosx dx
=


= =


Ví dụ: tính các tich phân sau.

3
0
. 2x cos xdx



3
0
(2 1). 2x cos xdx




3
2
0

.x cos xdx



3
2
0
(2 ).sinx x xdx



Dạng 2:
( ).
b
x
a
f x e dx

hoặc
( ).
b
x
a
f x a dx

Đặt
( )
. or .
x x
u f x

dv e dx dv a dx
=


= =


Ví dụ: tính các tich phân sau.

2
0
.
x
x e dx


2
0
(2 1).
x
x e dx


( )
2
0
3 .
x
x a dx

1
2
0
(2 ).
x
x x e dx

Dạng 3:
.
b
x
a
e cosxdx

hoặc
.s
b
x
a
e inxdx

Đặt
. or .
x
u e
dv sinx dx dv cosx dx

=

= =


phải đặt 2 lần tích phân từng phần
Ví dụ: tính các tich phân sau.

3
0
. 2
x
e cos xdx



3
0
(2 1).sin 2
x
e xdx




3
2
0
.
x
e cos xdx

2
0
1 sin
1
x
x
e dx
cosx

+
+

Dạng 4:
( ).ln
b
a
f x x dx

hoặc
ln ( )
b
a
f x dx

Đặt
ln or u ln ( )
( ). or
u x f x

dv f x dx dv dx
= =

= =


Ví dụ: tính các tích phân sau.

3
0
.lnx xdx



3
0
(2 1).ln 2x xdx




3
2
0
.lnx xdx



3
3

2
0
1
. n
x
l xdx
x

+



3
0
ln( 1)x x dx

+


3
2
0
ln( 1)x x dx

+

V. TA TRONG KHễNG GIAN
1.TểM TT Lí THUYT
( ) ( ) ( )
( )

( )








=∧
=++⇔=⇔⊥
==⇔=∧⇔=⇔
++=





=
=
=
⇔=
++=
=
±±±=±
−+−+−==
−−−=
21
21
13

13
32
32
332211
3
3
2
2
1
1
332211
33
22
11
2
3
2
2
2
1
321
332211
222
,,a .10
0 0.a .9
0.//a .8
a .7
a .6
a .5
,,ak. .4

,, .3
.2
),,( .1
bb
aa
bb
aa
bb
aa
b
babababab
b
a
b
a
b
a
babkab
bababab
ba
ba
ba
b
aaa
kakaka
babababa
zzyyxxABAB
zzyyxxAB
ABABAB
ABABAB

cb,,a .11
đồng phẳng
( )
0. =∧⇔ cba
cb,,a .12
khơng đồng phẳng
( )
0. ≠∧⇔ cba
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1







−
−
−
−
−
−
k
kzz
k
kyy
k
kxx
M
BABABA

1
,
1
,
1
14. M là trung điểm AB







+++
2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M
15. G là trọng tâm tam giác ABC








++++++
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
16. Véctơ đơn vị cđa 3 trơc:
)1,0,0();0,1,0();0,0,1(
321
=== eee
17.
OzzKOyyNOxxM ∈∈∈ ),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM ∈∈∈ ),0,(;),,0(;)0,,(
19.
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
aaaACABS

ABC
++=∧=
∆
20.
ADACABV
ABCD
).(
6
1
∧=
21.
/
.
).(
////
AAADABV
DCBAABCD
∧=
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam
giác
• A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔

[
→→
AC,AB
] ≠
0
r

• S
∆
ABC
=
2
1
→→
AC],[AB
• Đường cao AH =
BC
S
ABC∆
.2
• S
hbh
=
→→
AC],[AB
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình
hành
• Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
• ABCD là hbh
⇔

DCAB =
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
• [
→→
AC,AB
].

→
AD
≠ 0
• V
td
=
6
1
→→→
AD.AC],[AB
Đường cao AH của tứ diện ABCD
AHSV
BCD
.
3
1
=

⇒

BCD
S
V
AH
3
=
• Thể tích hình hộp :
[ ]
/
.

.;
////
AAADABV
DCBAABCD
=
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp α
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M
và vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng
(d)
 Viết phương trình mpα qua M và vuông
góc với (d): ta có
d
an =
α
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mp α
 Tìm hình chiếu H của M trên mpα
(dạng 4.1)
 H là trung điểm của MM
/

2.Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng
d:
 Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng
4.2)
H là trung điểm của MM
/

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
2: Cho ba vect¬
→
a
= ( 2;1 ; 0 ),
→
b
= ( 1; -1; 2) ,
→
c
= (2 ; 2; -1 ).
a) T×m täa ®é cđa vect¬ :
→
u
= 4
→
a
- 2
→
b
+ 3

→
c
b) Chøng minh r»ng 3 vect¬
→
a
,
→
b
,
→
c
kh«ng ®ång ph¼ng .
c) H·y biĨu diĨn vect¬
→
w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬
→
a
,
→
b
,
→
c
.
3: Cho 3 vect¬
→
a
= (1; m; 2),
→

b
= (m+1; 2;1 ) ,
→
c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ĩ 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng .
6: Cho ba ®iĨm kh«ng th¼ng hµng:
(1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).A B C
− − −
H·y t×m träng t©m G cđa tam gi¸c
ABC.
7: Cho bèn diĨm kh«ng ®ång ph¼ng :
(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).A B C D
− − − −
H·y t×m täa ®é träng t©m G
cđa tø diƯn ABCD.
8: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm M:
a) Trªn c¸c mỈt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trơc täa ®é: Ox, Oy, Oz
9: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M:
a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mỈt ph¼ng Oxy c) Qua Trơc Oy.
10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cđa c¸c ®Ønh cßn
l¹i.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §êng th¼ng AB c¾t mỈt ph¼ng Oyz t¹i ®iĨm M.
a) §iĨm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iĨm M.
15. a) Trªn trơc Oy t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu hai ®iĨm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
b) Trªn mỈt ph¼ng Oxz t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu ba ®iĨm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
17. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cđa mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch ∆ABC.
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ĩ tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa ∆ABC h¹ tõ ®Ønh A.
e) TÝnh c¸c gãc cđa ∆ABC.
18. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).

a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cđa mét tø diƯn.
b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diƯn cđa tø diƯn ABCD.
c) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ ®Ønh A.
19. Cho ∆ ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®êng ph©n gi¸c trong cđa gãc B.
20. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho bèn ®iĨm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diƯn. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn ABCD.
b) TÝnh ®é dµi ®êng cao h¹ tõ ®Ønh C cđa tø diƯn ®ã.
c) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B.
d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®êng th¼ng AB, CD.
21. Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) X¸c ®Þnh ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
b) T×m täa ®é giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo.
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A.
T×m täa ®é träng t©m cđa tam gi¸c ABC .
22. Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD
b) T×m täa ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®êng cao cđa tø diƯn vÏ tõ D .
23. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC
. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp
α
:
n
r
≠

0
r
là véctơ pháp tuyến của α
⇔

n
r
⊥ α
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp
α
:

a
r

b
r
là cặp vtcp của α
⇔
a
r
,
b
r
cùng // α
3 Quan hệ giữa vtpt
n
r
và cặp vtcp
a

r
,
b
r
:

n
r
= [
a
r
,
b
r
]
4. Pt mp
α
qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n
r
= (A;B;C)
A(x – x
o
) + B(y – y

o
) + C(z – z
o
) = 0
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n
r
= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng i qua đ A(a,0,0)
B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

1
c
z
b
y
a
x
=++
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:
1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
8. Vò trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α
2
)
°
222111

C:B:AC:B:Acắt
≠⇔βα
°
2
1
2
1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==⇔
βα
°
2
1
2
1
2
1
2

1
D
D
C
C
B
B
A
A
===⇔≡
βα
ª
0
212121
=++⇔⊥
CCBBAA
βα
9 .KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D =
0

222
ooo

CBA
D Cz By Ax
++
+++
=
)d(M,
α
10.Góc gi a ữ hai mặt phẳng :
21
21
.
.
nn
nn
rr
rr
=
),cos(
βα
//
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:
→
AB
,
→
AC
°
]

)(
→→
=
AC , AB[nvtpt
qua
r
ChayBhayA
α
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°
→
=
AB vtpt
AB điểm trungMqua
n
r
α
Dạng 3: Mặt phẳng
α
qua M và
⊥
d (hoặc AB)
°
) (AB
n
→
⊥
=
d
a vtpt nên (d) Vì

Mqua
r
α
α
Dạng 4: Mp
α
qua M và //
β
: Ax + By + Cz + D =
0
°
βα
βα
α
n n vtpt nên // Vì
M qua
rr
=
Dạng 5: Mp
α
chứa (d) và song song (d
/
)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
 Mpα chứa (d) nên
α
aa
d
=
Mpα song song (d

/
) nên
α
ba
d
=
/
■ Vtpt
[ ]
/
,
d
d
aan =
Dạng 6 Mp
α
qua M,N và
⊥

β
:
■ Mpα qua M,N nên
α
aMN =
■ Mpα ⊥ mpβ nên
αβ
bn =
°
],[
β

α
n nvtpt
N) (hayM qua
rr
→
=
MN
Dạng 7 Mp
α
chứa (d) và đi qua
■ Mp
α
chứa d nên
α
aa
d
=
■ Mp
α
đi qua
)(dM ∈
và A nên
α
bAM =
°
],[ AM nvtpt
A qua
→
=
d

a
r
α

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1 . Ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt
n
r
biÕt
a,
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2= −
r
b,
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1− =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3− − =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0− =
r
Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c,
Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
( )

α
®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng
( )
β
biÕt:
a,
( ) ( ) ( )
M 2;1;5 , Oxyβ =
b,
( ) ( )
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0− β − + − =
c,
( ) ( )
M 1; 2;1 , : 2x y 3 0− β − + =
Bµi 4 LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ cỈp VTCP lµ
(2;1;2); (3;2; 1)a b −
r r

Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ
a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z.
Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y. c) Cïng ph¬ng víi trơc 0z.
Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cđa vÐc t¬
n
vu«ng gãc víi hai vÐc t¬
(6; 1;3); (3;2;1)a b−
r r
.
Bµi 8: T×m mét VTPT cđa mỈt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cỈp VTCP lµ

)4,2,3( );2,7,2( ba
Bµi 9: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) vµ nhËn
);4,3,2(n
lµm VTPT.
b) (P) ®i qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
Bµi 10: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c mỈt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é.
B µi 11 : (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iĨm A(-1;2;3) vµ hai mỈt ph¼ng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi hai mỈt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 14: ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (P)
a) §i qua ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 15: Cho hai ®iĨm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz
a) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) lµ trung trùc cđa AB.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng y0z
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mỈt ph¼ng (P).
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.TĨM T T LÝ THUY TẮ Ế
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d)
qua
M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a
r

= (a
1
;a
2
;a
3
)
Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o
∈





+=
+=
+=
:
2.Phương trình chính tắc của (d)

32
a
z-z

a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
:
=
−
=
−
3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp
α
1
và α
2





=+++
=+++
0 DzBxA
0 DzBxA
(d)
2222
1111

Cy
Cy
:

Véctơ chỉ phương








=
22
11
22
11
22
11
,,
BA
BA
AC
AC
CB
CB
a
4.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
(d) qua M có vtcp

d
a
r
; (d’) qua N có vtcp
/
d
a

 d chéo d’
⇔
[
d
a
r
,
/
d
a
].
→
MN
≠
0
(không đồng
phẳng)
 d,d’ đồng phẳng
⇔
[
d
a

r
,
/
d
a
].
→
MN
= 0
 d,d’ cắt nhau
⇔
[
d
a
r
,
/
d
a
]
0≠
và [
d
a
r
,
/
d
a
].

→
MN
=0
 d,d’ song song nhau
⇔
{
d
a
r
//
/
d
a
và
)(
/
dM ∉
}
 d,d’ trùng nhau
⇔
{
d
a
r
//
/
d
a
và
)(

/
dM ∈

}
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M có vtcp
d
a
r
; (d’) qua N có vtcp
/
d
a
Kc t ừ đ iểm đến đ ườ ng th ẳ ng :
d
d
a
AMa
dAd
];[
),( =
Kc giữa 2 đ ườ ng th ẳ ng :
];[
].;[
);(
/
/
/
d
d

d
d
aa
MNaa
ddd =

6.Góc : (d) có vtcp
d
a
r
; ∆ ’ có vtcp
/
d
a
; ( α ) có
vtpt
n
r

Góc gi ữa 2 đường thẳng
:
/
/
.
.
'
d
d
d
d

aa
aa
r
r
=
)dcos(d,
Góc gi ữ a đ ườ ng và m ặ t :
na
na
d
d
rr
rr
.
.
=
)sin(d,
α
Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B




=
ABaVtcp
hayBquaA
d

d
)(
)(
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song
(
∆
)
∆
=∆
a
d
a vtcp nên )( // (d) Vì
qua
rr
A
d )(
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc
mp
α

α
α
n
d
a vtcp nên )( (d) Vì
qua
rr
=⊥
A
d)(

Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên
α
: d
/
=
α

∩

β
 Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα

( )
( ) ( )







=⇒
=⇒⊥
=⇒⊃
∈
];[
)()(
)(
αβ
βα

β
αβ
β
β
nan
bn
aad
dquaM
d
d
ª



)(
)(
)(
/
β
α
d
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc
(d
1
),(d
2
)
]
d
a ,

d
a [ avtcp
qua
1 2
)(
rrr
=
A
d
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d
1
và d
2

:
+ Tìm
d
a
= [
a
r
d1
,
a
r
d2
]
+ Mpα chứa d
1
, (d)

; mpβ
chứa d
2
, (d)

⇒
d = α ∩ β
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d =
α

∩

β

với mpα = (A,d
1
) ; mpβ = (A,d
2
)
Dạng 8: PT d //
∆
và cắt d
1
,d
2
: d =

α

1

∩

α

2
với mpα
1
chứa d
1
// ∆ ; mpα
2
chứa d
2
// ∆
Dạng 9: PT d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mpα qua A, ⊥ d
1
; B = d
2
∩ α

Dạng 10: PT d
⊥
(P) cắt d
1
, d
2
: d =
α

∩

β

với mpα chứa d
1
,⊥(P) ; mpβ chứa d
2
, ⊥ (P)
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hỵp sau :
a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn
(3;2;3)a
r
lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tun cđa mỈt ph¼ng
( ) : -3 2 -6 0 P x y z+ =
vµ c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng ®i qua ®iĨm M(2;3;-5) vµ song song víi ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng
tr×nh:

( )
R t,
21
22:
∈





+=
+=
−=
tz
ty
tx
d
Bµi 4: Cho ®êng th¼ng (D) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh lµ :
( )
R t,
21
22:
∈





+=
+=

−=
tz
ty
tx
d
vµ (P): x+y+z+1=0
T×m ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
(D)
Bµi 5: Cho mỈt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iĨm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng th¼ng
(d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
Bµi6: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt
ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:
a)
( ) : 2 3 -4 0P x y z+ + =
b)
( )
: 2 3 1 0P x y z+ + − =
.

Bµi 7: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(1;2;3) vµ song song víi ®êng
th¼ng (
∆
) cho bëi :
( )
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t

= +


∆ = − ∈


= − +

.
Bµi8: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cđa ®êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) ,biÕt:
a)
( )
R t,
2
3
1
: ∈





+=
−=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 b)

( )
R t,
1
9
412
: ∈





+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ
( )
3
2
12
1
:
−
+
==
−

zyx
d
.
a) T×m to¹ ®é giao ®iĨm A cđa (d) vµ (P) .
b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d
1
) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mỈt ph¼ng (P) .
Bµi 10: Cho hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
( )
1
1
2
1
1
2
:
1
−
=
−
=
−
zyx
d

( ) ( )

t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d ∈





+−=
+=
+=

a) CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa nã.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d
1
),(d
2
).
Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2

) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
( )

34
24
37
:
1





+=
−=
+−=
tz
ty
tx
d

( ) ( )
R
tz
ty
tx
d ∈






−−=
+−=
+=
1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
:
a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) chÐo nhau.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d
1
),(d
2
) .
III.MẶT CẦU
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Ph ngươ trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán
kính R

( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
(2)
(
0dcbavới
222
>−++
)
• Tâm I(a ; b ; c) và
dcbaR
−++=
222
2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
và α : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S)
đến mpα :

 d > R : (S) ∩ α = φ
 d = R : α tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm,
α: tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên
mp
α
)
 Viết phương trình đường thẳng (d)
qua I và vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và
(α)
 d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt
( ) ( ) ( )



=+++α
=−+−+−

2
0DCzByAx :
Rczbyax:(S)
222
*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính
),(

22
α
IdRr
−=
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mpα)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua
I và vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và
(α)
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu






+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
d
3o
2o
1o

:
(1) và

( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp α
222

)(
CBA
D
I
zC
I
yB
S
++
+++
==
I
A.x
)d(I, R
cau mat pt
α
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2)
0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++

A,B,C,D ∈ mc(S)
⇒
hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I ( )€ α

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++

(2)
A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c)∈ ( ): α thế a,b,c vào pt (α)
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
Tiếp diện
α
của mc(S) tại A :
α
qua A,
→
= IA n vtpt
r
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1: Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y ,ph¬ng tr×nh nµo lµ ph¬ng tr×nh cđa mỈt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹
®é t©m vµ b¸n kÝnh cđa nã ,biÕt:
a)
( )
02642:
222
=++−−++ zyxzyxS
b)
( )
09242:
222
=+−+−++ zyxzyxS
Bµi 2: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:
( )

04624:
2222
=++−−−++ mmzmymxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (S
m
) lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 3: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:
( )
05824:
22222
=−+−−++ mymmxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) T×m q tÝch t©m cđa hä (S
m
) khi m thay ®ỉi. c) T×m ®iĨm cè ®Þnh M mµ (S
m
) lu«n ®i qua.
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iĨm A(2;1;-3)

vµ t©m I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iĨm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thc 0x. d) Hai ®Çu ®êng kÝnh lµ A(-
1;2;3), B(3;2;-7)
Bµi 6: Cho 3 ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
), (d
3
) cã ph¬ng tr×nh :
( )
1
1
4
2
3
2
:
1
−
=
+
=
−
zyx
d
,
( )
1
9

2
3
1
7
:
2
−
−
=
−
=
−
zyx
d
,
( )
1
2
2
3
3
1
:
3
−
−
=
−
+
=

+
zyx
d
a) LËp pt®t (d) c¾t c¶ (d
1
),(d
2
) vµ song song víi (d
3
).
b) Gi¶ sư
( ) ( ) { }
Add =∩
1
,
( ) ( ) { }
Bdd =∩
2
.LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ®êng kÝnh AB.
Bµi 7: Cho 2 ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh :
( )
R
tz
ty
tx
d

∈





=
−=
+=
t
2
1
2
:
1
,
( )
1
9
2
3
1
7
:
2
−
−
=
−
=

−
zyx
d
a) CMR (d
1
) và (d
2
) chéo nhau. b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
c) Lập mật cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
). d) Viết pttq mp cách
đều(d
1
) (d
2
).
Bài 8: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).
Bài 9: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-
1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bài10: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA.
b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi
K là giao điểm của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định toạ dộ của K.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lợt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB
sao cho PQ và KM cắt nhau.
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b) (HVKTQS-98): Viết phơng trình tham số đờng thẳng vuông góc chung của AC và BD.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.

Phơng pháp tọa độ trong không gian
Vi hỡnh lp phng hoc hỡnh hp ch nht
''''. DCBAABCD
Vi hỡnh lp phng .
Chn h trc ta sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a a a

'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )A a B a a C a a a a a
Vi hỡnh hp ch nht.
Chn h trc ta sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a b b

'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)A c B a c C a b c b


Vi hỡnh hp ỏy l hỡnh thoi
''''. DCBAABCD

C
A
x
B
B
y
D
C
A
D
z
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của
hai đường chéo của hình thoi ABCD
- Trục
Oz
đi qua 2 tâm của 2 đáy
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao
SO h=
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Khi đó :

















− 0;0;
2
2
;0;0;
2
2 a
C
a
A
2 2
0; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; )
2 2
a a
B D S h
   
−
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Với hình chóp tam giác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng
h
. Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
Khi đó :
;0;0 ; ;0;0
2 2
a a
A B
   
−
 ÷  ÷
   

3 3
0; ;0 ; S 0; ;
2 6
a a
C h
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA
⊥
(ABCD)

ABCD là hình chữ nhật
;AB a AD b= =
chiều cao bằng
h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
A
B
C
D
D’
C
A’
B’
O
O’
x
y
z
B
D
S
A
B
C
H
y
x
C
I

z
B
A
O
C
x
D
A
O
y
S
S
x
z
y
z