CÁC LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN pdf

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG

Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng
Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn

CÁC LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN
Thầy giáo Lưu Xuân Sang
1. Nguyên hàm
1.1. Định nghĩa nguyên hàm, họ nguyên hàm (tích phân không xác định)
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x

(a;b), ta có
F

(x)=f(x).
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn


ba; nếu với mọi x

(a ; b), ta có
F

(x)=f(x);
F

(a

)=f(a) ;

F

(b
+
)=f(b).
Nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm F(x) thì nó có vô số nguyên hàm và tất cả các nguyên hàm đó đều có dạng
F(x)+C, trong đó C là hằng số tuỳ ý (vì
 
)()( xfCxF 


) nên F(x)+C gọi là họ nguyên hàm của f(x). Người ta ký hiệu
họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là

dxxf )( (đọc là tích phân bất định của f(x) hay họ các nguyên hàm của f(x)).
1.2. Các tính chất cơ bản của nguyên hàm
1)


 dxxfkdxxkf )()(
(k là hằng số, k

0) 2)











dxxgdxxfdxxgxf






3) d






dxxfdxxf 


4)
   
f x dx f x
 

 


5)









CtFdttfCxFdxxf 


6)






Cxfxfd 


2. Tích phân
2.1. Định nghĩa tích phân (tích phân xác định)
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên một khoảng H, a và b là hai phần tử bất kỳ của H, F(x) là một nguyên hàm của
f(x) trên H. Hiệu số F(b)-F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là
 
.dxxf
b
a

Như vậy tích phân này

gọi là tích phân xác định vì kết quả của nó là một hằng số.
2.2. Các tính chất cơ bản của tích phân
Giả sử các hàm f(x), g(x) liên tục trên khoảng H và a, c, d, b là bốn điểm của H.
1)
   
dxxfkdxxkf
b
a
b
a


(k là hằng số, k

0)
2)
   
 
   
dxxgdxxfdxxgxf
b
a
b
a
b
a



3)

 
0

dxxf
a
a
4)
   
dxxfdxxf
b
a
a
b


5)
       
dxxfdxxfdxxfdxxf
b
d
d
c
c
a
b
a



6)

         
aFbFduufdttfdxxf
b
a
b
a
b
a



7) f(x)

0 trên


ba;
 
0

dxxf
b
a
8) f(x)

g(x) trên


ba;
   

dxxgdxxf
b
a
b
a


9) m


Mxf  trên đoạn


ba;
     
abMdxxfabm
b
a



10) t biến thiên trên


ba;
   
dxxftG
t
a


 là một

nguyên hàm của f(t) và G(a)=0
2.3. Công thức NEWTON - LEIBNITZ:
   
xFdxxf
b
a






aFbF
b
a


3. Bảng nguyên hàm
1.





C
x
dxx
1

1






1


2.

 Cx
x
dx
ln

3.

 C
a
a
dxa
x
x
ln



10  a

4.

 Cedxe
xx
5.

 Cdx0 6.

 Cxxdx cossin
7.

 Cxcoxdx sin

8.

 Cx
x
dx
tan
cos
2

9.

 Cx
x
dx
cot
sin
2