D.thi HSG cac tinh thanh

Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện
Ngân hàng
đề thi HSG lớp 9
Đề thi hsg tp hcm, năm học 2002- 2003
Bài 1: Cho phơng trình: (2m 1)x
2
2mx + 1 = 0.
1. Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0).
2. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
1x x =
.
Bài 2: Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau đây:
1.
2
7 5 12 38x x x x + = +
.
2.
2 2
2 2
8
7
x y x y
x y xy

+ + + =


+ + =


3.
1 1
1 1
x y
x y

+ + =


+ + =


Bài 3:
1. Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh:
( ) ( )c a c c b c ab +
.
2. Cho x 1, y 1. Chứng minh:
2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+
+ + +
.

Bài 4: Từ điểm A ở ngoài đờng tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn
(B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao
điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đờng tròn (O), tiếp
tuyến này cắt đờng thẳng AB ở K. Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng
thuộc một đờng tròn.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có M trung điểm của BC. Có hai đờng thẳng
di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lợt tại D và
E. Xác định vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau ở hai điểm A và B. Qua A vẽ hai đ-
ờng thẳng (d) và (d), đờng thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O) tại D, đờng
thẳng (d) cắt (O) tại M và (O) tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD.
Chứng minh rằng CD = MN.
đề thi hsg tỉnh nam định, năm học 2002- 2003
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
3 5 3 5
10 3 5 10 3 5
A
+
=
+ + +
.
1
Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện
Bài 2: Gọi a và b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x
2
x 1 = 0. Chứng
minh rằng các biểu thức: P = a + b + a
3

+ b
3
; Q = a
2
+ b
2
+ a
4
+ b
4
;
R = a
2001
+ b
2001
+ a
2003
+ b
2003
là những số nguyên và chia hết cho 5.
Bài 3: Cho hệ phơng trình (x và y là các ẩn số):
2
2 2
2 1
4 4
x xy
x xy y m

=

+ =


Bài 4: Cho hai vòng tròn (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai vòng tròn
này nằm trong vòng tròn (C
3
) và tiếp xúc với (C
3)
tơng ứng tại M và N. Tiếp
tuyến chung tại T của (C
1
) và (C
2
) cắt (C
3
) tại P. PM cắt vòng tròn (C
1
) tại
điểm thứ hai A và MN cắt (C
1)
tại điểm thứ hai B. PN cắt vòng tròn (C
2
) tại
thứ hai D và MN cắt (C
2

) tại điểm thứ hai C.
1. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh rằng các đờng thẳng AB, CD và PT đồng quy.
Bài 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp
của ngũ giác, đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.
Đề thi hsg thị xã hà đông tỉnh hà tây, năm học 2002-
2003
Bài 1: Cho a, b, c là các số dơng.
1. Cho
;
2
a b
A B ab
+
= =
, hãy chứng minh:
a. A B.
b.
2
( )
8( )
a b
B A
A B

< <

với a b.
2. Rút gọn biểu thức:
2 2a b c ac bc a b c ac bc+ + + + + + + +

.
Bài 2:
Giả sử hai phơng trình bậc hai ẩn x:
a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
= 0 và a
2
x
2
+ b
2
x + c
2
= 0 có nghiệm chung. Chứng minh rằng:
(a
1
c
2
a
2
c
1
)
2

= (a
1
b
2
a
2
b
1
)(b
1
c
2
b
2
c
1
).
Bài 3: Với giá trị nào của m thì một trong các nghiệm của phơng trình
x
2
8x + 4m = 0 sẽ gấp đôi một nghiệm nào đó của phơng trình
x
2
+ x 4m = 0.
Bài 4: Cho đờng tròn tâm O, một dây AB cố định, C là một điểm chuyển động trên
cung nhỏ AB. Gọi M là trung điểm của dây BC, từ M vẽ MN vuông góc với
tia AC (N

AC).
a. Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

b. Tìm tập hợp điểm M.
2
Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện
Bài 5: Cho đờng tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh AB, AC lần l-
ợt ở D và E.
a. Gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE, tính OO.
b. Các đờng phân giác trong của góc B và C cắt đờng thẳng DE lần lợt ở M
và N. Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp.
c. Chứng minh:
MN DM EN
BC AC AB
= =
.
Đề thi hsg quận 9 tp hcm, năm học 2003- 2004
Bài 1: Rút gọn:
1.
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
A
+
= +
+ +
.
2.
( )
2 3 2 3 3 2 3
2 24 8 6
3 2

4 2 2 3 2 3 2 3
B

+
= + + + +
ữ ữ ữ
ữ ữ ữ
+ +

3.
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 2002 2003
C = + + + + + + + + + + + +
Bài 2: Giải phơng trình:
2
9 20 2 3 10x x x+ + = +
.
Bài 3:
1. Với x, y không âm; tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 3 2 2004,5P x xy y x= + +
.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
( ) 1 2
2
x
f x x x= +

Bài 4: Cho đờng tròn (O; R) và hai đờng kính bất kì AB và CD sao cho tiếp tuyến
tại A của đờng tròn (O) cắt các đờng thẳng BC và BD tại hai điểm tơng ứng là
E và F. Gọi P và Q lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng EA và AF.
1. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng
OA.
2. Hai đờng kính AB và CD có vị trí tơng đối nh thế nào thì tam giác BPQ có
diện tích nhỏ nhất.
3. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD
3
và
3
3
BE CE
BF DF
=
.
4. Nếu tam giác vuông BEF có một hình vuông BMKN nội tiếp (K

EF; M

BE và N

BF) sao cho cạnh hình vuông tỉ lệ với bán kính đờng tròn nội tiếp
tam giác BEF theo tỉ số
2 2
2
+
thì các góc của tam giác BEF là bao nhiêu?
3
Đề thi hsg lớp 9

Phạm
Văn Điện
đề thi hsg thị xã hà đông tỉnh hà tây, năm học 2003-
2004
Bài 1: Cho biểu thức:
2
4 4 4 4
8 16
1
x x x x
A
x x
+ +
=
+
.
Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 2: Rút gọn các biểu thức:
1.
4 7 4 7 2+
.
2.
6 2 2 3 2 12 18 128.+ + +
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai ẩn x: x
2
2(m 1)x + 2m
2
3m + 1 = 0.
1. Chứng minh phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 1.
2. Gọi x

1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình, chứng minh:
1 2 1 2
9
8
x x x x+ +
.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm O đờng kính
AH. Đờng tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E.
1. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng.
2. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tơng ứng tại M
và N. Chứng minh M, N lần lợt là trung điểm của các đoạn HB, HC.
3. Cho AB = 8 cm; AC = 19 cm. Tính diện tích tứ giác MDEN?
Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O, vẽ tia Ax vuông góc với AD,
cắt BC tại E; vẽ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F. Chứng minh EF đi qua
O.
đề thi hsg tp Playcu tỉnh gia lai vòng 1, năm học 2003-
2004
Bài 1: Cho biểu thức:
2 2 3 1 4 3A x x x x= +
với 3 x 3.
Bài 2:
1. Chứng minh rằng:
2 2
2
a b
a b
+

+
với mọi a, b.
2. Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác. Các đờng
thẳng AM, BM, CM lần lợt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
AM BM CM
P
MD ME MF
= + +
.
Bài 3: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 5x + 25 = - 3xy + 8y
2
.
4
Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện
Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB; Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC và BD
cắt nhau tại N. Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đờng tròn cắt nhau tại M. Gọi P là
giao điểm của hai đờng thẳng AD và BC.
1. Chứng minh PN vuông góc với AB.
2. Chứng minh P, M, N thẳng hàng.
Bài 5: Cho một hình vuông có độ dài bằng 1 m, trong hình vuông đó đặt 55 đờng
tròn, mỗi đờng tròn có đờng kính 1/9 m. Chứng minh rằng tồn tại một đờng
thẳng giao với ít nhất bảy đờng tròn.
đề thi hsg tp Playcu tỉnh gia lai vòng 2, năm học 2003-
2004
Bài 1: Tìm một số có 5 chữ số. Biết rằng nếu ta xóa đi 3 chữ số cuối cùng thì sẽ đợc
số mới bằng căn bậc ba của số ban đầu.
Bài 2:

Chứng minh rằng:
( ) ( )
2
8
3
a b c d ab ac ad bc bd cd+ + + + + + + +
với a, b, c, d

R.
Bài 3:
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3 2; 4 3x x x x+ + + +
.
2. Chứng minh giá trị của biểu thức:
2 5 1 10
3 2 4 3 5 6
x x x
M
x x x x x x
+ +
= + +
+ + + + + +

(với x 0) không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 4: Cho tam giác AHC có 3 góc nhọn, đờng cao HE. Trêm đoạn HE lấy điểm B
sao cho tia CB vuông góc với AH; hai trung tuyến AM và BK của tam giác
ABC cắt nhau tại I, hai trung trức của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tại
O.
1. Chứng minh
.ABH MKO :

2. Chứng minh:
3 3 3
3 3 3
2
4
IO IK IM
IA IH IB
+ +
=
+ +
.
Đề thi HSG Tp Hồ Chí Minh, năm học 2003- 2004
A. Phần bắt buộc:
Bài 1: Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau đây:
1.
2
2 3 5 2 3 12 14.x x x x + = +
2.
1 4
7
x y
x y

+ + =


+ =


5

Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện
Bài 2:
1. Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh:
2 2
2 2
x y
x y
+


.
2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn: a + b + c = 2.
Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đờng tròn tâm O, đờng kính AI.
Gọi E là trung điểm của AB và K là trung điểm của OI. Chứng minh tứ giác
AEKC nội tiếp đợc đờng tròn.
Bài 4: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa
đờng tròn (khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và
B của đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm C và D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
diện tích hai tam giác ACM và BDM.
B. Phần chọn. Học sinh chọn một trong hai bài sau đây:
Bài 5a.

1. Xác định m để phơng trình 2x
2
+ 2mx + m
2
2 = 0 có hai nghiệm.
2. Gọi hai nghiệm là x
1
, x
2
, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 2 1 2
2 4A x x x x= + +
.
Bài 5b. Cho biểu thức:
3 3 2 9
1 :
9
2 3 6
x x x x x
P
x
x x x x


= +


+ +

(x 0, x 9, x 4).
1. Thu gọn biểu thức P.
2. Tìm các giá trị của x để P = 1.
Đề thi HSG Thừa Thiên Huế- vòng 1, Năm học 2003- 2004)
Bài 1:
1. Giải hệ phơng trình:
2 2 2
6
1
14
x y z
xy yz xz
x y z

+ + =

+ =


+ + =

2. Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức:
2 2
2
1
8 4.
4
x y
x
+ + =

Xác định x, y để tích
xy đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), gọi M là trung điểm của cạnh BC,
H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên
cạnh BC. Tính độ dài AK và diện tích tam giác ABC, biết rằng OM = HK =
1/4KM và AM = 30 cm.
Bài 3:
1. Tìm m để cho phơng trình (m + 1)x
2
3mx + 4m = 0 có nghiệm dơng.
6
Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện
2. Giải phơng trình:
2 2
3 1 ( 3) 1x x x x+ + = + +
.
Đề thi HSG Thừa Thiên Huế- vòng 1, Năm học 2003- 2004)
Bài 1:
1. Giải phơng trình:
2 2
2 2
3 3
3 3
x x
x
x x x x
+
+ =

+ +
.
2. Chứng minh:
2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
+
+ + +
với a, b 1.
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O). I là trung điểm của BC, M là
điểm trên đoạn CI (M khác C, I), đờng thẳng AM cắt đờng tròn (O) tại D.
Tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMI tại M cắt các đờng thẳng
BD, DC lần lợt tại P và Q. Chứng minh DM.IA = MP.IB và tính tỉ số MP/MQ.
Bài 3:
1. Giải phơng trình:
3
5 3
1 8 1.x x x + + = +
2. Tìm các số x, y, z nguyên dơng thỏa mãn đẳng thức: 2(y + z) = x(yz 1).
đề thi hsg tỉnh bình thuận, năm học 2003- 2004
Bài 1:
1. Chứng minh rằng:
2 3 5 3 48
6 2
A
+ +
=
+
là số nguyên.
2. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số

abc
sao cho
2
2
1
( 2)
abc n
cba a

=


=


Bài 2:
1. Giải phơng trình:
3 2
2 2 2 2 2 0x x x+ + + =
.
2. Cho parabol (P): y = 1/4x
2
và đờng thẳng (d): y = -1/2x + 2.
a. Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b. Gọi A, B là các giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên cung AB
của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.
c. Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất.
Bài 3:
a. Cho đờng tròn tâm O và dây cung BC không qua tâm O. Một điểm A chuyển
động trên đờng tròn (A khác B, C). Gọi M là trung điểm của đoạn AC, H là

chân đờng vuông góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB. Chứng minh rằng H nằm
trên một đờng tròn cố định.
7
Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện
b. Cho hai đờng tròn (O, R) và (O, R), cắt nhau tại hai điểm A, B. Tia OA cắt
đờng tròn (O) tại C và tia OA cắt đờng tròn (O) tại D. Tia BD cắt đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh độ dài các đoạn BC và BE.
đề thi hsg Tỉnh thanh hóa, Năm học 2004- 2005
Bài 1:
1. Cho
2 2
1
1 1
x x x x
M x
x x x x
+
= + +
+ + +
. Rút gọn M với 0 x 1.
2. Giải phơng trình:
3 3 3
1 1 5x x x+ + =
.
Bài 2:
1. Cho x, y thỏa mãn:
3 2
2 2 2

2 4 3 0
2 0
x y y
x x y y

+ + =


+ =


. Tính Q = x
2
+ y
2
.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 1
A u v
u v

= + + +
ữ ữ

với u + v = 1 và
u > 0; v > 0.
Bài 3: Cho tam giác có số đo các đờng cao là các số nguyên, bán kính đờng tròn
nội tiếp tam giác bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc B = 20

0
, vẽ phân giác trong BI, vẽ góc
ACH = 30
0
về phía trong tam giác. Tính góc CHI.
Bài 5: Có hay không 2003 điểm trên mặt phẳng mà bất kì ba điểm nào trong chúng
đều tạo thành một tam giác có góc tù?
đề thi hsg Tỉnh Ninh Bình, Năm học 1999- 2000
Câu 1:
Cho biểu thức:
2
168
1
4444
xx
xxxx
A
+
++
=
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm những giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.
Câu 2:
Giải hệ phơng trình:

=++
=++
=++
8
6
2
333
222
zyx
zyx
zyx
8
Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện
Câu 3:
Cho tam giác ABC và M là điểm bất kì thuộc miền trong tam giác đó. AM,
BM, CM cắt cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại A1, B1, C1.
Chứng minh rằng:
6
111
++
MC
CM
MB
BM
MA
AM
. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 4:

Cho nửa đòng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Trên nửa đờng tròn đó lấy
hai điểm D và C sao cho AD = R;
2RDC =
. Kẻ AM và BN vuông góc với
CD.
1. So sánh DM và CN.
2. Tính MN theo R
3. Chứng minh diện tích tứ giác ABNM bằng tổng diện tích của hai tam giác
ABD và ABC
Câu 5:
Cho
1
4
51323
4
51323
3
1


+
+
=x
Tính giá trị của biêu thức: M = 2x
3
+ 2x
2
+1.
đề thi hsg Tỉnh Ninh Bình, Năm học 2000- 2001
Bài 1.

Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi của tam giấc đó.
Chứng minh
abc

8(p a)(p b)(p c).
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2.
Giải phơng trình
(x
2
3x 4)
2
+ 3(x
2
+3x 5) = x + 1
Bài 3.
Cho đờng tròn tâm O và một điểm A ở ngoài đờng tròn. Từ A kả hai tiếp
tuyến AM, AN tới đờng tròn, một đờng thẳng m quay xung quanh A cắt đ-
ờng tròn tại hai điểm phân biệt P và Q ( P nằm giẫ AQ)
1. Phân giác trong góc PMQ cắt PQ tại E. Chứng minh các tam giác AME và
ANE là các tam giác cân.
2. Trong trờng hợp NQ song song AM. Gọi K là giao điểm của NP với AM.
Chứng minh K là trung điểm AM.
3. Tìm vị trí của đờng thẳng m để tổng AP + AQ lớn nhất.
Bài 4.
Cho tam giác ABC có bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 1 và có số đo độ dài
9
Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện

các đờng cao là những số nguyên. Chứng minh tam giác ABC là tam giác
đều.
đề thi hsg Tỉnh Ninh Bình, Năm học 2001- 2002
Câu 1:
Cho đờng tròn, hai dây AB và CD cắt nhau tại K, biết
4
1
=
BK
AK
,
9
4
=
DK
CK
.
Tính tỉ số
CD
AB
Câu 2:
Giải phơng trình: x = 1 3(1 3x
2
)
2
Câu 3:
Cho đa thức: P(x) = x
4
+ ax
3

+ bx
2
+ cx + d ( với a, b, c, d là hằng số).
Biết: P(1) = 10; P(2) = 20; P(3) = 30.
Tính:
10
180)8()12( ++ PP

Câu 4:
Giả hệ phơng trình:










+=
+=
+=
)
3
(
2
1
)
3

(
2
1
)
3
(
2
1
x
xz
z
zy
y
yx
Câu 5:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp trong đờng tròn tâm O bán kính R,
các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi P
1
, P
2
theo thứ tự là chu vi các
tam giác DEF và ABC; r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
1. Chứng minh: AO vuông góc với EF.
2. Chứng minh:
R
r
P
P
=
2

1

đề thi hsg Tỉnh Ninh Bình, Năm học 2002- 2003
Câu 1:
Giải phơng trình:
12428
1
4
2
36
=

+

yx
yx
10
Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện
Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị của a sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm với mọi giá
trị của b:





=+
=++

1)1(
)1(2
33
22
yxa
abya
by
Câu 3:
Với ab + bc + ca = 4. Chứng minh bất đẳng thức:
3
16
444
++ cba
. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 4:
Cho a, b, c, d là những số nguyên , dơng thoả mãn:





=
=+++
=+++
dc
dcba
dcba
25
8
2222

Tìm giá trị lớn nhất mà c có thể nhận đợc. Khi đó hãy tính giá trị tơng ứng
của a.
Câu 5:
Cho tam giác ABC.
1/ Gọi K, L, M theo thứ tự là các điểm bất kỳ nằm trong các cạnh BC, CA, AB.
Gọi S
1
, S
2
, S
3
, S theo thứ tự là diện tích các tam giác AML, BKM, CKL, ABC.
a) Chứng minh:
AC
AL
x
AB
AM
S
S
=
1
b) Chứng minh trong 3 giá trị S
1
; S
2
; S
3
ít nhất có một giá trị không lớn hơn S/4
2/ Qua 2 điểm A và C vẽ đờng tròn tâm O, đờng tròn này cắt AB, BC theo thứ tự

tại E và F (E

F). Giả sử 2 đờng tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC và BEF cắt
nhau tại hai điểm phân biệt B và G. Giả sử EF và AC cắt nhau tại I.
a) Chứng minh 4 điểm A, E, G, I nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh 3 điểm B, G, I thẳng hàng.
đề thi hsg Tỉnh Ninh Bình, Năm học 2003- 2004
Câu 1:
Cho 3 số a, b, c dơng thoả mãn:
bca
211
=+
Chứng minh bất đẳng thức:
4
22


+
+

+
bc
bc
ba
ba
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 2:
11
Đề thi hsg lớp 9
Phạm

Văn Điện
Tìm giá trị x, y nguyên thoả mãn: x =
114
2
++ yy
Câu 3:
Giải hệ phơng trình:
xyz
xyz
x
z
z
y
y
x
11
2
1
3
1
6 =






=

=









Câu 4:
Giả sử k
1
; k
2
; k
3
là các số nguyên dơng : k
1
+ k
2
+ k
3
là số lẻ ,các số x
1
, x

2
, x
3

thoả mãn:
3
13
2
32
1
21
k
xx
k
xx
k
xx
=

=

Chứng minh: x
1
= x
2
= x
3
Câu 5:
Cho tam giác ABC vuông tại A.
1. Gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC, kẻ MN và MS theo thứ tự vuông góc với

AB và AC. Chứng minh: MB.MC = NA.NB + SA.SC
2. Giả sử AB = c; AC = b; phân giác trong của góc BAC là AT = m.
Chứng minh:
cbm
112
+=
3. Giả sử tam giác ABC là tam giác cân; lấy D theo thứ tự thuộc các cạnh AB và
AC sao cho AD = AE. Qua D và A kẻ các đờng thẳng vuông góc với BE theo
thứ tự cắt BC tại K và L. Chứng minh: KL = LC
đề thi hsg Tỉnh Ninh Bình, Năm học 2004- 2005
Bài 1.
1. Tính giá trị của biểu thức
abcbacacbcbaA ++= )4)(4()4)(4()4)(4(
Trong đó a, b, c là các số dơng thỏa mãn điều kiện:
abccba +++
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( )






+++

++=
x
y
y
xB
1
11
1
11
Trong đó x, y là các số dơng thỏa mãn điều kiện: x + y = 1
Bài 2.
1. Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: b + 2c + 3a = 1. Chứng
minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm:
4x
2
4(2b + 1)x + 4b
2
+192abc +1 = 0
4x
2
4(2c + 1)x + 4c
2
+ 96abc +1 = 0
2. Chứng minh rằng phơng trình 2x
2
+ y
2
= z

2
+ 6 (với x, y, z là ẩn) có vô số
nghiệm nguyên.
12
Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện
Bài 3.
Chứng minh rằng tổng : S
k
= 1
k
+ 2
k
+ 3
k
+ + n
k
chia hết cho
2
)1( +nn
;
với n là số tự nhiên tuỳ ý khác 0 và k là số tự nhiên lẻ.
Bài 4.
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự là a,
b, c, d. Lấy I là trung điểm của AB, M thuộc đờng chéo AC sao cho hai đờng
thẳng IM và BC cắt nhau tại E (C thuộc đoạn thẳng BE).
1. Chứng minh (ab + cd)
2

(a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
)
2. Vẽ đờng thẳng đi qua M song song với AB cắt cạnh BC tại P, đờng thẳng
đi qua M song song với CD cắt cạnh AD tại Q. Chứng minh
2222
111
caMQMP
+
+
3. Lấy điểm F thuộc đờng chéo BD thoả mãn
MC
AM
FD
BF
=
. Chứng minh đờng
thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên đờng chéo AC.
đề thi hsg Tỉnh Ninh Bình, Năm học 2006- 2007
Câu 1:
Giải phơng trình :
( ) ( )
2

221
xxxxx
=++
Câu 2:
Cho phơng trình
( )
0112
22
=+++++
mmxmx
( x là ẩn, m là tham số).
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt đều âm.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn
3
21
=+
xx
.
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số

( )
112
22

+++++=
mmxmxy
chứa đoạn
[ ]
3;2
.
Câu 3:
Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện:



=+
=+
02
042
222
23
bbaa
bba
Hãy tính giá trị biểu thức
22
baT
+=
Câu 4:
Cho n là số tự nhiên.
Chứng minh rằng
( )
1622
23
++

+=
nn
nP
chia hết cho 11 với mọi n.
13
Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện
Câu 5:
Cho nửa đờng tròn tâm 0, đờng kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của
cung AB. Giả sử M là điểm bất kỳ trên cung BC (M không trùng B và M
không trùng C). Đờng phân giác trong của góc COM cắt AM tại I.
a. Biết AM đi qua trung điểm của dây cung BC, hãy tính tỷ số
BM
AM
.
b. Khi điểm M di động trên cung BC, hãy tìm quỹ tích điểm I.
đề thi hsg Tỉnh Ninh Bình, Năm học 2007- 2008
Câu 1:
Cho các số dơng a, b và
2
2
1
ab
x
b
=
+
. Xét biểu thức
1

3
a x a x
P
b
a x a x
+ +
= +
+
1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P
2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 2:
Tìm x; y; z thỏa mãn hệ sau:
3
3
3
3 2 2
3 2 4 2
3 2 6 3
x x y
y y z
z z x

=

=


=

Câu 3:

Với mỗi số nguyên dơng n

2008, đặt S
n
= a
n
+ b
n
, với
3 5
2
a
+
=
;
3 5
2
b

=
1. Chứng minh rằng n

1 ta có S
n + 2
= (a + b)(a
n + 1
+ b
n + 1
) ab(a
n

+ b
n
)
2. Chứng minh rằng với mọi n thỏa mãn điều kiện đề bài, S
n
là số nguyên
3. Chứng minh
2
5 1 5 1
2
2 2
n n
n
S


+

=
ữ ữ
ữ ữ



. Tìm tất cả các số n để S
n
2 là
số chính phơng
Câu 4:
Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE.

Vẽ đờng tròn (O
1
) đờng kính AE và đờng tròn (O
2
) đờng kính BE. Vẽ tiếp tuyến
chung ngoài MN của hai đờng tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O
1
) và N là tiếp
điểm thuộc (O
2
).
1. Gọi F là giao điểm của các đờng thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đờng
thẳng EF vuông góc với đờng thẳng AB.
14
Đề thi hsg lớp 9
Phạm
Văn Điện
2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đờng tròn (O) đờng kính AB. Đờng thẳng
MN cắt đờng tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ
dài đoạn thẳng CD.
Câu 5:
Để lựa chọn học sinh khối 9 có điểm tổng kết cao nhất các bộ môn để tham
dự kiểm tra đánh giá chất lợng học kì I năm học 2007- 2008, với tổng số 99 học
sinh đợc các thày giáo, cô giáo lập danh sách đề nghị kiểm tra đã có: 50 học sinh
giỏi Toán; 45 học sinh giỏi Ngữ văn; 48 học sinh giỏi Tiếng Anh; 25 học sinh giỏi
cả Toán và Ngữ Văn; 22 học sinh giỏi cả Toán và Tiếng Anh; 15 học sinh giỏi cả
Ngữ Văn và Tiếng Anh; 6 học sinh không giỏi bất cứ môn nào trong các môn nói
trên. Hãy tính số học sinh giỏi cả ba môn Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh.
.
15