SKKN ren ki nang giai toan qua BT da co 7.doc

Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Phòng giáo dục đào tạo huyện kinh môn
Trờng Trung Học Cơ Sở thái thịnh
====

====
kinh nghiệm :
Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh
qua việc mở rộng, khai thác
bài toán đã có
Môn Toán 7
ý kiến đánh giá của nhà trờng
ý kiến đánh giá của phòng giáo dục.
Trang 1
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Mục lục
A/ Đặt vấn đề.
I. Cơ sở lý luận.
II. Cơ sở thực tiễn.
B/ Giải quyết vấn đề.
I. Cơ sở lý luận.
II. Biện pháp thực hiện.
III. Kết quả thực hiện đề tài.
IV. Bài học kinh nghiệm.
V. Phạm vi áp dụng đề tài
VI. Hạn chế của đề tài.
VII. Đề xuất và hớng nghiên cứu tiếp.
C/ Kết luận.
Tài liệu tham khảo
Toán và và các chuyên đề Đại số, Hình học 7
SGK Toán 7

Toán phát triển Đại số, Hình học 7
Toán cơ bản và nâng cao Đại số , Hình học 6, 7
Một số đề thi học sinh giỏi qua các năm
A. đặt vấn đề :
I. Cơ sở lý luận :
Dạy học, là tập hợp những hành động liên tiếp của giáo viên
và học sinh. Trong đó ngời thầy có vai trò hết sức quan trọng
đó là : Tổ chức, hớng dẫn học sinh tự nắm các kiến thức, kỹ
Trang 2
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
năng, kỹ sảo và phát huy tốt đợc năng lực nhận thức của bản
thân, khơi dậy và phát triển năng lực tự học. Nhằm hình thành
cho học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng
lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, tác động đến tình
cảm, đem lại niềm tin, hứng thú cho học sinh.
Để làm tốt quá trình đó thì ngời thầy cần có sự hớng dẫn, gợi
mở và dẫn dắt học sinh bằng nhiều con đờng giúp học sinh tự
tìm ra kiến thức mới.
Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán 7 ở trờng Trung học cơ
sở và đặc biệt trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi toán cấp tr-
ờng, cấp huyện, tôi nhận thấy trong việc dạy học Toán, thì việc
giải các bài tập toán có vai trò quan trọng và đã từ lâu là một
trong những vấn đề trọng tâm của phơng pháp học Toán nh :
Sử dụng kết quả của bài toán để giải các bài toán khác phức
tạp hơn.
Giải bài toán bằng nhiều phơng pháp khác nhau.
Nhìn bài toán dới nhiều góc độ và khai thác triệt để kết
quả của bài toán.
Đó là việc làm cần thiết, hữu ích và có hiệu quả. Nhng đối với

mỗi loại bài tập nói trên, ngời dạy phải định ra cho học sinh h-
ớng giải quyết nh thế nào cho phù hợp. ở đây tôi chỉ xin đề
cập đến một phần của cách giải quyết của hai loại bài tập đầu
đó là : Loại bài tập sử dụng kết quả bài toán cũ để giải bài toán
mới; Loại bài tập giải bằng nhiều cách. Hai loại bài tập này đòi
hỏi học sinh phải biết nhìn nhận và tạo ra các dữ kiện mới từ
bài toán cũ. Nhng trong thực tế, việc định hớng để xác định
xem nên khai thác nh thế nào cho hiệu quả, hợp lý thì học sinh
còn gặp nhiều khó khăn và đây là một vấn đề mà giáo viên
cần phải hình thành cho học sinh ngay từ lớp 7 để các em phát
triển t duy Toán học của mình.
II. Cơ sở thực tiễn :
Bản thân tôi là giáo viên dạy bộ môn Toán, trong những năm qua
tôi luôn đặt ra cho mình những câu hỏi, những trăn trở về vấn
Trang 3
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
đề : Làm thế nào để giúp học sinh phát huy cao độ tính tích cực,
độc lập, sáng tạo. Tự xây dựng cho bản thân niềm ham mê giải
bài tập Toán nói riêng và học Toán nói chung, để từng bớc nâng
cao chất lợng học Toán.
Mặc dù kinh nghiệm còn hạn chế, nhng tôi xin mạnh dạn trình
bày một số ví dụ cụ thể, khi dạy học sinh lớp 7 làm bài tập Toán.
Và đó cũng là lý do mà tôi chọn đề tài Rèn kỹ năng giải toán
cho học sinh lớp 7 qua việc mở rộng, khai thác bài toán đã có.
B. Giải quyết vấn đề :
I. Cơ sở lý luận :
Trong quá trình tiếp xúc, trao đổi và trực tiếp giảng dạy bộ môn
Toán cho học sinh lớp 7 nói chung và bồi dỡng học sinh giỏi nói
riêng, thì tôi thấy tình trạng :
Số học sinh có học lực trung bình và yếu còn là vấn đề nan giải, đa số

các em lời làm bài tập, ngại đọc sách nâng cao. Nhìn chung các em cố
gắng làm hết bài tập thầy cho và chỉ vừa lòng với một cách giải, ít có
học sinh tự tìm ra cho mình nhiều cách giải khác nhau cho một bài
toán. Đặc biệt khi gặp bài tập tơng tự các em còn gặp nhiều khó khăn
trong việc giải bài toán đó.
Còn đối với ngời thầy, nặng về số lợng bài chữa, cha quan tâm nhiều tới
việc mở rộng, phát triển bài toán đã giải. Hơn nữa cha đầu t nhiều về
thời gian cho việc nghiên cứu, tìm tòi phơng pháp dạy và cách giải cho
những bài toán khó.
II. Biện pháp thực hiện :
Để đạt đợc kết quả tốt trong công tác giảng dạy học sinh nói chung,
học sinh giỏi nói riêng và đặc biệt là trong thời kỳ đổi mới chơng trình
SGK các khối lớp (đã làm đối với lớp 6,7), thì ngời thầy giáo trớc hết
phải có sự chuẩn bị chu đáo cho bản thân mình về hành trang, kiến thức
khi lên lớp, phơng pháp giảng dạy phù hợp đối với từng đối tợng học
Trang 4
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
sinh. Các bài tập đa ra cho học sinh cần đợc chọn lọc, bài dễ chuẩn bị
kiến thức cho bài khó, bài trớc gợi ý cho bài sau.
Tôi thiết nghĩ : Lời nói gió bay. Muốn lời nói không tựa gió bay thì :
Nói đi phải đôi với làm. Để chứng minh cho lời nói trên tôi xin đa ra
một số loại bài toán sau :
Loại I : Sử dụng kết quả của bài toán để giải các bài toán phức tạp hơn.
1. Bài toán 1 :
Trong các số sau, số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số ?
51 ; 53 ; 67 ; 69 ; 87 ; 91 ; 99
ở bài toán này, đối với học sinh lớp 7 không có gì khó khăn và đặc
biệt học sinh lớp 7 hiện nay, các em đợc tiếp xúc với những kiến thức cực kỳ
chắt lọc từ sự đổi mới của nội dung, chơng trình SGK. Do đó các em chỉ cần
sử dụng dấu hiệu chia hết là tìm đợc các số nguyên tố và hợp số.

Tuy nhiên cần khắc sâu cho học sinh bản chất số nguyên tố và vấn đề nảy
sinh là số P phải xét đợc cho bằng biểu thức đại số thì cách giải sẽ nh thế nào ?
Vậy yêu cầu học sinh giải bài toán sau :
Bài toán 1
1
Tìm tất cả các số tự nhiên x để P
(x)
= (x-1)(x+5) là số nguyên tố.
Đối với bài toán này, trớc hết yêu cầu học sinh tìm các ớc của P
(x)
, khi
học sinh đã tìm đợc các ớc của P
(x)
rồi ta yêu cầu học sinh tìm tiếp các điều
kiện để P
(x)
là số nguyên tố.
Lời giải :
Rõ ràng để P
(x)
là số nguyên tố thì :
x-1 = 1 hoặc x+5 = 1
Ta tìm đợc x = 2 hoặc x = -4
Vì x

N nên giá trị x = -4 không thoả mãn điều kiện đầu bài.
Với x=2 => P
(x)
= 1.(2+5) = 7 là số nguyên tố
Vậy với x=2 thì P

(x)
= (x-1)(x+5) là số nguyên tố.
Qua bài toán này học sinh hoàn toàn có thể giải đợc loại bài tập :
Tìm x

N để P
(x)
= A
(x)
.B
(x)
là số nguyên tố. Với A
(x)
,B
(x)
là 2 đa thức
có hệ số nguyên.
Thực chất là ta phải tìm x để : A
(x)
= 1
hoặc B
(x)
= 1
Trang 5
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Để tạo ra tình huống mới, ta cho học sinh giải bài toán mà số P phải xét
là một đa thức với hệ số nguyên.
Bài toán 1
2
:

Tìm tất cả các số tự nhiên x để P
(x)
= x
2

+ 4x 5 là số nguyên tố.
Bớc đầu học sinh tởng rằng đây là một loại bài toán mới, song nếu
ta gợi ý để cho học sinh viết P
(x)
dới dạng : P
(x)
= A
(x)
.B
(x)
thì bài toán trở
lên đơn giản (Bài toán 1.1 - đã giải)
Sau khi giải xong bài tập này học sinh sẽ đa ra đợc phơng pháp
chung để giải loại bài tập : Tìm x

N để một đa thức f(x) với hệ số
nguyên là số nguyên tố.
Ta có thể làm theo các bớc :
B ớc 1 : Viết f(x) = A
(x)
. B
(x)

B ớc 2 : Tìm x để A
(x)

= 1 hoặc B
(x)
= 1
2. Bài toán 2 : Chứng minh rằng :
Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3.
Đây là một bài toán số học rất quen thuộc với học sinh cấp 2.
Sau khi học sinh giải xong bài này chúng ta đa ra bài toán sau :
Bài toán 2
1
:
Chứng minh rằng, nếu a là số nguyên thì : (a
3
a)

3
Đây chính là Bài toán 2 đợc đa ra với hình thức khác. Để học sinh
thấy đợc điều này, giáo viên chỉ cần hớng dẫn học sinh biến đổi
(a
3
a) dới dạng tích.
Ta có : (a
3
a) = a. (a
2
1) = (a - 1).a.(a + 1)
Nhận thấy (a - 1).a.(a + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó
chia hết cho 3
Từ đó suy ra : (a
3
a)

3
Tiếp đó ta đa thêm bài toán sau :
Bài toán 2
2
:
Chứng minh rằng, nếu a, b là các số nguyên thì : (a
3
b ab
3
)

3
Bài toán này thực chất cũng là Bài toán 2. Để thấy đợc điều này, chúng
ta hớng dẫn học sinh biến đổi :
a
3
b ab
3
= (a
3
b ab) - (ab
3
- ab)
= ab (a
2
1) ab (b
2
1)
= (a 1).a.(a + 1).b a.(b 1).b.(b + 1)

Trang 6
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Ta có (a 1).a.(a + 1) và (b 1).b.(b + 1) là tích của 3 số
nguyên liên tiếp, nên chúng chia hết cho 3.
Vậy (a
3
b ab
3
)

3
Tiếp tục đa ra bài toán sau :
Bài toán 2
3
:
Chứng minh rằng :
Nếu A = a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
n
chia hết cho 3
Thì B = a
1
3
+ a
2

3
+ a
3
3
+ + a
n
3
cũng chia hết cho 3
(Với a
1
, a
2
,a
3
, , a
n
là các số tự nhiên). Điều ngợc lại có đúng không.
Bài toán này cũng thực chất là Bài toán 2, nếu nh học sinh thấy đợc:
B A = (a
1
3
a
1
) + (a
2
3
a
2
) + + (a
n

3
a
n
)
Theo Bài toán 2
2
thì các hiệu a
i
3
a
i
với (i =
n 1
) là tích của 3 số
tự nhiên liên tiếp. Do đó (a
i
3
a
i
)

3 với (i =
n 1
)
Từ đó suy ra (B A)

3.
Do vậy : nếu A

3 (hoặc B

3) thì B

3 (hoặc A

3)
Không dừng lại ở đây mà tiếp tục đa ra cho học sinh bài toán sau :
Bài toán 2
4
:
Chứng minh rằng : Nếu p là số nguyên lẻ, không chia hết cho 3
và |p| >5 thì : (p
2
- 1)

24
Đây là bài toán tuy không thực chất là bài toán 2 nhng nó lại gần
gũi với Bài toán 2, chúng ta có thể hớng dẫn cho học sinh thấy đợc điều
này qua việc biến đổi sau :
Bài giải :
Vì p là số nguyên lẻ => (p 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp
Do đó (p
2
1)

8
(1)
Mặt khác p lẻ và p

3 nên (p,3) = 1

Mà (p-1).p.(p+1)

3 (theo bài toán 2)
Từ đó suy ra (p-1)(p+1)

3 hay (p
2
1)

3
(2)
Do (3,8) = 1 và từ (1) và (2) suy ra (p
2
1)

24
Tiếp tục, giáo viên cho học sinh giải bài toán tiếp theo
Trang 7
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Bài toán 2
5
:
Chứng minh rằng : Nếu 2
n
1 là số nguyên tố thì 2
n
+ 1 là hợp số
(với n là số tự nhiên lớn hơn 2)
Đây là một bài toán khó, song nếu học sinh thấy đợc cội nguồn
của nó chính là Bài toán 2 thì có thể đọc ngay đợc lời giải của nó.

Ta có thể hớng dẫn học sinh giải nh sau :
Bài giải :
Ta có (2
n
1).2
n
.(2
n
+ 1)

3
Mà (2,3) = 1 suy ra (2
n
,3) = 1 và với n >2
Thì 2
n
1>3 do đó với 2
n
1 là số nguyên tố thì (2
n
1;3) =
1
Từ đó suy ra (2
n
+ 1)

3 mà 2
n
+ 1>3
Do đó 3 là ớc thực sự của 2

n
+ 1.
Vậy 2
n
+ 1 là hợp số.
Một loạt các bài toán mà chúng ta xét ở ví dụ trên tuy hình thức có
khác nhau, song giữa chúng có mối quan hệ chặt chẽ, vì chúng đều có từ
một nguồn gốc, từ một bài toán đơn giản Tích của 3 số tự nhiên liên
tiếp chia hết cho 3 bằng cách đa ra một loạt các bài tập nh vậy, chúng ta
không những tạo ra một bầu không khí say mê học tập, phát huy đợc
tính tích cực của các em mà còn có tác dụng rèn cho học sinh có con
mắt nhạy cảm toán học, có khả năng tìm ra lời giải của bài toán thông
qua việc phân tích các mối liên hệ giữa các bài toán đó với những bài
toán khác mà các em đã biết.
Loại 2 : Rèn cho học sinh có thói quen giải bài toán
bằng nhiều cách khác nhau
Một bài toán thờng có nhiều cách giải khác nhau và đặc biệt là đối
với các em học sinh giỏi. Sau khi giúp học sinh tìm đợc lời giải của một
bài toán, chúng ta hớng dẫn các em suy nghĩ tìm đợc lời giải của một bài
toán theo các cách khác. Đây là một hoạt động trí tuệ có tác dụng rất lớn
trong việc giúp học sinh vận dụng các thao tác t duy nh phân tích, tổng
hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hoá, đồng thời rèn cho học sinh
các phẩm chất của trí tuệ nh sự linh hoạt, độc lập sáng tạo. Để cụ thể vấn
đề này chúng ta xét các ví dụ sau :
3. Bài toán 1 :
Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có góc ở đáy bằng 80
0
. Trên
cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = BC. Tính số đo góc ACE ?
Trang 8

Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Đây là một bài toán Hình học lớp 7 mà qua thực tế giảng dạy ta
thấy, đại đa số học sinh ngại làm bài tập Hình. Bởi vì : Hình học khó hơn
Đại số giờng nh đã ăn sâu vào tâm trí của mỗi học sinh kể cả các em học
sinh giỏi. Để khắc phục điều đó thì giáo viên phải hớng dẫn các em trớc hết
phải nắm vững lý thuyết, sau đó tìm tòi, vẽ hình và phân tích đề bài để tìm
hớng giải quyết bài toán bằng nhiều con đờng. Cụ thể nh sau :
Phân tích :
Trớc tiên để học sinh tự suy nghĩ, tìm kiếm cách giải.
Nếu các em không làm đợc, A
giáo viên có thể gợi ý cho các em đi tìm
mối liên hệ giữa các góc của tam giác ABC.
Có thể các em sẽ phát hiện thấy (hoặc E
giáo viên chỉ ra ) tam giác cân ABC
đã cho có các góc 80
0
, 80
0
, 20
0
.
Mà 80
0
- 20
0
= 60
0
chính là
góc của tam giác đều.
B C

Từ đó hớng dẫn học sinh thử đi vẽ thêm một tam giác đều nào đó,
xem có nhận thấy điều gì không ?
A Từ sự gợi ý trên, trong lớp bồi
dỡng học sinh giỏi của tôi, đa số các
em đều làm nh sau :
E Vẽ BDC đều nằm trong ABC để tạo ra
DCA =
A

= 20
0
D Khi đó EAC = DCA (c.g.c)
=> ACE = DAC =
BAC
2
1
= 10
0
.
B C
Cũng có một số em làm theo cách : A
Vẽ ADE đều nằm ngoài
ABC, tạo ra DAC =
B

= 80
0
D
Khi đó DAC = CBA (c.g.c) E
=> CD = CA

Do đó CEA = CED (c.g.c)
=>
BAC
2
1
DCA
2
1
CC
21
===

= 10
0
.
Trang 9
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
B C
Sau khi phân tích, hớng dẫn các em làm hai cách trên, tôi đã hớng dẫn các
em thêm cách sau :
Cách 3 :
A
Vẽ DAC đều nằm ngoài ABC,
tạo ra
ã
EAD
=
à
B
= 80

0
E D Khi đó : AED = BCA (c.g.c)
=> DE = AC và
0
20

==
11
AD
Vậy DEC cân tại D có góc ở đỉnh

000
402060

==
2
D
=> góc đáy ECD = (180
0
40
0
):2 = 70
0
B C Do đó ECA = 70
0
60
0
= 10
0
Cách 4 :

Vẽ ABD đều (D, C nằm cùng phía A
đối với AB) tạo ra góc CBD =
A

= 20
0
Khi đó : CBD = EAC (c.g.c) E
=>
11
CD

=
Vậy để tính
1

C
ta chỉ cần tính
1
D

D
Dễ thấy ADC cân tại A có góc ở
đỉnh
0 0 0
1

A 60 20 40= =
=> góc đáy ADC = (180
0
40

0
):2 = 70
0
B C
Mà
0
60

=
2
D
(góc tam giác đều) =>
1
D

= 70
0
60
0
= 10
0
Vậy ECA = 10
0
Nh vậy qua ví dụ này, bớc đầu các em đã biết tính số đo góc trong một tam
giác (Loại bài tập coi là hắc búa nhất trong Hình học) bằng phơng pháp vẽ thêm
yếu tố phụ trong tam giác để giải quyết (Vẽ tam giác đều) và cách triển khai ph-
ơng hớng đó. Tuy nhiên, để tiếp tục hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm
tam giác đều, giáo viên cần hớng dẫn các em giải tiếp các ví dụ sau :
4. Bài toán 2 :
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và điểm I nằm trong tam

giác sao cho IAC = ICA = 15
0
. Tính góc AIB.
Phân tích : B
Trang 10
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Cũng nh ở ví dụ 1. Nhng ở ví dụ này
các em sẽ sớm phát hiện thấy
BAI = 75
0
, IAC = 15
0

Mà 75
0
15
0
= 60
0
là góc của tam giác đều
( Cũng có thể Nhận xét góc BCA=45
0
I
ICA = 15
0
và 45
0
+ 15
0
= 60

0
) A C
Còn đối với những em cha xác định đợc điều gì, ta cũng gợi ý, hớng dẫn
các em đi tính số đo các góc trong bài rồi tìm mối liên quan giữa các góc đó.
Từ đó có thể hớng dẫn các em các cách vẽ tam giác đều nh sau :
Bài giải : Cách 1 :
B Vẽ AKI đều nằm trong ABI, tạo ra
BAK = IAC = 15
0
.
Khi đó BAK = CAI (c.g.c), dẫn đến
ABK cân tại K và có góc đáy bằng 15
0
K =>
000
1
15015.2180K

==
Mà AKI = 60
0

I =>
0 0 0 0
2

K 360 (150 60 ) 150= + =
A C Vậy AKB = IKB (c.g.c)
=> BIK = BAK = 15
0

Vậy AIB = 15
0
+ 60
0
= 75
0
.
Cách 2 :
B
Vẽ CKI đều nằm phía ngoài
ACI, tạo ra ACK = BAI = 75
0
.
Khi đó KCA = AIB (c.g.c) K
=> AIB = AKC
Lại có
000
15015.2180

==
1
I

0
60

=
2
I
I

Do đó AIC = AIK (c.g.c) A C
=> AKI = ACI = 15
0
Vậy ACK
000
756015 =+=
=> AIB = 75
0
.
Cách 3 :
Vẽ AKB đều nằm (K, C nằm cùng
B phía đối với AB), tạo ra IAK = IAC =15
0

Trang 11
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Khi đó IAC = IAK (c.g.c) => IC = IK
Vậy ABI = KBI (c.c.c)
K => ABI = KBI =
2
1
AKB =
2
1
. 60
0
= 30
0
Nh vậy BAI có : ABI = 30
0

, BAI = 75
0
=> AIB
0000
75)3075(180 =+=
I (Hoặc AKC cân tại A có góc ở đỉnh
A C bằng 30
0
=> góc ở đáy)
ACK = AKC
000
752:)30180( ==
;
Mà ICA = 15
0
=> ICK = 60
0
Vậy ICK đều => KC = IC = IA
=> ABI = CAK (c.g.c)
=> AIB = AKC = 75
0
Cách 4 : B
Vẽ ACK đều ra phía ngoài ABC, tạo
ra IAK = IAB = 75
0
.
Khi đó BAI = KIA (c.g.c)
=> AIB =
1
I

Mà
1
I

=
2
I

(AIK = CIK theo
trờng hợp c.c.c) A I C
=>
AICI
1
2
1

=
=
00
75015 .
2
1
=
Vậy AIB = 75
0
K
Cách 5 :
Vẽ AKC đều trùm lên IAC, B
tạo ra KCB = ICA = 15

0
. K
Từ K kẻ tia KM sao cho MKC = 15
0
thì
MKC = IAC (c.g.c) => KM = AI.
Mặt khác ABK cân tại A có góc ở đỉnh
bằng 30
0
=> góc ở đáy bằng 75
0
M
Trang 12
A
B
C
K
A
C
K
E
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Do đó KBM = 75
0
45
0
= 30
0
I
bằng KMB. A

=> KMB cân tại K => KB = KM = AI C
Vậy ABI = BAK (c.g.c) => AIB = ABK = 75
0
Nh vậy với sự gợi ý, hớng dẫn của giáo viên, học sinh đã biết phân
tích đầu bài, tìm đợc mối liên hệ giữa các dữ kiện của giả thiết, từ đó định h-
ớng đợc cách giải. Đó chính là thành công của ngời thầy. Và điều quan trọng
nữa là khi hớng dẫn học sinh triển khai một bài toán theo nhiều cách khác
nhau, giáo viên đã tạo cho học sinh một óc quan sát nhạy bén, linh hoạt và
cũng làm cho t duy hình học của các em đợc phát triển hơn.
5. Bài toán 3 : Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy
bằng 50
0
. Lấy điểm K trong tam giác sao cho KBC = 10
0
, KCB
= 30
0
.Tính số đo các góc của ABK.
Phân tích :
ABK có ABK = 50
0
10
0
= 40
0
Vậy chỉ còn phải tính hai góc nữa là BAK và BKA.
Xem xét đầu bài, ta thấy ABC có các góc
50
0
, 50

0
, 80
0
. KBC = 10
0
, ABC = 50
0

Mà 50
0
+ 10
0
= 60
0
chính là góc của đều.
Từ đó có thể giải bài toán trên theo các cách
sau (Học sinh tím ra hoặc giáo viên gợi ý)
Cách 1 :
Vẽ BCE đều trùm lên ABC, tạo ra
ABE = KBC = 10
0
.
Dễ thấy EAB = EAC (c.c.c)
=>
1
E

=
2
E

= 30
0
Khi đó ABE = KBC (g.c.g) => AB =
KB.
Do đó ABK cân tại B có góc ở đỉnh
ABK = 40
0
Trang 13
B
K
A
B
C
E
K
A
B
C
E
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
=> BAK = BKA = (180
0
- 40
0
):2 = 70
0

Vậy các góc của ABK là 40
0

, 70
0
, 70
0
.
Cách 2 :
Vẽ ABE đều (E, C nằm cùng phía
đối với AB), tạo ra EBC = KBC = 10
0
và
tạo ra AEC cân ở A có góc ở đỉnh bằng
80
0
- 60
0
= 20
0

=> góc ở đáy bằng (180
0
- 20
0
):2= 80
0

=> BCE = 80
0
- 50
0
= 30

0

Do vậy KBC = EBC (g.c.g)
=> BK = BE => BK = BA.
Khi đó ABK cân tại B => các góc là 40
0
, 70
0
, 70
0
.
Cách 3 :
Vẽ AEC đều (E, B nằm cùng phía đối với
AC), tạo ra BEC = KBC = 10
0
và tạo ra ABE
cân ở A có góc ở đỉnh bằng 80
0
- 60
0
= 20
0

=> góc ở đáy bằng 80
0

=> EBC = 80
0
- 50
0

= 30
0

Do đó KBC = ECB (g.c.g)
=> AK = EC = AB.
=> ABK cân tại B
Vậy các góc cần tính là 40
0
, 70
0
, 70
0
.
Qua ví dụ này, có thể cho học sinh thấy rằng cách giải 2 và 3 là tơng
đơng nhau : đều tạo ra tam giác đều có các cạnh bằng một trong hai cạnh
bên của tam giác cân đã cho, từ đó dẫn đến cạnh BK bằng một cạnh nào đó
của tam giác đều vừa tạo để suy ra tam giác ABK cân.
Cũng ở ví dụ này, nếu đi vẽ tam giác đều có một cạnh là KC để tạo ra
góc bằng KCB, hoặc vẽ tam giác đều có một cạnh là BK để tạo ra góc bằng
ABC thì sẽ không giải quyết đợc bài toán, vì vẫn không đủ dữ kiện, và học
sinh cần phải thấy đợc điều này để có cách vẽ thích hợp.
6. Bài toán 4 :
Trang 14
A
B
C
H
A
B
C

H
E
K
A
E
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Tính số đo góc B của ABC biết
0
75 C

=
, đờng cao AH =
BC
2
1
Phân tích :
AHC vuông tại H có
0
75 C

=
=> CAH = 15
0
Mà 75
0
- 15
0
= 60
0
là góc của tam

giác đều.
Từ đó hớng dẫn học sinh vẽ
thêm tam giác đều; có các cách
nh sau :
Cách 1 :
Vẽ AEC đều nằm trong
ABC, tạo ra ECB = CAH = 15
0
.
Kẻ EK

BC (có thể hớng dẫn và
giải thích cho học sinh tại sao kẻ
nh vậy).
Khi đó hai tam giác vuông ECK
và CAH bằng nhau theo trờng hợp
cạnh huyền, góc nhọn.
=> KC = AH, mà AH =
2
1
BC => KC =
2
1
BC
Vậy K là trung điểm của BC
Do đó tam giác EBC cân tại E và EBC = ECB = 15
0
.
Mặt khác : BEC = 180
0

2.15
0
= 150
0
;
BEA = 360
0
(60
0
+150
0
) = 150
0
=> BEC = BEA (c.g.c) =>
1
B

=
2
B

= 15
0
.

Vậy ABC = 30
0
.
(Hoặc từ BEC = BEA => AB = BC => ABC cân tại B có góc ở đáy = 75
0

(gt)
=>
B

= 180
0
2.75
0
= 30
0
).
Cách 2 :
Vẽ BEC đều (E, A nằm cùng phía
đối với BC), tạo ra
1
C

= CAH = 15
0

Từ A, kẻ AK

EC thì hai tam
giác vuông AKC và CAH bằng
Trang 15
C
B
H
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
nhau theo trờng hợp cạnh huyền,

góc nhọn.
=> KC = AH, mà AH =
2
1
BC
=> KC =
2
1
BC =
2
1
EC
=> K là trung điểm của EC
Vậy EAC cân tại A, do đó AEB = ACB (c.c.c)
=>
1
B

=
2
B

=
2
1
CBE = 30
0
(và suy ra K là giao điểm của AB và EC)
Nh vậy, qua các ví dụ trên, giáo viên đã giúp cho học sinh tìm
nhiều cách giải cho một bài toán chỉ từ một phơng pháp là vẽ thêm yếu tố

phụ trong tam giác (Vẽ tam giác đều). Và sau các ví dụ này, giáo viên nên
cho học sinh tự nhận xét, tổng kết dạng bài tập về tính số đo góc : Giải
bằng phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ (Vẽ tam giác đều), sau đó có thể
chốt lại cho các em là :
Khi xét mối liên quan giữa các góc, nếu phát hiện ra góc của tam
giác đều thì nên nghĩ đến cách vẽ tam giác đều để tạo ra những góc
bằng góc đã cho. Hơn nữa việc vẽ thêm tam giác đều còn tạo đợc
các đoạn thẳng bằng nhau, hoặc tạo đợc một đờng có nhiều tính
chất, từ đó rễ ràng phát hiện đợc những yếu tố bằng nhau, liên kết
với nhau để tìm ra lời giải.
Cũng cần chỉ ra cho học sinh thấy kinh nghiệm của việc vẽ thêm
yếu tố phụ (Vẽ tam giác đều) : Nếu vẽ tam giác đều mà cạnh của nó
có sự bằng nhau với các đoạn thẳng khác trong bài thì bao giờ cũng
giải quyết đợc bài toán. Cụ thể nh :
-
ở Bài toán 1, đầu bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau : AB = AC; AE =
BC. Nh vậy có thể giải bằng bốn cách : Vẽ tam giác đều cạnh AB, vẽ tam
giác đều cạnh AC, vẽ tam giác đều cạnh BC, vẽ tam giác đều cạnh AE.
-
ở Bài toán 2, đầu bài cũng cho 2 cặp đoạn thẳng bằng nhau là : AB =
AC; IA = IC. Do vậy cũng có thể giải bài toán đó theo các cách : Vẽ
tam giác đều có 1 cạnh là AI; hoặc IC; hoặc AB; hoặc AC (trờng hợp
vẽ tam giác đều có 1 cạnh là AC có hai cách vẽ).
-
ở Bài toán 3 có hai đoạn thẳng bằng nhau là : AB và AC. Do đó khi
vẽ thêm tam giác đều dựa trên lầm lợt 1 trong 2 cạnh đó, ta sẽ đợc 2
cách (cách 2 , cách 3). Ngoài ra nếu vẽ tam giác đều mà cạnh của nó
Trang 16
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
không bằng đoạn thẳng nào khác thì cũng có thể giải quyết đợc (cách

1), nhng cũng có thể không vì sẽ không đủ dữ kiện (ví dụ nh vẽ tam
giác đều có 1 cạnh là KC hoặc BK)
-
Còn nếu bài toán cho không có cặp đoạn thẳng nào bằng nhau thì phải vẽ
tam giác đều sao cho liên hệ đợc các dữ kiện của giả thiết (Bài toán 4).
Qua các ví dụ này, học sinh cũng cần thấy rằng, có thể có nhiều cách
để tạo ra tam giác đều, nhng nên chọn cách nào dẫn đến chứng minh bài
toán đơn giản hơn.
7. Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Tìm x

N để : P
(x)
= (x-3)(x
2

+ 1) là số nguyên tố.
Bài 2 : Cho hình vuông ABCD và một điểm M nằm trong hình
vuông sao cho MAB = MBA = 15
0
. Tính số đo các góc của MDC.
Bài 3 : Cho ABC có
B

= 60
0
,
C

= 45

0
. Trong góc ABC vẽ tia Bx sao
cho CBx = 15
0
. Đờng vuông góc với AB tại A cắt Bx ở I. Tính IBC.
Bài 4 : Trong tam giác cân ABC có
C

= 100
0
. Kẻ tia Ax sao cho
xAB = 30
0
, tia phân giác của góc B cắt Ax ở M. Tính ACM.
III. Kết quả :
Qua quá trình áp dụng đề tài này vào dạy các tiết luyện tập bớc đầu tôi
đã thu đợc một số kết quả tuy cha nhiều song cũng rất khả quan.
- Học sinh có hứng thú, đam mê sự giải toán và chính các em đã tự đem
lại niềm say mê giải toán nói riêng và học toán nói chung cho bản thân
mình, đặc biệt có nhiều em đã tự đặt ra cho mình những bài toán tơng
tự, những bài toán mới rồi cùng các bạn trao đổi.
- Trớc khi áp dụng và sau khi áp dụng đề tài tôi khảo sát và kết quả thu
đợc nh sau về số học sinh đạt học sinh giỏi huyện nh sau :
Trớc khi áp dụng Sau khi áp dụng
2/6 33,4% 5/6 83,3%
IV. Bài học kinh nghiệm :
Trong hai năm áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy, tôi rút ra đ ợc
bài học nh sau :
Hớng dẫn học sinh giải bài tập là nhiệm vụ quan trọng, bởi vì học sinh đứng
trớc một bài toán mà không có sự giúp đỡ nào của thầy giáo thì không thể

tiến bộ đợc. Tuy nhiên sự giúp đỡ của thầy phải khoa học, không nhiều quá,
không ít quá, bao giờ cũng để lại một phần công việc hợp lý.
Sự hớng dẫn của giáo viên phải thông qua một hệ thống câu hỏi và các bớc
suy luận, các câu hỏi đã đợc áp dụng một cách tổng quát trong tất cả các
bài toán chẳng hạn nh : Em đã giải bài toán tơng tự nh vậy cha ? Liệu có
Trang 17
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
thể phát biểu bài toán dới dạng một cách khác đợc không ? Hãy khái quát
hoá bài toán này ? Em có thể giải bài toán này bằng cách khác đợc không ?
Những câu hỏi tính chất tổng quát nh vậy sẽ có tác dụng không những
giúp cho học sinh phát triển một kỹ sảo riêng biệt nào đó, mà còn có tác
dụng dẫn đến khả năng khác của các em.
Còn đối với ngời thầy trong quá trình hớng dẫn học sinh giải bài toán sẽ
giúp tự bản thân trau dồi thêm kiến thức đồng thời phát huy cao độ tính tích
cực của học sinh trong tiết học.
V. Phạm vi áp dụng đề tài :
Do đề tài sử dụng kiến thức về tập số nguyên và tam giác trong ch -
ơng trình Toán 7. Nên việc áp dụng chuyên đề chỉ ở đầu học kì I và
đầu đến giữa học kì II.
Nhận thấy nội dung đề tài cha sâu sắc, song thiết nghĩ với ý định
nh vậy sẽ giúp cho tất cả học sinh đặc biệt là học sinh có học lực
khá, giỏi phát huy tốt tính tích cực của bản thân, tự xây dựng
niềm ham mê học toán.
VI. Hạn chế của đề tài :
Tuy trong phấn phối chơng trình môn toán lớp 7 có nhiều tiết luyện
tập, song kiến thức học trên lớp cũng chỉ là kiến thức cơ bản, do vậy
học sinh khó có thể khai thác các kiến thức từ bài tập sách giáo khoa
một cách linh hoạt ngay đợc.
Và ngay cả đối với giáo viên đôi khi còn lúng túng trong việc phát
triển bài toán từ những bài toán cụ thể.

Trong đề tài này, lợng ví dụ còn hạn chế, cha thực sự hay và cha nêu
thành cụ thể các bớc làm, với mong muốn các đồng nghiệp trao đổi bổ
sung thêm để sáng kiến kinh nghiệm đợc hoàn chỉnh.
VII.Đề xuất và hớng nghiên cứu tiếp :
Trong thời gian tới tôi tiếp tục bổ sung cho sáng kiến kinh nghiệm
thêm phong phú hơn.
Trên cơ sở của đề tài, tôi sẽ mở rộng đối với học sinh lớp lớp 8.
C. Kết luận
Trang 18
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Là ngời giáo viên đã trực tiếp giảng dạy nhiều năm môn Toán
lớp 7 ở trờng THCS tôi thấy việc phát huy tích cực của học sinh qua
việc giải một bài tập là vô cùng cần thiết, muốn vậy ngời giáo viên
phải có sự chuẩn bị chu đáo cho mỗi tiết dạy, các bài tập đa ra cần đợc
chọn lọc để tìm đúng những bài cần thiết, bài dễ chuẩn bị cho bài khó,
bài trớc gợi ý cho bài sau . Cứ nh thế học sinh có thể tự mình giải
quyết đợc những vấn đề mới đặt ra.
ở mỗi bài toán, ngời thầy cần đặt ra những tình huống khác
nhau từ đó nắm bắt đợc những hớng suy nghĩ của học sinh và đa ra
những gợi ý đúng lúc, nh vậy sẽ có tác dụng rất lớn trong việc giúp
học sinh tự giải bài toán.
Trên đây là kết quả bớc đầu tôi đã thực hiện thông qua thực tiễn
giảng dạy môn toán ở khối 7 và đặc biệt bồi dỡng học sinh giỏi môn toán
lớp 7. Tôi xin mạnh dạn trao đổi với các đồng nghiệp đề tài này. Song do
kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, năng lực của bản thân cha đáp ứng
đợc yêu cầu, do đó đề tài không thể tránh khỏi sự nghèo nàn, phiến diện.
Tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô và bạn đọc đồng nghiệp
gần xa giúp cho đề tài phong phú hơn, góp ích cho việc từng bớc nâng
cao chất lợng dạy học.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Thái Thịnh, ngày 11 tháng 3 năm 2004
Ngời viết
Hoàng Thế Việt
Trang 19