SKKN phương trình vô tỉ

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Lời nói đầu
Đứng trớc yêu cầu của công cuộc đổi mới , giáo dục phải
luôn luôn đi trớc một bớc , vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói
chung và mỗi ngời thầy nói riêng phải gánh vác một trọng trách
hết sức nặng nề. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại xứng đáng với
vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới ( học
hỏi, nghiên cứu ) để đề ra những định hớng kịp thời.
Trong quá trình giáo dục thì việc dạy học trong các nhà tr -
ờng là chủ yếu, và trong mỗi nhà trờng thì bản thân mỗi giáo
viên phải luôn luôn phấn đấu nâng cao hiệu suất giờ lên lớp , có
làm đợc nh vậy thì mới nâng cao đợc chất lợng đào tạo, gây đợc
uy tín đối với học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh
và toàn xã hội.
Là một giáo viên dạy toán THCS, trong những năm qua tôi
đã đặt ra cho mình một nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra những
phơng pháp thích hợp cho giảng dạy , những vấn đề cụ thể phù
hợp với đối tợng thực tế. Một trong những chuyên đề mà tôi tâm
đắc nhất là " Phơng trình vô tỷ ".
Tôi đã tham khảo rất nhiều tài liệu viết về "Phơng trình vô
tỷ ", phần nào các tác giả đã đa ra những bài toán tơng đối đa
dạng, tuy nhiên còn tản mạn trong nhiều cuốn sách khác nhau.
Để giáo viên có tài liệu bồi dỡng chuyên đề cho học sinh khá,
giỏi - Tôi xin mạn phép các tác giả đợc lựa chọn ra một số bài
toán, phân giải, giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức và nắm
chắc chuyên đề trên.
Phơng trình vô tỷ mới đợc đa vào trong chơng trình toán
lớp 9 cải cách giáo dục và mới chỉ là các dạng rất đơn giản, vì
vậy việc dạy "Phơng trình vô tỷ "là kiến thức mới và rất khó đối
với giáo viên dạy toán cấp 2. Mặc dù số tiết học trong phân phối

chơng trình không có nhng trong đề thi thờng hay gặp dạng ph-
ơng trình vô tỷ.
"Phơng trình vô tỷ " là một vấn đề dạy giải bài tập có một
đặc thù riêng - Ta có thể đa về các phơng trình đã biết cách giải,
thông qua đó mà tìm nghiệm của phơng trình nói trên.

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Hệ thống bài tập về "Phơng trình vô tỷ " có thể làm tài liệu
tham khảo cho giáo viên và học sinh ( khá, giỏi ) dạy và học.
Rèn luyện cho học sinh năng lực từ những kiến thức quen biết ,
nhận dạng và đa những dạng bài tập cha biết cách giải về dạng
quen biết đã biết cách giải, có đợc hệ thống bài tập để ôn luyện
cho học sinh thi cuối cấp cũng nh thi vào PTTH.
Phần nội dung

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
1- Định nghĩa Ph

ơng trình vô tỷ

.
Phơng trình vô tỷ là phơng trình đại số trong đó ít nhất
một số hạng là biểu thức vô tỷ đối với ẩn số ( tức là ẩn số nằm
trong dấu căn ).
Trong chơng trình THCS, ta thờng gặp những phơng trình
vô tỷ mà chứa ẩn số trong các biểu thức dới dấu căn bậc hai.
2- Đ

ờng lối chung

.
- Tìm miền xác định của phơng trình .
- Khử căn đa về phơng trình đại số.
- Giải phơng trình đại số .
- Nhận định kết quả và trả lời.
3- Các ph

ơng pháp và ví dụ

.
a-Phơng pháp nâng lên luỹ thừa.
Dạng 1:


( )
xf

=
( )
xg
Sơ đồ cách giải :

( )
xf

( )
xg=

( )
0xg
Đ/k:
( )
0xf

( )
xf

=

( )
[ ]
xg
2


Ví dụ 1 : Giải phơng trình

1+x

1
=
x

( )
1
Điều kiện :

+
1
01
01
x
x
x


Với điều kiện trên, 2 vế không âm, bình phơng 2 vế của (1)
ta đợc phơng trình tơng đơng:

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
1
+
x

x=
2
12
+
x
x
2
- 3x = 0 x = 0 hoặc x = 3.

Đối chiếu với điều kiện trên ta thấy chỉ có x = 3 thoả mãn
Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 3
* Nhận xét:

Khi giải phơng trình dạng trên , học sinh th-
ờng hay mắc sai lầm là không đặt điều kiện cho g
( )
x

0

.
Chẳng hạn, ở ví dụ 1 nếu không đặt điều kiện
011

x
thì
khi giải phơng trình x
2
- 3x = 0 học sinh sẽ trả lời là ph ơng
trình có 2 nghiệm là: x
1
= 0 ; x
2
= 3, nhng thay x= 0 vào phơng
trình (1) thì vế phải bằng 1 ; vế trái bằng -1.
Sở dĩ có sai lầm trên vì học sinh cha nắm chắc tính chất
của luỹ thừa bậc hai :
Dạng 2:
( )

xf +

( )
xg+

( )
xh=
- Tìm điều kiện dể phơng trình có nghĩa :

( )
0xf
`
( )
0xg

( )
0xh
- Biến đổi 2 vế của phơng trình không âm ( với phơng trình
chứa căn bậc hai ) ta bình phơng 2 vế để đợc phơng trình tơng đ-
ơng. Sau đó đa phơng trình về dạng đã biết cách giải.
Ví dụ : Giải phơng trình :

3+x

25 = x
.
Chuyển vế :

3+x

+
21 x
5
=
Điều kiện :






=
2
02
03
x
x
x



Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Hai vế không âm, bình phơng hai vế ta đợc:

( )( )
23223 ++++ xxxx
25
=

62
2
+ xx

x224
=


6
2
+ xx

x
=
12

( )
12x
Bình phơng 2 vế ta có :
x
2
+ x - 6 = 144 - 24 x + x
2


15025
=
x
x = 6 ( thoả mãn )
Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 6.

Dạng 3:


( ) ( ) ( )
xhxgxf =+
Cách giải tơng tự nh dạng 2.
Ví dụ: Giải phơng trình :
xxx 1271 =+
Chuyển vế:
7121 +=+ xxx
Điều kiện:








+
127
07
012
01
x
x
x
x
Hai vế không âm. Bình phơng hai vế ta đợc:
( )( )

71227121 ++=+ xxxxx
484192
2
=+ xxx
Do
127

x
, 2 vế không âm. Bình phơng 2 vế ta đợc:
- 4x
2
+ 76x-336 = x
2
-8x + 16

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
5x
2
-84x + 352 =0
;
5
44
1
= x
x
2
=8 ( Thoả mãn )
Vậy phơng trình có 2 nghiệm
8;

5
44
21
== xx
Dạng 4:
( ) ( ) ( ) ( )
xkxhxgxf +=+
Cách giải tơng tự dạng 3.
Ví dụ : Giải phơng trình .
0941 =++++ xxxx
Chuyển vế :
419 +++=++ xxxx
Điều kiện :
0

x
Bình phơng 2 vế ta đợc:
45241929
22
++++++=++++ xxxxxxxx
452924
22
++=++ xxxx
4592
22
++=++ xxxx
Bình phơng 2 vế ta đợc:
459944
222
++=++++ xxxxxx

xxx =+ 9
2
(x 0 )
Bình phơng 2 vế ta đợc:
x
2
+9x =x
2
9x = 0

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
x=0 ( Thoả mãn ).
Vậy phơng trình có một nghiệm x=0.
Nhận xét

: Khi giải phơng trình vô tỷ ta cần chú ý đến việc
tìm miền xác định của phơng trình .
Sau khi biến đổi 2 vế của phơng trình không âm
( Với phơng trình chứa căn bậc 2 ) ta bình phơng 2 vế để đợc ph-
ơng trình tơng đơng .
Nếu bớc khử căn vừa rồicha khử hết đợc các căn thức bậc
hai chứa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế và đặt điều kiện để bình phơng
tiếp.
Thực hiện các phép biến đổi tơng đơng để đa phơng trình
về dạng phơng trình quen thuộc ( bậc nhất hoặc bậc hai ).
Giải phơng trình trung gian rồi nhận định kết quả và trả
lời về số nghiệm của phơng trình đầu.
Tuy nhiên với những phơng trình chỉ có ẩn số nằm trong
dấu căn bậc 2, tức là phơng trình có dạng:

( )
xfa

( )
cxgb =
( a,b,c là hệ số )
ngoài cách giải nêu trên ta còn có thể khử căn bằng cách nhân 2
vế của phơng trình với biểu thức liên hợp của vế trái .
Ví dụ : Giải phơng trình
211
2
=++++ xxxx
(1)
Ta thấy

0
4
3
2
1
1
2
2
+

=+ xxx
x
Vậy miền xác định :
Rx
Nhân hai vế của phơng trình với :

11
22
+++ xxxx
ta đợc phơng trình tơng đơng:

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ

( )
(
)
11211
2222
+++=+++ xxxxxxxx
11
22
+++= xxxxx
(2)
Cộng vế theo vế phơng trình (1) và (2) ta có phơng trình t-
ơng đơng :
xxx +=++ 212
2
( )
( )

=

=

+
+=++
0
2
03
02
214
2
2
2
x
x
x
x
xxx
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm kép x
1
=x

2
=0
b- Phơng pháp đặt ẩn phụ.
* Với những phơng trình vô tỷ có dạng đặc biệt.
( ) ( )
0=+ cxfbxaf
Dùngphép biến đổi sau:
Đặt
( )
0= txf

Ta đa phơng trình về dạng phơng trình bậc 2 :
0
2
=+ cbtat
Ví dụ : Giải phơng trình
3393232
22
=++++ xxxx

042932932
22
=+++++ xxxx
Đặt điều kiện :
`

++=++
2
9
2
3
2932
22
xxxx

0
16
63
4
3
2
2









+

+= x
x
Đặt :
0932
2
yxx =++
ta có
y
2
+y -42 =0

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Giải phơng trình đợc :
y
1
=6 ( thoả mãn)
Y
2
= -7 ( loại )
02732
369326932
2
22
=+
=++=++
xx

xxxx
Giải phơng trình đợc :
2
9
;3
21
== xx
Vậy phơng trình có nghiệm là :
2
9
;3
21
== xx
* Đối với phơng trình có dạng :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xgxhxfnxhxf =++
ta dùng phép biến đổi sau :
Đặt
( ) ( )
xhxft +=
Ví dụ giải phơng trình
( )( )
xxxxx
xxxxx
21321221
2132221
2
=++++
=+++
(1)

Đặt điều kiện :
2
13
2 x
Đặt :

( )( )
( )( )
12212
21221
021
2
2
+=+
++++=
=++
xtxx
xxxxt
txx
Phơng trình (1) có dạng :

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
t
2
+ t- 2x + 1 = 13 -2x t
2
+ t - 12 = 0
Giải phơng trình đợc :
t

1
= 3 ( thoả mãn )
t
2
= -4 ( loại )
.321 =++ xx
Hai vế không âm, bình phơng 2 vế ta đợc :
xxx
xxx
xxx
=
=
=+
52
21022
92212
2
2
2
(x 5 )
Bình phơng 2 vế ta đợc :
x
2
- x- 2 = 25 -10x + x
2
9x = 27
x =3 ( thoả mãn )
Vậy phơng trình có một nghiệm x =3.
Chú ý

: Khi giải phơng trình vô tỷ bằng phơng pháp đặt ẩn
dụ , ta cần hớng dẫn học sinh đặt điều kiện cho ẩn dụ. Số nghiệm
của phơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiêm phơng trình bậc hai
trung gian và điều kiện có nghĩa của phơng trình đầu .
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì ph ơng
trình đầu vô nghiệm.
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm nhng
nghiệm đó không thuộc miền xác định của phơng trình đầu thì
phơng trình đầu vô nghiệm.
+ Trái lại, nếu các nghiệm số tìm đợc của phơng trình bậc
hai trung gian làm cho các ẩn số của phơng trình đầu thuộc miền
xác định của nó thì phơng trình đã cho có nghiệm.
c -Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá
trị tuyệt đối.
Ví dụ : Giải phơng trình
( )
191611441 =+++ xxxx
(1)

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Điều kiện :
.1

x
( )
( ) ( )
13121
131211
22

=+
=+
xx
xx
Nếu
51 x

ta có phơng trình :
5
41
21
412
11312
=
=
=
=
=+
x
x
x
x
xx
không thuộc khoảng đang xét .
Nếu
105 x

ta có phơng trình :
0
11321

=
=+
ox
xx
Nghiệm của phơng trình là :
105 x

+ Nếu
10

x
ta có phơng trình :
31
612
13121
=
=
=+
x
x
xx
x-1 =9
x=10 ( thoả mãn ).
Vậy phơng trình có nghiệm :
105

x
d - Phơng pháp bất đẳng thức :
Dạng 1

: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó
phơng trình vô nghiệm.

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Ví dụ : Giải phơng trình :
23151 = xxx
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là
1

x
. Với điều kiện
này thì
xx 5
do đó
151 xx
vế trái của phơng trình là số
âm, còn vế phải không âm.
Vậy phơng trình vô nghiệm.
Dạng 2

: Sử dụng tính đối nghịch ở 2 vế :
Ví dụ : Giải phơng trình :

2
2414105763 xxxxxx =+++++
Ta có vế trái
( ) ( )
594915413
22

=++++++= xx
Vế phải

( )
( )
515125
2
2
+=++= xxx
.
Vậy phơng trình có nghiệm khi 2 vế đều bằng 5.
Lúc đó x+1 =0 x=-1
Thử lại : VT =
514105763 =+++
VP = 4+2-1=5
Vậy phơng trình có 1 nghiệm x =-1
Dạng 3

: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số .
Ví dụ : Giải phơng trình
312
3
=++ xx
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình .
+ Với
3x
thì
.3
12
3

VT
x


;
21 +x
+ Với
3x
thì
12
3
x
;
21 +x

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
3VT

Vậy x=3 là nghiệm của phơng trình .
Dạng 4

. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu (=) ở bất đẳng thức
không chặt.
Ví dụ : Giải phơng trình

2
14

14
=

+

x
x
x
x
(1)
Điều kiện :
4
1
x
Ta có bất đẳng thức
2+
a
b
b
a
(a,b > 0)
Dấu (=) xảy ra a=b
Do đó
(1)
01414
2
=+= xxxx

4
1
x
Giải phơng trình đợc :
32 =x
( thoả mãn )
e- Phơng pháp đa về hệ phơng trình .
Ví dụ: Giải phơng trình :
222
2
+= xxx
Điều kiện :
2

x
Đặt
12 = yx
( y 1 )
x-2 = y
2
- 2y + 1
Thay
12 = yx
vào phơng trình đã cho ta đợc:
y - 1 = x
2

-2x + 2
Kết hợp và ta có hệ:

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
y
2
-2y - x + 3 = 0
x
2
- 2x -y +3 = 0
Trừ hai vế của hệ ta đợc:
y
2
- x
2
- y + x = 0
( y - x )( y + x - 1 ) = 0
y = x
x + y = 1
-Nếu x=y Thay vào ta có x
2
- 3x + 3 = 0 vô nghiệm
-Nếu x + y = 1 y = 1 - x thay vào ta đợc:
x
2
- x + 2 = 0 vô nghiệm
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
Một số bài tập tham khảo
Giải các phơng trình sau:

1,
131 =+ xx

2,
22 = xx
3,
134
2
=+ xxx
4,
231 =+ xx
5,
271
33
=+ xx
6,
23151 = xxx
7,
52101 +++=+++ xxxx
8,
212 =++ xx

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
9,
1112 = xxx
10,
21212 =++ xxxx
11,
13962510

22
=++++ xxxxx
12,
732813232222 =++++ xxxx
13,
765
22
=+ xx
14,
xxxxxx 654524428183
222
+=+++
15,
271064
2
+=+ xxxx
16,
749
2
=+ xxx
17,
2
1
2
1
2
=+

x
x

Hớng dẫn giải
1- Chuyển vế đợc
xx = 131
Điều kiện :





13
1
x
x
Bình phơng 2 vếta đợc :
x-1= 169 - 26x + x
2
x
2
-27x +170 =0
Giải phơng trình đợc
x
1
=17 ( loại )
x
2
= 10 ( thoả mãn )
2- Điều kiện :
2

x

.

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Bình phơng 2 vế ta đợc
x - 2 = x
2
- 4x + 4
x
2
+ 5x + 6 = 0
Giải phơng trình đợc
x
1
= 2 ; x
2
= 3
3 - điều kiện




+

034
1
2
xx
x
*

Bình phơng 2 vế ta đợc :
x
2
- 4x + 3 = x
2
-2x + 1
2x = 2 x = 1 (thoả mãn )
4 - Chuyển vế ta đợc :
321 =++ xx
Điều kiện :
2

x
.
Bình phơng 2 vế ta đợc :
( )( )
921221 =+=++ xxxx
Biến đổi đợc về phơng trình :
xxx = 52
2
( x<5)
Bình phơng 2 vế tiếp ta đợc :
x
2
- x - 2 = 25 - 10x + x
2
9x = 27
x = 3 ( thoả mãn )
5- Lập phơng 2 vế ta đợc :
x + 1 + 7 - x + 3

( )( )
8271
3
=+ xx

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ

( )( ) ( )( )
071071
3
=+=+ xxxx
Giải phơng trình ta đợc:
x
1
= 1 ; x
2
= 7
6 - Chuyển vế đa về phơng trình :
15231 += xxx
Điều kiện
10

x
*
Bình phơng 2 vế ta đợc :
( )( )
1523215231 ++= xxxxx

xxx 72213152

2
=+








7
2
x
(**)
Đối chiếu với điều kiện (*) và (**)thì không có giá trị nào
của x thoả mãn
Vậy phơng trình vô nghiệm.
7 - Điều kiện
7

x
(*)
Bình phơng 2 vế và biến đổi ta đợc phơng trình .
11011
2
=++ xxx
Điều kiện

01

x

1

x
(**)
Kết hợp điều kiện (*) và (**)thì x = 1 là nghiệm của ph ơng
trình .
8 - Điều kiện :
0

x
Biến đổi phơng trình về dạng phơng trình chứa ẩn trong
dấu giá trị tuyệt đối .
Đáp số : x = 1
9 - Biến đổi phơng trình về dạng :
1111 = xx

Điều kiện
1

x

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
VP = VT
011 x

11 x

2

x
10 - Điều kiện :
1

x
. Đa phơng trình chứa ẩn trong dấu giá
trị tuyệt đối :
21111 =++ xx
(1)
Nếu
21

x
ta có (1)
21111 =++ xx
Phơng trình có nghiệm

21

x
Nếu
2

x
thì (1)
212 =x
x = 2
Vậy phơng trình có nghiệm :

21

x
11 - Điều kiện :
3
1
x
rồi đa phơng trình chứa ẩn trong dấu
giá trị tuyệt đối .
Đáp số x= 3
12 - Điều kiện
2
3

x
, đua về phơng trình chứa ẩn trong dấu
giá trị tuyệt đối .
Đáp số x = 2
13 - Điều kiện
6x
Phơng trình đã cho có thể viết dới dạng
x
2
- 6 +
6x
- 6 = 0
Đặt
06
2
= tx

ta đợoc phơng trình t
2
+ t - 6 = 0
Giải phơng trình trung gian đợc
t
1
= 2 ( thoả mãn )
t
2
= - 3 < 0 ( loại )
26
2
=
x
x
2
-6 = 4 x
2
= 10 x =
10
14 - Đa phơng trình về dạng :
( ) ( ) ( )
222
34934133 =+++ xxx
(1)
Ta thấy VT 1+3 =4

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
VP 4

(1) có nghiệm 2 vế đều bằng 4. x- 3 = 0 x = 3
15 - Điều kiện : 4 x .
Xét
( )
( )
422512264
2
2
=++=+ xxx

264 + xx
x
2
- 10x + 27 = ( x-5)
2
+ 2 2
Phơng trình có nghiệm cả 2 vế đều bằng
2 x-5 x=5 ( thoả mãn)
16 - Đặt

29
=+
yx
( y 2) phơng trình đã cho có dạng
y - 2 = x
2
- 4x -7 (1)
x + 9 = y
2
- 4y + 4 (2)

Kết hợp (1) và(2) ta có hệ y
2
- x - 4y - 5 = 0 (1)
x
2
- 4x - y - 5 = 0 (2)
Trừ 2 vế ta đợc :
( x - y ) ( x + y - 3 ) = 0



==+
=
xyyx
yx
33
+ Nếu x = y thay vào (2) ta đợc x
2
- 5x - 5 = 0
giải phơng trình đợc x
1,2
=
2
535
+ Nếu y = 3 - x thay vào (2)ta đợc x
2
- 3x - 8 = 0
giải phơng trình đợc x
3,4
=

2
413
17 - Đặt :
02
2
yx =
x
2
+ y
2
= 2
Ta có hệ

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ






=+
=+
2
2
11
22
yx
xy
⇔

( )



=−+
=+
22
2
2
xyyx
xyyx
§Æt
v = x+ y ; v = 2xy ⇒



=−
=
2
2
vv
vv