SKKN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Th viện SKKN của Quang Hiệu /> Lời nói đầu
Đứng trớc yêu cầu của công cuộc đổi mới , giáo dục phải
luôn luôn đi trớc một bớc , vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói
chung và mỗi ngời thầy nói riêng phải gánh vác một trọng trách
hết sức nặng nề. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại xứng đáng với
vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới ( học
hỏi, nghiên cứu ) để đề ra những định hớng kịp thời.
Trong quá trình giáo dục thì việc dạy học trong các nhà tr -
ờng là chủ yếu, và trong mỗi nhà trờng thì bản thân mỗi giáo viên
phải luôn luôn phấn đấu nâng cao hiệu suất giờ lên lớp , có làm đ -
ợc nh vậy thì mới nâng cao đợc chất lợng đào tạo, gây đợc uy tín
đối với học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh và toàn
xã hội.
Là một giáo viên dạy toán THCS, trong những năm qua tôi
đã đặt ra cho mình một nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra những
phơng pháp thích hợp cho giảng dạy , những vấn đề cụ thể phù hợp
với đối tợng thực tế. Một trong những chuyên đề mà tôi tâm đắc
nhất là " Phơng trình vô tỷ ".
Tôi đã tham khảo rất nhiều tài liệu viết về "Phơng trình vô
tỷ ", phần nào các tác giả đã đa ra những bài toán tơng đối đa
dạng, tuy nhiên còn tản mạn trong nhiều cuốn sách khác nhau. Để
giáo viên có tài liệu bồi dỡng chuyên đề cho học sinh khá, giỏi -
Tôi xin mạn phép các tác giả đợc lựa chọn ra một số bài toán,
phân giải, giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức và nắm chắc
chuyên đề trên.
Phơng trình vô tỷ mới đợc đa vào trong chơng trình toán lớp
9 cải cách giáo dục và mới chỉ là các dạng rất đơn giản, vì vậy
việc dạy "Phơng trình vô tỷ "là kiến thức mới và rất khó đối với
giáo viên dạy toán cấp 2. Mặc dù số tiết học trong phân phối ch -

ơng trình không có nhng trong đề thi thờng hay gặp dạng phơng
trình vô tỷ.

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
"Phơng trình vô tỷ " là một vấn đề dạy giải bài tập có một
đặc thù riêng - Ta có thể đa về các phơng trình đã biết cách giải,
thông qua đó mà tìm nghiệm của phơng trình nói trên.
Hệ thống bài tập về "Phơng trình vô tỷ " có thể làm tài liệu
tham khảo cho giáo viên và học sinh ( khá, giỏi ) dạy và học. Rèn
luyện cho học sinh năng lực từ những kiến thức quen biết , nhận
dạng và đa những dạng bài tập cha biết cách giải về dạng quen
biết đã biết cách giải, có đợc hệ thống bài tập để ôn luyện cho học
sinh thi cuối cấp cũng nh thi vào PTTH.

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Phần nội dung
1- Định nghĩa Ph ơng trình vô tỷ .
Phơng trình vô tỷ là phơng trình đại số trong đó ít nhất một
số hạng là biểu thức vô tỷ đối với ẩn số ( tức là ẩn số nằm trong
dấu căn ).
Trong chơng trình THCS, ta thờng gặp những phơng trình vô
tỷ mà chứa ẩn số trong các biểu thức dới dấu căn bậc hai.
2- Đ ờng lối chung .
- Tìm miền xác định của phơng trình .
- Khử căn đa về phơng trình đại số.
- Giải phơng trình đại số .
- Nhận định kết quả và trả lời.
3- Các ph ơng pháp và ví dụ .

a-Phơng pháp nâng lên luỹ thừa.
Dạng 1:
( )
xf

=
( )
xg
Sơ đồ cách giải :

( )
xf

( )
xg
=

( )
0

xg
Đ/k:
( )
0

xf

( )
xf

=

( )
[ ]
xg
2


Ví dụ 1 : Giải phơng trình

1
+
x

1
=
x

( )
1
Điều kiện :






+
1
01

01
x
x
x


Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ

Với điều kiện trên, 2 vế không âm, bình phơng 2 vế của (1)
ta đợc phơng trình tơng đơng:
1
+
x

x
=
2
12
+
x
x
2
- 3x = 0 x = 0 hoặc x = 3.
Đối chiếu với điều kiện trên ta thấy chỉ có x = 3 thoả mãn
Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 3
* Nhận xét: Khi giải phơng trình dạng trên , học sinh thờng
hay mắc sai lầm là không đặt điều kiện cho g
( )
x

0

.
Chẳng hạn, ở ví dụ 1 nếu không đặt điều kiện
011

x
thì
khi giải phơng trình x
2
- 3x = 0 học sinh sẽ trả lời là phơng
trình có 2 nghiệm là: x
1
= 0 ; x
2
= 3, nhng thay x= 0 vào phơng
trình (1) thì vế phải bằng 1 ; vế trái bằng -1.
Sở dĩ có sai lầm trên vì học sinh cha nắm chắc tính chất của
luỹ thừa bậc hai :
Dạng 2:
( )
xf
+

( )
xg
+

( )

xh
=
- Tìm điều kiện dể phơng trình có nghĩa :

( )
0

xf
`
( )
0

xg

( )
0

xh
- Biến đổi 2 vế của phơng trình không âm ( với phơng trình
chứa căn bậc hai ) ta bình phơng 2 vế để đợc phơng trình tơng đ-
ơng. Sau đó đa phơng trình về dạng đã biết cách giải.
Ví dụ : Giải phơng trình :

3
+
x

25
=
x

.
Chuyển vế :

3
+
x

+
21

x
5
=
Điều kiện :

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ






=
2
02
03
x
x
x

Hai vế không âm, bình phơng hai vế ta đợc:

( )( )
23223
++++
xxxx
25
=

62
2
+
xx

x224
=


6
2
+
xx

x
=
12

( )

12

x
Bình phơng 2 vế ta có :
x
2
+ x - 6 = 144 - 24 x + x
2


15025
=
x
x = 6 ( thoả mãn )
Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 6.
Dạng 3:
( ) ( ) ( )
xhxgxf
=+
Cách giải tơng tự nh dạng 2.
Ví dụ: Giải phơng trình :
xxx 1271
=+
Chuyển vế:
7121
+=+
xxx
Điều kiện:

+
127
07
012
01
x
x
x
x
Hai vế không âm. Bình phơng hai vế ta đợc:
( )( )
71227121
++=+
xxxxx
484192
2
=+
xxx

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Do
127

x
, 2 vế không âm. Bình phơng 2 vế ta đợc:
- 4x
2
+ 76x-336 = x
2
-8x + 16
5x
2
-84x + 352 =0
;
5
44
1
=
x
x
2
=8 ( Thoả mãn )
Vậy phơng trình có 2 nghiệm
8;
5
44
21
==
xx
Dạng 4:
( ) ( ) ( ) ( )
xkxhxgxf
+=+

Cách giải tơng tự dạng 3.
Ví dụ : Giải phơng trình .
0941
=++++
xxxx
Chuyển vế :
419
+++=++
xxxx
Điều kiện :
0

x
Bình phơng 2 vế ta đợc:
45241929
22
++++++=++++
xxxxxxxx
452924
22
++=++
xxxx
4592
22
++=++
xxxx
Bình phơng 2 vế ta đợc:
459944
222
++=++++

xxxxxx
xxx
=+
9
2
(x 0 )
Bình phơng 2 vế ta đợc:

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
x
2
+9x =x
2
9x = 0
x=0 ( Thoả mãn ).
Vậy phơng trình có một nghiệm x=0.
Nhận xét : Khi giải phơng trình vô tỷ ta cần chú ý đến việc
tìm miền xác định của phơng trình .
Sau khi biến đổi 2 vế của phơng trình không âm
( Với phơng trình chứa căn bậc 2 ) ta bình phơng 2 vế để đợc ph-
ơng trình tơng đơng .
Nếu bớc khử căn vừa rồicha khử hết đợc các căn thức bậc
hai chứa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế và đặt điều kiện để bình ph ơng
tiếp.
Thực hiện các phép biến đổi tơng đơng để đa phơng trình về
dạng phơng trình quen thuộc ( bậc nhất hoặc bậc hai ).
Giải phơng trình trung gian rồi nhận định kết quả và trả lời
về số nghiệm của phơng trình đầu.
Tuy nhiên với những phơng trình chỉ có ẩn số nằm trong dấu

căn bậc 2, tức là phơng trình có dạng:
( )
xfa

( )
cxgb
=
( a,b,c là hệ số )
ngoài cách giải nêu trên ta còn có thể khử căn bằng cách nhân 2
vế của phơng trình với biểu thức liên hợp của vế trái .
Ví dụ : Giải phơng trình
211
2
=++++
xxxx
(1)
Ta thấy

0
4
3
2
1
1
2
2

+

=+
xxx
x
Vậy miền xác định :
Rx

Nhân hai vế của phơng trình với :

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ

11
22
+++
xxxx
ta đợc phơng trình tơng đơng:

( )
(
)
11211
2222
+++=+++
xxxxxxxx
11
22

+++=
xxxxx
(2)
Cộng vế theo vế phơng trình (1) và (2) ta có phơng trình t-
ơng đơng :
xxx
+=++
212
2
( )
( )








=

=

+
+=++

0
2
03
02

214
2
2
2
x
x
x
x
xxx
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm kép x
1
=x
2
=0
b- Phơng pháp đặt ẩn phụ.
* Với những phơng trình vô tỷ có dạng đặc biệt.
( ) ( )
0
=+
cxfbxaf
Dùngphép biến đổi sau:
Đặt
( )
0
=
txf

Ta đa phơng trình về dạng phơng trình bậc 2 :
0
2

=+
cbtat
Ví dụ : Giải phơng trình
3393232
22
=++++
xxxx

042932932
22
=+++++
xxxx
Đặt điều kiện :
`






++=++
2
9
2
3
2932
22
xxxx

0

16
63
4
3
2
2









+






+=
x
x
Đặt :
0932
2
yxx
=++

ta có