de thi dap an Toan 9 - 17

TRNG THCS VINH THANH
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
4 4
2 14 28 16
x x x x
A
x x x x
+
=
+
1. Tìm
x
để
A
có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức
A
.
2. Tìm các giá trị nguyên của
x
để biểu thức
A
nhận giá trị nguyên.
Gii :
1. Để A có nghĩa, trớc hết
0x

. Đặt
( )
0t x x=
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
3 2
3 2
3 2 2
1 4
1 1 4
4 4
2 14 28 16 2 1 2 4
2 2 12 28 16
t t
t t t
t t t
A
t t t t t t
t t t t

+
+
= = =
+
+
Để biểu thức A có nghĩa thì:

0, 1, 2, 4 0, 1, 4, 16t t t t x x x x
(*)
Khi đó, rút gọn ta đợc:
( )
( )
1 1
2 2
2 2
t x
A
t
x
+ +
= =


2.
( )
( )
( ) ( )
2 3
1 1 3
2 2 2 2 2 2 2
t
t
A
t t t
+
+
= = = +

Để A là số nguyên thì x nguyên và
2t

phải bằng
1
hoặc
3

.
- Nếu
2 1 1t t = =
( loại vì trái điều kiện (*)).
- Nếu
2 3 1 0t t
= = <
(loại)
- Nếu
2 1 3 9t t x = = =
và
2A =
- Nếu
2 3 5 25t t x
= = =
và
1A =
Vậy: Để A nhận các giá trị nguyên thì
9x =
và
25x =

.
Bài 2: (4,0 điểm)
Cho phơng trình
2 2
2 6 0x mx m m + =
(
m
là tham số).
1. Với giá trị nào của
m
thì phơng trình đã cho có hai nghiệm
1
x
và
2
x
sao cho
1 2
2 1
18
7
x x
x x
+ =
.
2. Với giá trị nào của
m
thì phơng trình đã cho có hai nghiệm
1
x

và
2
x
sao cho
1 2
8x x+ =
Gii :
1. Để phơng trình
2 2
2 6 0x mx m m + =
có hai nghiệm thì:
( )
2 2
' 6 6 0 6m m m m m = = +
(1)
Với điều kiện (1),
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 1 1 2 1 2
2
18 18 18
7 7 7
x x x x
x x x x
x x x x x x
+
+

+ = = =
và
1 2
0x x
( )
( )
2 2
2
2 2
4 2 6
18 6 9
2; 3
6 7 6 7
m m m
m m
m m
m m m m

+ +
= =

GV: KIM THCH ST
1
TRNG THCS VINH THANH
2
1 2
8 48 0 4; 12m m m m = = =
(thỏa điều kiện
(1) và đều khác -2 và khác 3)
2. Với điều kiện (1),

( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
8 2 64 2 2 64x x x x x x x x x x x x+ = + + = + + =
(2)
+ Nếu
1
x
và
2
x
cùng dấu thì
( ) ( )
1 2
2
6
0
6 2 3 0
m
x x
m m m m




= +

6 2m
hoặc

3m
(3)
Khi đó (2)
( )
2
2
1 2
64 4 64 4x x m m + = = =
(thỏa điều kiện (3)).
+ Nếu
1
x
và
2
x
trái dấu thì
( ) ( )
2
1 2
0 6 2 3 0 2 3x x m m m m m< = + < < <
(4)
Khi đó (2)
( )
( )
2
2 2
1 2 1 2
4 64 4 4 6 64x x x x m m m + = =
6 16 10m m
+ = =

(không thỏa điều kiện (4).
+ Vậy, để
1 2
8x x+ =
thì
4m
=
Bài 3: (3,0 điểm)
1. Cho bốn số thực bất kì
, , ,a b c d
. Chứng minh:
( ) ( )
2 2 2 2
ab cd a c b d+ + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
2. Với giá trị nào của góc nhọn

thì biểu thức
3sin 3 cosP

= +
có giá trị lớn
nhất ? Cho biết giá trị lớn nhất đó.
Gii :
1. Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2

0 ab cd a c b d ab cd a c b d + + + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a b c d abcd a b a d b c c d + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 0 0ad bc ad bc ad bc +
: đúng với 4 số thực a, b, c, d bất kì.
Vậy:
( ) ( )
2 2 2 2
0 , , , ,ab cd a c b d a b c d + + + R
Dấu đẳng thức xảy ra khi
0ad bc
=
hay
( )
0, 0
c d
a b
a b
=
2. áp dụng kết quả trên, ta có:
3sin 3 cos 0P

= + >
nên
(
)
( )

2
2 2 2
3sin 3 cos 3 3 sin cos 2 3P

= + + + =
max
2 3P =
khi
0
sin 3
3cos 3 sin 0 3 60
cos
3
tg



= = = =
Bài 4: (6,0 điểm)
1. Cho đờng tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển trên
cung lớn BC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Gọi M là trung
điểm của CD. Hỏi M di chuyển trên đờng nào ? Nêu cách dựng đờng này và giới
hạn của nó.
2. Trong hình bên, cho biết M là trung điểm của AC và các đờng thẳng AD, BM và
CE đồng qui tại K. Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20. Tính diện
tích tam giác ABC.
GV: KIM THCH ST
2
TRNG THCS VINH THANH
Gii :

1. + Ta có: Tam giác ACD cân tại A (gt)
nên
ã
ã
2BAC ADC=
(Góc BAC là góc ngoài của
tam giác ACD)
+ Gọi I là trung điểm của BC, ta có MI //BD (đờng
trung bình của tam giác BCD), nên:
ã
ã
ã
ã
1 1
2 4 4
IMC BDC BAC BOC

= = = =
(
ã
BOC

=
không đổi).
+Do đó: M chạy trên cung tròn nhìn đoạn IC dới
góc
4

không đổi.
+ Dựng tia OI cắt đờng tròn (O) tại N, ta có:

ã
ã
ã
ã
1
2
NBC BAC BDC IMC= = =
.
+ Dựng tia
'//In BN
, dựng đờng thẳng qua I và
vuông góc với
'In
cắt trung trực đoạn IC tại O
1
.
Đờng tròn tâm O
1
và đi qua C là đờng cần dựng.
+ Khi A chạy trên cung lớn BC tới trùng với
A thì D trùng với
0
D
trên tiếp tuyến Bt của
(O) và BD
0
= BC , khi đó M trùng với M
0
là
trung điểm của CD

0
.
+ Vậy M chỉ di chuyển trên cung lớn CM
0
của đ-
ờng tròn (O
1
).
2. + Gọi
h
là khoảng cách từ K đến AB, ta có:

/ 2 1
/ 2 2
AKE
BKE
S AE h AE AE
S BE h BE BE


ì
= = =
ì
.
+ Suy ra:
1
2
2
ACE
BCE ACE

BCE
S
S S
S



= =
(1)
+ Tơng tự:
1
AKM
AKM CKM
CKM
S MA
S S
S MB



= = =
Đặt
AKM CKM
x S S

= =
,

ta có:

20 10 30
ABM CBM BCK BCK
S S x x S S= + + = + =
(1)
( )
15
20 2 10 2 10 2 25
2
BCK
S x x x + = + + = =
Do đó:
10 20 30 2 75
ABC AKB BCK AKC
S S S S x

= + + = + + + =
Bài 5: (3,0 điểm)
1. Tìm số tự nhiên
n
để
18n
+
và
41n

là hai số chính phơng.
2. Tớnh s cỏc ụ nh nht phi quột sn trờn mt bng cho bt kỡ vựng
no ú trờn bng ny cng cha ớt nht 4 ụ ó quột sn.
GV: KIM THCH ST
3

TRNG THCS VINH THANH
Gii :
1. Để
18n +
và
41n
là hai số chính phơng
2
18n p + =
và
( )
2
41 ,n q p q = N
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
18 41 59 59p q n n p q p q = + = + =
Nhng 59 là số nguyên tố, nên:
1 30
59 29
p q p
p q q
= =



+ = =

Từ
2 2
18 30 900n p+ = = =

suy ra
882n =
Thay vào
41n
, ta đợc
2 2
882 41 841 29 q = = =
.
Vậy với
882n
=
thì
18n
+
và
41n

là hai số chính phơng
2.+ Dọc theo chiều ngang sát sát cạnh trên của bảng có 3 vùng ở 3 vị trí
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
, ,A B C D A B C D A B C D
. Dịch chuyển xuống theo chiều dọc một ô, ta có thêm
3 vùng . Dịch chuyển xuống theo chiều dọc một ô nữa, ta có thêm 3 vùng .
Do đó có 9 vùng con của bảng , mỗi vùng con đều chứa 5 ô vuông con
1 1ì
thuộc hình chữ thập đã tô màu.
+ Nếu chỉ quét sơn nh hình vẽ bên thì mỗi vùng con đều
chứa 4 hoặc 5 ô
1 1ì
đợc quét sơn.

Vậy: Để mỗi vùng con của bảng chứa ít nhất 4 ô
1 1ì
đợc quét sơn, thì chỉ cần
quét số ô nhỏ nhất là 7 ô nh hình vẽ bên.
GV: KIM THCH ST
4