So Vo Ti SKKN.doc

Th viện SKKN của Quang Hiệu :
đề tài:
phơng trình vô tỉ - cách giải phơng trình
vô tỉ trong trờng thcs
phần thứ nhất
những vấn đề chung
i - đặt vấn đề:
- Nh các bạn đã biết toán học là một môn khoa học nói chung, nhng lại
giữ một vai trò rất chủ đạo trong các nhà trờng cũng nh đối với các ngành
khoa học khác.
- Hiện nay đây t sâu cho bộ môn toán là mục tiêu của nhiều ngành giáo
dục của các nớc trên thế giới cũng nh ngành giáo dục của Việt Nam ta.
- Toán học nh một kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá mà
nếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mê say và ham muốn khám
phá và hiểu biết ngày càng nhiều hơn ở bộ môn này.
- Các bậc phụ huynh cũng nh các thầy cô giáo, các thế hệ học sinh luôn
mơ ớc học giỏi bộ môn này, tuy nhiên điều đó thật chẳng dế dàng gì.
- Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say
mê bộ môn toán, bản thân mỗi ngời giáo viên phải tự mình tìm ra những ph-
ơng pháp giải sao cho phù hợp với từng đối tợng học sinh và kích thích lòng
ham muốn học toán của các em, từ đó tìm ra đợc những học sinh có năng
khiếu về bộ môn này, để bồi dỡng các em trở thành những học sinh giỏi có ích
cho xã hội.
- Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối cấp hai là việc nắm
đợc các phơng trình sơ cấp đơn giản và cách giả những phơng trình đó đối với
những đối tợng là học sinh đại trà. Ngoài ra mở rộng các phơng trình đó khó
hơn, phức tạp hơn đối với đối tợng học sinh khá giỏi.
- Với rất nhêìu những chuyên đề đợc đề cập đến khi dạy đại số cấp hai và
phơng trình đại số, tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu về phơng trình vô tỉ
các dạng của nó và các phơng pháp giải nó cho đối tợng là những học sinh có
nhu cầu ham muốn đợc khám phá loại phơng trình này một cách sau hơn đối

với đại trà các em học sinh chỉ giải các phơng trình vô tỉ đơn giản trong sách
giáo khoa toán 9.
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
- Sau đây tôi xin mạo muội trình bày những suy nghĩ cũng nh những gì
mà tôi tìm hiểu, tham khảo đợc về phơng trình vô tỉ mong các bạn cùng thầy
cô đóng góp ý kiến cho tôi.
ii - nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu về khái niệm của phơng trình một ẩn, khái quát và giải ph-
ơng trình đó.
- Kỹ năng giải các phơng trình: Phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng
trình bậc nhất một ẩn, phơng trình chứa hệ số ba chữ, phơng trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình tích, thơng, phơng trình bậc cao
- Kỹ năng giải các phơng trình bậc cao đa về phơng trình bậc 1, bậc 2,
phơng trình vô tỉ
- Làm các bài tập minh hoạ.
- Một số phơng pháp và dạng bài tập thờng gặp.
iii - Đối tợng học sinh nghiên cứu:
- Học sinh lớp 9 trờng THCS.
- Học sinh thi học sinh giỏi của trờng và của huyện.
iv - phơng pháp nghiên cứu:
- Tìm đọc các tài liệu tham khảo: Sách giáo dục đại số 8; Sách giáo khoa
đại số 9; Sách bồi dỡng học sinh lớp 8 + lớp 9; Toán phát triển đại số 9; Toán
nâng cao; Toán chuyên đề đại số lớp 9; Các đề thi học sinh giỏi của cá trờng,
các thành phố
- Dạy và trắc nghiệm trên ba đối tợng học sinh: Khá giỏi - trung bình -
yếu kém.
- Đa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện.
- Tham khảo các trờng bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy đại học.
- Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh.
Th viện SKKN của Quang Hiệu :

v - Phạm vi nghiên cứu và thời gian nghiên cứu:
- Giới thiệu nghiên cứu phơng trình vô tỉ trong chơng trình đại số lớp 9
(Trờng THCS).
- Làm trắc nghiệm trong 3 tháng học kỳ I.
- Kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học.
vi - điều tra cơ bản:
* Tổng số học sinh khối 9: - 160 học sinh/4 lớp 9 - Đại trà.
- 8 học sinh đội tuyển toán giỏi trờng.
* Phân loại: - Khá giỏi: 20 học sinh.
- Trung bình: 100 học sinh.
- Yếu - Kém: 40 học sinh.
* Chuẩn bị sách giáo khoa và các bài tập 160/160 học sinh có đủ.
phần thứ hai
nội dung đề tại nghiên cứu
a - lý do chọn đề tài
i - cơ sở lý luận:
Khi giảng dạy bộ môn đại số lớp 9, chúng ta đã bắt gặp những bài tập
giải phơng trình vô tỉ, mặc dù sách giáo khoa đại số 9 chỉ đề cập đến những
bài tập tơng đói đơn giản song không phải mọi học sinh đều dễ giàng giải
quyết đợc hết các bài tập này một cách nhuần nhuyễn và thành thạo. Thực tế
cho thấy khi bắt gặp loại phơng trình vô tỉ ta thấy chúng rất phong phú, đa
dạng và thực là một thể loại bài khó đối với đại đa số học sinh cấp 2.
Điều mong muốn của mọi giáo viên dạy toán là làm thế nào đó theo
từng dạng của phơng trình để các em phần nào bớt bớt đi sự bế tắc khi
giải toán phơng trình vô tỉ. Nếu nh ngời giáo viên có sự dẫn dắt học sinh
cẩn thận, tỉ mỉ từ việc nắm đợc các dạng của loại phơng trình này đến
cách thức giải từng loại thì chắc rằng các em sẽ dễ dàng hơn khi gặp toán
phơng trình và cũng bồi đắp thêm cho các em niềm say mê, hứng thú
trong học môn toán.
Th viện SKKN của Quang Hiệu :

Tuy nhiên, không phải bất cứ dạng phơng tình nào cũng có một nguyên
tăc giải cụ thể đợc. Đối với loại phơng trình đó ít nhất ngời giáo viên cũng cần
mở ra cho học sinh kỹ năng nhận biết và phán đoán, khả năng áp dụng đối với
những bài toán tơng tự mà học sinh đã đợc làm. Nếu nh chúng ta - giáo viên
dạy toán THCS đều làm đợc nh vậy thì chắc rằng giải phơng trình vô tỉ không
còn làm một lỗi lo của các em học sinh lớp 9.
Với suy nghĩ đó tôi đã mạnh dạn đa ra các phơng pháp giải phơng trình
vô tỉ nhằm giúp các em nâng cao kỹ năng và kiến thức giải phơng trình. Từ đó
học sinh chỉ cần xem phơng trình mình đã làm ở dạng phơng trình nào, xem
phơng pháp giải từng loại là có thể giải đợc phơng trình đó một cách dễ dàng.
ii - cơ sở thực tiễn:
Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9 cụ thể là môn đại số khi dạy
toán giải phơng trình vô tỉ tôi thấy rằng đại đa số học sinh đều thấy khó,
không hiểu đợc phơng hớng giải quyết của từng bài. Chính vì vậy mà tôi đã
mạnh dạn phân dạng phơng trình vô tỉ và cũng hớng cho các em phơng pháp
tổng quát để giải phơng trình từng dạng phơng trình mà tôi đã phân chia, với
mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc hơn, dới nhiều góc độ hơn về phơng
trình vô tỉ, hơn nữa còn làm nhẹ nhàng quá trình giải phơng trình vô tỉ cho học
sinh. Theo tôi, khi giảng dạy ngời giáo viên phải cung cấp ngay từ đầu cho
học sinh, giúp các em nắm đợc những vấn đề sau đây:
1 - Khái niệm về phơng trình, nghiệm của phơng trình, tập xác định
của phơng trình:
+ Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai phơng trình tơng đơng.
+ Cách giải các loại phơng trình cơ bản nh: Phơng trình bậc nhất một ẩn,
phơng trình tích, phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình chứa ẩn ở
mẫu; phơng trình bậc hai một ẩn số
+ Tính chất cảu bất đẳng thức số.
2 - Học sinh nắm chắc:
+ Định nghĩa phơng trình vô tỉ.
+ Các bài giải phơng trình vô tỉ nói chung.

+ Các kiến thức cơ bản về căn thức.
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
+ Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ.
+ Các dạng phơng trình vô tỉ, các giải từng dạng.
+ Những sai lầm thờng gặp khi giải phơng trình vô tỉ.
b - Biện pháp thực tiễn
i - khái niệm về phơng trình một ẩn:
a - Khái niệm: cho A(x), B(x) là hai biểu thức chứa biến x, khi đó A(x) = B(x)
gọi là phơng trình một ẩn. Trong đó:
+ x đợc gọi là ẩn.
+ A(x), B(x) gọi là hai vế của phơng trình.
+ Quá trình tìm x gọi là giải phơng trình.
+ Giá trị tìm đợc của x gọi là nghiệm của phơng trình.
+ : Tập hợp nghiệm của phơng trình.
+ Tập xác định: Tập xác định của phơng trình.
b - Tập xác định của phơng trình: Là tập những giáo trị của biến làm
cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa.
c - Các khái niệm về hai phơng trình tơng đơng:
+ Là hai phơng trình có cùng một tập hựop nghiệm.
Hoặc + Nghiệm của phơng trình này đều là nghiệm của phơng trình kia
và ngợc lại.
ii - phơng trình vô tỉ:
1 - Định nghĩa: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn ở dới dấu
căn.
Ví dụ: - 3.
2 - Các bớc giải phơng trình vô tỉ (dạng chung):
+ Tìm tập xác định của phơng trình.
+ Biến đổi đa phơng trình về dạng phơng trình đã học.
+ Giải phơng trình vừa tìm đợc.
+ So sánh kết quả với tập xác định và kết luận.

Các kiến thức cơ bản về căn thức:
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
+ Một số âm không có căn thức bậc chẵn vì điều kiện của ẩn là biểu thức
chứa trong dấu căn bậc chẵn là một số không âm.
+ Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế phơng trình
đảm bảo nhận đợc phơng trình tơng đơng.
+ = A
+ =
Với A > 0, A
2
> B > 0.
iii - các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản và cách giải:
1 - Dạng 1:
Ví dụ 1: Giải phơng trình.
= x + 1 (1)
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong).
Giải (1) x - 1 0
x + 1 = (x - 1)
2
.
x 1
x
2
- 3x = 0.
x 1
x = 0 hoặc x = 3
Vậy x = 3 là nghiệm của phơng trình (1).
2 - Dạng 2

2

2
BAA
+

2
2
BAA

= g (x) (1).
Đây là dạng đơn giải nhất của ph ơng trình vô tỉ.
Sơ đồ cách giải:
= g (x) g(x) 0 (2).
f(x) = [g(x)]
2
(3).
Giải ph ơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp
suy ra nghiệm của ph ơng trình (1).
x = 3



+ = g(x) (1).
Sơ đồ cách giải.
Tìm điều kiện có nghĩa của ph ơng trình:
f(x) 0
g(x) 0 (2).
h(x) 0
Với điều kiện (2) hai vế của ph ơng trình không âm nên ta bình ph ơng hai
vế, ta có:
= [g(x)]

2
- (x) - h(x) (3)
Ph ơng trình (3) có dạng (1) nên có điều kiện mới:
[g(x)]
2
- f(x) - h(x) 0 (4)
Bình ph ơng hai vế của ph ơng trình (3) đ ợc ph ơng trình mới đã biết
cách giải.
So sánh nghiệm với điều kiện (2) và điều kiện (4) rồi kết luận.
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Ví dụ 2: Giải phơng trình.
= 5 - (1)
+ = 5
Giải:
Điều kiện x + 3 0
x - 2 0
Với điều kiện (*) phơng trình có hai vế không âm nên ta bình phơng hai vế ta có:
2x + 1 + 2 = 25
2 = 24 - 2x (2)
Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x 0 x 12 (**)
Bình phơng hai vế của (2) ta có:
x
2
+ x - 6 = 144 - 24x + x
2
25 x = 150
x = 6
x = 6 thoả mãn điều kiện (*) và (**) vậy nghiệm của phơng trình là x = 6.
3 - Dạng 3:
Ví dụ 3: Giải phơng trình.

= + (1)
Giải:
x 2 (*)
+ = (1)
Dạng 3 chỉ khác dạng 2 ở vế phải là nên cách giải tơng tự nh dạng 2.
Th viÖn SKKN cña Quang HiÖu :
§iÒu kiÖn x + 1 ≥ 0
12 - x ≥ 0
x - 7 ≥ 0
Víi ®iÒu kiÖn (*) ph¬ng tr×nh (1) cã hai vÕ kh«ng ©m nªn ta b×nh ph¬ng
hai vÕ.
(1) ⇒ x + 1 = 12 - x - 7 +
⇔ 2 = x + 4 (2)
Víi (*) th× hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2) kh«ng ©m ta b×nh ph¬ng hai vÕ cña
(2) ta ®îc:
(2) ⇒ 4 (- x
2
+ 19x - 84) = x
2
- 8x + 16
⇔ 5x
2
- 84x + 352 = 0
∆
'
= 1764 - 1760 = 4 > 0 ⇒ = 2 (2)
Ph¬ng tr×nh (3) cã hai nghiÖm: x
1
= , x
2

= 8
4 - D¹ng 4:
VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh.
+ - + = 0 (1)
⇔ + - + = 0 (2)
Gi¶i:
§iÒu kiÖn: x ≥ 0
Víi ®iÒu kiÖn (*) ph¬ng tr×nh (2) hai vÕ d¬ng nªn ta b×nh ph¬ng hai vÕ ta
®îc.
= - x (3)
§iÒu kiÖn cho (3): x ≤ 0 (**)
7 ≤ x ≤ 12 (*)
+ = + (1)
S¬ ®å lêi gi¶i:
§iÒu kiÖn: f(x) ≥ 0; h(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0; k(x) ≥ 0
B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã:
f(x) + h(x) + 2 = g(x) + k(x) + 2
⇔ - =
Tuú theo tõng trêng hîp ®Ó gi¶i tiÕp
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Ta bình phơng hai vế của (3) ta đợc:
x
2
+ 9 x = x
9x = 0 x = 0 thoả mãn (*) và (**)
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 0
5 - Dạng 5:
Ví dụ 5: Giải phơng trình sau:
+ + 2 = 13 - 2x (1)
Giải:

Điều kiện: 2 x (*)
Đặt t = + ; t > 0 ta có:
t
2
= x + 1 + x - 2 + 2
t + 2 - 2x + 1 = 2
(1) t + 2 - 2x + 1 = 13 - 2 x
t
2
+ t - 12 = 0 (2)
Phơng trình (2) có hai nghiệm là t
1
= 3; t
2
= - 4.
Vì t = 3 thoả mãn t > 0
2 = 9 - 2x + 1
= 5 - x (3)
Điều kiện của (3): x 5 (**)
Giải phơng trình (3) ta có x = 3
x = 3 thoả mãn điều kiện (*) và (**).
Vậy nghiêm của phơng trình là x = 3
+ + n = g(x) (1)
Sơ đồ cách giải.
Điều kiện: f(x), h(x) 0
Đặt ẩn phụ t= +
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
iv - các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ:
Không phải bất cử một phơng trình vô tỉ nào cũng có thể đa về đợc một
trong 5 dạng trên nên ngời giáo viên cần cung cấp cho học sinh thêm các ph-

ơng pháp giải phơng trình vô tỉ.
1 - Phơng pháp luỹ thừa:
Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả hai vế lên luỹ thừa n. Nếu chẵn tì chỉ
thực hiện đợc khi hai vế của phơng trình là không âm.
Ví dụ: Giải phơng trình
x + = 7
Giải: (1) = 7 - x (2)
Điều kiện x 1
x 7
Với điều kiện (*) thì (2) có hai vế không âm nê ta bình phơng hai vế ph-
ơng trình (2).
(2) x - 1 = 49 - 14 x + x
2
= 25 > 0 = 5
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x
1
= 10; x
2
= 5
Ta thấy x = 5 thoả mãn điều kiện (*) vậy nghiệm của phơng trình là x.
Ví dụ 7:
- = (1)
Điều kiện: x 1
Chuyển vế: = = (2)
Bình phơng 2 số:
x - 1 = 5x - 1 3x + 2 (3)
Rút gọn: 2 - 7x = 2 (4)
2 - 7 x 0
(2 - 7x)
2

= 4 (15x
2
- 13x + 2)
x
4 - 28x + 49x
2
= 60x
2
- 52x + 8
x
11x
2
- 24x + 4 = 0
1 x 7 (*)
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
x
x
1
= ; x
2
= 2
Kết hợp với điều kiện đầu x 1 ta thấy cả 2 giá trị x
1
= ; x
2
= 2
Giải: (1) = 7 - x (2)
Điều kiện x 1
x 7
Với điều kiện (*) thì (2) có hai vế không âm nếu ta bình phơng hai vế ph-

ơng trình (2).
(2) x - 1 = 49 - 14x + x
2
= 25 > 0 = 5
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x
1
= 10; x
2
= 5.
Ta thấy x = 5 thoả mãn điều kiện (*) vậy nghiệm của phơng trình là x = 5
không thoả mãn 1 trong các điều kiện trên.
Vậy phơng trình (1) vô nghiệm.
Ví dụ 8: Giải phơng trình.
+ = 2
Nếu để làm mất căn bậc 3 ta lập phơng trình 2 vế, do n trong trờng hợp
này là số lẻ (n = 3). Không cần điều kiện cảu x khi nâng lên luỹ thừa. Ta có:
x + 1 + 7 - x + 3 . 2 = 8
(Vì đã sử dụng hđk: (a + b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab (a+b)
(x + 1) (7 - x) = 0
x
1
= -1; x
2
= 7

Cả 2 giá trị này đều thảo mãn phơng trình cho.
Vậy phơng trình có có 2 nghiệm x
1
= -1; x
2
= 7.
2 - Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ 9: Giải phơng trình.
+ = 8
Do: x
2
- 6x + 9 = (x - 3)
2
0 x nên phơng trình cho
1 x 7 (*)
33
3
3
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
x
2
+ 10x + 25 = (x + 5)
2
0 x.
x - 3+ x + 5= 8 (*)
TH1: Nếu: x - 3 0 x 3 phơng trình (*)
x + 5 > 0
x - 3 + x + 5 = 8
2 x = 6
x = 3 (không thoả mãn).

TH2: x - 3 < 0 x < - 5 phơng trình (*)
x + 5 0
3 - x - x - 5 = 8
- 2x = 10
x = - 5 (không thoả mãn).
TH3: x - 3 0 không xảy ra
x + 5 0
TH4: x - 3 0 -5 x < 3 phơng trình (*)
x + 5 0
Ví dụ 10: Giải phơng trình.
+ = 1 (1)
(Những bài toán hay đại số lớp 9).
Giải:
Điều kiện: x 1 (*)
Ta biến đổi:
(1) + = 1
- 2 + + 3 = 1
Vì a+ b a + b và chỉ có dấu "=" khi ab 0.
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Nên - 2 + + 3 - 2 + 3 - = 1
(3 - > 0
Từ đó suy ra 5 x 10 thoả mãn điều kiện (*)
Vậy nghiệm của phơng trình 910 là 5 x 10.
Ví dụ 11: Giải phơng trình.
+ = 2
(Sách bồi dỡng đại số lớp 9)
Gải:
Điều kiện: x 1
Ta biến đổi:
+ = 2

+ 1+ - 1 = 2
+ 1+ 1 - = 2
Cũng lập luận tơng tự nh trên ta có:
(+ 1) +( ) 0
Với điều kiện x 1 + 1 > 0
1 - 0
x 2
Vậy nghiệm của phơng trình là 1 x 2.
3 - Phơng pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ
Ví dụ 12: Giải phơng trình
+ = 7
Điều kiện: x
Đặt: = y 0 2x - 5 = y
2
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Phơng trình cho có dạng: + = 14
y+ 1 + y + 3 = 14 do y 0 nên
y+ 1 + y + 3 = 14
2y = 10
y = 5 (thoả mãn điều kiện y 0)
= 5 với điều kiện x cả 2 vế không âm bất phơng trình ta có.
2x - 5 = 25
2 x = 30
x = 15
Kết luận: Phơng trình cho chỉ có một nghiệm x = 15.
Ví dụ 13: Giải phơng trình.
x
2
+ = 3x + 7 (1)

(Toán bồi dỡng đại số lớp 9)
Giải:
(1) x
2
- 3x + 5 + - 12 = 0 (2)
Điều kiện: x R
Đặt = t (t 0)
(2) t
2
+ t - 12 = 0
= 49 > 0 = 7
Vậy phơng trình có hai nghiệm: t
1 =
3; t
2
= - 4
Vì t = 3x + 5 = 9
x
2
- 3x - 4 = 0
Vậy nghiệm của phơng trình là x = -1; + 4.
Ví dụ 14: Giải phơng trình.
2 (x
2
- 3x + 2) = 3 (1)
(Những bài tập hay đại số lớp 9)
Giải:
2
5
Th viện SKKN của Quang Hiệu :

Đặt a = x
2
- 2x + 4
b = x + 2 a - b = x
2
- 3x + 2
(1) 2 (a - b) = 3
a - b = (2)
Ta thấy b 0 vì nếu b = 0 thì x = - 2; (1) không thoả mãn, chia hai vế của
(2) cho b ta có
= 0
Đặt = Y 0 ta có:
Y
2
- Y - 1 = 0 (3)
Giải (3) ta có:
Y
1
= (không thoả mãn).
Y
2
= 2 (thoả mãn).
a = 43 b.
hay x
2
+ 4 = 4 (x + 2) (4)
Giải phơng trình (4) ta có x
1
= 3 +
x

2
= 3 -
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x
1,2
= 3
4 - Phơng pháp hệ phơng trình:
Ví dụ 15: Giải phơng trình.
= 2 (1)
Giải:
Điều kiện: - < x < ; x 0 (*)
Đặt = y > 0 (**)
2 - x
2
= y
2
Ta có hệ phơng trình:
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
x
2
+ y
2
= 2
Đặt S = x + y; P = xy, hệ phơng trình trở thành:
S
2
- 2P = 2
S = 2
Theo định lý viét đảo S = 2
P = 1
thì x, y là hai nghiệm của phơng trình: X

2
- 2X + 1 = 0 X
1
= X
2
= 1 x = y
x = y = 1 thoả mãn điều kiện (*), (**).
S = -1
P =
hay X
1, 2
= . Do y > 0 và - < x < nên
Ví dụ 17: Giải phơng trình.
Giải: Điều kiện: - 5 < x < 5
Đặt = 4, = v; u > 0; v < 2 (*)
Khi đó ta có hệ phơng trình:
u
2
+ v
2
= 10

(u + v)
2
= 10 + 2 (u + v)
(u + v) (1 -
Đặt tiếp: = t uv = ; t >
Ta đợc hệ: (u + v)
2
= 10 +

(u + v)
2
=
uv =
S = 2
P = 1

S = - 1
P =
(+) thì x, y là hai nghiệm của phơng trình 2X
2
+X - 1 = 0
x =
y =
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Vậy t phải thoả mãn phơng trình: = 10 +
8 t = 45 (1 - t)
2
+ 18 (1 - t)
2
15t
3
- 72t
2
- 14 (3t
2
- 2t) - 9 (3t - 2) = 0
(3 t - 2) (15t
2
- 14t - 9) = 0

t = uv = 3
t = uv = = a
1
Vậy u, v là nghiệm của 1 trong 2 hệ sau
(u + v)
2
= 10 + 2uv = 16
(u - v)
2
= 10 - 2uv = 4
(u + v)
2
= 10 + 2a
1
(u - v)
2
= 10 - 2a
1
5 - Phơng pháp dùng bất đẳng thức:
Phơng pháp dùng bất đẳng thức đợc dùng ở nhiều dạng khác nhau.
a - Chúng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau. Khi đó phơng trình là
vô nghiệm:
Ví dụ 18: Giải phơng trình.
- = 8
Giải:
Điều kiện: x 2
Với điều kiện này thì vế phải luôn lớn hơn vế trái nên phơng trình là
vô nghiệm
Ví dụ 19: Giải phơng trình.
u

1
= 3; v
1
= 1
u
2
= 1, v
2
= 3

u
3
= (+ )
v
3
= (- )
u
4
= (- )
v
4
= (+ )

2
1
2
1
2
1
Th viện SKKN của Quang Hiệu :

+ = 2
Giải:
Vì 1
> 1
VT = + > 2
Còn VP = 2
Ví dụ: Giải phơng trình.
- =
Điều kiện: x 1
Với điều kiện này thì x < 5x do đó <
VT = - < 0 còn VP = 0
phơng trình vô nghiệm
b - Sử dụng tích đối nghịch ở hai vế:
Ví dụ 21: Giải phơng trình.
+ = x
2
- 8 + 18 (1)
Giải:
Điều kiện: 3 x 5 (*)
Ta có vế phải x
2
- 8 x + 18 = (x - 4)
2
+ 2 2 x.
Vế trái sử dụng bất đẳng thức: 2 (a
2
+ b
2
) (z + b)
2

. Ta có:
+ 2 (x - 3 - x)
+ 2
Vậy (1) x
2
- 8x + 18 = 2 (2)
+ = 2 (3)
Giải phơng trình (2) ta đợc x = 4. Thay x = 4 vào (3) thoả mãn.
phơng trình cho vô nghiệm
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Và x = 4 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x = 4.
Ví dụ 22: Giải phơng trình.
+ = 5 - 2 x - x
2
Ta viết phơng trình dới dạng:
+ = 6 - (x + 1)
2
Vì 3 (x + 1)
2
0;5 (x + 1)
2
0 nên
= 2
= 4
Còn VT = 6 - (x + 1)
2
6
Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi 2 vến đầu bằng 6
Vậy x = - 1

Kết luận: Nghiệm của phơng trình cho là x = - 1.
c - Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Ví dụ 23: Giải phơng trình.
+ = 7 (1)
Giải:
Tấy x = 8 là nghiệm của phơng trình (1)
Nếu x < 8 thì < 3; > 4.
Vậy vế trái nhỏ hơn 7 x < 8 không là nghiệm của phơng trình (1).
Nếu x > 8 thì < 3; > 4.
Vậy vế trái lớn hơn 7 x > 8 không là nghiệm của phơng trình (1).
Vậy x = 8 là nghiệm cảu phơng trình (1).
Ví dụ 24: Giải phơng trình.
+ = 3 (1).
VT 6
3
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình.
Với x > 3 thì > 1; > 2 nên vế trái của (1) lớn hơn 3.
Với - 1 x < 3 thì < 1; < 2 nên vế trái (1) nhỏ hơn 3.
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất.
d - Sử dụng điều kiện xảy ra dấu "=" ở bất đẳng thức không chẵn:
Ví dụ 25: Giải phơng trình.
(1)
Giải:
Điều kiện: > (*)
Ta có bất đẳng thức cosi với a, b > 0. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ
khi a = b.
Do đó: (1) x = .
x
2

- 6x + 9.
x = 3 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 3.
Ví dụ 26: Giải phơng trình.
+ = (1).
Ta có bất đẳng thức; A + B A + B.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: AB 0
Do đó phơng trình (1) + =
2x + 5 + x - 4 = x + 9.
2x + 5 + 4 - x = x + 9.
2x + 5 + 4 - x = 2x + 5 + 4 - x
Xảy ra khi: (2x + 5) (4 - x ) 0
x 4.
3
3
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Kết luận: Vậy nghiệm của phơng trình là: x 4.
6 - Phơng trình vô tỉ có biện luận:
Ví dụ 27: Giải và biện luận theo phơng trình.
+ 4 + 5 (1)
(a là tham số)
(100 Bộ đề thi chuyên ngữ).
Giải:
+ Nếu a = 0
(1) + 4 = 5 .
phơng trình có nghiệm duy nhất x = 0
+ Nếu a 0. Thì x = a không là nghiệm của phơng trình. Ta chia hai vế
của phơng trình (1) cho ta có:
(2) + 4 = 5 (2)
Đặt: = y.

(2) y
2
- 5y + 4 = 0.
Nhẩm nghiệm ta có y
1
= 1; y
2
= 4.
Thay vào y ta có:
= 1 x = 0
= 4 x =
Vậy nghiệm của phơng trình là x
1
= 0; x
2
=
Ví dụ 28: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất.
+ = m (1).
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử a là nghiệm duy nhất của (1)
+ = m (2).
+ = m (3).
3
3
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
(3) chứng tỏ 14 - a cũng là nghiệm của (1)
Để (1) có nghiệm duy nhất phải có a = 14 - a a = 7.
Khi đó m = + = 2.
Điều kiện đủ giải: + = 2 (4).
Cách 1: Bình phơng 2 vế của (4) và rút gọn

= 2
(x - 7)
2
= 0 x = 7 (thoả mãn điều ki8ện - 5 x 9 ).
Cách 2: Đặt = y, = z giải hệ
y + z = 2
y
2
+ z
2
= 4
y, z 0
iv - một số sai lầm khi giải phơng trình vô tỉ:
Thờng học sinh hay mắc phải sai lầm khi giải phơng trình vô tỉ mà căn là
bậc chẵn là:
1 - Quên không tìm tập xác định khi giải:
2 - Không đặt điều kiện khi ta biến đổi tơng đơng:
Ví dụ 29: Giải phơng trình.
- = 2 (1)
Học sinh giải:
(1) x + 2 = 4 + 4
4 = 4 - x (3)
Ta lại bình phơng hai vế ta đợc:
(3) 16 (2x - 6) = 16 - 8x + x
2
32x - 96 = 16 - 8x + x
2
.
x
2

- 40 + 112 = 0.

'
= 400 - 112 = 288 > 0 = 12 .
y = z = x = 7
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
x
1
= 20 + 12 .
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x = 20 12 .
* Sai lầm trong cách giải là:
+ Không tìm điều kiện của (1) là x 3.
+ Khi biến đổi tơng đơng đến phơng trình (3) học sinh cha đặt điều kiện
cho 4 - x 0 x 4.
+ Khi kết luận nghiệm là cha thoả mãn các điều kiện nêu nghiệm cha chính xác.
Ví dụ 30: Giải phơng trình.
- = x + 1
Học sinh giải:
Điều kiện: x
2
- 1 0 (x - 1) (x + 1) 0 x - 1 0
x + 1 0 x + 1 0 x + 1 0
Khi đó phơng trình có dạng:- = x + 1
Vì x 1 nên > 0 chia hai vế cho ta có: - 1 =
Vì với x 1 thì < nên - 1 < phơng trình vô nghiệm.
Sai lầm khi giải hệ: x
2
- 1 0 AB 0 A 0
x + 1 0 A 0 B 0
ở lời giải trên thiếu x = - 1 và đó chính là nghiệm duy nhất của phơng trình:

Nhớ rằng: A 0
B 0
vii - một số bài tập tự luyện:
Giải các phơng trình sau:
1 - = x - 4
2 - - = 2
3 - = x - 3
4 - = 3 (x - 1)
x 1




Học sinh tởng rằng:
A = 0
B có nghĩa
A > 0
B 0


Th viện SKKN của Quang Hiệu :
5 - =
6 - x
2
+ 5x + 4 - 5 = 0
7 - + = +
8 - 1 + =
9 -
10 - + =
c - kết quả

i - kết quả đối với học sinh:
Qua việc dạy chuyên đề về phơng trình vô tỉ đối với học sinh nói chung
và đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi trắc nghiệm ở một số học sinh tôi
đã thu đợc một số kết quả dới đây.
- Học sinh không ngại khi gặp dạng toán giải phơng trình vô tỉ.
- Một số học sinh khi giải đã trả lời thấy hứng thú hơn khi giải phơng
trình đặc biệt là phơng trình vô tỉ.
Qua việc kiểm tra đánh giá chất lợng sau 3 lần kiểm tra tôi đã có kết quả
cụ thể nh sau:
Điểm Dới 5 điểm 5 - 6 điểm 7 điểm 8 - 10 điểm 5 - 10 điểm
Đề
Số lợng % Số lợng % Số lợng % Số lợng % Số lợng %
1 9 45 7 35 4 20 0 0 11 55
2 5 25 10 50 4 20 1 5 15 75
3 0 0 5 25 7 35 8 40 20 100
ii - Bài học kinh nghiệm:
Từ kết quả cụ thể trên tôi đã rút ra một số kinh nghiệm cho bản thân
cũng nh đồng nghiệp khi giải toán phơng trình vô tỉ là: Phơng pháp giải toán
phơng trình vô tỉ ở trên không khó đối với học sinh khá, giỏi mà điều cần lu ý
đối với ngời giáo viên dạy toán là:
- Cần phân dạng phơng trình vô tỉ thành những dạng quen thuộc mà các
em đã đợc gặp trên cơ sở phơng pháp giải và giáo viên đa ra.
Những loại bài tập giao cho học sinh phải thực tế, dễ hiểu, gợi mở giúp
kích thích óc sáng tạo của học sinh không quá cao siêu, trừu tợng
3
a
x- 1 - 1
x- 1 1
=
+

++
x
x
2
3 x
+
3
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
- Hớng dẫn các em trớc khi giải toán phơng trình cần xác định rõ dạng
của phơng trình này và phơng pháp giải hớng dẫn học sinh phân tích bài toán,
phán đoán cách giải, các bớc giải để các em đi đến lời giải thông minh và
ngăn gọn nhất, đạt hiệu quả cao.
- Rèn kỹ năng giải phơng trình vô tỉ cho học sinh thông qua nhiều dạng
phơng trình và thờng xuyên chú ý đến những sai lầm của học sinh thờng mắc
phải khi giải phơng trình vô tỉ, nhất là tìm điều kiện xác định của phơng trình.
- Trên cơ sở làm một số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao
thêm lợng bài tập về nhà có nội dung tơng tự hoặc mở rộng hơn để các em đợc
tự mình giải các loại phơng trình vô tỉ.
Nếu có đợc những việc làm trên tôi xin chắc rằng tất cả các em học sinh
sẽ không còn lúng túng, ngại ngùng khi giải toán phơng trình đặc biệt là ph-
ơng trình có chứa ẩn dới dấu căn.
d - điều kiện áp dụng
- Nh tôi đã trình bày ở trên bản kinh nghiệm này đợc áp dụng trong việc
giảng dạy các chuyên đề trong các trờng học THCS hoặc sử dụng để bồi dỡng
học sinh giỏi nhằm nâng cao vốn kiến thức cho cá đội tuyển học sinh giỏi lớp
9, là cơ sở vững chắc cho các em học tốt hơn khi học cấp III trong bộ môn
toán, đặc biệt là toán giải phơng trình vô tỉ.
Dạng toán giải phơng trình vô tỉ mà tôi đề cập ở trên cũng có những dạng
đã đợc sử dụng rộng rãi song phần nào giúp học sinh lớp 9 và giáo viên dạy
toán 9 nâng cao chất lợng dạy và học của mình.

Chuyên đề này còn dể ngỏ và còn tiếp tục khai thác nên nội dung còn sơ
sài còn nhiều vấn đề cha mở rộng, đi sâu.
e - hớng đề xuất
Nh tôi đã viết ở trên trong đề tài này chỉ nhằm một mục tiêu đơn giải là
giúp cho học sinh trong việc giải toán "Phơng trình vô tỉ", để học sinh có thêm
những phơng pháp giải cụ thể, dễ nhớ, có hiệu quả.
Qua đề tài cho thấy bản thân tôi và các bạn đồng nghiệp đều thấy đợc
mọi vấn đề dễ khó đều có hớng giải quyết tốt nếu nh ngời giáo viên giúp học
sinh biết đơn giản hoá các vấn đề phức tạp thành dơn giản hơn và quen
thuộc hơn.