SKKN tinh so do goc.doc

Th viện SKKN của Quang Hiệu />Phần I: Đặt vấn đề
I. Cơ sở lý luận
Đổi mới phơng pháp giảng dạy trong trờng THCS là một vấn đề cấp thiết hàng
đầu, từ năm học 2002 - 2003 Bộ GD & ĐT đã chỉnh lý và biên soạn SGK mới nhằm
phù hợp với đối tợng học và phơng pháp dạy học.
Về tâm sinh lý đối với học sinh THCS chủ yếu ở lứa tuổi thiếu niên, các em đã
có thói quen suy nghĩ độc lập. Tuy nhiên, khả năng t duy của các em cha phát triển
hoàn chỉnh để nhận thức hoặc khẳng định một vấn đề nào đó, chủ yếu còn dựa vào
phơng pháp trực quan.
Do đó, đối với yêu cầu bộ môn hình học 7, kiến thức đợc trình bày theo con đ-
ờng trực quan suy diễn tăng cờng tính thực tiễn, tăng cờng luện tập thực hành, rèn
luyện kỹ năng tính toán, giúp học sinh phát triển khả năng t duy lôgic, khả năng
diễn đạt ý tởng của mình và khả năng tởng tợng.
Tuy nhiên, Hình học là môn học mới tơng đối khó với lứa tuổi 12, 13 đang chập
chững bớc đi ban đầu trong quá trình học Hình học. Khi đớng trớc một bài toán học
sinh rất lúng túng trớc vấn đề cần chứng minh: Không biết bắt đầu từ đâu, làm gì,
đi hớng nào? Không biết liên hệ giả thiết của bài toán với các kiến thức đã học, với
vấn đề cần chứng minh. Do đó, việc định hớng tìm ra lời giải là một công việc rất
quan trọng, đặc biệt là đối với học sinh lớp 7.
II. Cơ sở thực tiễn
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 7 trong trờng THCS, tôi đã nhận thấy bài toán
"tính số đo góc" giúp các em vận dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn, đòi hỏi
học sinh có kỹ năng tính toán số đo góc, kỹ năng chứng minh tam giác bằng nhau
sử dụng tính chất của các hình đặc biệt vào giải toán giúp các em phát triển khả
năng t duy lôgic, diễn đạt ý tởng của mình và khả năng tởng tợng. Vì vậy bài toán
"tính số đo góc" còn giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế, rèn luyện
nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn công việc đạt đợc hiệu quả cao nhất, tốt nhất.
Trong mấy năm gần đây, các bài toán "tính số đo góc" luôn xuất hiện trong các
kỳ thi Học sinh giỏi, điều đó cho thấy ý nghĩa của nó trong việc nâng cao kiến thức
hình học cho học sinh, phát triển năng lực t duy hình học cho học sinh.
Tóm lại các bài tập về "tính số đo góc" là các bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ

năng tính toán và kỹ năng t duy, nó rất cấp thiết cho việc ôn tập và bồi dỡng cho
học sinh lớp 7 và cũng là tài liệu cần thiết cho việc tự bồi dỡng của đội ngũ giáo
viên.
Vì vậy tôi muốn trao đổi cùng các đồng chí, đồng nghiệp về việc định hớng giải
các bài toán "tính số đo góc" thông qua việc phát hiện và sử dụng tính chất của các
cặp tam giác bằng nhau, tam giác chứa những góc có số đo xác định
(1) Tam giác cân có một góc có số đo xác định
(2) Tam giác vuông cân
(3) Tam giác đều
(4) Nửa tam giác đều
Vì thế, khi gặp bài toán "tính số đo góc" ta chú ý đến quan hệ giữa các góc của
tam giác liên hệ giữa các cạnh và góc của tam giác, phát hiện các cặp tam giác
bằng nhau và nghĩ đến việc tính số đo góc đó thông qua mối liên hệ với các góc
của tam giác chứa những góc có số đo xác định nêu trên. Nhng trong những bài
toán cho việc tính số đo góc phức tạp hơn nhiều, nó không có hình nào là tam giác
cân, tam giác vuông cân, tam giác đều, nửa tam giác đều thì sao? Chính điều đó đòi
hỏi sự sáng tạo, từ đó ta có thể đặt câu hỏi: Bạn hãy tạo ra một hình đó đợc không?
Với suy nghĩ nh vậy giúp chúng ta vẽ đợc những hình phụ thích hợp làm xuất hiện
những góc đặc biệt, những tam giác có chứa những góc có số đo xác định để có thể
tìm ra lời giải của bài toán.
Qua kinh nghiệm của bản thân, ngay từ đầu năm học tôi đã su tầm, tuyển chọn
một số phơng pháp giải toán tính số đo góc thông dụng ở lớp 7, với cách làm đó
trong những năm học qua tôi đã thu đợc nhũng kết quả nhất định. Tuy là một vấn
đề mới và khó song học sinh tiếp thu một cách tích cực và có hiệu quả.
Phần II. Giải quyết vấn đề
I. Nhận xét ban đầu
Bài tập về phần "tính số đo góc" đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhanh và
linh hoạt các định lý đã học, giả thiết của bài toán, có năng lực t duy lôgic, kỹ năng
phân tích, tổng hợp, suy tính, dự đoán kết quả tốt.
Những học sinh trung bình trở xuống thờng không tự lực làm đợc loại bài tập

này, đối với học sinh khá, giỏi không phải lúc nào cũng vợt qua.
Bởi vì:
Cha thành thạo trong việc tìm mối liên hệ giữa các góc phải tìm với các
góc đã biết.
kỹ năng biến đổi còn lúng túng.
Không biết phát hiện mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận. Thờng không
biết bắt đầu từ đâu.
Không biết dự đoán góc cần tính để có định hớng chứng minh gỡ ra đầu
mối cần giải quyết.
Không biết phân tích các góc cần tính để vẽ thêm đờng phụ hợp lý nhằm
xuất hiện các tam giác bằng nhau, các tam giác đặc biệt để vận dụng vào
chứng minh
Tóm lại, học sinh yếu về 3 mặt: Kiến thức, kỹ năng, phơng pháp
Để giúp học sinh khỏi bỡ ngỡ và tiến tới có định hớng khi giải bài toán. Tôi đã
phân loại các kiến thức đã học theo đặc điểm của phơng pháp.
(1) Vẽ hình đúng, chính xác.
(2) Dự đoán kết quả
(3) Phát hiện tam giác băng nhau, tam giác cân, tam giác vuông cân, nửa tam
giác đều, tam giác đều.
(4) Xem xét, phân tích giả thiết, kết luận để dựng hình hợp lý.
(5) Xét đủ các khả năng xảy ra.
Trong quá trình giảng dạy tạo mọi điều kiện cho học sinh luôn giữ vai trò chủ
động, sáng tạo, đề ra các vấn đề giải quyết và từng bớc thực hiện.
II. Nội dung cụ thể
1. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra cặp tam giác bằng nhau.
Ví dụ 1. Cho tam giác MNP có
0
120M <

ở

MNP dựng các tam giác đều
MPQ, MNR, PR cắt NQ tại I. Tính góc NIP?
Phân tích:

Dựa vào giả thiết của bài toán phát hiện

RMP =

NMQ (c.g.c) (1)

Từ đó có ngay:
11

NR =

Gọi giao điểm của MN và RP là K

21

KK =
(2)

Nhận thấy: NIP tính đợc khi biết số đo RIN

Từ (1) và (2)

RIN = RMN = 60
0
Vậy tính đợc: NIP = 120

0
Chứng minh
Xét

RMP và

NMQ có:
RM = MN (tính chất

đều)
MP = MQ (tính chất

đều)
RMP = NMQ (2 góc bằng nhau cùng cộng với một góc)


RMP =

NMQ (c.g.c)


11
N

R

=
(2 góc tơng ứng)
Mà
21

KK =
(đối đỉnh)

RIN = RMN
Mà PMN = 60
0
(gt)

RIN = 60
0

NIP = 120
0
Ví dụ 2. Cho

ABC có Â < 90
0
, các đờng cao BD, CE. Trên tia đối của BD lấy
điểm M sao cho BM = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm N sao cho CN = AB.
Tính MAN.
Phân tích

Dựa vào giả thiết của bài toán phát hiện

ABM =

NCA (c.g.c)

Từ đó

N

A

1
=
;
M

A

2
=

Dựa vào

AEN vuông

Â
1
+ Â
2
+ Â
3
= 90
0
hay MAN = 90
0

Chứng minh
Xét

ABM và

NCA có: AB = CN (gt)
BM = CA (gt)
ABM = ACN (tích chất góc ngoài

, 2 góc đều bằng góc 90
0
+Â
3
)


ABM =

NCA (c.g.c)

N

A

1
=
(1)
Ta có: MAN = Â
1
+ Â

2
+ Â
3
=
N

+ Â
2
+ Â
3
=90
0
(vì
N

A

1
=
) ( vì

AEN vuông có Ê = 90
0
Vậy MAN = 90
0
Ví dụ 3.
Cho

ABC có Â = 90
0

trên BC lấy điểm D sao cho BD = AB, đờng thẳng đi
qua D vuông góc với BC cắt AC ở E. Đờng thẳng BE cắt đờng thẳng PG của góc
ngoài tại đỉnh C của

ABC ở K. Tính BAK
Phân tích:

Phát hiện

ABE =

BDE (2

vuông có một cặp cạnh bằng nhau và
một cạnh chung)

21
B

B

=

K

tia phân giác của góc ABC

Kết hợp GT:

K

tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C

Từ đó nghĩ đến việc sử dụng tính chất đờng phân giác trong


Dự đoán: CAK = 45
0
, AK là phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của

ABC.

Do đó: Kẻ KM

AB; KN

AC; KP

AC
Chứng minh:

KNC =

KPC ()

KN = KP (1)

KPB =

KMB ()

KP = KM (2)
Từ (1) và (2)

KM = KN

ANK =

AMK ()

Â
1
= Â
2
= 45
0


BAK = 90
0
+ 45
0
= 135
0
(đpcm)
2. Tính số đo góc thông qua việc dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ giữua các
góc
Ví dụ 4.
Cho

ABC cân ở A, đờng cao CH. Biết BAC - BCH = 25
0
. Tính BAC
Phân tích:

Góc BAC tính đợc khi biết BHC

Do đó: Ta có thể đặt góc BHC = x để tính góc BAC
Chứng minh:
Đặt BHC = x
Xét

BHC vuông có:
B

= 90
0
- x (tính chất

)
Xét

ABC cân ở A có:
BAC = 180
0
- 2.
B

(tính chất

cân)

BAC = 180
0
- 2(90
0
- x) = 2x
Theo GT: BAC - BHC = 25
0

2x - x = 25
0

x = 25
0

BAC = 50
0
(đpcm)
Ví dụ 5.
Trên hai cạnh AC và BC của

ABC lấy điểm M, N sao cho AN = BM = AB.
Gọi O là giao điểm của BM và An biết AOM = 60
0
. Tính ACB?
Phân tích:

Góc C tính đợc khi biết CAB = CBA

Do đó: để tính số đo của góc C

Ta có thể đặt: CAB = x; CBA = y
và dựa vào giả thiết Â
1
+
0
1
60B

=
Chứng minh:
Đặt CAB = x; CBA = y

C

= 180
0
- (x + y) (1)
Xét

ABM cân ở B

x = (180
0
-
B

1
) :2= 90

0

2
B

1


Xét

ABN cân ở A

y =
2
A

90
1
0


x + y =
2:)B

A

(180
11
0
+

Mà
0
11
60B

A

=+

x + y = 180
0
- 30
0
= 150
0
(2)
Từ (1) và (2)

ACB = 30
0
có:
BAC = 180
0
- 2.
B

(tính chất

cân)

BAC = 180
0
- 2(90
0
- x) = 2x
Theo GT: BAC - BHC = 25
0

2x - x = 25
0

x = 25
0

BAC = 50
0
(đpcm)
3. Tính số đo góc phải xét đủ các tập hợp về số đo góc có thể xảy ra.
Ví dụ 6.
Tính góc A của

ABC cân tại A. Biết rằng có một đờng thẳng đi qua A chia
tam giác đó thành hai tam giác cân.
Phân tích:

Gọi D là giao điểm của đờng thẳng đi qua A với BC chia

ABC thành
2 tam giác cân

Do ADB, ADC bù nhau

Tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 90
0


Chẳng hạn ADC > 90
0
, khi đó ADB phải là đỉnh của

ADB cân.

Xét 3 trờng hợp đối với

ACD
Chứng minh:
a) Trờng hợp 1:

ACD cân ở A
Khi đó ADC =
B

C

=
(vô lý)
Vì góc ADC >
B

(tính chất góc ngoài

)
b) Trờng hợp 2:

ACD cân ở C (hình 1)
Đặt
B

= BAD = x

ADC = 2x; DAC = 2x;
C

= x
Ta có 2x + 2x + x = 180
0
(tính chất tổng 3 góc của

)

x = 36
0


BAC = 3x = 108
0
(1)
c) Trờng hợp 3:

ACD cân ở D (hình 2)

Khi đó: DA = DB = DC
Đặt
B

= BAD = x

C

= CAD = x
Xét

ABC có:
B

C

+
+ BAC = 180
0

x + x + 2x = 180
0

x = 45
0

BAC = 2x = 90
0
(2)
Từ (1) và (2) ta có: BAC = 180

0
hoặc BAC = 90
0
Ví dụ 7.
Cho

ABC, trực tâm H, AH = BC. Tính BAC
Phân tích:

Do bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác nên ta xét 3 trờng hợp
xảy ra:

Trực tâm nằm bên trong


Trực tâm nằm bên ngoài


Trực tâm trùng với đỉnh của


Do đó ta xét

Trờng hợp  < 90
0

Trờng hợp  > 90
0

Trờng hợp  = 90

0
. Không xảy ra vì khi đó H

A
Chứng minh:
a) Trờng hợp 1: Â < 90
0
Ta có 2

vuông

AEH =

BEC (cạnh huyền, góc nhọn)

AE = BE


ABE vuông cân tại E

BAE = 45
0
Hay BAC = 45
0
b) Trờng hợp 2: Â > 90
0
Ta có: 2

vuông

BEC =

HEA (cạnh huyền, góc nhọn)

HE = BE


BEH vuông cân tại E

BHE = 45
0

BAC = 135
0
4. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông nhờ định lý Pi-ta-
go
Ví dụ 8.
Cho

ABC vuông cân ở B và một điểm M nàm trong tam giác. Biết MA =
1cm; MB = 2cm; MC = 3cm. Tính góc AMB
Phân tích:

Dự đoán AMB khoảng 135
0


AMB = 45
0
+ 90

0

Mà 45
0
là góc của

vuông cân

Do đó nghĩ đến việc dựng

vuông cân MBK ra ngoài

BMC
Chứng minh:
Dựng

MBK vuông cân tại B, ở phía ngoài

BMC

BK = BM
Xét

ABK và

BMC có: BM = BK (Gt)
AB = BC (Gt)
ABK = MBC (cùng phụ với
1
B

)


ABK =

CBM (c.g.c)

AK = MC = 3cm
Ta có: KM
2
= BK
2
= 2
2
+ 2
2
= 8 (cm)
AK
2
= 3
2
= 9 (cm)
AM
2
= 1
2
= 1 (cm)

AK

2
= KM
2
+ AM
2



AMK vuông ở M

AMK = 90
0
Mà KMB = 45
0
(cách dựng)

AMB = 45
0
+ 90
0
= 135
0
Ví dụ 9.
Cho

ABC cân ở A, Â = 30
0
; BC = 2cm. Trên AC lấy điểm D sao cho AD =
2
cm. Tính góc ADB

và một điểm M nàm trong tam giác. Biết MA = 1cm; MB = 2cm; MC = 3cm. Tính
góc AMB
Phân tích:

Dự đoán AMB khoảng 135
0


AMB = 45
0
+ 90
0

Mà 45
0
là góc của

vuông cân

Do đó nghĩ đến việc dựng

vuông cân MBK ra ngoài

BMC
Chứng minh:
Dựng

MBK vuông cân tại B, ở phía ngoài

BMC