Bài tập Đạo hàm (full)

0
( ) ( )
'( ) lim
x
f x x f x
f x
x

+
=

Bài tập phần đạo hàm
I. dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại x
0
:
1.
75)(
2
+= xxxf
x
0
= -1 (-7) 2.
xxf 2cos)( =
x
0


R (-2sin2x)
3.
1
|1|

)(
+

=
x
x
xf
x
0
= 1 (
ko
) 4.
( ) ( 1)( 2) ( 2008)( 2009)f x x x x x x
=
x
0
= 0 (-2009!)
5.
2
2 1
( )
4 5 1
x x x
f x
x x

+
=

<

x
0
= 1 (4) 6.
2
2
sin
0
( )
3 0
x
x
f x
x
x x x

>

=


+

x
0
= 0. (1)
III. dùng công thức tính đạo hàm các hàm số sau:
1.
dcx
bax

y
+
+
=
2.
54
32
+
+
=
x
x
y
3.
nmx
cbxax
y
+
++
=
2
4.
1
1
2

+
=
x
xx

y
5.
( )
=

2
1
x
y
x
6.
xxy 2cos.3sin
32
=
7.
= 2y cos x
8.
1
1
x
y
x
+
=

9.
2
3
1
x

y
x
+
=
+
10.
2
4
3
x
y
x
+
=

11.
( )
4
tany x=
12.
( )
=
3
sin 1y x
13.
2
1
cos
y
x

=
14.
sin cos
sin cos
x x
y
x x
+
=

15.
=
20
(1 )y x
16.
+
=

1
1
x
y
x
17.

= +
ữ

2007
5

1
7y t t
t
18.
=
+
2
2 2
x
y
x a
19.
=
+
sin
x
y
x cosx
20.
= +
2
cot 1y x x
21.
=
1
3
3
y cosx cos x
22.
=

tant
y
t
23.
=
sin(2 sin )y x
24.
=
4
5y cos x
25.
4
sin 3
6
y x


=
ữ

26.
2
cos 2
3
y x


=
ữ

27.
=
2
sin ( 3 )y cos x
28.
3
cot 5
4
y x

=
IV. Cho hai hàm số:
= + =
4 4
1
( ) sin ; ( ) 4
4
f x x cos x g x cos x
. CMR: f(x) = g(x). Giải thích.
V. Cho hàm số:
=
2
( ) 2 8f x x x
. Giải bất phơng trình:

'( ) 1f x
.
VI. Chứng minh hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc vào x:

= + + + + +
ữ ữ
ữ ữ


2 2 2 2 2
2 2
2 sin
3 3 3 3
y cos x cos x cos x cos x x
.
VII. Tính

'( ); '( )
6 3
f f
biết
=
( )
2
cosx
f x
cos x
.
VIII. Cho hàm số:
= +
3 2
( ) (3 ) 2
3 2

mx mx
f x m x
1) Tìm m để: a)
>
'( ) 0 f x x
b)
'( )f x
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
2) Chứng minh rằng trong trờng hợp
'( )f x
có hai nghiệm phân biệt thì các nghiệm này thoả mãn
hệ thức độc lập với m.
Ix. Chứng minh rằng:
1. Nếu
2
1 xy =
thì: (1 - x
2
)y - xy' + y = 0
2. Nếu
x
x
xf
2
2
sin1
cos
)(
+
=

thì:
3)
4
('3)
4
( =

ff
.
0
lim
x

'y
''y
x. tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
1.
1
3 5
y
x
=

2.
252
1
2
+
=
xx

y
3.
3
2
9
x
y
x
=

4.
sin 5y x=
5.
2
sin 2y x=
6.
sin sin 5y x x=
xI. dùng định nghĩa đạo hàm để tính các giới hạn sau:
1.
x
xx
x
sin
11
lim
3
0
++

(1/6) 2.

+

x
xxx
x
2
2
cos2sin
lim
2
(-1/2)
xii. tiếp tuyến:
1. Cho hàm số:
23
32 xxy =
(C)
Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết:
a) Hoành độ tiếp điểm bằng -1 (y = 12x+7)
b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 12 (y = 12x+7, y = 12x - 20)
c) Tiếp tuyến đi qua điểm
)0;
2
3
(A
(y = 0, y =
4

27
2
9
x
).
2. Cho hàm số:
1
23


=
x
x
y
(C)
Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết:
a) Tung độ của tiếp điểm bằng
2
5
(
4
9
4
1
+= xy
)
b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng
3+= xy
(
6,2 +=+= xyxy

)
c) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng
44 += xy
4
9
4
1
+= xy
,
4
17
4
1
+= xy
d) Tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 0) (
18,2 +=+= xyxy
)
e) Tiếp tuyến tạo với trục hoành góc 45
0
(
6,2 +=+= xyxy
).
3. Cho hàm số:
x
x
y
1
2
+
=

(C)
Chứng minh rằng qua điểm M(-2; 0) kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (C), đồng thời 2 tiếp
tuyến đó vuông góc với nhau.
4. Cho hàm số:
1
1
2

+
=
x
xx
y
(C)
a) Chứng minh rằng qua A(1; 1) không kẻ đợc tiếp tuyến nào tới (C).
b) Tìm trên Oy các điểm từ đó kẻ đợc ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C) A(0; m), m
1
.
5. Cho hàm số:
23
23
+= xxy
(C)
d) Chứng minh rằng: Trong tất cả các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến tại điểm U(1; 0)
có hệ số góc nhỏ nhất.
e) Tìm trên đờng thẳng y = 2 những điểm từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến tới (C)
(A(a; 2), a < -1; a > 5/3; a

2)
f) Tìm trên đờng thẳng y = 2 những điểm từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến tới (C), sao cho

có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. (A
)2;
27
53
(
).
6. Cho hàm số:
2 2
(3 4)y x x=
. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.
7. Cho hàm số:
2 3
1
x
y
x

=


( )C
. Tiếp tuyến bất kì tại
( )M C
cắt 2 đờng thẳng
1x
=
và
2y =
tại
,A B

. Chứng minh rằng
M
là trung điểm
AB
.