Bồi dưỡng HSG Toán 7

Ngày soạn : 7 /9
Ngày dạy : 10/ 9
Buổi 1 : Đại số : Thứ tự trên tập hợp số nguyên - Bài tập
A/ Mục đích yêu cầu :
- Rèn kỹ năng so sánh các số nguyên , ghi nhớ sự sắp xếp thứ tự trong Z qua hình
ảnh các số nguyên trên trục số
- Nắm các khái niệm số nguyên dơng . số nguyên âm và giá trị tuyệt đối của một
số nguyên
B/ Nội dung
I/ ổ n định
+ Nắm sĩ số lớp học
+ Nêu qui định học tập và các yêu cầu học bồi dỡng
II/Bài mới:
Giáo viên trình bày các kiến thức cần
nhớ để vân dụng vào giải bài tập
Bài 1:
a) Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất có 2
chữ số ?
b) Tìm số nguyên âm nhỏ nhất có 2
chữ số ?
c) Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất có n
chữ số ? Tìm số nguyên âm nhỏ nhất
có 2 chữ số ?
Bài 2: Tìm các số nguyên a biết :
a) n + 2 a n + 5
b) n + 6 < a < n + 7
Bài 3: Chứng minh rằng với
a
1
, a
2

, a
3
a
n
Z nếu a
1
< a
2
< a
3
< a
n-1
< a
n
thì a
1
< a
n
A) Kiến thức cơ bản cần nắm
*) Số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b nếu trên
trục số điểm a ở bên trái điểm b
*) Số nguyên > 0 là số nguyên dơng
*) Số nguyên < 0 là số nguyên âm
*) Số 0 không là số nguyên dơng cũng không
là số nguyên âm
*) a=
[
a
a

Với a Z ta có | a| 0 hay | a| N
B) Bài tập vận dụng
a)Số nguyên dơng nhỏ nhất có 2 chữ số là 10
b)Số nguyên âm nhỏ nhất có 2 chữ số là -99
c) Số nguên dơng nhỏ nhất có n chữ số là

0 1000
(có n-1 chữ số 0)
Số nguyên âm nhỏ nhất có n chữ số là
-

9 9999
( có n chữ số 9 )
a) a = n + 2 ; n + 3 ; n + 4 ; n + 5
b) không có số nguyên nào
Bài 3: Giải
Ta có a
1
< a
2
a
2
< a
3
a
1
< a
3
( tính chất bắc cầu )
a

1
< a
3
a
3
< a
4
a
1
< a
4
( tính chất bắc cầu )
Bài 4 : Cho a Z . Chứng minh rằng :
a 3 -3 a 3
Bài 5 : Tìm a Z biết a= -1994
b) Tìm x Z để x+ 1994 có giá trị
nhỏ nhất
c) Tìm a, b Z biết a+b= 0
Bài 6 : Cho 2 số nguyên a, b thoả mãn
( a
2
+ 4b
2
) 3 . Chứng minh rằng mỗi
số a và b đều chia hết cho 3
Nếu a thì a = ? ; a
2
= ?
Nếu b3 thì b
2

= ? ; 4b
2
= ?
Khi đó a
2
+ 4b
2
= ?
Nếu b 3 thì b
2
= ? ; 4b
2
= ?
a
2
+ 4b
2
= ?
Bài 7: Tìm số nguyên x biết :
x + (x+1) +(x+2) + +19 + 20 = 20
Trong đó vế trái là tổng các số nguyên
liên tiếp viết theo thứ tự tăng dần
Cứ thế ta có a
1
< a
n-1
a
n-1
< a
n

a
1
< a
n
( đpcm )
Giải :
Cho a 3 vì a Z nên a N
a= { 0 ; 1 ; 2 ; 3 }
Nếu a= 0 thì a = 0
Nếu a= 1 thì a = 1
Nếu a= 2 thì a = 2
Nếu a= 3 thì a = 3
Vậy -3 a 3
Bài 5 :
Vì a N a để a= -1994
Vì x Z x N do đó x+ 1994 1994
Vậy GTNN của x+ 1994 là 1994 khi đó
x = 0
c) Ta có a N ; b N a+b 0
mà a+b= 0 a=b= 0
a = b = 0
Bài 6 :
Giả sử a3 a = 3k + 1 hoặc a = 3k +2 =
3k-1 a
2
= B(3) +1
* Nếu b3 b
2
3 4b
2

3 khi đó
a
2
+ 4b
2
= B(3) + 1 3 ( trái giả thiết )
Nếu b 3 thì b
2
= B(3) + 1
4b
2
= B(3) + 4 = B(3) + 1 khi đó
a
2
+ 4b
2
= B(3) + 1 + B(3) + 1 = B(3) + 23
( trái giả thiết )
Vậy chỉ có a3 và b 3
Bài 7:
x + (x+1) +(x+2) + +19 + 20 = 20
x + (x+1) +(x+2) + +19 = 0
(x+19) +(x+1+18) +(x+2+17)+ = 0
(x+19) +(x+19) +(x+19) + = 0
x = -19
III/ Bài tập về nhà
1/ Cho A = 1- 4 +7 -10 +13
a) Viết dạng tổng quát số hạng thứ n của A
b) Tính A với n = 100
2/ Cho B = -3 + 6 - 9 + 12 -15 +

a) Viết dạng tổng quát số hạng thứ n của B
b) Tính A với n = 50
3/ Các khẳng định sau có đúng không ?
a) a= b a = b = 0
b) a > b a> b
Ngày soạn : 20/ 9
Ngày dạy : 24/ 9
Buổi 2 : Đại số : các phép tính về số hữu tỉ
A/ Mục đích yêu cầu :
+Rèn kuyện kỹnăng vận dụng các tính chất các phép toán vào tính toán và giải
các dạng bài tập
B/ Nội dung
I/Kiến thức cơ bản cần nắm
1) Phép cộng và phép trừ
Với x ; y Q
m
ba
m
b
m
a
yx
m
ba
m
b
m
a
yx
m

b
y
m
a
x

==
+
=+=+==
;;

2) Phép nhân và phép chia
Với x ; y Q ;
cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
yx
db
ca
d
c
b
a

yx
dcbZdcba
d
c
y
b
a
x
.
.
.::;
.
.

0,,;,,,\;
=====
==
3) Phần nguyên của một số hữu tỉ x: Là số nguyên lớn nhất không vợt quá x
Ký hiệu : [x] x
4) Phần lẽ của một số hữu tỉ x
Ký hiệu : {x} và {x} = x - [x] . Vậy 0 {x} < 1
*) Quan hệ giữa phần nguyên và phần lẽ
x = [x] + {x}
Ví dụ : Cho x= 3,15 [x] = 3 ; {x} = 0,15
Cho x= -2,5 [x] = -3 ; {x} = 0,5
II/ Bài tập vận dụng
Phơng pháp :
so sánh bắc cầu hoặc trung
gian
Dạng 1: So sánh số hữu tỉ

Bài 1: So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh chóng
Dùng số hữu tỉ trung gian
Sử dụng phân số trung gian 1/3
PP: Xét tích chéo
a(b+1) và b(a+1)
ab+a và ab+b
Nếu a > b tì ab + a > ab + b
ba
b
a
b
a
>
+
+
>
1
1
Câu b chứng minh tơng tự
Có 2 cách :
1- Qui đồng
2- Tach phần nguyên
Câu c so sánh 1/a và 1/b
áp dụng 2 cách
Tìm các phân số có mẫu là 20
biết giá trị của nó lứn hơn
23
11

và nhỏ hơn

23
7
PP: Qui đồng mẫu
2/ tìm phân số có tử là 4 sao
cho
a)
9
4
&
7
2

ta có ;
9
4
14
4
7
2

>

=

b)
45983
45984
&
3247
3246

Vì
45983
45984
3247
3246
3247
3246
1
45983
45984
>



<<

c)
152
51
&
67
22

Vì
152
51
153
51
3

1
66
22
67
22
>

=

=

>

2/ Cho a, b , n Z và b, n > 0
a) So sánh
1
1
&
+
+
b
a
b
a
b) So sánh
nb
na
b
a
+

+
&
Với a < b ab + a < ab +b
1
1
+
+
<
b
a
b
a
Ví dụ :
6
8
5
7
;
7
6
6
5
><
c)
Zba
b
b
a
a

;;
1
&
1
bb
b
aa
a 1
1
1
;
1
1
1
=

=

so sánh 1/a & 1/b
d)
z
nm
n
n
m
m
+

+

,\
1
&
1

n
n
m
m
nmnm
nm
nn
n
mm
m
Z
11
1
1
1
10
1
;0
1
;
1
1
1
1
1

1
+
>


+><>





+=
+
=



Dạng 2 : Tìm phân số theo điều kiện cho trớc
Ta có :
460
140
460
23
460
220
23
7
2023
11
<<

<<
xx
}7;8;9{
23
12
6
23
13
914023220
=
<<<<
x
xx
Các phân số cần tìm là :
20
7
20
8
20
9

<

<

12
54

11
5
<<

x

PP : Qui đồng tử
Qua 2 ví dụ , em có nhận xét gì
nếu biết mẫu hoặc tử của phân
số cần tìm ?
2) Ta có :
9
5
3
9
5
4
8
4854448544
48
20
5
20
44
20
=>>
>><<

<

<

xx
xx
x
Vậy phân số cần tìm là
9
4


Bài tập về nhà : 10 trang 4 (Kiến thức cơ bản và nâng cao )
8 ; 9 (bồi dỡng Toán 7)

Ngày soạn : 25 /9
Ngày dạy : 1/ 10
Buổi 3 : Đại số : các phép tính về số hữu tỉ ( Tiếp theo)
A/ Mục đích yêu cầu :
+Rèn kuyện kỹnăng vận dụng các tính chất các phép toán vào tính toán và
giải các dạng bài tập
+ Rèn luyện khẳ năng t duy, phát hiện nhanh , kỹ năng trình bày bài giải
B/ Nội dung
I/ ổ n định
II/Bài mới:
Nhận xét các mẫu số có dạng gì ?
Các phân số này có qui luật gì ?
Từ đó tìm ra hớng giải
Dạng 3: Tính nhanh
Bài1)
90

79
9
8
90
1
9
1
1
90
1
9
1
8
1

4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
90
1
9.8

1
8.7
1
7.6
1
6.5
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
90
1
72
1
56
1
42
1
30
1
20
1
12
1
6

1
2
1
90
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
1
42
1
56
1
72
1
90
1

==

=






++++=






+++++++=






+++++++=

Trớc khi thực hiện phép nhân cần
phải làm gì ?
(Đổi hỗn số ra phân số )
khi rút gọn chú ý dấu của kết quả
phụ thuộc vào đâu ?
Giáo viên nêu khái niệm liên phan

số là gì ; nêu cách tính
Học sinh lên bảng giải
Bài 1: Tìm a Z sao cho
1
3
2

+
a
a

nhận giá trị nguyên
Một số hữu tỉ là số nguyên khi
nào ?
Biến đổi biểu thức đã cho thành
tổng của một số nguyên với một
phan số
Bài2)
)1.(
4.3.2.1
))1() (4).(3).(2(
)
1
) (
4
5
).(
3
4
).(

2
3
).(2(
)
1
1) (
4
1
1).(
3
1
1).(
2
1
1).(2(
)1(
+=
+
=
+
=


n
n
n
n
n
n
n

Bài 3: Liên phân số
a)
19
4
2
19
15
3
15
4
1
1
3
4
15
1
1
1
3
4
3
3
1
1
1
3
3
1
1
1

3
1
1
1
3
=+=
+
+=
+
+=
+
+
+=
+
+
+
+
b)
23
17
1
23
6
2
6
11
2
1
2
11

1
1
2
2
1
2
3
2
3
3
1
2
2
1
2
2
1
1
1
3
3
1
2
2
1
2
=+=
+
+=
+

+
+=
=
+
+
+
+=
+
+
+
+
+
Dạng 4: Tìm giá trị của chữ trong biểu thức hữu tỉ
thoả mãn điều kiện cho trớc
Ta có :
Z
a
Z
a
a
a
aaa
a
a




++=
=

++
=

+
1
4
1
4
1
1
4)1()1.(
1
3
2
a-1 là các ớc của 4
a -1 = {-4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4 }
a = -3 ; -1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 5 }
Vì (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
2ab = 2.1/18=1/9
Bài 2: Cho a + b = 1/2 ; a.b = 1/18
Tính a
2
+ b
2

; a
2
- b
2
hớng dẫn học sinh sử dụng công
thức
( a + b )
2
= a
2
+2ab + b
2
( a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
Bài 3: Tìm a Q sao cho
Z
a
a +
1

Số a Q có dạng nh thế nào ?
Bài 4: Tìm a ; b Q sao cho
a + b = a . b = a : b
Hớng dẫn :
a
2

+ b
2
= (a + b)
2
- 2ab
36
5
9
1
4
1
9
1
2
1
2
===







(a - b)
2
= a
2
- 2ab +b
2

6
1
36
1
9
1
36
5
=== ba
*) Nếu a - b = 1/6 thì a
2
- b
2
= (a - b)(a + b)
=
12
1
2
1
.
6
1
=
*) Nếu a - b = -1/6 thì a
2
- b
2
= (a - b)(a + b)
12

1
2
1
.
6
1
==
Đặt
0&,;1),(\ == yZyxyx
y
x
a
Ta có :

xyZ
xyx
y
y
x
a
a
y
x
y
x

2
2
2
2

1
+
+
=+=+
(1)
Từ (1) x
2


xy mà (x,y) = 1 y =
1
y
2


xy y
2


x mà (x,y) = 1 x =
1
Vậy x = y =
1
a =
1
Bài 4:
Từ a + b = a.b = a : b a = ab - b = b(a - 1)
a : b = b(a - 1) : b = a - 1 (1)
Mà a + b = a : b a + b = a - 1 b = -1
Thay vào (1) ta có : a.(-1) = a - 1 2a = 1

a =
2
1
Dạng 5 : Chứng minh
1/ CMR:
2222
111032
11

11
2
1
1 >
Biến đổi vế trái ta có
22
222222
1110
10321032
11
1024
1
11
1024
1
11
1024
1
512
1

8
1
4
1
4
1
2
1
2
1
11
1

11
2
1
1
1

11
2
1
1
>=+=

=






++++=








++++=
16
1
8
11
8
1
4
11
4
1
2
11
2

1
1
11
2
2
2
2
4
3
2
1
=
=
=
=
Để áp dụng đợc qui luật cần đa
biểu thức về dạng tổng
Hớng dẫn :

4.3
1
4.4
11
3.2
1
3.3
11
2.1
1
2.2

11
4
3
2
2
2
2
<=
<=
<=
2/
100
11

111
1
100432
2222
<
Đặt A =
1000432
2222
1

111
1
100
1
100
1

11
100.99
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
1
1

111
1
100432
2222
=






<

++++<








++++=
A
A
A
III/ H ớng dẫn về nhà
Ôn lại các dạng bài đã học
Bài tập : 14 ; 15 ; 18 (Kiến thức cơ bản và nâng cao)
21 ; 24 (Toán bồi dỡng)
Ngày soạn : 5 / 10
Ngày dạy : 8/ 10
Buổi 4 : Đại số : kiểm tra chọn đội tuyển lần I
A/ Mục đích yêu cầu :
Đánh giá đúng năng lực học sinh .Rèn kỹ năng suy luận , trình bày bài
Chọn đúng đối tợng học sinh để bồi dỡng
B/ Nội dung
I/ ổ n định
II/Đề ra
Câu 1: (3điểm) Tìm x biết
a) |x - 3| - 5 = -2
b) | x + 2| 2

c) (2x + 1)
5
= 243
Câu 2: (2 điểm )
Cho dãy số A = 2 - 5 + 8 - 11 + 14 - 17 + + 98 - 101
a) Tính giá trị của A
b) Viết dạng tổng quát số hạng thứ n của A
Câu 3: (2 điểm )
Tìm x Z biết
a) 2n + 1

n - 5
b) n
2
+ 2n - 7

n + 2
Câu 4: (3 điểm )
Tính giá trị các biểu thức sau
5
2
4
2
3
2
.
125.3225. +
=A
2
2222

2
2222
5
222
105
104103102101
9
8765
5
432
.
1111

1111
.
111
2
1








+++++

++++








+++=B
III/ Bài tập về nhà
Bài 22 ; 23 ; 25 (Toán bồi dỡng)
Ngày soạn : 13 /10
Ngày dạy : 15/ 10
Buổi 5 : Đại số : luỹ thừa của một số hữu tỉ
các bài toán về luỹ thừa
A/ Mục đích yêu cầu :
+ Học sinh nắm định nghĩa và các công thức về luỹ thừa của một số hữu tỉ
+ Vận dụng các công thức linh hoạtt để giải các dạng toán về luỹ thừa
B/ Nội dung
I/ Kiến thức cơ bản cần nắm
1/Định nghĩa
x
n
=

n
xxxxx

2/ Qui ớc : x
0
= 1 \ x

0
x
1
= x
3/ Các công thức vận dụng tính toán
*) x
n
. x
m
= x
n + m
*) x
n
: x
m
= x
n - m
*) (x
n
)
m
= x

m. n
*) (x.y)
n
= x
n
. y
n
*) (x: y)
n
= x
n
: y
n
*)
x
x
m
m
1
=

*) Chú ý :
( )
( )
x
x
m
m
n
n

II/Một số bài toán về luỹ thừa
Phơng pháp :
+ Biến đổi luỹ thừa về cùng cơ số rồi
so sánh số mũ
+ Biến đổi luỹ thừa về cùng số mũ rồi
so sánh cơ số
+ Dùng luỹ thừa trung gian
Nên biến đổi về cùng gì? Vì sao ?
vì (2,3) = 1 nên biến đổi về cùng số
mũ
Dùng phơng pháp gì ?
(13; 2) =1 ; (40; 161) =1
Vậy nên dùng phơng pháp trung gian
1 h/s lên bảng làm
Gợi ý : dùng phơng pháp trung gian
Học sinh lên bảng làm
Dạng 1: So sánh luỹ thừa
Ví dụ :
1/ So sánh 2
100
và 1024
9
Biến đổi về cùng cơ số
Ta có : 1024
9
= (2
10
)
9

= 2
90
< 2
100
Nên 1024
9
< 2
100
2/ So sánh 2
300
và 3
200
Ta có : 2
300
= (2
3
)
100
= 8
100
3
200
= (3
2
)
100
= 9
100
Vì 8
100

< 9
100
nên 2
300
< 3
200
3/ So sánh 13
40
và 2
161
2
161
> 2
160
= (2
4
)
40
= 16
40
> 13
40
Nên 2
161
> 13
40
4/ So sánh 32
9
và 18
13

Ta có : 32
9
= (2
5
)
9
= 2
45
18
13
> 16
13
= (2
4
)
13
= 2
52
Vậy 18
13
> 2
52
> 2
45
= 32
9
nên 18
13
> 32
9

Dạng 2: Thứ tự thực hiện phép tính biểu
thức có chứa luỹ thừa
Phơng pháp :
+ Biến đổi đa về cùng số mũ để gộp cơ số
+ Biến đổi đa về cùng cơ số , đặt cơ số chung
để tính hợp lý
Ví dụ : Tính
a) (-2)
3
+2
2
+ (-1)
10
= -8 + 4 + 1 = -3
b)
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
5155256481
81
3
2
2585
2
3
222
2
2
==
=

c)
( )
8.
2
1
:4 3
2
2
2
1
2
2
2
0
3






+++

= 8 + 3 + 1 + (4 : 1/2) . 8 = 8 + 3 + 1 + 8.8 =74
d)
27
81
1
9
3333
3
1
3
2432
2
3
==








Giáo viên nêu phơng pháp tính
Lấy các ví dụ minh hoạ các phơng
pháp
Học sinh lên bảng làm
Phơng pháp :
+ Nếu biến cần tìm ở số mũ thì biến

đổi luỹ thừa kia về cùng cơ số với luỹ
thừa chứa biến
+ Nếu biến cần tìm ở cơ số thì biến đổi
luỹ thừa kia về cùng số mũ với luỹ
thừa chứa biến
So sánh 2 luỹ thừa , rút ra nhận xét
Học sinh lên bảng giải
Phơng pháp : Đặt thừa số chung
Học sinh lên bảng làm : Biến đổi về
cùng cơ số
Dạng 3 : Tính luỹ thừa có qui luật
Phơng pháp :
Sử dụng công thức : a
2
- b
2
= (a - b).(a + b)
Ví dụ : Tính
1/ 100
2
- 99
2
+98
2
- 97
2
+ +2
2
- 1
= (100

2
- 99
2
) + (98
2
- 97
2
) + +(2
2
- 1)
= (100 - 99)(100 + 99) +(98 - 97)(98 + 97)
+ +(2 - 1)(2 + 1)
= 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + + 2 + 1
=
=
( )
5050
2
100.1100
=
+
Bài 2/
(20
2
+ 18
2
+16
2
+ +2
2

) -(19
2
+17
2
+15
2
+ +1
2
)
= Đáp số = 210
Dạng 4 : Tìm giá trị của biến trong luỹ thừa
Bài 1: Tìm n biết
a)
( )
1222323
3

9
1
333
3
3327
232
====
===

nnnnnn
nnn
n
nn

b) 2
-1
. 2
n
+ 4 . 2
n - 1
= 5 . 2
5
2
n - 1

+ 2
2
. 2
n - 1
= 5 . 2
5
2
n - 1
( 1 + 2
2
) = 5 . 2
5
2

n - 1
. 5 = 5 . 2
5
2
n - 1

= 2
5
n - 1 = 5
n = 6
c) x
(n - 2)(n + 3)
= 1
x
(n - 2)(n + 3)
= 1= x
0


(n - 2)(n + 3) = 0
Vậy n = 2 hoặc n = -3
d) 2
x + 2
- 2
x
= 96
2
x
(2
2
- 1) = 96
2
x
. 3 = 96
2
x

= 96 : 3 = 32 = 2
5


x = 5
Dạng 5: Chứng minh
1) Chứng minh rằng : 10
9
+ 10
8
+ 10
7


222
10
9
+ 10
8
+ 10
7
= 10
7
.(10
2
+ 10 + 1) = 10
7
. 111
= 10
6

.2 .5 .111 = 10
6
. 5 . 222

222
2) Chứng minh rằng : 81
7
- 27
9
- 9
13


45
III/ Bài tập về nhà
8 ; 14 trang 46 ;47 KTCBVNC
38 ; 40 ; 41 trang 20 Bồi dỡng Toán 7
Ngày soạn : 19 /10
Ngày dạy : 22/ 10
Buổi 6 : hình : hai góc đối đỉnh - hai đờng thẳng vuông góc
hai đờng thẳng song song
A/ Mục đích yêu cầu :
+Vận dụng các kiến thức đã học để giải bài tập về hai góc đối đỉnh , hai đờng
thẳng vuông góc , hai đờng thẳng song song
+ Rèn kỹ năng lập luận suy diễn
B/ Nội dung
I/ ổ n định
II/Kiến thức cơ bản cần nắm :
1) Hai góc đối dỉnh
+ Định nghĩa : Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia

đối của một cạnh góc kia .
+ Tính chất : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
2) Hai đờng thẳng vuông góc :
+ Định nghĩa : xx' cắt yy' tại O ; trong các góc tạo thành có một góc vuông
thì xx' vuông góc với yy'
+ Tính chất : Nếu xx' vuông góc với yy' thì tạo thành 4 góc vuông
3) Hai đờng thẳng song song:
+ Định nghĩa : Hai đờng thẳng song song là hai đờng thẳng không có điểm
chung
+ Tính chất : Nếu hai đờng thẳng song song bị cắt bởi một đờng thẳng thứ
ba thì
- Các góc so le trong bằng nhau
- Các góc đồng vị bằng nhau
- Các góc trong cùng phía bù nhau
III/ Bài tập vận dụng
Bài 1:
Chứng minh hai tia phân giác của hai
góc đối đỉnh là hai tia đối nhau
Dạng 1: Hai góc đối đỉnh
x' y
Muốn chứng minh Ot và Ot' là hai tia
đối nhau , ta cần chứng minh điều gì?
Học sinh giải bà 2 Trang 58( Toán bồi
dỡng 7)
Bài 2: (Bài tập trắc nghiệm )
Hãy chọn đúng ,sai giải thích vì sao ?
x
y'
120
0

m n
x' y
Bài 1: Trên đờng thẳng AA' lấy một
điểm O . Trên nữa mặt phẳng có bờ
là AA' vẽ tia OB sao cho AOB = 45
0
,
trên nữa mặt phẳng còn lại vẽ tia OC
sao cho
AOC = 90
0
. Gọi OB' là phân
giác của A'OC .Vẽ OP sao cho BOD
= 90
0

a) Chứng minh : AOB và A'OB' là hai
góc đối đỉnh
b) Tính A'OD ?
Học sinh phân tích
AOB và A'OB' là hai góc đối đỉnh
O
t' t
y' y
Xét 2 góc đối đỉnh xOy ; x'O'y' và hai tia
phân giác Ot ; Ot' . Ta có :
tOy = 1/2 xOy và t'Oy' = 1/2 x'Oy'
mà xOy = x'Oy' (đối đỉnh)
nên tOy = t'Oy'
Vì t'Oy' + yOt' = 180

0
(kề bù )
yOt' + tOy = 108
0
tOy và yOt' là hai
góc kề bù
Ot và Ot' là hai tia đối nhau
m + n =
a) 20
0
b) 30
0
c) 60
0
d) 120
0
e) 180
0
Dạng 2: Hai đờng thẳng vuông góc - Tia
phân giác
B D
A
A'
O
C B'
Ta có : AOC + A'OC = 180
0
(kề bù )
mà AOC = 90
0

COA' = 180
0
- 90
0
= 90
0


OA; OA'là 2 tia đối nhau và OB;
OB'là 2 tia đối nhau

BOA + AOB' = 180
0

COB' = 45
0

Theo hớng đã phân tích , một học sinh
lên bảng giải
Bài 2: Cho xOy = 150
0
. Lấy 2 điểm
A,B lần lợt nằm trên O x ; Oy .Vẽ các
tia Az
1
; Bz
2
cùng nằm trong góc xOy
sao cho :
xAz

1
= 70
0
; yBz
2
= 80
0
Chứng minh : Az
1
// Bz
2

Cần chứng minh Az
1
// Ot
và Bz
2
// Ot
Bài 1: Cho hình vẽ sau:
A B
1
x C
2
OB' là phân giác của A'OC
nên A'OB'= 1/2A'OC
A'OB' = 45
0
COB' = 45
0
BOA + AOC + COB' = 45

0
+ 90
0
+ 45
0
=
180
0
OB và OB' là hai tia đối nhau
AOB và A'OB' là hai góc đối đỉnh
Z
1

O A x
Từ O kẻ Ot // Az
1

xAz
1
= xOt = 70
0
(đồng vị) (1)
Tia Ot nằm giữa hai tia Ox ; Oy
xOy = xOt + tOy tOy = 80
0

tOy = yBz
2
= 80
0

. Hai góc này ở vị trí đồng
vị do hai dờng thẳng Ot và Bz
2
tạo với Oy
Ot // Bz
2
(2)
Từ (1) và (2) Az
1
// Bz
2

Dạng 3 : Hai đờng thẳng song song
Phơng pháp : Tính góc , vẽ thêm đờng phụ tạo
cặp góc so le trong hoặc đồng vị với các góc đã
biết
Từ C kẽ Cx // AB B + C
1
= 180
0
(1) ( hai
E D
Cho B + C + D = 360
0
. Chứng
minh
AB // DE
Góc C và góc D là hai góc ở vị trí nh
thế nào ?
góc trong cùng phía )

Vì Cx nằm giữa CB và CD nên
C = C
1
+ C
2
mà B + D + C = 360
0
B + C
1
+ C
2
+ D = 360
0

C
2
+ D = 180
0
ED // Cx (2)
từ (1) và (2) AB // DE
Bài tập về nhà : 3 ; 4 ; 5 (Kiến thức cơ bản và nâng cao)
30 trang 69 (Toán bồi dỡng 7)
Ngày soạn : 27 /10
Ngày dạy : 29/ 10
Buổi 7 : kiểm tra chọn đội tuyển lần II
A / Mục đích yêu cầu :
+ Đánh giá đúng năng lực học sinh .Rèn kỹ năng suy luận , trình
bày bài
+ Chọn đúng đối tợng học sinh để bồi dỡng
B/ Nội dung

I/ ổ n định
II /Đề ra : ( Thời gian làm bài 90' )
Câu1: ( 2 điểm )
Chứng minh : a) 81
7
- 27
9
- 9
13


45
b) 7
6
+ 7
5
- 7
4


11
Câu 2 (1 điểm )
Tìm số nguyên x biết :
2 < | x| < 5
Câu 3 : ( 2 điểm )
Tính hợp lý
a) 1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + + 1989 - 1990 - 1991 +
1992 + 1993
b) 1 - 3 + 5 - 7 + + 97 - 99 + 101
Câu 4: (3 điểm )

Tìm x, y biết :
a)
3
2
=
y
x
và x
2
+ y
2
= 208
b) 10x = 15y = 6z và 10x - 5y + z = 25
Câu5 : (2 điểm )
Cho hình vẽ sau
x A
B
y C
Biết xAB + ABC + BCx = 360
0
. Chứng minh Ax// Cy

III/ H ớng dẫn về nhà
+ Ôn tỉ lệ thức và các tính chất của tỉ lệ thức
+ Tính chất của dãy các tỉ số bằng nhau
Ngày soạn : 2 /11
Ngày dạy : 5/ 11
Buổi 8 : Đại số : tỉ lệ thức - tính chất dãy tỉ số bằng nhau
A/ Mục đích yêu cầu :
+ Học sinh nắm vững các tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của

dãy các tỉ số bằng nhau để vận dụng vào giải các bài tập
+ Rèn kỹ năng vận dụng , suy luận và tính toán
B/ Nội dung
I/ ổ n định
II /Kiến thức cơ bản cần nắm
1) Khái niệm : + Tỉ số : a/b là phép chia a cho b
+ Tỉ lệ thức : Hai tỉ số bằng nhau lập thành tỉ lệ thức
2) Tính chất ad = bc
+ Các cách hoán vị











=
=
=
=
=
a
b
c
d
a

b
c
a
a
c
b
d
d
c
b
a
bcad
Đổi vị trí các ngoại tỉ cho nhau
Đổi vị trí các trung tỉ cho nhau
Đổi vị trí cả ngoại tỉ và trung tỉ
3) Dãy các tỉ số bằng nhau
+ Nếu có n tỉ số bằng nhau (n 2) thì

bbbb
aaaa
bbbb
aaaa
b
a
b
a
b
a
b
a

n
n
n
n
n
n
++
++
=
++++
++++
=====





321
321
321
321
3
3
2
2
1
1
Tổng quát

kfndmb

kencma
f
e
d
c
b
a
+
+
===
III/ Bài tập vận dụng
Bài 1 :
Cho
d
c
b
a
=
.Chứng minh
dc
c
ba
a

=

Đặt
dkcb kak
d
c

b
a
====
;
Xét các tỉ số
?&
=

dc
c
ba
a
Hoán vị các trung tỉ . áp dụng tính
chất dãy các tỉ số bằng nhau
Hoán vị trung tỉ lần 2
Dạng 1 : Tỉ lệ thức
Cách 1: So sánh tích chéo
Xét a.(c - d) = ac - ad
c.(a - b) = ac - bc Vì ad = bc nên
ac - ad = ac - bc
dc
c
ba
a

=


Cách 2: Đặt giá trị cho các tỉ số bằng nhau
Ta có :

(**)
1)1(
(*)
1)1(

=

=

=


=

=

=

k
k
kd
dk
ddk
dk
dc
c
k
k
kb
bk

bbk
bk
ba
a
Từ (*) và (**)
dc
c
ba
a

=


Cách 3: Biến đổi tỉ số
Từ
d
c
b
a
=
dc
c
ba
a
dc
ba
c
a
dc
ba

d
b
c
a

=




=


==
Bài 2: Cho tỉ lệ thức
16
17
4
18
+

=
+

x
x
x
x

Tìm x ?

Em có nhận xét gì về các hệ số của
x?
Đặt
k
x
x
x
x
=
+

=
+

16
17
4
18
Tính x- 18 = ?
x - 17 = ?
So sánh (1) và (2)
Bài 1/ Tìm x, y biết :

52
yx
=
và xy = 90
Chú ý :
5.252
xyyx

=
Để có xy = 90 ta phải nhân 2 vế của
tỉ lệ thức với x hoặc y
Bài 2: Tìm x, y z biết
18632;
75
&
43
=+==
zyx
zyyx
Cách 1: Xét tích chéo
(x - 18)(x + 16) = (x + 4)(x - 7)
x
2
- 2x - 288 = x
2
- 13x - 68
13x - 2x = 288 - 68
11x = 220
x = 20
Cách 2: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
2022011216412
4216124)18.(12
12
1
4
18
12
1

12
1
)16()4(
)17()18(
16
17
4
18
==+=
+=+==
+


=


=
++

=
+

=
+

xxxx
xxxx
x
x
xx

xx
x
x
x
x
Cách 3: Đặt tỉ số k
x - 18 = k(x + 4) x =
k
k

+
1
184
(1)
x - 17 = k(x + 16) x =
k
k

+
1
1716
(2)
Từ (1) và (2) 4k + 18 = 16k + 17
k= 1/12
20
12
1
1
18
12

1
.4
=

+
= x
Dạng 2 : Tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Cách 1: Đặt tỉ số k
k
yx
==
52
x = 2k y = 5k
xy = 2k . 5k = 10k
2
= 90 k
2
= 9
k = 3 hoặc k = - 3
x = 6 hoặc x = -6
y = 15 hoặc y = - 15
Cách 2:
15
6
3618
5
90
252
.
52

2
2
=
=
=====
y
x
xyxxyx
x
x
Từ
201543
yxyx
==
(1)
Biến đổi các tỉ số chứa y làm tỉ số
trung gian của hai tỉ số chứa x và
chứa z
Bài 3: Tìm 3 số x ; y ; z biết
3
3
2
2
1
4
+
=

=
+ zyx

và x.y.z = 12
Dùng phơng pháp đặt tỉ số k , tính x,
y, z theo k
Từ
282075
zyzy
==
(2)
Từ (1) và (2)

3
62
186
286030
32
60
3
30
2
282015
==
+
+
=
====
zyx
yxzyx
x = 3 . 15 = 45
y = 3 . 20 = 60
z = 3 . 28 = 84

Học sinh lên bảng giải
Đáp số x = 3
y = 4
z = 1
Bài tập về nhà
7 ; 8 ; 9 trang 57 (Kiến thức cơ bản và nâng cao)
44 ; 45 trang 23 (Toán bồi dỡng 7)
Ngày soạn :
Ngày dạy : 3 / 12
Buổi 9 : sốhọc : các phơng pháp giải toán chia hết
A/ Mục đích yêu cầu :
+ Học sinh nắm đợc các phơng pháp giải toán chia hết
+ Vận dụng đợc các phơng pháp linh hoạt trong việc giải bài tập
B/ Nội dung
I/ ổ n định
II /Kiến thức cơ bản cần nắm
I) Ph ơng pháp 1 : Chứng minh A(n)

p ta xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho
p
Ví dụ : Chứng minh A(n) = n(n
2
+ 1)(n
2
+ 4)

5
Khi chia n cho 5 ta có các số d là 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4
Nếu r = 0 A

5
Nếu r = 1 n = 5k + 1 n
2
=25k
2
+ 10k + 1 n
2
+ 4

5
Nếu r = 2 n = 5k + 2 n
2
= 25k
2
+ 20k + 4 n
2
+ 1

5
Nếu r = 3 n = 5k + 3 n
2
= 25k
2
+ 30k + 9 n
2
+ 1

5
Nếu r = 4 n = 5k + 4 n
2

= 25k
2
+ 40k + 16 n
2
+ 4

5
A(n) là tích của 3 số , trong mọi trờng hợp đều có thừa số chia hết cho 5 A(n)

5
II) Ph ơng pháp 2 : Để chứng minh A(n)

m ta phân tích m = p.q ( p, q là các số
nguyên tố cùng nhau ) ; chứng minh A(n)

p và A(n)

q
Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau thì phân tích A(n) ra thừa số
A(n) = B(n).C(n) và chứng minh A(n)

p và C(n)

q B(n) .C(n)

p.q
Ví dụ : Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Gọi hai số chẵn đó là 2k và 2k + 2
Tích của chúng là 2k.(2k+2) = 4k
2

+ 4k = 4k(k + 1)
Ta thấy 4

4 ; k(k+1)

2 (tích hai số tự nhiên liên tiếp )
Vậy A(k) = 4k(k+1)

4 . 2 A(k)

8
III) Ph ơng pháp 3 : Chứng minh A(n)

m Tách A(n) thành tổng nhiều số hạng và
chứng minh mỗi số hạng đều chia hết cho m
Ví dụ 1: Tìm n N sao cho n + 2

7 - n
Nếu A

B thì A kB

B n + 2

7 - n n + 2 + 7 - n

7 - n
áp dụng vào bài tập trên 9

7 - n hay n - 7 là Ư(9)

7 - n 7
Vậy 7 - n = {1 ; 3}
Vậy n = 6 ; 4
Ví dụ 2: Tìm x ; y ; z để 579xyz

5; 7 ; 9
Vì 5 ; 7 ; 9 là các số nguyên tố sánh đôi nên 579xyz

5 ; 7 ; 9 khi

579xyz

5 . 7 . 9 tức là 579xyz

315

579xyz = 579 000 + xyz = 1838 . 315 + 30 + xyz
579xyz

315 xyz + 30

315 vì 30 xyz 999
xyz + 30 = 315 ; 630 ; 945 xyz = 315 - 30 = 285

xyz = 630 - 30 = 600
xyz = 945 - 30 = 915
IVPh ơng pháp 4 :So sánhsố d ( đồng d)
Nếu a : m d r
1
b : m d r

2
thì a b ( m)
a b (mod m) a - b

m
Ví dụ 1 : Một số tự nhiên a chia cho b đợc thơng là 18 và d 24 . Nếu số bị chia và số
chia giảm đi 6 lần thì thơng và số d nh thế nào ?
Gọi số phải tìm là a , ta có :
a = 18b + 24 (b>24)
Theo định nghĩa phép chia khi số chia và a : 6 = ( 18b + 24 ) : 6
số bị chia giảm đi 6 lần ta có gì ? = ( b: 6) . 18 + (24 : 6) (b > 4)
Có nhận xét gì về thơng và số d ? Vậy thơng không đổi , số d giảm 6 lần
Ví dụ 2 : Tìm các số tự nhiên trong khoảng từ 10 000 đến 15 000 khi chia cho 393 và
655 đều d 210
Gọi số phải tìm là x . theo bài ra ta có :
x = 393 q
1
+ 210 (1)
x = 655 q
2
+ 210 (2)
Từ (1) và (2) số nào chia hết cho 10 000 < x < 15 000 (3)
393 và 655 ? x - 210

393 và 655
Tìm BCNN (393;655) BCNN ( 393 ; 655 ) = 1965
x - 210 = 1965k ( k = 1 ; 2; 3 )
x = 1965k + 210
Từ (3) 10 000 < 1965k + 210 < 15 000
9790 < 1965 k < 14790

5 k < 8
k = 5 ; 6 ; 7
Với k = 5 x = 1965 . 5 + 210 = 10 035
Với k = 6 x = 1965 . 6 + 210 = 12 000
Với k = 7 x = 1965 . 7 + 210 = 13 695
vậy các số cần tìm là 11 035 ; 12 000 ; 13 695
V / Một số bài tập vận dụng
Bài 1 :
Một số chia cho 4 d 3 , chia cho 9 thì d 5. hỏi số đó chia cho 36 thì d bao nhiêu ?
Gọi số cần tìm là a thì a có dạng nh thế nào ?
Vì a chia 4 d 3 nên a = 4q
1
+ 3
Vì a chia 9 d 5 nên a = 9q
2
+ 5
Cần thêm vào a bao nhiêu để a chia hết a + 13

4 và a + 13

9
Mà (4 ; 9 ) = 1 a + 13

36
a +13 = 36 k \ k N
*
a = 36k - 13
= 36(k - 1) + 36 - 13 = 36t + 23
a chia 36 d 23
Bài 2 : Cho P = ( a + 5 ) ( a + 8 )

Q = ab ( a + b )\ a ; b N
*
Chứng minh rằng P; Q luôn là số chẵn
Có nhận xét gì về a + 5 và a + 8 ? a + 5 và a + 8 khác tính chẵn lẽ
P chẵn hay lẽ ? trong hai số a + 5 và a + 8 có một
Vì sao ? số chẵn và một số lẽ P chẵn
Nhận xét Q Nếu a hoặc b chẵn ab chẵn Q chẵn
Nếu a lẽ , b lẽ a + b chẵn Q chẵn
P ; Q luôn là số chẵn

III/ Bài tập về nhà
1/ Cho A = ( 4
n
+ 6
n
+ 8
n
+ 10
n
) - ( 3
n
+ 5
n
+7
n
+9
n
)
B = 1995
n

+ 1996
n
+ 1997
n
( n N )
tìm số d khi chia A và B cho 2
2/ cho tổng S = a + a
2
+ a
3
+ + a
n
( n N )
Với giá trị nào của n thì S chia hết cho a + 1 ( a - 1)
Ngày soạn : 1/12
Ngày dạy : 10/ 12
Buổi 10 : Đại số : bội và ớc của số nguyên
tính chia hết trên tập hợp số nguyên
A/ Mục đích yêu cầu :
Ôn khái niệm bội ớc của số nguyên , phép nhân và chia các số nguyên , tính
chia hết trên tập hợp số nguyên
Học sinh vận dụng các kiến thức để giải các bài toán chia hết trên tập hợp các
số nguyên
B/ Nội dung
I /Kiến thức cơ bản cần nắm
1* Phép nhân các số nguyên
Với mỗi cặp số nguyên a ; b Z phép nhân a với b đợc xác định

=
//.//
//.//
.
ba
ba
ba
Nếu a, b khác dấu
*) Các tính chất cơ bản
a) Tính chất giao hoán : a ; b Z a . b = b . a
b) Tính chất kết hợp : a ; b ; c Z (a . b) . c = a . (b .c )
c) Nhân với 1 : a Z a . 1 = 1 . a = a
Tính chất phân phối : a ; b ; c Z a . (b + c) = a . b + a . c
2* Tính chia hết trên tập hợp số nguyên
a ; b ; q Z; b 0 . Nếu a = bq a

b ( a là bội của b ; b là ớc của a)
*) Các tính chất
a

a \ a Z
*
a

1 \ a Z
a

b ; b

c a

c \ a ; b ; c Z; b ; c 0
a

c ; b

c ( a b)

c \ a ; b ; c Z; c 0
a

b ; b

a a = b
a

b thì ka

b
III/ Bài tập vận dụng
Bài 1: Có bao nhiêu số nguyên n thoả mãn điều kiện sau:
a) (n
2

- 3) (n
2
- 36) = 0
b) (n

2

- 3) (n
2
- 36) < 0
Tích 2 số bằng 0 khi nào ? Giải:
a) (n
2

- 3) (n
2
- 36) = 0




=
=

036
03
2
2
n
n
Tìm n để n
2
=3
n
2

= 36




=
=

36
3
2
2
n
n
vì n Z n
2
3
Vậy n = 6
b) (n
2

- 3) (n
2
- 36) < 0 (n
2

- 3)và (n
2
- 36) trái dấu
Vì (n

2

- 3) > (n
2
- 36)





<
>

036
03
2
2
n
n






<
>

36
3

2
2
n
n
3 < n
2
< 36 n
2
= 4 ; 9 ; 16 ; 25
n = 2 ; 3 ; 4 ; 5
Bài 2 : Tìm x Z biết : a) x (x + 2) = 0
b) (x -2)
2
= 0
c) (x +3)(x - 4) = 0
Học sinh lên bảng giải
Bài 3: Tìm x biết : a)| 3x + 12| = 9



=
=




=
=

=+
=+
7
1
213
33
9123
9123
x
x
x
x
x
x
b)| 2| x- 2 | + 5 | = 7



=
=




=+
=+

12/2/2

2/2/2
75/2/2
75/2/2
x
x
x
x
Vì 2| x - 2| 0 x 2| x-2| +5 5
nên 2| x - 2| +5 = -7 là vô lý
Vậy 2| x - 2| = 2 | x - 2| = 1



=
=




=
=

1
3
12
12
x
x
x
x

Bài 4: a) Tìm cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn: (x - 1)( 3 - y) = -7
Vì (x - 1)( 3 - y) = -7 (x - 1) và ( 3 - y) là các ớc của 7và khác dấu nhau
Ư(7) = 1 ; 7
* Nếu x -1 = 1 thì 3 - y = -7 x = 2 ; y = 10
* Nếu x -1 = -1 thì 3 - y = 7 x = 0 ; y = -4
* Nếu x -1 = 7 thì 3 - y = -1 x = 8 ; y = 4
* Nếu x -1 = -7 thì 3 - y = 1 x = -6 ; y = 2
b) (2x - 1)(y + 4) = 11 Học sinh lên bảng giải
Bài 5: Tìm n Z để:
a) n - 7

n - 5
Phơng pháp : Tách số bị chia thành tổng các bội của số chia
n - 7

n - 5 n - 5 - 2

n - 5 2

n - 5
Vậy n - 5 là các ớc của 2
n - 5 -2 -1 1 2
n 3 4 6 7
b) n
2
-2n -22

n + 3
Ta có : n
2

- 2n - 22 = n(n + 3) - 5n(n + 3) - 7

n + 3 7

n + 3
Vậy n + 3 là các ớc của 7

n + 3 -7 -1 1 7
n -10 -4 -2 4
Bài 6: Toán chứng minh
Chứng minh rằng với m; n Z thì:
a) n
3
+ 11n

6
b) mn(m
2
-n
2
)

3
c) n(2n + 1)(n + 1)

6
Giải
a)Ta có n
3
+ 11n = n

3
+ 12n - n = n
3
-n + 12n = n(n
2
- 1) + 12n
= n(n - 1)(n + 1) + 12n .Vì n(n - 1)(n + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên tích
chia hết cho 6 và 12n

6 n(n - 1)(n + 1) + 12n

6
b) mn( m
2
- n
2
) = mn[(m
2
- 1) - (n
2
- 1)] = mn(m
2
- 1) - mn(n
2
- 1)
= mn(m - 1)(m + 1) - mn(n - 1)( n + 1)

3 m ; n Z
c) n(2n + 1)(n + 1) = n(n + 1)[( n - 1) +( n + 2)]
= n(n - 1)(n + 1) +n(n + 1)(n + 2)

6
Bài tập về nhà :
1/ Tích 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho bao nhiêu ?
2/ Tìm x ; y Z biết:
a) (x + 2)(y - 3) = 5
b) (x + 1)( xy - 1) = 3
c) x
2
+ 3x - 13

x + 3
Ngày soạn :
Ngày dạy : 10/ 9
Buổi 11 : hình: Tổng ba góc của một tam giác
các trờng hợp bằng nhau của tam giác
A/ Mục đích yêu cầu :
Nắm vững kiến thức về tổng ba góc của một tam giác và các trờng hợp bằng
nhau của tam giác để vận dụng giải các bài tập
B/ Nội dung
I/ ổ n định
II /Kiến thức cơ bản cần nắm
ABC có : A + B + C = 180
0
ABC có : A = 90
0
B + C = 90
0
+ Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó
*) Trờng hợp bằng nhau C.C.C

ABC và A'B'C' có : AB = A'B' ; AC = A'C' ; BC = B'C'
ABC = A'B'C' ( C.C.C )
*) Trờng hợp bằng nhau C.G.C
ABC và MNP có : AB = MN ; AC = MP ; A = M
ABC = MNP ( C.G.C)
*) Trờng hợp bằng nhau G.C.G
ABC và DEF có : AC = DF ; A = D ; C = F
ABC = DEF (G.C.G)
III/ Bài tập vân dụng
Bài 1 : Cho tam giác ABC , biết các góc A, B, C tỉ lệ với 1; 3; 5
a) Tính các góc của tam giác
b) Tia phân giác góc ngoài đỉnh C của tam giác cắt AB ở E . Tính góc AEC
Học sinh giải câu a A = 20
0
; B = 60
0
; C = 100
0